Где применяют закон гука в технике. Закон Гука. Формула. Описание опыта. Почему деформацию должна изучать механика

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деформациями называются любые изменения формы, размеров и объема тела. Деформация определяет конечный результат движения частей тела друг относительно друга.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Упругими деформациями называются деформации, полностью исчезающие после устранения внешних сил.

Пластическими деформациями называются деформации, полностью или частично сохраняющиеся после прекращения действии внешних сил.

Способность к упругим и пластическим деформациям зависит от природы вещества, из которого состоит тело, условий, в которых оно находится; способов его изготовления. Например, если взять разные сорта железа или стали, то у них можно обнаружить совершенно разные упругие и пластичные свойства. При обычных комнатных температурах железо является очень мягким, пластичным материалом; закаленная сталь, наоборот, — твердый, упругий материал. Пластичность многих материалов представляет собой условие для их обработки, для изготовления из них нужных деталей. Поэтому она считается одним из важнейших технических свойств твердого вещества.

При деформации твердого тела происходит смещение частиц (атомов, молекул или ионов) из первоначальных положений равновесия в новые положения. При этом изменяются силовые взаимодействия между отдельными частицами тела. В результате в деформированном теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Различают деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения.

Силы упругости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Силы упругости – это силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.

Силы упругости имеют электромагнитную природу. Они препятствуют деформациям и направлены перпендикулярно поверхности соприкосновения взаимодействующих тел, а если взаимодействуют такие тела, как пружины, нити, то силы упругости направлены вдоль их оси.

Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры, часто называют силой реакции опоры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деформация растяжения (линейная деформация) – это деформация, при которой происходит изменение только одного линейного размера тела. Ее количественными характеристиками являются абсолютное и относительное удлинение.

Абсолютное удлинение:

где и длина тела в деформированном и недеформированном состоянии соответственно.

Относительное удлинение:

Закон Гука

Небольшие и кратковременные деформации с достаточной степенью точности могут рассматриваться как упругие. Для таких деформаций справедлив закон Гука:

где проекция силы на ось жесткость тела, зависящая от размеров тела и материала, из которого оно изготовлено, единица жесткости в системе СИ Н/м.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Пружина жесткостью Н/м в ненагруженном состоянии имеет длину 25 см. Какова будет длина пружины, если к ней подвесить груз массой 2 кг?
Решение	Сделаем рисунок. На груз, подвешенный на пружине, действуют и сила упругости . Спроектировав это векторное равенство на координатную ось , получим: По закону Гука сила упругости: поэтому можно записать: откуда длина деформированной пружины: Переведем в систему СИ значение длины недеформированной пружины см м. Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим:
Ответ	Длина деформированной пружины составит 29 см.

ПРИМЕР 2

Задание	По горизонтальной поверхности передвигают тело массой 3 кг с помощью пружины жесткостью Н/м. На сколько удлинится пружина, если под ее действием при равноускоренном движении за 10 с скорость тела изменилась от 0 до 20 м/с? Трением пренебречь.
Решение	Сделаем рисунок. На тело действуют , сила реакции опоры и сила упругости пружины .

Если на тело воздействовать некоторой силой, то его размер и (или) форма изменяются. Это процесс называют деформацией тела. В телах, подвергающихся деформациям, возникают силы упругости, уравновешивающие внешние силы.

Виды деформации

Все деформации можно разделить на два вида: упругие деформации и пластические .

Определение

Упругой называют деформацию, если после снятия нагрузки прежние размеры тела и его форма полностью восстанавливаются.

Определение

Пластической считают деформацию, при которой появившиеся, вследствие деформации, изменения размера и формы тела, после снятия нагрузки восстанавливаются частично.

Характер деформации зависит от

• величины и времени воздействия внешней нагрузки;
• материала тела;
• состояния тела (температуры, способов обработки и т.д).

Резкой границы между упругой и пластической деформациями не существует. В большом числе случаев малые и кратковременные деформации можно считать упругими.

Формулировки закона Гука

Эмпирически получено, что чем большую деформацию необходимо получить, тем большую деформирующую силу следует приложить к телу. По величине деформации ($\Delta l$) можно судить о величине силы:

\[\Delta l=\frac{F}{k}\left(1\right),\]

выражение (1) означает, что абсолютная величина упругой деформации прямо пропорциональная приложенной силе. Данное утверждение является содержанием закона Гука.

При деформации удлинения (сжатия) тела выполняется равенство:

где $F$ - деформирующая сила; $l_0$ - начальная длина тела; $l$ - длина тела после деформации; $k$ - коэффициент упругости (коэффициент жесткости, жесткость), $ \left=\frac{Н}{м}$. Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров и формы.

Так как в деформированном теле возникают силы упругости ($F_u$), которые стремятся восстановить прежние размеры и форму телу, то часто закон Гука формулируют относительно сил упругости:

Закон Гука хорошо работает для деформаций, которые возникают в стержнях из стали, чугуна, и других твердых веществ, в пружинах. Справедлив закон Гука для деформаций растяжения и сжатия.

Закон Гука для малых деформаций

Сила упругости зависит от изменения расстояния между частями одного и того же тела. Следует помнить, что закон Гука выполняется только для малых деформаций. При больших деформациях сила упругости не пропорциональна измерению длины, при дальнейшем увеличении деформирующего воздействия тело способно разрушаться.

Если деформации тела малы, то силы упругости можно определять по ускорению, которое данные силы сообщают телам. Если тело неподвижно, то модуль силы упругости находят из равенства нулю векторной суммы сил, которые действуют на тело.

Закон Гука можно записывать не только относительно сил, но часто его формулируют для такой величины как напряжение ($\sigma =\frac{F}{S}$ - сила, которая действует на единичную площадь поперечного сечения тела), тогда для малых деформаций:

\[\sigma =Е\frac{\Delta l}{l}\ \left(4\right),\]

где $Е$ - модуль Юнга;$\ \frac{\Delta l}{l}$ - относительное удлинение тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. К стальному тросу длинной $l$, диаметром $d$ подвесили груз массой $m$. Каково напряжение в тросе ($\sigma $), а также абсолютное его удлинение ($\Delta l$)?

Решение. Сделаем рисунок.

Для того чтобы найти силу упругости, рассмотрим силы, которые действуют на тело, подвешенное к тросу, так как сила упругости будет равна по величине силе натяжения ($\overline{N}$). По второму закону Ньютона имеем:

В проекции на ось Y уравнения (1.1) получим:

По третьему закону Ньютона тело, действует на трос с силой равной по величине силе $\overline{N}$, трос, действует на тело с силой $\overline{F}$, равной$\overline{\ N,}$ но противоположного направления, так деформирующая трос сила ($\overline{F}$) равна:

\[\overline{F}=-\overline{N\ }\left(1.3\right).\]

Под воздействием деформирующей силы в тросе возникает сила упругости, которая равна по величине:

Напряжение в тросе ($\sigma $) найдем как:

\[\sigma =\frac{F_u}{S}=\frac{mg}{S}\left(1.5\right).\]

Площадь S - это площадь поперечного сечения троса:

\[\sigma =\frac{4mg\ }{{\pi d}^2}\left(1.7\right).\]

По закону Гука:

\[\sigma =Е\frac{\Delta l}{l}\left(1.8\right),\]

\[\frac{\Delta l}{l}=\frac{\sigma }{E}\to \Delta l=\frac{\sigma l}{E}\to \Delta l=\frac{4mgl\ }{{\pi d}^2E}.\]

Ответ. $\sigma =\frac{4mg\ }{{\pi d}^2};\ \Delta l=\frac{4mgl\ }{{\pi d}^2E}$

Пример 2

Задание. Какова абсолютная деформация первой пружины из двух последовательно соединенных пружин (рис.2), если коэффициенты жесткости пружин равны: $k_1\ и\ k_2$, а удлинение второй пружины составляет $\Delta x_2$?

Решение. Если система из последовательно соединенных пружин находится в состоянии равновесия, то силы натяжения данных пружин одинаковы:

По закону Гука:

Согласно (2.1) и (2.2) имеем:

Выразим из (2.3) удлинение первой пружины:

\[\Delta x_1=\frac{k_2\Delta x_2}{k_1}.\]

Ответ. $\Delta x_1=\frac{k_2\Delta x_2}{k_1}$.

Как известно, физика изучает все законы природы: начиная от простейших и заканчивая наиболее общими принципами естествознания. Даже в тех областях, где, казалось бы, физика не способна разобраться, все равно она играет первоочередную роль, и каждый малейший закон, каждый принцип — ничто не ускользает от нее.

Вконтакте

Именно физика является основой основ, именно эта лежит в истоках всех наук.

Физика изучает взаимодействие всех тел, как парадоксально маленьких, так и невероятно больших. Современная физика активно изучает не просто маленькие, а гипотетические тела, и даже это проливает свет на суть мироздания.

Физика поделена на разделы, это упрощает не только саму науку и понимание ее, но и методологию изучения. Механика занимается движением тел и взаимодействием движущихся тел, термодинамика — тепловыми процессами, электродинамика — электрическими.

Почему деформацию должна изучать механика

Говоря о сжатиях или растяжениях, следует задать себе вопрос: какой раздел физики должен изучать этот процесс? При сильных искажениях может выделяться тепло, быть может, этими процессами должна заниматься термодинамика? Иногда при сжатии жидкостей, она начинает кипеть, а при сжатии газов — образуются жидкости? Так что же, деформацию должна познавать гидродинамика? Или молекулярно-кинетическая теория?

Всё зависит от силы деформации, от ее степени. Если деформируемая среда (материал, который сжимают или растягивают) позволяет, а сжатие невелико, есть смысл рассматривать этот процесс как движение одних точек тела относительно других.

А раз вопрос касается сугубо , значит, заниматься этим будет механика.

Закон Гука и условие его выполнения

В 1660 году известный английский ученый Роберт Гук открыл явление, при помощи которого можно механически описать процесс деформаций.

Для того чтобы понимать при каких условиях выполняется закон Гука, ограничимся двумя параметрами:

• среда;
• сила.

Есть такие среды (например, газы, жидкости, особо вязкие жидкости, близкие к твердым состояниям или, наоборот, очень текучие жидкости) для которых описать процесс механически никак не получится. И наоборот, существуют такие среды, в которых при достаточно больших силах механика перестает «срабатывать».

Важно! На вопрос: «При каких условиях выполняется закон Гука?», можно дать определенный ответ: «При малых деформациях».

Закон Гука, определение : деформация, которая возникает в теле, прямо пропорциональна силе, которая вызывает эту деформацию.

Естественно, это определение подразумевает, что:

• сжатия или растяжения невелики;
• предмет упругий;
• он состоит из материала, при котором в результате сжатия или растяжения нет нелинейных процессов.

Закон Гука в математической форме

Формулировка Гука, которую мы привели выше, дает возможность записать его в следующем виде:

где — изменение длины тела вследствие сжатия или растяжения, F — сила, приложенная к телу и вызывающая деформацию (сила упругости), k — коэффициент упругости, измеряется в Н/м.

Следует помнить, что закон Гука справедлив только для малых растяжений.

Также отметим, что он при растяжении и сжатии имеет один и тот же вид. Учитывая, что сила — величина векторная и имеет направление, то в случае сжатия, более точной будет такая формула:

Но опять-таки, все зависит от того куда будет направлена ось, относительно которой вы проводите измерение .

В чем кардинальная разница между сжатием и растяжением? Ни в чем, если оно незначительно.

Степень применимости можно рассмотреть в таком виде:

Обратим внимание на график. Как видим, при небольших растяжениях (первая четверть координат) долгое время сила с координатой имеет линейную связь (красная прямая), но затем реальная зависимость (пунктир) становится нелинейной, и закон перестает выполняться. На практике это отражается таким сильным растяжением, что пружина перестает возвращаться в исходное положение, теряет свойства. При еще большем растяжении происходит излом, и разрушается структура материала.

При небольших сжатиях (третья четверть координат) долгое время сила с координатой имеет тоже линейную связь (красная прямая), но затем реальная зависимость (пунктир) становится нелинейной, и всё вновь перестает выполняться. На практике это отражается таким сильным сжатием, что начинает выделяться тепло и пружина теряет свойства. При еще большем сжатии происходит «слипание» витков пружины и она начинает деформироваться по вертикали, а затем и вовсе плавиться.

Как видим формула, выражающая закон, позволяет находить силу, зная изменение длины тела, либо, зная силу упругости, измерить изменение длины:

Также, в отдельных случаях можно находить коэффициент упругости. Для того, чтобы понять как это делается, рассмотрим пример задачи:

К пружине подсоединен динамометр. Ее растянули, приложив силу в 20 , из-за чего она стала иметь длину 1 метр. Затем ее отпустили, подождали пока прекратятся колебания, и она вернулась к своему нормальному состоянию. В нормальном состоянии ее длина составляла 87, 5 сантиметров. Давайте попробуем узнать, из какого материала сделана пружина.

Найдем численное значение деформации пружины:

Отсюда можем выразить значение коэффициента:

Посмотрев таблицу, можем обнаружить, что этот показатель соответствует пружинной стали.

Неприятности с коэффициентом упругости

Физика, как известно, наука очень точная, более того, она настолько точна, что создала целые прикладные науки, измеряющие погрешности. Будучи эталоном непоколебимой точности, она не может себе позволить быть нескладной.

Практика показывает, что рассмотренная нами линейная зависимость, является ничем иным как законом Гука для тонкого и растяжимого стержня. Лишь в качестве исключения можно применять его для пружин, но даже это является нежелательным.

Оказывается, что коэффициент k — переменная величина, которая зависит не только от того из какого материала тело, но и от диаметра и его линейных размеров.

По этой причине, наши умозаключения требуют уточнений и развития, ведь иначе, формулу:

нельзя назвать ничем иным как зависимостью между тремя переменными.

Модуль Юнга

Давайте попробуем разобраться с коэффициентом упругости. Этот параметр, как мы выяснили, зависит от трех величин :

• материала (что нас вполне устраивает);
• длины L (что указывает на его зависимость от);
• площади S.

Важно! Таким образом, если нам удастся каким-то образом «отделить» из коэффициента длину L и площадь S, то мы получим коэффициент, полностью зависящий от материала.

Что нам известно:

• чем больше площадь сечения тела, тем больше коэффициент k, причем зависимость линейная;
• чем больше длина тела, тем меньше коэффициент k, причем зависимость обратно пропорциональная.

Значит, мы можем, коэффициент упругости записать таким образом:

причем Е — новый коэффициент, который теперь точно зависит исключительно от типа материала.

Введем понятие “относительное удлинение”:

. 

Вывод

Сформулируем закон Гука при растяжении и сжатии : при малых сжатиях нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.

Коэффициент Е называется модулем Юнга и зависит исключительно от материала.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) Что называется деформацией? Какие виды деформаций вы знаете?

Деформация - изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещением. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Обычно деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое напряжение.

Виды деформаций:

Растяжение-сжатие - в сопротивлении материалов - вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, если нагрузка к нему прикладывается по его продольной оси (равнодействующая сил, воздействующих на него, нормальна поперечному сечению стержня и проходит через его центр масс).

Растяжение вызывает удлинение стержня (также возможен разрыв и остаточная деформация), сжатие вызывает укорочение стержня (возможна потеря устойчивости и возникновение продольного изгиба).

Изгиб - вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Кручение - один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

Виды деформации твердого тела. Деформация упругая и пластическая.

Деформация твёрдого тела может явиться следствием фазовых превращений, связанных с изменением объёма, теплового расширения, намагничивания (магнитострикционный эффект), появления электрического заряда (пьезоэлектрический эффект) или же результатом действия внешних сил.

Деформация называется упругой, если она исчезает после удаления вызвавшей её нагрузки, и пластической, если после снятия нагрузки она не исчезает (во всяком случае полностью). Все реальные твёрдые тела при деформации в большей или меньшей мере обладают пластическими свойствами. При некоторых условиях пластическими свойствами тел можно пренебречь, как это и делается в теории упругости. Твёрдое тело с достаточной точностью можно считать упругим, то есть не обнаруживающим заметных пластических деформаций, пока нагрузка не превысит некоторого предела.

Природа пластической деформации может быть различной в зависимости от температуры, продолжительности действия нагрузки или скорости деформации. При неизменной приложенной к телу нагрузке деформация изменяется со временем; это явление называется ползучестью. С возрастанием температуры скорость ползучести увеличивается. Частными случаями ползучести являются релаксация и последействие упругое. Одной из теорий, объясняющих механизм пластической деформации, является теория дислокаций в кристаллах.

Вывод закона Гука для различных видов деформации.

Чистый сдвиг: Чистое кручение:

4) Что называется модулем сдвига и модулем кручения, в чем их физический смысл?

Модуль сдвига или модуль жесткости (G или μ) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения). Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.

Модуль сдвига: Модуль кручения:

5) Каково математическое выражение закона Гука? В каких единицах измеряются модуль упругости и напряжение?

Измеряется в Па , - закон Гука

Министерство образования АР Крым

Таврический Национальный Университет им. Вернадского

Исследование физического закона

ЗАКОН ГУКА

Выполнил: студент 1 курса

физического факультета гр. Ф-111

Потапов Евгений

Симферополь-2010

План:

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.

Формулировка закона

Математическое выражение закона.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.

Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике.

Литература.

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция - изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона:

Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Формулировка закона - сила упругости прямо пропорциональна деформации.

Математическое выражение закона:

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

т о закон Гука запишется так

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где σ ij - тензор напряжений, -тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C ijkl содержит только два независимых коэффициента.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

История об этом умалчивает..

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

Литература.

1. Интернет-ресурсы: - сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

4. лекции по механике Рябушкин Д.С.

Коэффициент упругости

Коэффицие́нт упру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) - коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k , иногда D или c . Имеет размерность Н/м или кг/с2 (в СИ), дин/см или г/с2 (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Определение и свойства

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины: k = F e / Δ l . {\displaystyle k=F_{\mathrm {e} }/\Delta l.} Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S {\displaystyle S} и длины L {\displaystyle L}), записав коэффициент упругости как k = E ⋅ S / L . {\displaystyle k=E\cdot S/L.} Величина E {\displaystyle E} называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня.

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

Параллельное соединение пружин. Последовательное соединение пружин.

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости - пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном - уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n},} жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . + k n . {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+k_{3}+...+k_{n}.}

Доказательство

В параллельном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.} Из III закона Ньютона, F = F 1 + F 2 + . . . + F n . {\displaystyle F=F_{1}+F_{2}+...+F_{n}.} (К ним прикладывается сила F {\displaystyle F} . При этом к пружине 1 прикладывается сила F 1 , {\displaystyle F_{1},} к пружине 2 сила F 2 , {\displaystyle F_{2},} … , к пружине n {\displaystyle n} сила F n . {\displaystyle F_{n}.})

Теперь из закона Гука (F = − k x {\displaystyle F=-kx} , где x - удлинение) выведем: F = k x ; F 1 = k 1 x ; F 2 = k 2 x ; . . . ; F n = k n x . {\displaystyle F=kx;F_{1}=k_{1}x;F_{2}=k_{2}x;...;F_{n}=k_{n}x.} Подставим эти выражения в равенство (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; {\displaystyle kx=k_{1}x+k_{2}x+...+k_{n}x;} сократив на x , {\displaystyle x,} получим: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+...+k_{n},} что и требовалось доказать.

Последовательное соединение

При последовательном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n},} общая жёсткость определяется из уравнения: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . . . + 1 / k n) . {\displaystyle 1/k=(1/k_{1}+1/k_{2}+1/k_{3}+...+1/k_{n}).}

Доказательство

В последовательном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.} Из закона Гука (F = − k l {\displaystyle F=-kl} , где l - удлинение) следует, что F = k ⋅ l . {\displaystyle F=k\cdot l.} Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения l 1 + l 2 + . . . + l n = l . {\displaystyle l_{1}+l_{2}+...+l_{n}=l.}

На каждую пружину действует одна и та же сила F . {\displaystyle F.} Согласно закону Гука, F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . {\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=...=l_{n}\cdot k_{n}.} Из предыдущих выражений выведем: l = F / k , l 1 = F / k 1 , l 2 = F / k 2 , . . . , l n = F / k n . {\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad ...,\quad l_{n}=F/k_{n}.} Подставив эти выражения в (2) и разделив на F , {\displaystyle F,} получаем 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , {\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+...+1/k_{n},} что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Стержень постоянного сечения

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

K = E S L 0 , {\displaystyle k={\frac {E\,S}{L_{0}}},} Е - модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень; S - площадь поперечного сечения; L 0 - длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина

Витая цилиндрическая пружина сжатия.

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

K = G ⋅ d D 4 8 ⋅ d F 3 ⋅ n , {\displaystyle k={\frac {G\cdot d_{\mathrm {D} }^{4}}{8\cdot d_{\mathrm {F} }^{3}\cdot n}},} d - диаметр проволоки; d F - диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки); n - число витков; G - модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для пружинной стали G ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).

Источники и примечания

1. Упругая деформация (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
2. Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. - Springer, 2004. - P. 181 ..
3. Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. - Oldenbourg, 2004. - P. 11 ..
4. Динамика, Сила упругости (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
5. Механические свойства тел (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.

10.Закон Гука при растяжении-сжатии. Модуль упругости (модуль Юнга).

При осевом растяжении или сжатии до предела пропорциональности σ pr справедлив закон Гука, т.е. закон о прямо пропорциональной зависимости между нормальными напряжениями  и продольными относительными деформациями :

(3.10)

или

(3.11)

Здесь Е – коэффициент пропорциональности в законе Гука имеет размерность напряжения и называется модулем упругости первого рода , характеризующим упругие свойства материала, или модулем Юнга .

Относительной продольной деформацией называется отношение абсолютной продольной деформации участка

стержня к длине этого участка до деформации:

(3.12)

Относительная поперечная деформация будет равна: " = = b/b, где b = b 1 – b.

Отношение относительной поперечной деформации " к относительной продольной деформации , взятое по модулю, есть для каждого материала величина постоянная и называется коэффициентом Пуассона:

Определение абсолютной деформации участка бруса

В формулу (3.11) вместо и подставим выражения (3.1) и (3.12):

Отсюда получим формулу для определения абсолютного удлинения (или укорочения) участка стержня длиной :

(3.13)

В формуле (3.13) произведение ЕА называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии, которая измеряется в кН, или в МН.

По этой формуле определяется абсолютная деформация , если на участке продольная сила постоянна. В случае, когда на участке продольная сила переменна, она определяется по формуле:

(3.14)

где N(х) – функция продольной силы по длине участка.

11.Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона

12.Определение перемещений при растяжении-сжатии. Закон Гука для участка бруса. Определение перемещений сечений бруса

Определим горизонтальное перемещение точки а оси бруса (рис. 3.5) – u a: оно равно абсолютной деформации части бруса а d , заключенной между заделкой и сечением, проведенным через точку, т.е.

В свою очередь удлинение участка а d состоит из удлинений отдельных грузовых участков 1, 2 и 3:

Продольные силы на рассматриваемых участках:

Следовательно,

Тогда

Аналогично можно определить перемещение любого сечения бруса и сформулировать следующее правило:

перемещение любого сечения j стержня при растяжении–сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций n грузовых участков, заключенных между рассматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.

(3.16)

Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:

, (3.17)

где

– наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры перемещений;u – допускаемое значение перемещения сечения для данной конструкции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.

13.Определение механических характеристик материалов. Испытание на растяжение. Испытание на сжатие.

Для количественной оценки основных свойств материалов, как

Правило, экспериментально определяют диаграмму рас­тяжения в координатах  и  (рис. 2.9), На диаграмме от­мечены характерные точки. Дадим их определение.

Наибольшее напряже­ние, до которого материал следует закону Гука, назы­вается пределом про­порциональности  П . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой  = f () к оси  определяется величиной Е .

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения  У , называемого пределом упругости . Под пределом упругости  У понимается такое наибольшее напряжение, до которого матери­ал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгруз­ки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина  Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии  Т соответственно заменяется на  ТР и  ТС . При напряже­ниях больших  Т в теле конструкции развиваются пластические деформации  П , которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит на­звание предела прочности, или временного сопротивления, и обоз­начается через,  ВР (при сжатии  ВС ).

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные ап­проксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упру­го  пластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля . По этой диаграмме на­пряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука  = Е , а далее при росте ,  =  Т (рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации но­сит название пластичности . На рис. 2.9 была представлена ха­рактерная диаграмма для пластических материалов.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости , т.е. способность материала разрушаться без образова­ния заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким . К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.

1. Что называется деформацией тела? Как формулируется закон Гука?

Вахит шавалиев

Деформациями называются любые изменения формы, размеров и объема тела. Деформация определяет конечный результат движения частей тела друг относительно друга.
Упругими деформациями называются деформации, полностью исчезающие после устранения внешних сил.
Пластическими деформациями называются деформации, полностью или частично сохраняющиеся после прекращения действии внешних сил.
Силы упругости – это силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.
Закон Гука
Небольшие и кратковременные деформации с достаточной степенью точности могут рассматриваться как упругие. Для таких деформаций справедлив закон Гука:
Сила упругости, возникающая при деформации тела прямо пропорциональна абсолютному удлинению тела и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела:
\
где F_x- проекция силы на ось x, k-жесткость тела, зависящая от размеров тела и материала, из которого оно изготовлено, единица жесткости в системе СИ Н/м.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/

Варя гусева

Деформация - это изменение формы или объёма тела. Виды деформации - растяжение или сжатия (примеры: растянуть резинку или сжать, аккордеон) , изгиб (прогнулась доска под человеком, изогнули лист бумаги) , кручение (работа отвёрткой, выжимание белья руками) , сдвиг (при торможении автомобиля шины деформируются за счёт силы трения) .
Закон Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
или
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.
Формула закона Гука: Fупр=kx

Закон Гука. Можно выразить формулой F= -kх или F= kх?

⚓ Выдр ☸

Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение (сжатие) , а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью) . Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как
Величина E называется модулем Юнга и зависит только от свойств тела.

Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
то закон Гука запишется как
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.
[править]
Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонентов) . Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга Cijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора Cijkl, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
Для изотропного материала тензор Cijkl содержит только два независимых коэффициента.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.
[править]

короче, можно и так, и так, смотря что вы хотите указать в итоге: просто модуль силы Гука или еще и направление этой силы. Строго говоря, конечно, -kx, т. к. сила Гука направлена против положительного приращения координаты конца пружины.