Практически создать два когерентных источника света сложно (это достигается, в частности, использованием оптических квантовых генераторов - лазеров). Однако существует относительно простой способ осуществить интерференцию. Речь идет о расщеплении одного светового луча, а точнее - каждого цуга световой волны, на два с помощью отражений от зеркал, и затем сведении их в одной точке. При этом расщепленный цуг интерферирует «сам с собой» (являясь сам себе когерентным)! На рисунке 7.6 представлена принципиальная схема такого эксперимента. В точке О на границе двух сред с показателями преломления «1 и п 2 волновой цуг расщепляется на две части. С помощью двух зеркал Р и Р 2 оба луча направляются в точку М, в которой они интерферируют. Скорости распространения двух лучей в двух разных средах равны Oi = с/п и и 2 = с/п 2 . В точке М две части цуга сойдутся со сдвигом
Рис. 7.6. Прохождение частей цуга волн в двух средах с п х и п 2 . Р и Р 2 - зеркала
по времени, равным где =
= ОР х М и S 2 = ОР 2 М - суммарные геометрические пути световых лучей от точки О до точки М в разных средах. Колебания векторов напряженности электрического поля в точке М будут Е т cos со (Г - Si/v x) и Е 02 cos со(/ - S 2 /v 2) соответственно. Квадрат амплитуды результирующего колебания в точке М будет
Так как со = 2п/Т(Т - период колебаний), а и = с/п, то выражение в квадратных скобках равно Дер = (2n/cT)(S 2 n 2 - 5, л,) = (2n/ 0)(S 2 n 2 - - 5i«i), где / Ч) - длина световой волны в вакууме. Произведение длины пути S на показатель п преломления той среды, в которой распространяется свет (Sn), называют оптической длиной пути, а разность оптических длин путей обозначают символом Д и называют оптической разностью хода волн. Имея в виду, что сТ=Х 0 , можно записать
Это выражение связывает между собой разность фаз Дер колебаний и оптическую разность хода Д лучей двух частей «расщепленного цуга». Именно Дер определяет интерференционные эффекты. Действительно, наибольшей интенсивности соответствует cos Дер = 1, т.е. Дер = (2лДо)Д = = 2 лт. Отсюда вытекает условие усиления света при интерференции
где т - любое целое (т = 0, 1,2,...) число.
Наибольшему ослаблению света соответствует cos Аф = -1, т.е. Дф = (2т + 1)7г. Тогда (2т + 1)л= (2лДо)Д, или
также при целочисленныхт = 0, 1,2,....
Легко видеть, что описанное ранее сложение волн с четырехкратным усилением интенсивности соответствует смещению двух «частей» расщепленного цуга световых волн друг относительно друга на целое число длин волн (или, соответственно, изменению разности фаз Дф на четное число л), тогда как полное взаимное погашение волн при равенстве их интенсивностей («свет + свет» дает темноту!) наблюдается при смещении двух частей цуга на половину длины волны (на нечетное число полуволн, т.е., соответственно, при Дф = (2т + 1)л и любом целом т. Сделанное заключение определяет интерференционные эффекты во всех возможных случаях.
Рис. 7.7.
Рассмотрим в качестве примера интерференцию света при отражении от тонкой пленки (или от тонкой плоскопараллельной прозрачной пластины) толщиной d (рис. 7.7). Направление падающего на пленку луча отмечено на рисунке стрелкой. Расщепление цугов происходит в этом случае при частичном отражении каждой части цуга на верхней (точка А) и нижней (точка В) поверхности пленки. Будем считать, что световой луч идет из воздуха и уходит после точки В также в воздух (среду с показателем преломления, равным единице), а материал пленки имеет показатель преломления п > 1. Каждый цуг падающего под углом а луча в точке А расщепляется на две части: одна из них отражается (луч 1 на схеме), другая - преломляется (лучАВ). В точке В каждый цуг преломленного луча расщепляется вторично: он частично отражается от нижней поверхности пленки, а частично преломляется (пунктир) и выходит за ее пределы. В точке С цуг снова расщепляется на два, но нас будет интересовать только та его часть (луч 2), которая выходит из пленки под тем же углом а, что и луч 1. Отраженные от верхней поверхности пленки лучи 1 и 2 собираются линзой в одну точку (на рисунке не показана) на экране или в хрусталике глаза наблюдателя (та же линза). Будучи частями одного и того же первичного цуга, лучи 1 и 2 являются когерентными и могут участвовать в интерференции, причем усиление или ослабление интенсивности света зависит от их оптической разности хода (или разности фаз колебаний).
Разность фаз между колебаниями в волнах 1 и 2 создается на длинах пути AD (в воздухе) и АВС (в пленке). Оптическая разность хода составляет при этом
Имея в виду, что
sin а = п sin р (закон преломления), можно получить Д = (2dn/ cos Р)(1 - sin 2 p) или Д = 2dn cos р. Вследствие того, что условия задачи задаются обычно не углом преломления р, а углом падения а, величину Д удобнее представить в виде
При определении условий максимума или минимума интенсивности света следовало бы приравнять величину Д целому или полуцелому числу длин волн (условия (7.6) и (7.7)). Однако помимо оценки оптической разности хода Д, следует иметь в виду также возможность «потери» (или, что то же самое, «приобретения») половины длины волны лучом при отражении от оптически более плотной среды. Реализация этой возможности зависит от конкретной задачи, точнее от того, какая среда окружает пленку. Если пленка с п > 1 окружена воздухом с п = 1, потеря половины длины волны происходит только в точке А (см. рис. 7.7). А если пленка лежит на поверхности тела (другая среда) с показателем преломления п большим, чем для материала пленки, потеря половины длины волны происходит в двух точках А к В; но, так как при этом «набегает» целая длина волны, этот эффект можно не учитывать - фазовые условия интерферирующих волн сохраняются. Видно, что задача требует индивидуального подхода. Основной принцип ее решения заключается в том, чтобы сначала найти оптическую разность хода интерферирующих лучей, рассмотрев возможную потерю половины длины волны в разных точках отражения (при необходимости добавить или вычесть ее в Д), и приравнять целому числу длин волн при определении условий усиления интенсивности света или к полуцелому числу длин волн (нечетному числу полуволн) - при нахождении минимума освещенности (ослабление при интерференции). В случае находящейся в воздухе пленки, изображенной на рис. 7.7, условие интерференционного максимума имеет вид
Вследствие того, что показатель преломления зависит от длины волны (см. подраздел 7.5), условия усиления и ослабления интенсивности для света
Рис. 7.8.
разных длин волн будут разные. Поэтому пленка будет разлагать падающий белый свет в спектр, т.е. в отраженном белом свете тонкая пленка видится окрашенной в разные цвета. С примерами этого каждый из нас встречался неоднократно, наблюдая разноцветные мыльные пузыри и пятна масла на поверхности воды.
Рассмотрим теперь пример тонкого воздушного клина (рис. 7.8). Пластина с хорошо обработанной поверхностью лежит на другой такой же пластине. В определенном месте между двумя пластинами находится предмет (например, тонкая проволочка) так, что образуется воздушный клин с углом 5. Рассмотрим луч света, падающий нормально на пластины. Будем считать, что расходимость цугов световых волн в точках отражения и преломления при отражении от поверхностей воздушного клина пренебрежимо мала, поэтому интерферирующие лучи собираются в одной точке наблюдения (их так же, как и в предыдущем примере, можно собрать с помощью вспомогательной линзы). Допустим, что в некоторой точке А по длине пластин оптическая разность хода Д равна целому числу т длин волн плюс Хо/2 (за счет отражения от оптически более плотной среды нижней пластины). Такая точка всегда найдется. При этом окажется, что в точке В на расстоянии АВ = d, отсчитываемом вдоль пластин и равном )^о /(2 tg 8) (множитель 2 возникает за счет того, что луч проходит пространство между пластинами дважды, в одну и другую сторону), интерференционная картина повторится для т ± 1 (фазовые условия при сложении волн повторятся). Измеряя расстояние d между этими двумя точками, легко связать длину волны с углом б
Рис. 7.9.
Если посмотреть на эту картину сверху, то можно увидеть геометрическое место точек, в которых при определенных целых числах т образовались светлые (или темные) полосы, горизонтальные и параллельные основанию клина (т.е. возникли условия интерференционных максимумов или минимумов). Вдоль этой полосы соблюдаются условия (7.6) или (7.7), а также (7.10), т.е. вдоль нее воздушный зазор имеет одну и ту же толщину. Такие полосы носят название полос равной толщины. При условии, что пластины изготовлены тщательно, полосы равной толщины представляются параллельными прямыми. Если в пластинах имеются изъяны, характер полос заметно меняется, положение и форма изъянов проступают четко. На этом интерференционном эффекте, в частности, основан способ контроля качества обработки поверхности.
На рисунке 7.9 показаны полосы равной толщины: в середине воздушного клина создан узкий поток теплого воздуха, плотность которого и, соответственно, показатель преломления отличаются от значений для холодного воздуха. Видно искривление линий постоянной толщины в области потока.
Если выпуклая линза лежит на плоской прозрачной пластине, то при определенном соотношении радиуса R кривизны линзы и длины волны X света можно наблюдать так называемые кольца Ньютона.
Они представляют собой те же полосы равной толщины в форме концентрических окружностей.
Рассмотрим такой интерференционный опыт, приводящий к образованию колец Ньютона сначала в отраженном - точка М наблюдения сверху (рис. 7.10, а), а затем в проходящем свете (рис. 7.10, б) - точка М расположена внизу под линзой Л) и прозрачной пластиной П. Определим радиусы г т светлых и темных колец Ньютона (наблюдаемая картина К на рисунках) в зависимости от длины /. волны света и радиуса R кривизны используемой в опыте линзы.
Схема опыта представляет оптическую систему, состоящую из плоской с одной стороны и выпуклой с другой линзы Л! малой кривизны, лежащей на стеклянной пластине П, произвольной толщины.
На линзу Л (падает плоский волновой фронт света от монохроматического источника, (длина к волны света) который в результате интерференции отражений, возникающих в воздушном зазоре между линзой и пластиной образует изображение К, которое можно наблюдать сверху от линзы - точка М (см. рис. 7.10, а), либо снизу от нее (см. рис. 7.10, б). Для удобства наблюдения изображения в расходящихся из-за не параллельности отражающих плоскостей лучах используется вспомогательная собирающая линза Л 2 (на небольших расстояниях наблюдения ее наличие не обязательно). Можно вести наблюдение непосредственно или регистрировать изображение с помощью оптически чувствительного детектора (например, фотоэлемента).
Рассмотрим ход двух близкорасположенных лучей 1 и 2 (рис. 7.10, а). Эти лучи до попадания в точку наблюдения М (глаз наблюдателя на рисунке) испытывают многократные отражения на участке распространения и преломления «вниз» на границах раздела воздух-линза Л, линза-воздушный зазор толщины d = АВ, и на участке «вверх» соответственно. Но в образовании интересующей нас интерференционной картины существенно их поведение в области воздушного промежутка d = АВ. Именно здесь образуется оптическая разность хода Д лучей 1 и 2, благодаря которой создаются условия наблюдения интерференции в опыте с кольцами Ньютона. Если отражение (поворот) луча 1 происходит в точке Л, а отражение (поворот) луча 2 - в точке В (при отражении луча 2 в той же точке, что и луча 1, т.е. в точке А, разности хода Д не будет, и луч 2 будет просто «эквивалентен» лучу 1), то интересующая нас оптическая разность хода
т.е. удвоенной толщине воздушного зазора (при малой кривизне линзы и близкорасположенных лучах 1 и 2 АВ + ВА » 2d) плюс-минус половина длины волны (/./2), которая теряется (или приобретается) при отражении света от оптически более плотной (показатель преломления стекла л ст = п 2 = 1,5 больше показателя преломления воздуха п тт = П= 1) среды в точке А (изменение фазы колебаний на ±л), где луч 1 отражается от стеклянной пластины П и возвращается в воздушный зазор. Потери (приобретения) полуволны лучом 2, распространяющимся в стекле при отражении от границы раздела в точке В, не происходит (граница раздела стекло-воздух и отражение от воздуха - оптически менее плотной среды - здесь п ст = П > «2 = /г возд). На участке «вверх» от точки В до точки наблюдения М у отраженных лучей 1 "и 2"оптические пути одинаковы (оптической разности хода нет).
Рис. 7.10.
Из рассмотрения схемы опыта в предположении малости величины воздушного зазора d (d « R и r m) между линзой Л! и пластиной П, т.е., полагая d 2 ~ 0, можно записать:
отсюда следует
При этом для оптической разности хода Д рассматриваемых лучей имеем
Оставляя для знак «+» в последнем выражении («-» даст в результате номера т тех же колец, отличающиеся на единицу) и принимая во внимание условия интерференционного максимума Д = тХ и минимума Д = (2ти+1) л/2, где /и = О, 1, 2, 3,целые числа, получаем:
Для максимума (светлые кольца)
Для минимума (темные кольца)
Полученные результаты можно объединить одним условием
определив т - как четные для максимума (светлые кольца) и нечетные для минимума (темные кольца).
Из полученного результата следует, что в центре интерференционной картины, т.е. при т = 0, наблюдаемой в отраженном свете, будет темное (г ттсш1 = 0) кольцо (точнее пятно).
Аналогичное рассмотрение можно провести и для опыта в проходящем свете (рис. 7.10, б - точка М наблюдения внизу). Из рассмотрения увеличенного фрагмента рисунка видно, что отличие от предыдущего опыта в проходящем свете воздушный зазор между Л| и пластиной П проходится лучом 1 трижды (вниз, вверх и снова вниз) и дважды происходит его отражение от оптически более плотной среды (стекла) - в точках А и В. При этом луч 2 проходит воздушный промежуток между линзой и пластиной однократно (отражения и преломления этого луча в других точках на границах радела на наблюдаемую картину влияния не оказывают и во внимание не принимаются) и отражений от оптически более плотной среды у него не происходит. Поэтому оптическая разность хода лучей 1 и 2 в рассматриваемом случае будет
или просто
так как изменение оптической разности хода на длину волны X в ту или иную сторону (или на целое число длин волн) не приводит к существенному для интерференции изменению фазовых соотношений в интерферирующих волнах (лучах) - разность фаз между лучами 1 и 2 в этом случае сохраняется. Условия максимума и минимума (Д = тХ и Д = (2т + 1) Х/2 соответственно), а также
геометрическое условие для радиусов г т соответствующих колец
для опыта в проходящем свете остаются прежними, поэтому получаем:
Для максимумов
Для минимумов
при т = 0,1,2,3,... - т. е. условия, противоположные рассмотренным для опыта в отраженном свете. Снова переопределяя т как четные и нечетные, можно написать обобщенную формулу и для этого случая в виде
где уже для нечетных т получаем максимум (светлое кольцо), а для четных - минимум (темное кольцо). Таким образом, в проходящем свете по сравнению с отраженным светлые и темные кольца меняются местами гт г т (в центре, при т = 0 получается светлое пятно г" тсв = 0).
Рис. 7.11.
Явления интерференции находят широкое применение в технике и промышленности. Они также используются в интерферометрии при определении показателей преломления веществ во всех трех его состояниях - твердом, жидком и газообразном. Имеется большое число разновидностей интерферометров, различающихся своим назначением (один из них - интерферометр Майкельсона, ранее рассмотрен нами при обсуждении гипотезы мирового эфира (см. рис. 1.39)).
Проиллюстрируем определение показателя преломления вещества на примере интерферометра Жамёна, предназначенного для измерения показателей преломления жидкостей и газов (рис. 7.11). Две одинаковые плоскопараллельные и полупрозрачные зеркальные пластины А и В установлены параллельно друг другу. Луч света из источника S падает на поверхность пластины А под углом а, близким к 45°. В результате отражения от внешней и внутренней поверхностей пластины А исходят два параллельных луча 1 и 2. Пройдя сквозь две одинаковые стеклянные кюветы Ki и К2, эти лучи попадают на пластину В, снова отражаются от обеих ее поверхностей и собираются с помощью линзы L в точке наблюдения Р. В этой точке они интерферируют, и интерференционные полосы рассматриваются с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одна из кювет (например К|) заполняется веществом с известным абсолютным показателем преломления П, а вторая - веществом, показатель преломления «2 которого измеряется, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами будет 6 = (п - п 2)1, где / - длина кювет на пути света. При этом наблюдается смещение интерференционных полос относительно их положения при пустых кюветах. Смещение S пропорционально разности («! - « 2), что позволяет определить один из показателей преломления, зная другой. При относительно невысоких требованиях к точности измерения положения полос, точность в определении показателя преломления может достигать 10~*-10 -7 (т.е. 10 -4 - 10 _5 %). Эта точность обеспечивает наблюдение малых примесей в газах и жидкостях, измерение зависимости показателей преломления от температуры, давления, влажности и др.
Существует много других конструкций интерферометров, предназначенных для различных физических и технических измерений. Как уже упоминалось, с помощью специально сконструированного интерферометра А.А. Майкельсоном и Е.В. Морли в 1881 г. исследована зависимость скорости света от скорости движения испускающего его источника. Установленный в этом опыте факт постоянства скорости света был положен А. Эйнштейном в основу специальной теории относительности.
- Д измеряется в единицах длины (в СИ это метры), а Д
- Вообще говоря, требование монохроматичности не является обязательным, но в случае полихроматического (белого) света источника наблюдаемая картина будет представлять собой наложение колец разной цветности и затруднять выделение интересующегонас эффекта.
В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах), возникающее в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки. Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d под углом i (рис. 249) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке О луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, а частично преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С , частично преломится в воздух ( = 1), а частично отразится и пойдет к точке В .
Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную картину, которая определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.
Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими лучами от точки О до плоскости АВ ,
где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ± /2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Если n > n О и вышеупомянутый член будет иметь знак минус, если же n < n о, то потеря полуволны произойдет в точке С и /2 будет иметь знак плюс. Согласно рис. 249, OC = CB = d /cos r , ОА = OB sin i = 2d tg r sin i . Учитывая для данного случая закон преломления sin i = n sin r , получим
С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим
(174.1)
Для случая, изображенного на рис. 249 (n > n о),
В точке Р будет максимум, если (см.(172.2))
и минимум, если (см. (172.3))
Доказывается, что интерференция наблюдается только, если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.
1. Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластинки) . Из выражений (174.2) и (174.3) следует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами , d , n и i. Для данных , d , n каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса. Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.
Лучи 1 " и 1 ", отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис.250), параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельна. Следовательно, интерферирующие лучи 1 " и 1 " «пересекаются» только в бесконечности, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1 " и 1 " соберутся в фокусе F линзы (на рис. 250 ее оптическая ось параллельна лучам 1 " и 1 "), в эту же точку придут и другие лучи (на рис.250 - луч 2), параллельные лучу 1 , в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3 , наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, то полосы равного наклона будут иметь вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.
2. Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины). Пусть на клин (угол между боковыми гранями мал) падает плоская волна, направление распространения которой совпадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 251).
Из всех лучей, на которые разделяется падающий луч 1 , рассмотрим лучи 1 " и 1 ", отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина.. При определенном взаимном положении клина и линзы лучи 1 " и 1 " пересекутся в некоторой точке А, являющейся изображением точки В . Так как лучи 1 " и 1 " когерентны, они будут интерферировать. Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол достаточно мал, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами 1 " и 1 " может быть с достаточной степенью точности вычислена по формуле (174.1), где в качестве d берется толщина клина в месте падения на него луча. Лучи 2 " и 2 ", образовавшиеся за счет деления луча 2 , падающего в другую точку клина, собираются линзой в точке А ". Оптическая разность хода уже определяется толщиной d ". Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает за счет отражения от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полосами равной толщины .
Так как верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, то лучи 1 " и 1 " (2 " и 2 ") пересекаются вблизи пластинки, в изображенном на рис. 251 случае - над ней (при другой конфигурации клина они могут пересекаться и под пластинкой). Таким образом, полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности клина. Если свет падает на пластинку нормально, то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина.
3. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона, являющиеся классическим примером полос равной толщины, наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис.252). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при нормальном падении света имеющие вид концентрических окружностей.
В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отражении), согласно (174.1), при условии, что показатель преломления воздуха n = 1, a i = 0,R .
Как для полос равного наклона, так и для полос равной толщины положение максимумов зависит от длины волны (см. (174.2)). Поэтому система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску. Все рассуждения были проведены для отраженного света. Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличатся на /2, т. е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.
Просветление оптики . Явление интерференции применяется для улучшения качества оптических приборов и получения высокоотражающих покрытий. Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы сопровождается отражением 4 % падающего потока (при показателе преломления стекла 1,5). Так как современные объективы состоят из большого количества линз, то число отражений в них велико, а поэтому велики и потери светового потока. Для устранения этого и других недостатков осуществляют так называемое просветление оптики. Для этого на свободные поверхности линз наносят тонкие пленки с показателем преломления, меньшим, чем у материала линзы. При отражении света от границ раздела воздух-пленка и пленка-стекло возникает интерференция отраженных лучей. Толщину пленки d и показатели преломления стекла и пленки n подбираются так, чтобы отраженные волны гасили друг друга. Для этого их амплитуды должны быть равны, а оптическая разность хода равна. Расчет показывает, что амплитуды отраженных лучей равны, если. Так как, то потеря полуволны происходит на обеих поверхностях; следовательно, условие минимума (свет падает нормально)
Обычно принимают, тогда
Так как добиться одновременного гашения для всех длин волн невозможно (показатель преломления зависит от длины волны), то это делается для цвета с (к нему наиболее чувствителен глаз). Поэтому объективы с просветленной оптикой имеют синевато-красный оттенок.
Интерференционные светофильтры. Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной системе чередующихся пленок с разными показателями преломления (но одинаковой оптической толщиной, равной). При прохождении света возникает большое число отраженных интерферирующих лучей, которые при оптической толщине пленок будут взаимно усиливаться, т.е. коэффициент отражения возрастает. Подобные отражатели применяются в лазерной технике, а также используются для создания интерференционных светофильтров.
Интерферометры. Явление интерференции применяется в очень точных измерительных приборах - интерферометрах. На рис. изображена схема интерферометра Майкельсона. Пучок света от источника S падает на пластинку, покрытую тонким слоем серебра (благодаря чему коэффициент отражения близок к 0,5). Дальнейший ход интерферирующих лучей ясен из рисунка. На пути луча 1 ставится точно такая, как, но не посеребренная пластинка. Она уравнивает пути лучей 1 и 2 в стекле. Интерференционная картина наблюдается с помощью зрительной трубы.
Интерференционная картина соответствует интерференции в воздушном слое, образованным зеркалом и мнимым изображением зеркала в полупрозрачной пластинке. Характер интерференционной картины зависит от положения зеркал и от расходимости пучка света, падающего на прибор. Если пучок параллелен, а плоскости и образуют клин, то наблюдается интерференционные полосы равной толщины, расположенные параллельно ребру воздушного клина. При расходящемся пучке света и параллельном расположении плоскостей и получаются полосы равного наклона, имеющие вид концентрических колец.
Интерферометр Фабри-Перо состоит из двух параллельных стеклянных или кварцевых пластинок, разделенных воздушным промежутком (рис.). Интенсивности вышедших из прибора лучей относятся как
Соответственно отношения амплитуд будут следующими
Фаза колебания с увеличением номера луча изменяется на одну и ту же величину, определяющейся оптической разностью хода соседних лучей.
При пропускании сквозь прибор расходящегося пучка света в фокальной плоскости линзы возникают полосы равного наклона, имеющие вид концентрических колец.
Применение интерферометров весьма многообразно. Они применяются для точного (порядка 10 7 м) измерения длин, измерения углов, определения качества оптических деталей, исследования быстропротекающих процессов и др.
Интерференцию света по методу деления амплитуды во многих отношениях наблюдать проще, чем в опытах с делением волнового фронта . Один из способов, использующих такой метод, – опыт Поля .
В опыте Поля свет от источника S отражается двумя поверхностями тонкой прозрачной плоскопараллельной пластинки (рис. 8.7).
В любую точку P , находящуюся с той же стороны от пластинки, что и источник, приходят два луча. Эти лучи образуют интерференционную картину.
Для определения вида полос можно представить себе, что лучи выходят из мнимых изображений S 1 и S 2 источника S , создаваемых поверхностями пластинки. На удаленном экране, расположенном параллельно пластинке, интерференционные полосы имеют вид концентрических колец с центрами на перпендикуляре к пластинке, проходящем через источник S . Этот опыт предъявляет менее жесткие требования к размерам источника S , чем рассмотренные выше опыты. Поэтому можно в качестве S применить ртутную лампу без вспомогательного экрана с малым отверстием, что обеспечивает значительный световой поток. С помощью листочка слюды (толщиной 0,03 – 0,05 мм) можно получить яркую интерференционную картину прямо на потолке и на стенах аудитории. Чем тоньше пластинка, тем крупнее масштаб интерференционной картины, т.е. больше расстояние между полосами.
Полосы равного наклона
Особенно важен частный случай интерференции света, отраженного двумя поверхностями плоскопараллельной пластинки, когда точка наблюдения P находится в бесконечности, т.е. наблюдение ведется либо глазом, аккомодированным на бесконечность, либо на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы (рис. 8.8).
В этом случае оба луча, идущие от S к P , порождены одним падающим лучом и после отражения от передней и задней поверхностей пластинки параллельны друг другу. Оптическая разность хода между ними в точке P такая же, как на линии DC :
Здесь n
– показатель преломления материала пластинки. Предполагается, что над пластинкой находится воздух, т.е. . Так как 
, 
(h
– толщина пластинки, и – углы падения и преломления на верхней грани; ), то для разности хода получаем
Следует также учесть, что при отражении волны от верхней поверхности пластинки в соответствии с формулами Френеля ее фаза изменяется на π. Поэтому разность фаз δ складываемых волн в точке P равна:
,
где – длина волны в вакууме.
В соответствии с последней формулой светлые полосы расположены в местах, для которых 
, где m
– порядок интерференции
. Полоса, соответствующая данному порядку интерференции, обусловлена светом, падающим на пластинку под вполне определенным углом α. Поэтому такие полосы называют интерференционными полосами равного наклона
.
Если ось объектива расположена перпендикулярно пластинке, полосы имеют вид концентрических колец с центром в фокусе, причем в центре картины порядок интерференции максимален.
Полосы равного наклона можно получить не только в отраженном свете, но и в свете, прошедшем сквозь пластинку. В этом случае один из лучей проходит прямо, а другой – после двух отражений на внутренней стороне пластинки. Однако видимость полос при этом низкая.
Для наблюдения полос равного наклона вместо плоскопараллельной пластинки удобно использовать интерферометр Майкельсона (рис. 8.9). Рассмотрим схему интерферометра Майкельсона: з1 и з2 – зеркала. Полупрозрачное зеркало посеребрено и делит луч на две части – луч 1 и 2. Луч 1, отражаясь от з1 и проходя , дает , а луч 2, отражаясь от з2 и далее от , дает . Пластинки и одинаковы по размерам. ставится для компенсации разности хода второго луча. Лучи и когерентны и интерферируют.
Интерференция от клина. Полосы равной толщины
Мы рассмотрели интерференционные опыты, в которых деление амплитуды световой волны от источника происходило в результате частичного отражения на поверхностях плоскопараллельной пластинки. Локализованные полосы при протяженном источнике можно наблюдать и в других условиях. Оказывается, что для достаточно тонкой пластинки или пленки (поверхности которой не обязательно должны быть параллельными и вообще плоскими) можно наблюдать интерференционную картину, локализованную вблизи отражающей поверхности. Возникающие при этих условиях полосы называют полосами равной толщины . В белом свете интерференционные полосы окрашены. Поэтому такое явление называют цветами тонких пленок . Его легко наблюдать на мыльных пузырях, на тонких пленках масла или бензина, плавающих на поверхности воды, на пленках окислов, возникающих на поверхности металлов при закалке, и т.п.
Рассмотрим интерференционную картину, получаемую от пластинок переменной толщины (от клина).
Направления распространения световой волны, отраженной от верхней и нижней границы клина, не совпадают. Отраженные и преломленные лучи встречаются, поэтому интерференционную картину при отражении от клина можно наблюдать и без использования линзы, если поместить экран в плоскость точек пересечения лучей (хрусталик глаза помещают в нужную плоскость).
Интерференция будет наблюдаться только во 2-й области клина, так как в 1-й области оптическая разность хода будет больше длины когерентности.
Результат интерференции в точках и экрана определяется по известной формуле 
, подставляя в неё толщину пленки в месте падения луча ( или ). Свет обязательно должен быть параллельным (): если одновременно будут изменяться два параметра b
и α, то устойчивой интерференционной картины не будет.
Поскольку разность хода лучей, отразившихся от различных участков клина, будет неодинаковой, освещенность экрана будет неравномерной, на экране будут темные и светлые полосы (или цветные при освещении белым светом, как показано на рис. 8.11). Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, поэтому их называют полосами равной толщины .
На рис. 8.12 изображена оправа, в которой зажаты две стеклянные пластины. Одна из них слегка выпуклая, так что пластины касаются друг друга в какой-то точке. И в этой точке наблюдается нечто странное: вокруг нее возникают кольца. В центре они почти не окрашены, чуть дальше переливаются всеми цветами радуги, а к краю теряют насыщенность цветов, блекнут и исчезают.
Так выглядит эксперимент, в XVII веке положивший начало современной оптике. Ньютон подробно исследовал это явление, обнаружил закономерности в расположении и окраске колец, а также объяснил их на основе корпускулярной теории света.
Кольцевые полосы равной толщины , наблюдаемые в воздушном зазоре между соприкасающимися выпуклой сферической поверхностью линзы малой кривизны и плоской поверхностью стекла (рис. 8.13), называют кольцами Ньютона .
Общий центр колец расположен в точке касания. В отраженном свете центр темный, так как при толщине воздушной прослойки, на много меньшей, чем длина волны , разность фаз интерферирующих волн обусловлена различием в условиях отражения на двух поверхностях и близка к π. Толщина h воздушного зазора связана с расстоянием r до точки касания (рис. 8.13):
.
Здесь использовано условие . При наблюдении по нормали темные полосы, как уже отмечалось, соответствуют толщине , поэтому для радиуса m -го темного кольца получаем
(m = 0, 1, 2, …).
Если линзу постепенно отодвигать от поверхности стекла, то интерференционные кольца будут стягиваться к центру. При увеличении расстояния на картина принимает прежний вид, так как место каждого кольца будет занято кольцом следующего порядка. С помощью колец Ньютона, как и в опыте Юнга, можно сравнительно простыми средствами приближенно определить длину волны света.
Полосы равной толщины можно наблюдать и с помощью интерферометра Майкельсона, если одно из зеркал з1 или з2 (рис. 8.9) отклонить на небольшой угол.
Итак, полосы равного наклона получаются при освещении пластинки постоянной толщины () рассеянным светом , в котором содержатся лучи разных направлений. Полосы равной толщины наблюдаются при освещении пластинки переменной толщины (клина) () параллельным пучком света . Полосы равной толщины локализованы вблизи пластинки.
Интерференционные полосы равного наклона . При освещении тонкой пленки происходит наложение волн от одного и того же источника, отразившихся от передней и задней поверхностей пленки. При этом может возникнуть интерференция света. Если свет белый, то интерференционные полосы окрашены. Интерференцию в пленках можно наблюдать на стенках мыльных пузырей, на тонких пленках масла или нефти, плавающих на поверхности воды, на пленках, возникающих на поверхности металлов или зеркала.
Рассмотрим сначала плоскопараллельную пластинку толщины с показателем преломления (рис. 2.11). Пусть на пластинку падает плоская световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей. Пластинка отбрасывает вверх два параллельных пучка света, один из которых образовался за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй – вследствие отражения от нижней поверхности. Каждый из этих пучков представлен на рис. 2.11 только одним лучом.
При входе в пластинку и при выходе из нее пучок 2 претерпевает преломление. Кроме двух пучков и , пластинка отбрасывает вверх пучки, возникающие в результате трех-, пяти- и т.д. кратного отражения от поверхностей пластинки. Однако ввиду малой интенсивности их можно не принимать во внимание.
Рассмотрим интерференцию лучей, отраженных от пластинки. Поскольку на пластинку падает плоская волна, то фронт этой волны представляет собой плоскость, перпендикулярную лучам 1 и 2. На рис. 2.11 прямая ВС представляет собой сечение волнового фронта плоскостью рисунка. Оптическая разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в точке С, будет
| , | (2.13) |
где – длина отрезка ВС, а – суммарная длина отрезков АО и ОС. Показатель преломления среды, окружающей пластинку, полагаем равным единице. Из рис. 2.11 видно, что 
, . Подстановка этих выражений в (2.13) дает . Воспользуемся законом преломления света: 
; и учтем, что , тогда для разности хода получим следующее выражение: 
.
При вычислении разности фаз между колебаниями в лучах и нужно, кроме оптической разности хода D, учесть возможность изменения фазы при отражении в точке С. В точке С отражение волны происходит от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной. Поэтому фаза волны претерпевает изменение на p. В точке отражение происходит от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной, и скачка фазы в этом случае не происходит. Качественно это можно представить себе следующим образом. Если толщину пластинки устремить к нулю, то полученная нами формула для оптической разности хода дает . Поэтому при наложении лучей и должно происходить усиление колебаний. Но это невозможно, так как бесконечно тонкая пластинка вообще не может оказывать влияния на распространение света. Поэтому волны, отраженные от передней и задней поверхности пластинки, должны при интерференции гасить друг друга. Их фазы должны быть противоположны, то есть оптическая разность хода D при d →0 должна стремиться к . Поэтому к прежнему выражению для D нужно прибавить или вычесть , где λ 0 – длина волны в вакууме. В результате получается:
 .
| (2.14) |
Итак, при падении на пластинку плоской волны образуются две отраженные волны, разность хода которых определяется формулой (2.14). Эти волны могут интерферировать, если оптическая разность хода не превышает длину когерентности. Последнее требование для солнечного излучения приводит к тому, что интерференция при освещении пластинки наблюдается только в том случае, если толщина пластинки не превышает нескольких сотых миллиметра.
Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поставив на пути отраженных пучков линзу, которая собирает пучки в одной из точек экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы. Освещенность в этой точке зависит от оптической разности хода. При получаются максимумы, при – минимумы интенсивности. Следовательно, условие максимумов интенсивности имеет вид:
 ,
| (2.15) |
а минимумов:
 .
| (2.16) |
Эти соотношения получены для отраженного света.
Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом. Расположим параллельно пластинке линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран (рис. 2.12). В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, параллельные плоскости рисунка и падающие на пластинку под углом , после отражения от обеих поверхностей пластинки соберутся линзой в точке и создадут в этой точке освещенность, определяемую значением оптической разности хода. Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластику под тем же углом, соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана на такое же расстояние, как и точка . Освещенность во всех этих точках будет одинакова. Таким образом, лучи, падающие на пластинку под одинаковым углом , создадут на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных по окружности с центром точке О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом , создадут на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных по окружности другого радиуса . Но освещенность этих точек будет иной, так как им соответствует другая оптическая разность хода.
В результате на экране возникнет совокупность чередующихся темных и светлых круговых полос с общим центром в точке О. Каждая полоса образована лучами, падающими на пластину под одинаковым углом. Поэтому получающиеся в этом случае интерференционные полосы называютсяполосами равного наклона.
Согласно (2.15) положение максимумов интенсивности зависит от длины волны , поэтому в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных цветов, и интерференционная картина приобретет радужную окраску.
Для наблюдения полос равного наклона экран должен располагаться в фокальной плоскости линзы, так, как его располагают для получения бесконечно удаленных предметов. Поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы может играть хрусталик глаза, а экрана – сетчатка глаза.
Интерференционные полосы равной толщины.
Возьмем теперь пластинку в виде клина. Пусть на нее падает параллельный пучок лучей (рис. 2.13). Но теперь лучи, отразившись от разных поверхностей пластинки, не будут параллельными. 
Два до падения на пластинку практически сливающихся луча после отражения от верхней и нижней поверхностей клина пересекаются в точке . Два практически сливающихся луча после отражения пересекаются в точке . Можно показать, что точки и лежат в одной плоскости, проходящей через вершину клина О
.
Если расположить экран Э
так, чтобы он проходил через точки и , на экране возникнет интерференционная картина. При малом угле клина разность хода лучей, отраженных от его верхней и нижней поверхностей, можно с достаточной степенью точности вычислить по формуле 
, полученной для плоскопараллельной пластинки, беря в качестве толщину клина в месте падения на нее лучей. Поскольку разность хода лучей, отразившихся от разных участков клина, теперь неодинакова, освещенность будет неравномерной – на экране появятся светлые и темные полосы. Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины.
Таким образом, интерференционная картина, получающаяся при отражении от клина плоской волны, оказывается локализованной в некоторой области вблизи поверхности клина. По мере удаления от вершины клина растет оптическая разность хода, и интерференционная картина становится все менее отчетливой.
Рис. 2.14
|
При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки будет иметь радужную окраску. В реальных условиях при наблюдении, например, радужных цветов на мыльной пленке изменяется как угол падения лучей, так и толщина пленки. В этом случае наблюдаются полосы смешанного типа.
Полосы равной толщины легко наблюдать на плоской проволочной рамке, которую окунули в мыльный раствор. Затягивающая её мыльная плёнка покрывается горизонтальными интерференционными полосами, получившимися при интерференции волн, отразившихся от разных поверхностей пленки (рис. 2.14). С течением времени мыльный раствор стекает, и интерференционные полосы съезжают вниз.
Если проследить за поведением сферического мыльного пузыря, то легко обнаружить, что его поверхность покрыта цветными кольцами, медленно сползающими к его основанию. Смещение колец говорит о постепенном утончении стенок пузыря.
Кольца Ньютона
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 2.15). Роль тонкой пленки, от поверхности которой отражаются волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид окружностей, при наклонном – эллипсов.
Найдем радиусы колец Ньютона, получающихся при падении света по нормали к пластинке. В этом случае и . Из рис. 2.15 видно, что , где – радиус кривизны линзы, – радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор . Величиной можно пренебречь, тогда . Чтобы учесть возникающее при отражении от пластинки изменение фазы на p, нужно добавить к разности хода : , то есть в месте касания пластинки и линзы наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на p при отражении световой волны от пластинки.
Рис. 2.16
|
На рис. 2.16 представлен вид интерференционных колец Ньютона в красном и зеленом свете. Так как длина волны красного света больше, чем зеленого, то радиусы колец в красном свете больше радиусов колец с таким же номером в зеленом свете.
Если в установке Ньютона линзу перемещать вверх параллельно самой себе, то из-за увеличения толщины воздушной прослойки каждая окружность, соответствующая постоянной разности хода, будет стягиваться к центру картины. Достигнув центра, интерференционное кольцо превращается в кружок, исчезающий при дальнейшем перемещении линзы. Таким образом, центр картины будет попеременно становиться то светлым, то темным. Одновременно на периферии поля зрения будут зарождаться и перемещаться к центру новые интерференционные кольца, пока каждое из них не исчезнет в центре картины. При перемещении линзы непрерывно вверх пропадают кольца самых низких порядков интерференции и зарождаются кольца более высоких порядков.
Пример
Просветление оптики
Просветление оптики делается для уменьшения коэффициентов отражения поверхностей оптических деталей путём нанесения на них одной или нескольких непоглощающих плёнок. Без просветляющих плёнок потери на отражение света могут быть очень большими. В системах с большим числом поверхностей, например, в сложных объективах, потери света могут достигать 70 % и более, что ухудшает качество изображений, формируемых такими оптическими системами. Устранить это можно с помощью просветления оптики, которое является одним из важнейших применений интерференции в тонких пленках.
При отражении света от передней и задней поверхности пленки, нанесенной на оптическую деталь, в отраженном свете образуется минимум интенсивности в результате интерференции, а следовательно, в проходящем свете будет максимум интенсивности для этой длины волны. При нормальном падении света эффект будет максимален, если толщина тонкой плёнки равна нечётному числу четвертей длины световой волны в материале плёнки. Действительно, в этом случае потери половины длины волны при отражении не происходит, так как и на верхней, и на нижней поверхностях пленки волна отражается от границы раздела среды оптически менее плотной и оптически более плотной. Поэтому условие максимума интенсивности примет вид 
. Отсюда получим 
.
Изменяя толщину просветляющей плёнки, можно сместить минимум отражения в различные участки спектра.
