В этой статье мы рассмотрим деление положительных чисел на отрицательные и наоборот. Дадим подробный разбор правила деления чисел с разными знаками, а также приведем примеры.
Правило деления чисел с разными знаками
Правило для целых чисел с разными знаками, полученное в статье о делении целых чисел, справедливо также для рациональных и действительных чисел. Приведем более общую формулировку этого правила.
Правило деления чисел с разными знаками
При делении положительного числа на отрицательное и наоборот нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а результат записать со знаком минус.
В буквенном виде это выглядит так:
a ÷ - b = - a ÷ b
A ÷ b = - a ÷ b .
Результатом деления чисел с разными знаками всегда является отрицательное число. Рассмотренное правило, по сути, сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел, так как модули делимого и делителя являются положительными.
Еще одна эквивалентная математическая формулировка данного правила имеет вид:
a ÷ b = a · b - 1
Чтобы разделить числа a и b , имеющие разные знаки, нужно число a умножить на число, обратное числу b , то есть b - 1 . Данная формулировка применима на множестве рациональных и действительных чисел, она позволяет перейти от деления к умножению.
Рассмотрим теперь, как применять описанную выше теорию на практике.
Как делить числа с разными знаками? Примеры
Ниже мы рассмотрим несколько характерных примеров.
Пример 1. Как делить числа с разными знаками?
Разделим - 35 на 7 .
Сначала запишем модули делимого и делителя:
35 = 35 , 7 = 7 .
Теперь разделим модули:
35 7 = 35 7 = 5 .
Допишем перед результатом знак минус и получим ответ:
Теперь воспользуемся другой формулировкой правила и вычислим число, обратное 7 .
Теперь проведем умножение:
35 · 1 7 = - - 35 · 1 7 = - 35 7 = - 5 .
Пример 2. Как делить числа с разными знаками?
Если мы делим дробные числа с рациональными знаками, делимое и делитель нужно представить в виде обыкновенных дробей.
Пример 3. Как делить числа с разными знаками?
Разделим смешанное число - 3 3 22 на десятичную дробь 0 , (23) .
Модули делимого и делителя соответственно равны 3 3 22 и 0 , (23) . Переводя 3 3 22 в обыкновенную дробь, получаем:
3 3 22 = 3 · 22 + 3 22 = 69 22 .
Делитель также представим в виде обыкновенной дроби:
0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .
Теперь делим обыкновенные дроби, выполняем сокращения и получаем результат:
69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 · 99 23 = - 3 2 · 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2 .
В заключение рассмотрим случай, когда делимое и делитель являются иррациональными числами и записываются в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
В такой ситуации частное записывается в виде числового выражения, которое по возможности упрощается. При необходимости вычисляется его приближенное значение с необходимой точностью.
Пример 4. Как делить числа с разными знаками?
Разделим числа 5 7 и - 2 3 .
По правилу деления чисел с разными знаками, запишем равенство:
5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 · 2 3 .
Избавимся от иррациональности в знаменателе и получим окончательный ответ:
5 7 · 2 3 = - 5 · 4 3 14 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На этом уроке мы повторим правила сложения положительных и отрицательных чисел. Также научимся умножать числа с разными знаками и узнаем правила знаков для умножения. Рассмотрим примеры умножения положительных и отрицательных чисел.
Свойство умножения на ноль остается верным и в случае отрицательных чисел. Ноль умножить на любое число - будет ноль.
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
Домашнее задание
- Интернет-портал Mnemonica.ru ().
- Интернет-портал Youtube.com ().
- Интернет-портал School-assistant.ru ().
- Интернет-портал Bymath.net ().
В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.
Деление отрицательных чисел. Правило
Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .
Правило деления отрицательных чисел
Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.
Пусть a и b - отрицательные числа. Тогда
a ÷ b = a ÷ b .
Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.
Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b - 1 , обратное числу b .
a ÷ b = a · b - 1 .
Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.
Равенство a ÷ b = a · b - 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:
a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .
В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.
Пример 1. Как делить отрицательные числа
Разделим - 18 на - 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
Пример 2. Как делить отрицательные числа
Разделим - 5 на - 2 .
Аналогично, записываем по правилу:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.
Пример 3. Как делить отрицательные числа
Разделим - 0 , 004 на - 0 , 25 .
Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .
Теперь можно выбрать один из двух способов:
- Разделить десятичные дроби столбиком.
- Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.
Разберем оба способа.
1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.
Ответ: - 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016
2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.
0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016
Полученные результаты совпадают.
В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.
Пример 4. Как делить отрицательные числа
Вычислим частное от деления чисел - 0 , 5 и - 5 .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Класс: 6
«Знание – это набор фактов. Мудрость – умение их использовать»
Цель урока:
1) выведение правила умножения положительных и отрицательных чисел; способы применения этих правил в простейших случаях;
2) развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
3) поиск различных способов и методов решения практических задач;
4) составить мини – проект. Информационный бюллетень.
Оборудование: модель термометра, карточки для взаимотренажера, проектер.
Ход урока
Приветствие. Узнать какую новую тему мы рассмотрим сегодня, нам поможет устный счет. Вычислите примеры, ответы замените буквами, используя «число – буква».
Слайд №1 Немного подумайте
Слайд №2 Кто это?
Индийский математик Брахмагупта, живший в VII веке, положительные числа представлял как «имущества», отрицательные числа как «долги».
Правила сложения положительных и отрицательных чисел он выражал так:
«Сумма двух имуществ – имущество»:
«Сумма двух долгов есть долг»:
А мы узнаем правило после того, как рассмотрим тему «Умножение отрицательных и положительных чисел»
Ваша задача научиться умножать положительные и отрицательные, а также перемножать отрицательные числа.
Мы составим мини – проект.
Мини-проект.
Информационный бюллетень
«Умножение положительных и отрицательных чисел»
Работа в группах (4 группы). (Действие помещаем в математический тренажер)
Задача 1 (1 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру он покажет через три часа? Изобразите это на координатной прямой. Приведите подобные примеры. Сделайте вывод и обобщите.
Решение:
Так как сейчас температура ноль градусов и за каждый час она понижается на 2 градуса, то за 3 часа она будет равна -6,
(-2)·3=-(2·3)=-6
Задача 1 (2 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад? Изобразите это на координатной прямой. Сделайте вывод.
Решение:
Так как температура каждый час понижается на два градуса, а сейчас ноль градусов, то 3 часа назад она была равно +6.
(-2)·(-3)=2·3=6
Задача 1 (3 группа)
Фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменила на -0,4 м2. На сколько изменился расход ткани на костюмы за день?
Решение:
Это значит, что расход ткани на костюмы за день изменился на – 80.
(-0,4)·200=-(0,4·200)=-80.
Задача 1 (4 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 4 часа назад?
Решение:
Так как температура каждый час понижается на два градуса, а сейчас ноль градусов, то 4 часа назад она была равна +8, то есть
(-2)·(-4)=2·4=8
Выводы (учащиеся информацию заносят в макет информационного бюллетеня).
Слайд №4 Хорошенько подумайте
Первичное осмысление и применение изученного.
Работа с таблицей у доски и на местах (используя макет информационного бюллетеня).
Повторяем правило (вопросы задают ученики).
Работа с учебником:
- 1 ученик: №1105 (ж, з, и) 2 ученик: №1105 (к, л, м)
- № 1107 (работаем по группам) 1 группа: а), г);
2 группа: б), д);
3 группа: в), г).
Физкультминутка (2 мин.)
Повторяем правило на уравнение положительных и отрицательных чисел.
Слайд №5 Задача 2
Задание 2 (всем группам одинаковое).
Примените переместительное и сочетательное свойство, выполните произведение нескольких чисел и сделайте вывод:
Если число отрицательных множителей четное, то произведение – число _?_
Если число отрицательных множителей нечетное, то произведение – число _?_
Занести ещё одну информацию в макет информационного бюллетеня.
Слайд №6 Правило знаков.
Определите знак произведения:
1) «+»·«-»·«-»·«+»·«-»·«-»
2) «-»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«+»·«-»·«-»
3) «-»·«+»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»
Итак, пройдемся по всему бюллетеню и повторим правила применение их к решению заданий по карточки.
Тренажер (4 варианта).
Проверь себя.
Ответы к карточкам.
| 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант | 4 вариант | |
| 1) | 18 | 20 | 24 | 18 |
| 2) | -20 | -18 | -18 | -24 |
| 3) | -24 | 16 | 24 | 18 |
| 4) | 15 | -15 | 1 | -2 |
| 5) | -4 | 0 | -5 | 0 |
| 6) | 0 | 2 | 2 | -5 |
| 7) | -1 | -3 | -1,5 | -3 |
| 8) | -0,8 | -3,5 | -4,8 | 3,6 |
Положительные и отрицательные числа изучаются в самом начале курса математики, в шестом классе. Хотя дальнейшее обучение требует постоянно работать с этими числами, неудивительно, что по прошествии времени некоторые мелочи забываются - и люди начинают совершать грубые ошибки.
Умножение и деление - одни из самых частых действий с числами, имеющими разные знаки. Разберемся и вспомним, как нужно перемножать и делить такие числа между собой, ставя в ответе правильный знак.
Умножение чисел с разными знаками
Это правило - одно из самых простых в арифметике.
- Если перед нами есть некое положительное число «а», и его требуется умножить на отрицательное число «z», то мы просто перемножаем числа - а потом ставим перед результатом знак «минус».
- Можно сказать и так - чтобы умножить друг на друга числа с разными знаками, нужно перемножить между собой модули множителей, а потом вернуть знак «минус» в ответ.
Для утверждения справедлива следующая цифровая запись: -а*z = - (|а|*|z|). Также напомним, что для нуля действуют особые правила - если на него умножается какое-либо число, положительное или отрицательное, ответ в любом случае будет равен нулю.
Возьмем пару простых примеров.
- Если выражение выглядит, как – 5*6, то решать его нужно следующим образом: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
- Если выражение следующего типа - - 7*0, то в ответе сразу пишется 0.
Деление чисел с разными знаками
Для таких случаев тоже действует очень простое правило. Оно похоже на предыдущее - если задача требует разделить «–а» на «b», или «a» на «–b», то для начала мы берем модули чисел, их абсолютные значения, и совершаем процесс деления безо всякой перестановки делимого и делителя.
Таким образом находится частное - а затем к нему добавляется знак «минус». Неважно, выступает ли в роли делимого отрицательное число, или наоборот, мы делим число со знаком «плюс» на отрицательное - ответ всегда будет со знаком «минус». Иначе говоря, числовым методом мы записываем это так: -a: b = - (|a| : |b|).
Например, - 10: 2 = - (10:2) = - 5, или 21: (-3) = - (21:3) = - 7. В конечном итоге деление совсем не сложное и сводится к привычным нам действиям над модулями чисел.
И точно так же, как в предыдущем случае, на особенном положении находится нуль. Его присутствие в выражении автоматически дает нуль в ответе. И неважно, это 0:а или а:0 - и попытка деления нуля, и деление на нуль дают одинаковый результат.
