Масса системы. Центр масс. Движение центра масс системы Дайте определение центра масс

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:

, , . (1)

В полученные равенства входят только массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки С (x C , y C , z C) действительно харак­теризует распределение масс в теле или в любой механической си­стеме, если под , понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

Геометрическая точка С , координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.

Положение центра масс определяется его радиус-вектором

где - радиус-векторы точек, образующих систему.

Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тя­жести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тя­жести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находя­щегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная си­стема под действием каких-нибудь сил или нет.

Момент инерции тела относительно оси. Радиус инер­ции.

Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например (рис.32), если расстояния h от оси Oz каждого из одинаковых шаров А и В увеличить на одну и ту же величину, то положение центра масс системы не изменится, а распределение масс станет другим, и это скажется на движении системы (вращение вокруг оси Oz при прочих равных условиях будет происходить медленнее).

Рис.32

Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распре­деления масс - момент инерции. Моментом инерциитела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

Заметим также, что момент инерции тела – это геометрическая характеристика тела, не зависящая от его движения.

Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является ме­рой инертности тела при вра­щательном движении.

Согласно формуле момент инерции тела равен сумме момен­тов инерции всех его частей от­носительно той же оси. Для од­ной материальной точки, нахо­дящейся на расстоянии h от оси, .

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина , определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

В случае сплошного те­ла, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве , обратится в интеграл. В результате, учи­тывая, что , где - плотность, а V- объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела.

Моменты инерции некоторых однородных тел:

1.Тонкий однородный стержень длины l и массы М. Вычислим его момент инерции относи­тельно оси Аz, перпендикулярной к стержню и прохо­дящей через его конец А (рис. 33).

Рис.33

Направим вдоль АВ координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина h=x, а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно:

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиуса R и массы М. Найдем его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис.34,а). Так как все точки кольца находятся от оси Cz на расстоянии h k =R, то

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относитель­но ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр ра­диуса R и массы М. Вычислим момент инерции круглой пла­стины относительно оси Сz, перпендикулярной к пластине и прохо­дящей через ее центр (см. рис.34,а ). Для этого выделим элементарное кольцо радиуса r и ширины dr (рис.34,б ).

(хотя чаще всего совпадает).

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом :

  r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , {\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}

  где r → c {\displaystyle {\vec {r}}_{c}} - радиус-вектор центра масс, r → i {\displaystyle {\vec {r}}_{i}} - радиус-вектор i -й точки системы, m i {\displaystyle m_{i}} - масса i -й точки.

  Для случая непрерывного распределения масс:

  r → c = 1 M ∫ V ρ (r →) r → d V , {\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,} M = ∫ V ρ (r →) d V , {\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}

  где M {\displaystyle M} - суммарная масса системы, V {\displaystyle V} - объём, ρ {\displaystyle \rho } - плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

  Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M i {\displaystyle M_{i}} , то радиус-вектор центра масс такой системы R c {\displaystyle R_{c}} связан с радиус-векторами центров масс тел R c i {\displaystyle R_{ci}} соотношением :

  R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . {\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

  Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

  Центры масс плоских однородных фигур

  Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа - Гульдина):

  x s = V y 2 π S {\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}} и y s = V x 2 π S {\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}} , где V x , V y {\displaystyle V_{x},V_{y}} - объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S {\displaystyle S} - площадь фигуры.

  Центры масс периметров однородных фигур

  Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.

  Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

  v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . {\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.} вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

  В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

  По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

  В настоящем параграфе рассмотрим подробно частный случай системы собственно параллельных сил. Именно, всякое материальное тело или система материальных точек (дискретных частиц), находящихся на Земле, подвержены действию земного притяжения. Поэтому на каждую частицу таких механических систем действует сила ее тяжести. Строго говоря, все эти силы направлены в одну точку к центру Земли. Но так как размеры земных тел весьма малы по сравнению с радиусом Земли (полагаем, что также малы обьемы, в которых заключены дискретные частицы), то с большой степенью точности эти силы можно считать параллельными. Приведению этой системы сил и посвящен параграф.

  Удельный вес

  Выделим в теле элементарную частицу объемом столь малую, что ее положение можно определить одним радиусом-вектором Пусть вес этой частицы будет Величина

  называется удельным весом, а величина

  Плотностью тела.

  В системе единиц СИ удельный вес имеет размерность

  а плотность

  

  В общем случае удельный вес и плотность являются функциями координат точек тела. Если они для всех точек одинаковые, то тело называется однородным.

  Равнодействующая всех элементарных сил тяжести равна их сумме и представляет собой вес тела. Центр этих параллельных сил называется центром тяжести тела.

  Очевидно, положение центра тяжести в теле не зависит от ориентации тела в пространстве. Это утверждение вытекает из сделанного ранее замечания о том, что центр параллельных сил не изменяет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.

  Формулы, определяющие центры тяжести тела и системы дискретных частиц

  Для определения центра тяжести тела разобьем его на достаточно малые частицы объемом . К каждой из них приложим силу тяжести равную

  

  Равнодействующая этих параллельных сил равна весу тела, который обозначим через

  

  Радиус-вектор центра тяжести тела, который обозначим через , определится по формулам предыдущего параграфа как центр параллельных сил. Таким образом, будем иметь

  

  Если определяется центр тяжести системы дискретных частиц, то будет удельный вес частицы, V, - ее объем - радиус-вектор, определяющий положение частицы. Последняя формула определяет в этом случае центр масс системы дискретных частиц.

  Если механическая система представляет собой тело, образованное непрерывной совокупностью частиц, то в пределе суммы последних формул обращаются в интегралы и радиус-вектор центра тяжести тела может быть вычислен по формуле:

  где интегралы распространяются по всему объему тела.

  Если тело однородно то последняя формула имеет вид:

  где V - объем всего тела.

  Таким образом, когда тело однородно, определение его центра тяжести сводится к чисто геометрической задаче. В этом случае говорят о центре тяжести объема.

  Центр масс тела

  Введенное понятие центра тяжести имеет смысл лишь для тел (малых по сравнению с размерами Земли), находящихся вблизи поверхности Земли. Вместе с тем, метод вычисления координат центра тяжести позволяет применить его для вычисления координат точки, характеризующей распределение материи в теле. Для этого следует рассматривать не вес частиц, а их массу. Каждая частица тела объемом имеет массу

  

  а заменяя в ранее полученной формуле на придем к равенству:

  

  которое определяет точку, носящую название центра масс или центра инерции тела.

  Если система состоит из материальных точек, массы которых то центр масс системы находится по формуле:

  

  где представляет собой массу всей системы. Радиус-вектор центра масс тела зависит от выбора начала координат О. Если в качестве начала координат выбрать сам центр инерции, то будет равен нулю:

  Понятие центра масс может быть введено независимо от понятия центра тяжести. Благодаря этому оно относится к любым механическим системам.

  Статические моменты

  Выражения называются соответственно статическими моментами веса, объема и массы тела относительно точки О. Если в качестве точки (начало координат) выбрать центр масс тела, то статические моменты тела относительно центра масс окажутся равными нулю, что будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

  Методы вычисления центра масс

  В случае тела сложной формы определение координат центра масс по приведенным общим формулам обычно сопряжено с кропотливыми вычислениями. В ряде случаев их можно значительно упростить, если воспользоваться следующими методами.

  1) Метод симметрии. Пусть тело имеет центр материальной симметрии. Это значит, что каждой частице с массой и радиусом-вектором проведенного из этого центра, соответствует частица с такой же массой и радиусом-вектором . В этом случае статический момент массы тела обратится в нуль и

  Следовательно, центр масс будет совпадать в этом случае с центром материальной симметрии тела. Для однородных тел это означает, что центр масс совпадает с геометрическим центром объема тела. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то центр масс находится в этой плоскости. Если же тело симметрично относительно оси, то центр масс находится на этой оси.

  с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`. Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве `i`-ой материальной точки с массой `m_i` определяется радиус - вектором `vecr_i` (рис. 11). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: `m=sum_im_i`. По определению центром масс тела (системы тел) называется такая точка `C`, радиус-вектор которой `vecr_c` определяется по формуле `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i`.

  Можно показать, что положение центра масс относительно тела не зависит от выбора начала координат `O`, т. е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.

  Не вдаваясь в методы нахождения центра масс, скажем, что центр масс однородных симметричных тел расположен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересечении его медиан.

  Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд замечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса всего тела была сосредоточена в нём.

  Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тяжести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тяжести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и все силы тяжести, действующие на отдельные части тела.

  Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Земли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т. е. тело находится в однородном поле тяжести. У параллельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определённом положении тела в пространстве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка её приложения останется пока неопределённой, т. к. для твёрдого тела любую силу можно переносить вдоль лини её действия. Как же быть с точкой приложения?

  Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, неподвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равнодействующая, а сама точка будет центром тяжести тела.

  Положение центра тяжести относительно тела зависит только от формы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в самом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.

  Сообщим без доказательства чрезвычайно любопытный и важный факт. Оказывается, в однородном поле тяжести центр тяжести тела совпадает с его центром масс. Напомним, что центр масс тела существует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести можно говорить только при наличии силы тяжести.

  Местоположение центра тяжести тела, а значит, и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.

  На лёгком стержне (рис. 12) закреплены шары масса ми `m_1=3` кг, `m_2=2` кг, `m_3=6` кг, `m_4=3` кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров `a=10` см. Найти положение центра тяжести и центра масс конструкции.

  Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для решения задачи удобно расположить стержень горизонтально, как показано на рисунке 12. Пусть центр тяжести находится на расстоянии `L` от центра левого шара, т. е. от т. `A`. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести, и её момент относительно оси `A` равен сумме моментов сил тяжестишаров.

  Имеем: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.

  Отсюда `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16,4` см.

  Центр тяжести совпадает с центром масс и находится в точке `C` на расстоянии `L~~16,4` см от центра левого шара.

  Если бы мы не вычитали, а складывали уравнения (6.1), у нас получился бы просто закон сохранения импульса

  Его можно переписать чисто формально как закон постоянства во времени некоторой скорости Vc:

  Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью (6.4). Скорости частиц 1 и 2 при этом преобразуются следующим образом:

  т. е. в новой системе отсчета они выражаются через скорость относительного движения. Свяжем скорость Vc с радиусом-вектором некоторой точки r с:

  Отметим, что определение (6.6) совпадает с известным из школьного курса физики понятием центра тяжести. Для доказательства перенесем начало координат в точку r с. Тогда, совершенно аналогично (6.5), получим

  Таким образом,

  (центр тяжести определяется равенством произведений массы на «плечо»). Но определения (6.4) и (6.6) более корректны и более универсальны, поскольку без каких-либо проблем обобщаются на любое число материальных точек, а следовательно, и на макроскопические тела. Точку С в механике — и вообще в физике — принято называть центром масс или центром инерции системы материальных точек.

  Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих материальных точек с массами m 1 , m 2 , m N задаются в каждый момент времени t посредством радиусов-векторов r 1 (t), r 2 (t), r N (t)

  (см. рис. 6.3 а). Тогда центром масс рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой R r 1 (t), r 2 (t), r N (t) материальных точек по

  Подчеркнем, что в общем случае положение центра масс не совпадает с положением какой-либо из материальных точек системы (см. рис. 6.3 б), хотя иногда такое может и случиться.

  

  Рис. 6.3 центром масс системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой R c(t) выражается через радиусы-векторы r 1 (t), r 2 (t), r N (t) материальных точек

  Продифференцируем по времени левую и правую части равенства (6.7).

  Производная радиуса-вектора по времени есть по определению скорость, так что в результате мы получаем

  где Vc — скорость центра масс, v 1 , v 2 , v N — скорости материальных точек. Величина m 1 v 1 в (6.8) — импульс первой материальной точки, m 2 V 2 — импульс второй точки и т.д. Таким образом, в фигурных скобках выражения (6.8) стоит сумма импульсов рассматриваемой системы материальных точек, т. е. импульс Р всей системы.

  Следовательно, равенство (6.8) можно переписать в виде Р = {m 1 + m 2 + m N }V c . (6.9)

  В системе отсчета, где центр масс покоится,

  Если нас не интересует относительное движение материальных точек, а интересует движение системы как целого, то тогда всю систему можно рассматривать как одну материальную точку, движущуюся со скоростью Vc и обладающую импульсом Р. Вспомним, что масса материальной точки есть, по определению, коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью. Поэтому стоящий в равенстве (6.9) коэффициент пропорциональности, заключенный в фигурные скобки, есть масса М рассматрваемой системы:

  
  

  М = m 1 + m 2 + m N , (6.10)

  т. е. масса системы материальных точек равняется сумме масс этих точек. Соотношение (6.10), согласно которому масса сложного тела равна сумме масс его частей, кажется нам привычным и очевидным. Однако, как мы еще убедимся, в релятивистской механике (т. е. в более общем случае) ситуация будет совершенно иной. В предельном случае ньютоновой механики равенство (6.10) представляет собой частный случай определенного физического закона — закона сохранения массы.

  В отсутствие внешних сил, т. е. для замкнутой системы, сумма импульсов всех тел системы не зависит от времени; тогда из (6.9) следует важное свойство движения центра масс замкнутой системы материальных точек:

  т. е. центр масс замкнутой системы материальных точек неподвижен или движется равномерно и прямолинейно , хотя каждая из материальных точек может совершать сложное движение. Приведенное выше утверждение называют иногда теоремой о движении центра масс.

  Мы сейчас докажем следующее важное свойство кинетической энергии:

  кинетическая энергия Т системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии Т" той же системы в ее относительном движении по отношению к системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:

  

  где М = m 1 + m 2 + m N . Vc — скорость центра масс в исходной системе отсчета, v i — скорость i-ой материальной точки относительно системы отсчета, движущейся вместе с точкой С. Такую систему обычно называют «системой центра масс», «системой центра инерции» или просто «ц-системой». (Систему отсчета, в которой поставлена задача, если эта система не совпадает с ц-системой, принято называть лабораторной системой отсчета или л-системой).

  Для доказательства получим вначале более общее соотношение, связывающее кинетическую энергию в двух системах отсчета (см. рис. 6.4). Для координат и скоростей точек в старой системе R i , V i и в новой системе r i , v i запишем преобразования Галилея :

  где R — радиус-вектор перехода из старой системы в новую, а V — соответственно, скорость движения новой системы относительно старой.

  

  Рис. 6.4 связь координат в двух системах отсчета

  Тогда кинетическую энергию в старой системе отсчета можно представить в виде

  (6.12)

  Правую часть (6.12) можно представить в виде трех сумм:

  где Р — полный импульс системы материальных точек в новой системе отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кенига. Если же новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен нулю, V = Vc, а значит, имеет место соотношение (6.11).

  В заключение этого параграфа отметим два важных свойства, вытекающих из определения центра масс. Во-первых, частицы в (6.7) можно объединять в какие угодно группы, например:

  Отсюда, как легко сообразить, следует, что центр масс любой системы макроскопических тел может быть найден как центр масс системы материальных точек, в предположении, что масса каждого тела сосредоточена в его собственном центре масс.

  И во-вторых, от суммирования в (6.7) нетрудно перейти к интегрированию, если мы вычисляем положение центра масс тела с непрерывным распределением плотности вещества ρ(т):