Мнимые парадоксы СТО. Парадокс близнецов. Парадокс близнецов (мысленный эксперимент): объяснение Эффект близнецов

Отюцкий Геннадий Павлович

В статье рассмотрены сложившиеся подходы к рассмотрению парадокса близнецов. Показано: хотя формулировка этого парадокса связана со специальной теорией относительности, но к большинству попыток его объяснения привлекается общая теория относительности, что не является методологически корректным. Автор обосновывает положение о том, что сама формулировка "парадокса близнецов" изначально некорректна, ибо описывает событие, невозможное в рамках специальной теории относительности. Адрес статьи: отм^.агат^а.пе^т^епа^/З^СИУ/б/Зб.^т!

Источник

Исторические, философские, политические и юридические науки, культурология и искусствоведение. Вопросы теории и практики

Тамбов: Грамота, 2017. № 5(79) C. 129-131. ISSN 1997-292X.

Адрес журнала: www.gramota.net/editions/3.html

© Издательство "Грамота"

Информация о возможности публикации статей в журнале размещена на Интернет сайте издательства: www.gramota.net Вопросы, связанные с публикациями научных материалов, редакция просит направлять на адрес: [email protected]

Философские науки

В статье рассмотрены сложившиеся подходы к рассмотрению парадокса близнецов. Показано: хотя формулировка этого парадокса связана со специальной теорией относительности, но к большинству попыток его объяснения привлекается общая теория относительности, что не является методологически корректным. Автор обосновывает положение о том, что сама формулировка «парадокса близнецов» изначально некорректна, ибо описывает событие, невозможное в рамках специальной теории относительности.

Ключевые слова и фразы: парадокс близнецов; общая теория относительности; специальная теория относительности; пространство; время; одновременность; А. Эйнштейн.

Отюцкий Геннадий Павлович, д. филос. н., профессор

Российский государственный социальный университет, г. Москва

оИи2ку1@таИ- ги

ПАРАДОКС БЛИЗНЕЦОВ КАК ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА

Парадоксу близнецов посвящены тысячи публикаций. Этот парадокс трактуется как мысленный эксперимент, идея которого порождена специальной теорией относительности (СТО). Из основных положений СТО (включая идею о равноправии инерциальных систем отсчета - ИСО) вытекает вывод, что с точки зрения «неподвижных» наблюдателей все процессы, происходящие в системах, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, неизбежно должны замедляться. Исходное условие: один из братьев-близнецов - путешественник - отправляется в космический полёт со скоростью, сопоставимой со скоростью света с, и последующим возвращением на Землю. Второй брат - домосед - остаётся на Земле: «С точки зрения домоседа часы движущегося путешественника имеют замедленный ход времени, поэтому при возвращении они должны отстать от часов домоседа. С другой стороны, относительно путешественника двигалась Земля, поэтому отстать должны часы домоседа. На самом деле братья равноправны, следовательно, после возвращения их часы должны показывать одно время» .

Для обострения «парадоксальности» подчеркивается тот факт, что из-за замедления хода часов вернувшийся путешественник должен быть моложе домоседа. Дж. Томсон в свое время показал, что космонавт в полете к звезде «ближайшая Центавра» состарится (при скорости 0,5 от с) на 14,5 лет, в то время как на Земле пройдет 17 лет . Однако по отношению к космонавту в инерциальном движении находилась Земля, поэтому замедляется ход земных часов, и домосед должен стать моложе путешественника. В кажущемся нарушении симметричности братьев усматривается парадоксальность ситуации.

В форму наглядной истории близнецов парадокс облечен П. Ланжевеном в 1911 г. Он объяснял парадокс посредством учета ускоренного движения космонавта при возвращении на Землю. Наглядная формулировка обрела популярность и в дальнейшем использовалась в объяснениях М. фон Лауэ (1913), В. Паули (1918) и др. Всплеск интереса к парадоксу в 1950-х гг. связан с желанием спрогнозировать обозримое будущее пилотируемой космонавтики. Критически осмысливались работы Г. Дингла, который в 1956-1959 гг. попытался опровергнуть сложившиеся объяснения парадокса. На русском языке была опубликована статья М. Борна, содержавшая контрдоводы к аргументам Дингла . Не остались в стороне и советские исследователи .

Обсуждение парадокса близнецов продолжается до сих пор со взаимоисключающими целями - либо обоснования, либо опровержения СТО в целом. Авторы первой группы считают: этот парадокс - надежный аргумент для доказательства несостоятельности СТО. Так, И. А. Верещагин, относя СТО к лжеучению, замечает по поводу парадокса: «"Моложе, но старше" и "старше, но моложе" - как всегда со времен Эвбулида. Теоретики, вместо того чтобы сделать заключение о ложности теории, выдают суждение: либо кто-то из спорщиков будет моложе другого, либо они останутся в одном возрасте» . На этом основании утверждается даже, что СТО остановила развитие физики на сто лет. Ю. А. Борисов идет дальше: «Преподавание теории относительности в школах и вузах страны является ущербным, лишено смысла и практической целесообразности» .

Другие авторы считают: рассматриваемый парадокс - кажущийся, и он не свидетельствует о противоречивости СТО, а наоборот, является ее надежным подтверждением. Они приводят сложные математические выкладки для учета изменения системы отсчета путешественником и стремятся доказать, что СТО не противоречит фактам. Можно выделить три подхода к обоснованию парадокса: 1) выявление логических ошибок в рассуждениях, которые привели к видимому противоречию; 2) детальные расчеты величины замедления времени с позиций каждого из близнецов; 3) включение в систему обоснования парадокса других теорий, кроме СТО. Объяснения второй и третьей групп нередко пересекаются.

Обобщающая логика «опровержений» выводов СТО включает четыре последовательных тезиса: 1) Путешественник, пролетая мимо любых часов, неподвижных в системе домоседа, наблюдает их замедленный ход. 2) Их накопленные показания при длительном полёте могут отстать от показаний часов путешественника сколь угодно сильно. 3) Быстро остановившись, путешественник наблюдает отставание часов, расположенных в «точке остановки». 4) Все часы в «неподвижной» системе идут синхронно, поэтому отстанут и часы брата на Земле, что противоречит выводу СТО .

Издательство ГРАМОТА

Четвертый тезис при этом считается само собой разумеющимся и выступает как бы окончательным выводом о парадоксальности ситуации с близнецами применительно к СТО. Первые два тезиса действительно логически вытекают из постулатов СТО. Однако авторы, разделяющие такую логику, не хотят видеть, что третий тезис не имеет к СТО никакого отношения, поскольку «быстро остановиться» из скорости, сопоставимой со скоростью света, можно, лишь получив гигантское замедление за счет мощной внешней силы. Однако «опровергатели» делают вид, что ничего значительного не происходит: путешественник по-прежнему «должен наблюдать отставание часов, расположенных в точке остановки». Но почему «должен наблюдать», ведь закономерности СТО в этой ситуации перестают действовать? Внятный ответ отсутствует, точнее, он постулируется без доказательств.

Подобные логические скачки характерны и для авторов, «обосновывающих» этот парадокс посредством демонстрации несимметричности близнецов. Для них третий тезис - решающий, поскольку как раз с ситуацией ускорения/замедления они связывают скачки хода часов . По Д. В. Скобельцыну, «логично считать причиной эффекта [замедления часов] "ускорение", которое испытывает В в начале своего движения в отличие от А, который... все время остается неподвижным в одной и той же инерциальной системе» . Действительно, для того, чтобы вернуться на Землю, путешественнику надо выйти из состояния инерциаль-ного движения, затормозить, развернуться, а затем снова разогнаться до скорости, сопоставимой со скоростью света, а достигнув Земли, вновь затормозить и остановиться. Логика Д. В. Скобельцына, как и многих его предшественников и последователей, опирается на тезис самого А. Эйнштейна, который, правда, формулирует парадокс часов (но не «близнецов»): «Если в точке А находятся двое синхронно идущих часов, и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (на что потребуется, скажем, t сек), то эти часы по прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными» . Сформулировав общую теорию относительности (ОТО), Эйнштейн попытался применить её в 1918 г. к объяснению эффекта часов в шутливом диалоге Критика и Релятивиста. Парадокс объяснялся посредством учета влияния гравитационного поля на изменение ритма времени [Там же, с. 616-625].

Однако и опора на А. Эйнштейна не спасает авторов от теоретической подмены, которая становится наглядной, если привести простую аналогию. Представим «Правила дорожного движения» с единственным правилом: «Сколь бы широкой ни была дорога, водитель обязан ехать равномерно и прямолинейно со скоростью 60 км в час». Формулируем задачу: один близнец - домосед, другой - дисциплинированный водитель. Каким будет возраст каждого из близнецов, когда водитель вернется из длительного путешествия домой?

Эта задача не только не имеет решения, но и сформулирована некорректно: если водитель дисциплинирован, то он не сможет вернуться домой. Для этого он должен либо с постоянной скоростью описать полукруг (непрямолинейное движение!), либо затормозить, остановиться и начать разгон в обратном направлении (неравномерное движение!). В любом из вариантов он перестает быть дисциплинированным водителем. Путешественник из парадокса - такой же недисциплинированный космонавт, нарушающий постулаты СТО.

С подобными же нарушениями связаны объяснения на основе сравнений мировых линий обоих близнецов. Прямо указывается, что «мировая линия путешественника, улетевшего с Земли и возвратившегося к ней, прямой не является» , т.е. ситуация из сферы СТО перемещается в сферу ОТО. Но «если парадокс близнецов является внутренней проблемой СТО, то она должна решаться методами СТО, без выхода за ее рамки» .

Многие авторы, «доказывающие» непротиворечивость парадокса близнецов, считают равнозначными мысленный эксперимент с близнецами и реальные эксперименты с мюонами. Так, А. С. Каменев считает, что в случае движения космических частиц феномен «парадокса близнецов» проявляется «очень заметно»: «движущийся с субсветовой скоростью нестабильный мюон (мю-мезон) существует в собственной системе отсчета примерно 10-6 сек, тогда как время его жизни относительно лабораторной системы отсчета оказывается приблизительно на два порядка больше (примерно 10-4 сек), - но тут уже скорость частицы отличается от скорости света всего лишь на сотые доли процента» . О том же пишет Д. В. Скобельцын . Авторы не видят или не хотят видеть принципиальное отличие ситуации близнецов от ситуации мюонов: близнец-путешественник вынужден выйти из подчинения постулатам СТО, изменяя скорость и направление движения, а мюоны на протяжении всего времени ведут себя как инерциальные системы, поэтому их поведение и может быть объяснено с помощью СТО.

А. Эйнштейн специально подчеркивал, что СТО имеет дело с инерциальными системами и только с ними, утверждая равноценность только всех «галилеевых (неускоренных) систем координат, т.е. таких систем, по отношению к которым в достаточной мере изолированные материальные точки движутся прямолинейно и равномерно» . Поскольку СТО не рассматривает такие движения (неравномерные и непрямолинейные), благодаря которым путешественник мог бы вернуться на Землю, постольку СТО накладывает запрет на такое возвращение. Парадокс близнецов, таким образом, вовсе не является парадоксальным: в рамках СТО он просто не может быть сформулирован, если строго принимать в качестве предпосылок те исходные постулаты, на которых базируется эта теория.

Лишь весьма редкие исследователи пытаются рассматривать положение о близнецах в формулировке, совместимой со СТО. В этом случае поведение близнецов рассматривается как аналогичное уже известному поведению мюонов. В. Г. Пивоваров и О. А. Никонов вводят представление о двух «домоседах» А и В на расстоянии Ь в ИСО К, а также о путешественнике С в ракете К", летящей со скоростью V, сравнимой со скоростью

света (Рис. 1). Все трое родились одновременно в момент пролета ракетой точки С. После встречи близнецов С и В можно сравнить возраст А и С с помощью посредника В, который является копией близнеца А (Рис. 2).

Близнец А считает, что в момент встречи В и С часы близнеца С покажут меньшее время. Близнец С считает, что он покоится, следовательно, из-за релятивистского замедления хода часов меньше времени пройдет у близнецов А и В. Получен типичный парадокс близнецов.

Рис. 1. Близнецы А и С рождаются одновременно с близнецом В по часам ИСО К"

Рис. 2. Близнецы В и С встречаются после того, как близнец С пролетел расстояние L

Заинтересованного читателя отсылаем к математическим выкладкам, приведенным в статье . Остановимся лишь на качественных выводах авторов. В ИСО К близнец С пролетает расстояние Ь между А и В со скоростью V. Это и определит собственный возраст близнецов А и В к моменту встречи В и С. Однако в ИСО К" собственный возраст близнеца С определяется временем, за которое он с той же скоростью пролетает L" - расстояние между А и В в системе К". Согласно СТО, Ь" короче расстояния Ь. А значит, и время, затраченное близнецом С по его собственным часам на полет между А и В, меньше возраста близнецов А и В. Авторы статьи подчеркивают, что в момент встречи близнецов В и С собственный возраст близнецов А и В отличается от собственного возраста близнеца С, и «причиной этого отличия является асимметрия начальных условий задачи» [Там же, с. 140].

Таким образом, предложенная В. Г. Пивоваровым и О. А. Никоновым теоретическая формулировка ситуации с близнецами (совместимая с постулатами СТО) оказывается аналогичной ситуации с мюонами, подтвержденной физическими опытами.

Классическая формулировка «парадокса близнецов» в том случае, когда она соотносится со СТО, является элементарной логической ошибкой. Будучи логической ошибкой, парадокс близнецов в его «классической» формулировке не может выступать аргументом ни за, ни против СТО.

Значит ли это, что нельзя обсуждать тезис о близнецах? Конечно, можно. Но если речь идет о классической формулировке, то ее следует рассматривать как тезис-гипотезу, но не как парадокс, связанный со СТО, поскольку для обоснования тезиса привлекаются концепции, находящиеся за рамками СТО. Заслуживает внимания дальнейшее развитие подхода В. Г. Пивоварова и О. А. Никонова и обсуждение парадокса близнецов в формулировке, отличной от понимания П. Ланжевена и совместимой с постулатами СТО.

Список источников

1. Борисов Ю. А. Обзор критики теории относительности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 3. С. 382-392.

2. Борн М. Космические путешествия и парадокс часов // Успехи физических наук. 1959. Т. LXIX. С. 105-110.

3. Верещагин И. А. Лжеучения и паранаука ХХ века. Часть 2 // Успехи современного естествознания. 2007. № 7. С. 28-34.

4. Каменев А. С. Теория относительности А. Эйнштейна и некоторые философские проблемы времени // Вестник Московского государственного педагогического университета. Серия «Философские науки». 2015. № 2 (14). С. 42-59.

5. Парадокс близнецов [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_близнецов (дата обращения: 31.03.2017).

6. Пивоваров В. Г., Никонов О. А. Замечания к парадоксу близнецов // Вестник Мурманского государственного технического университета. 2000. Т. 3. № 1. С. 137-144.

7. Скобельцын Д. В. Парадокс близнецов и теория относительности. М.: Наука, 1966. 192 с.

8. Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. М.: Наука, 1966. 120 с.

9. Томсон Дж. П. Предвидимое будущее. М.: Иностранная литература, 1958. 176 с.

10. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1965. Т. 1. Работы по теории относительности 1905-1920. 700 с.

THE TWIN PARADOX AS A LOGIC ERROR

Otyutskii Gennadii Pavlovich, Doctor in Philosophy, Professor Russian State Social University in Moscow otiuzkyi@mail. ru

The article deals with the existing approaches to the consideration of the twin paradox. It is shown that although the formulation of this paradox is related to the special theory of relativity, the general theory of relativity is also used in most attempts to explain it, which is not methodologically correct. The author grounds a proposition that the formulation of the "twin paradox" itself is initially incorrect, because it describes the event that is impossible within the framework of the special theory of relativity.

Key words and phrases: twin paradox; general theory of relativity; special theory of relativity; space; time; simultaneity; A. Einstein.

Мнимые парадоксы СТО. Парадокс близнецов

Путенихин П.В.
[email protected]

В литературе и в интернете до сих пор идут многочисленные дискуссии по этому парадоксу. Предложено и продолжает предлагаться множество его решений (объяснений), из которых делаются выводы как о непогрешимости СТО, так и её ложности. Впервые тезис, послуживший основой для формулировки парадокса, был изложен Эйнштейном в его основополагающей работе по специальной (частной) теор ии относительности «К электродинамике движущихся тел» в 1905 году:

«Если в точке А находятся двое синхронно идущих часов и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (...), то эти часы по прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными...».

В дальнейшем этот тезис получил собственные имена «парадокс часов», «парадокс Ланжевена» и «парадокс близнецов». Последнее название прижилось, и в настоящее время чаще встречается формулировка не с часами, а с близнецами и космическими полётами: если один из близнецов улетает на космическом корабле к звёздам, то по возвращению он оказывается моложе своего остававшегося на Земле брата.

Гораздо реже обсуждается другой, сформулированный Эйнштейном в этой же работе и следующий сразу же за первым, тезис об отставании часов на экваторе от часов, находящихся на полюсе Земли. Смыслы обоих тезисов совпадают:

«… часы с балансиром, находящиеся на земном экваторе, должны идти несколько медленнее, чем точно такие же часы, помещённые на полюсе, но в остальном поставленные в одинаковые условия».

На первый взгляд это утверждение может показаться странным, ведь расстояние между часами неизменно и нет относительной скорости между ними. Но на самом деле на изменение темпа хода часов влияет мгновенная скорость, которая, хотя и меняет непрерывно своё направление (тангенциальная скорость экватора), но все в сумме они дают ожидаемое отставание часов.

Парадокс, кажущееся противоречие в предсказаниях теор ии относительности возникает, если движущимся близнецом считать того, который оставался на Земле. В этом случае теперь уже улетавший в космос близнец должен ожидать, что остававшийся на Земле брат окажется моложе него. Так же и с часами: с точки зрения часов на экваторе движущимися следует считать часы на полюсе. Таким образом, и возникает противоречие: так кто же из близнецов окажется моложе? Какие из часов покажут время с отставанием?

Чаще всего парадоксу обычно даётся простое объяснение: две рассматриваемые системы отсчета на самом деле не являются равноправными. Близнец, который улетал в космос, в своём полёте не всегда находился в инерциальной системе отсчета, в эти моменты он не может использовать уравнения Лоренца. Так же и с часами.

Отсюда следует сделать вывод: в СТО не может быть корректно сформулирован «парадокс часов», специальная теор ия не делает двух взаимоисключающих предсказаний. Полное решение задача получила после создания общей теор ии относительности, которая решила задачу точно и показала, что, действительно, в описанных случаях отстают движущиеся часы: часы улетавшего близнеца и часы на экваторе . «Парадокс близнецов» и часов, таким образом, является рядовой задачей теор ии относительности.

Задача об отставании часов на экваторе

Мы опираемся на определение понятия «парадокс» в логике как противоречия, полученного в результате логически формально правильного рассуждения, приводящего к взаимно противоречащим заключениям (Энциплопедический словарь), или как два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы (Логический словарь). С этой позиции, «парадокс близнецов, часов, Ланжевена» парадоксом не является, поскольку нет двух взаимоисключающих предсказаний теор ии.

Сначала покажем, что тезис в работе Эйнштейна о часах на экваторе полностью совпадает с тезисом об отставании движущихся часов. На рисунке показаны условно (вид сверху) часы на полюсе Т1 и часы на экваторе Т2. Мы видим, что расстояние между часами неизменно, то есть, между ними, казалось бы, нет необходимой относительной скорости, которую можно подставить в уравнения Лоренца. Однако, добавим третьи часы Т3. Они находятся в ИСО полюса, как и часы Т1, и идут, следовательно, синхронно с ними. Но теперь мы видим, что часы Т2 явно имеют относительную скорость по отношению к часам Т3: сначала часы Т2 находятся на близком расстоянии от часов Т3, затем они удаляются и вновь приближаются. Следовательно, с точки зрения неподвижных часов Т3 движущиеся часы Т2 отстают:

Рис.1 Движущиеся по окружности часы отстают от часов, находящихся в центре окружности. Это становится более очевидно, если добавить неподвижные часы вблизи от траектории движущихся.

Следовательно, часы Т2 отстают также и от часов Т1. Переместим теперь часы Т3 настолько близко к траектории Т2, что в какой-то начальный момент времени они окажутся рядом. В этом случае мы получаем классический вариант парадокса близнецов. На следующем рисунке мы видим, что сначала часы Т2 и Т3 были в одной точке, затем часы на экваторе Т2 стали удаляться от часов Т3 и по замкнутой кривой через некоторое время вернулись в исходную точку:

Рис.2. Движущиеся по окружности часы Т2 сначала находятся рядом с неподвижными часами Т3, затем удаляются и через некоторое время вновь сближаются с ними.

Это полностью соответствует формулировке первого тезиса об отставании часов, послужившего основой «парадокса близнецов». Но часы Т1 и Т3 идут синхронно, следовательно, часы Т2 отстали также и от часов Т1. Таким образом, оба тезиса из работы Эйнштейна в равной степени могут служить основой для формулировки «парадокса близнецов».

Величина отставания часов в этом случае определяется уравнением Лоренца, в которое мы должны подставить тангенциальную скорость движущихся часов. Действительно, в каждой точке траектории часы Т2 имеют скорости, равные по модулю, но разные по направлениям:

Рис.3 Движущиеся часы имеют постоянно изменяющееся направление скорости.

Как эти разные скорости внести в уравнение? Очень просто. Давайте, в каждую точку траектории часов Т2 поместим свои собственные неподвижные часы. Все эти новые часы идут синхронно с часами Т1 и Т3, поскольку все они находятся в одной и той же неподвижной ИСО. Часы Т2, проходя каждый раз мимо соответствующих часов, испытывает отставание, вызванное относительной скоростью именно мимо этих часов. За мгновенный интервал времени по этим часам, часы Т2 также отстанут на мгновенно малое время, которое можно вычислить по уравнению Лоренца. Здесь и далее мы будем использовать одни и те же обозначения для часов и их показаний:

Очевидно, что верхним пределом интегрирования являются показания часов Т3 в момент, когда часы Т2 и Т3 вновь встретятся. Как видим, показания часов Т2 < T3 = T1 = T. Лоренцев множитель мы выносим из-под знака интеграла, поскольку он является константой для всех часов. Введённое множество часов можно рассматривать как одни часы - «распределённые в пространстве часы». Это «пространство часов», в котором часы в каждой точке пространства идут синхронно и обязательно некоторые из них находятся рядом с движущимся объектом, с которым эти часы имеют строго определённое относительное (инерциальное) движение.

Как видим, получено решение, полностью совпадающее с решением первого тезиса (с точностью до величин четвертого и высших порядков). По этой причине, дальнейшие рассуждения можно рассматривать как относящиеся ко всем видам формулировок «парадокса близнецов».

Вариации на тему «парадокса близнецов»

Парадокс часов, как отмечено выше, означает, что специальная теор ия относительности, вроде бы, делает два взаимно противоречащих друг другу предсказания. Действительно, как мы только - что вычислили, движущиеся по окружности часы отстают от часов, находящихся в центре окружности. Но и часы Т2, движущиеся по окружности, имеют все основания утверждать, что они находятся в центре окружности, вокруг которой движутся неподвижные часы Т1.

Уравнение траектории движущихся часов Т2 с точки зрения неподвижных Т1:

x, y - координаты движущихся часов Т2 в системе отсчета неподвижных;

R - радиус окружности, описываемой движущимися часами Т2.

Очевидно, что с точки зрения движущихся часов Т2, расстояние между ними и неподвижными часами Т1 также равно R в любой момент времени. Но известно, что геометрическим местом точек, равно удалённых от заданной, является окружность. Следовательно, и в системе отсчета движущихся часов Т2, неподвижные часы Т1 движутся вокруг них по окружности:

x 1 2 + y 1 2 = R 2

x 1 , y 1 - координаты неподвижных часов Т1 в системе отсчета движущихся;

R - радиус окружности, описываемой неподвижными часами Т1.

Рис.4 С точки зрения движущихся часов Т2 вокруг них по окружности движутся неподвижные часы Т1.

А это, в свою очередь, означает, что с точки зрения специальной теор ии относительности и в этом случае должно возникнуть отставание часов. Очевидно, что в этом случае, наоборот: Т2 > T3 = T. Получается, что и на самом деле специальная теор ия относительности делает два взаимоисключающих предсказания Т2 > T3 и Т2 < T3? И это действительно так, если не принять во внимание, что теор ия была создана для инерциальных систем отсчета. Здесь же движущиеся часы Т2 не находятся в инерциальной системе. Само по себе это не запрет, а лишь указание на необходимость учесть это обстоятельство. И это обстоятельство разъясняет общая теор ия относительности . Применять его или нет, можно определить простым опытом. В инерциальной системе отсчета на тела не действуют никакие внешние силы. В неинерциальной системе и согласно принципу эквивалентности общей теор ии относительности на все тела действует сила инерции или тяготения. Следовательно, маятник в ней отклонится, все незакреплённые тела будут стремиться переместиться в одном направлении.

Такой опыт рядом с неподвижными часами Т1 даст отрицательный результат, будет наблюдаться невесомость. А вот рядом с движущимися по окружности часами Т2 на все тела будет действовать сила, стремящаяся отбросить их от неподвижных часов. Мы, разумеется, считаем, что никаких иных гравитирующих тел поблизости нет. Кроме того, движущиеся по окружности часы Т2 сами по себе не вращаются, то есть, движутся не так, как Луна вокруг Земли, обращённая к ней всегда одной и той же стороной. Наблюдатели рядом с часами Т1 и Т2 в своих системах отсчета будут видеть удалённый от них на бесконечность объект всегда под одним и тем же углом.

Таким образом, движущийся с часами Т2 наблюдатель должен учесть факт неинерциальности своей системы отсчета в соответствии с положениями общей теор ии относительности. Эти положения говорят, что часы в поле гравитации или в эквивалентном ему поле инерции, замедляют свой ход. Поэтому в отношении неподвижных (по условиям опыта) часов Т1 он должен признать, что эти часы находятся в гравитационном поле меньшей напряженности, поэтому они идут быстрее его собственных и к их ожидаемым показаниям следует добавить гравитационную поправку.

Напротив, наблюдатель рядом с неподвижными часами Т1 констатирует, что движущиеся часы Т2 находятся в поле инерционной гравитации, поэтому идут медленнее и от их ожидаемых показаний следует отнять гравитационную поправку.

Как видим, мнение обоих наблюдателей полностью совпали в том, что движущиеся в исходном смысл е часы Т2 отстанут. Следовательно, специальная теор ия относительности в «расширенной» трактовке делает два строго согласованных предсказания, что не даёт никаких оснований для провозглашения парадоксов. Это рядовая задача, имеющая вполне конкретное решение. Парадокс в СТО возникает лишь в том случае, если использовать её положения к объекту, не являющимся объектом специальной теор ии относительности. Но, как известно, неверная посылка может привести как к правильному, так и к ложному результату.

Эксперимент, подтверждающий СТО

Следует отметить, что все эти рассмотренные мнимые парадоксы соответствуют мысленным экспериментам на основе математической модели под названием Специальная Теория Относительности. То, что в этой модели данные эксперименты имеют полученные выше решения, не обязательно означает, что в реальном физическом эксперименты будут получены такие же результаты. Математическая модель теор ии прошла многолетнее испытание и в ней не найдено никаких противоречий. Это значит, что все логически корректные мысленные эксперименты неизбежно будут давать результат, подтверждающий её .

В этой связи представляет особый интерес эксперимент, который общепризнанно в реальных условиях показал точно такой же результат, что и рассмотренный мысленный эксперимент. Непосредственно это означает, что математическая модель теор ии верно отражает, описывает реальные физические процессы.

Это был первый эксперимент по проверке отставания движущихся часов, известный как эксперимент Хафеле - Китинга, проведённый в 1971 г . Четверо часов, сделанных на основе цезиевых стандартов частоты, были помещены на два самолета и совершили кругосветное путешествие. Одни часы путешествовали в восточном направлении, другие обогнули Землю в западном направлении. Разница в скорости хода времени возникала из-за добавочной скорости вращения Земли, при этом учитывалось и влияние поля тяготения на полетной высоте по сравнению с уровнем Земли. В результате эксперимента удалось подтвердить общую теор ию относительности, измерить различие в скорости хода часов на борту двух самолетов. Полученные результаты были опубликованы в журнале Science в 1972 году.

Литература

1. Путенихин П.В., Три ошибки анти-СТО [прежде, чем критиковать теор ию, её следует хорошо изучить; невозможно опровергнуть безупречную математику теор ии её же математическими средствами, кроме как незаметно отказавшись от её постул атов - но это уже другая теор ия; не используются известные экспериментальные противоречия в СТО - опыты Маринова и других - их нужно многократно повторить], 2011, URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/antisto.shtml (дата обращения 12.10.2015)

2. Путенихин П.В., Итак, парадокса (близнецов) больше нет! [анимированные диаграммы - решение парадокса близнецов средствами ОТО; решение имеет погрешность вследствие использования приближённого уравнения потенциал а; ось времени - горизонтальна, расстояний - вертикальна], 2014, URL:
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ddm4-oto.shtml (дата обращения 12.10.2015)

3. Эксперимент Хафеле-Китинга, Викпиедия, [убедительное подтверждение эффекта СТО о замедлении хода движущихся часов], URL:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Эксперимент_Хафеле_—_Китинга (дата обращения 12.10.2015)

4. Путенихин П.В. Мнимые парадоксы СТО. Парадокс близнецов, [парадокс является мнимым, кажущимся, поскольку его формулировка сделана с ошибочными предположениями; корректные предсказания специальной теор ии относительности не являются противоречивыми], 2015, URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paradox-twins.shtml (дата обращения 12.10.2015)

Парадокс близнецов

Затем, в 1921 году простое объяснение, основанное на инвариантности собственного времени, предложил Вольфганг Паули .

Некоторое время «парадокс близнецов» почти не привлекал к себе внимания. В 1956-1959 годах Герберт Дингл выступил с рядом статей , в которых утверждалось, что известные объяснения «парадокса» неверны. Несмотря на ошибочность аргументации Дингла , его работы вызвали многочисленные дискуссии в научных и научно-популярных журналах . В результате появился ряд книг, посвящённых этой теме. Из русскоязычных источников стоит отметить книги , а также статью .

Большинство исследователей не считают «парадокс близнецов» демонстрацией противоречия теории относительности, хотя история появления тех или иных объяснений «парадокса» и придания ему новых форм не прекращается до настоящего времени .

Классификация объяснений парадокса

Объяснить парадокс, подобный «парадоксу близнецов», можно при помощи двух подходов:

1) Выявить происхождение логической ошибки в рассуждениях, которые привели к противоречию; 2) Провести детальные вычисления величины эффекта замедления времени с позиции каждого из братьев.

Первый подход зависит от деталей формулировки парадокса. В разделах «Простейшие объяснения » и «Физическая причина парадокса » будут приведены различные версии «парадокса» и даны объяснения того, почему противоречия на самом деле не возникает.

В рамках второго подхода расчёты показаний часов каждого из братьев проводятся как с точки зрения домоседа (что обычно не представляет труда), так и с точки зрения путешественника. Так как последний менял свою систему отсчёта , возможны различные варианты учёта этого факта. Их условно можно разделить на две большие группы.

К первой группе относятся вычисления на основе специальной теории относительности в рамках инерциальных систем отсчёта. В этом случае этапы ускоренного движения считаются пренебрежимо малыми по сравнению с общим временем полёта. Иногда вводится третья инерциальная система отсчёта, движущаяся навстречу путешественнику, при помощи которой показания его часов «передаются» брату-домоседу. В разделе «Обмен сигналами » будет приведен простейший расчёт, основанный на эффекте Доплера .

Ко второй группе относятся вычисления, учитывающие детали ускоренного движения . В свою очередь, они делятся по признаку использования или неиспользования в них теории гравитации Эйнштейна (ОТО). Расчёты с использованием ОТО основаны на введении эффективного гравитационного поля , эквивалентного ускорению системы, и учёте изменения в нём темпа хода времени. Во втором способе неинерциальные системы отсчёта описываются в плоском пространстве-времени и понятие гравитационного поля не привлекается. Основные идеи этой группы расчётов будут представлены в разделе «Неинерциальные системы отсчёта ».

Кинематические эффекты СТО

При этом, чем короче момент ускорения, тем оно больше, и как следствие больше разница в скорости часов на Земле и космического корабля, если он удалён от Земли в момент изменения скорости. Поэтому ускорением никогда нельзя пренебречь.

Конечно, сама по себе констатация несимметричности братьев не объясняет, почему замедлиться должны часы именно у путешественника, а не у домоседа. Кроме этого, часто возникает непонимание:

«Почему нарушение равноправия братьев в течение столь короткого времени (остановка путешественника) приводит к такому разительному нарушению симметрии?»

Чтобы глубже понять причины несимметричности и следствия, к которым они приводят, необходимо ещё раз выделить ключевые посылки, явно или неявно присутствующие в любой формулировке парадокса. Для этого будем считать, что вдоль траектории движения путешественника в «неподвижной» системе отсчёта, связанной с домоседом, расположены синхронно идущие (в этой системе) часы. Тогда возможна следующая цепочка рассуждений, как бы «доказывающих» противоречивость выводов СТО:

1. Путешественник, пролетая мимо любых часов, неподвижных в системе домоседа, наблюдает их замедленный ход.
2. Более медленный темп хода часов означает, что их накопленные показания отстанут от показаний часов путешественника, и при длительном полёте - сколь угодно сильно.
3. Быстро остановившись, путешественник по-прежнему должен наблюдать отставание часов, расположенных в «точке остановки».
4. Все часы в «неподвижной» системе идут синхронно, поэтому отстанут и часы брата на Земле, что противоречит выводу СТО.

Итак, почему путешественник на самом деле будет наблюдать отставание своих часов от часов «неподвижной» системы, несмотря на то, что все такие часы с его точки зрения идут медленнее? Наиболее простым объяснением в рамках СТО является то, что синхронизовать все часы в двух инерциальных системах отсчёта невозможно. Рассмотрим это объяснение подробнее.

Физическая причина парадокса

Во время полёта путешественник и домосед находятся в различных точках пространства и не могут сравнивать свои часы непосредственно. Поэтому, как и выше, будем считать, что вдоль траектории движения путешественника в «неподвижной» системе, связанной с домоседом, расставлены одинаковые, синхронно идущие часы, которые может наблюдать путешественник во время полёта. Благодаря процедуре синхронизации в «неподвижной» системе отсчёта введено единое время, определяющее в данный момент «настоящее» этой системы.

После старта путешественник «переходит» в инерциальную систему отсчёта , движущуюся относительно «неподвижной» со скоростью . Этот момент времени принимается братьями за начальный . Каждый из них будет наблюдать замедленный ход часов другого брата.

Однако, единое «настоящее» системы для путешественника перестаёт существовать. В системе отсчёта есть своё «настоящее» (множество синхронизированных часов). Для системы , чем дальше по ходу движения путешественника находятся части системы , тем в более отдалённом «будущем» (с точки зрения «настоящего» системы ) они находятся.

Непосредственно это будущее наблюдать путешественник не может. Это могли бы сделать другие наблюдатели системы , расположенные впереди по движению и имеющие синхронизированное с путешественником время.

Поэтому, хотя все часы в неподвижной системе отсчёта, мимо которых пролетает путешественник, идут с его точки зрения медленнее, из этого не следует , что они отстанут от его часов.

В момент времени , чем дальше впереди по курсу находятся «неподвижные» часы, тем больше их показания с точки зрения путешественника. Когда он достигает этих часов, они не успеют отстать настолько, чтобы скомпенсировать начальное расхождение времени.

Действительно, положим координату путешественника в преобразованиях Лоренца равной . Закон его движения относительно системы имеет вид . Время, прошедшее после начала полёта, по часам в системе меньше, чем в :

Другими словами, время на часах путешественника отстаёт от показаний часов системы . В то же время часы, мимо которых пролетает путешественник, неподвижны в : . Поэтому их темп хода для путешественника выглядит замедленным:

Таким образом:

несмотря на то, что все конкретные часы в системе идут медленнее с точки зрения наблюдателя в , разные часы вдоль его траектории будут показывать время, ушедшее вперед.

Разность темпа хода часов и - эффект относительный, тогда как значения текущих показаний и в одной пространственной точке - носят абсолютный характер. Наблюдатели, находящиеся в различных инерциальных системах отсчёта, но «в одной» пространственной точке, всегда могут сравнить текущие показания своих часов. Путешественник, пролетая мимо часов системы видит, что они ушли вперёд . Поэтому, если путешественник решит остановиться (быстро затормозив), ничего не изменится, и он попадёт в «будущее» системы . Естественно, после остановки темп хода его часов и часов в станет одинаковым. Однако, часы путешественника будут показывать меньшее время чем часы системы , находящиеся в точке остановки. В силу единого времени в системе часы путешественника отстанут от всех часов , в том числе и от часов его брата. После остановки путешественник может вернуться домой. В этом случае весь анализ повторяется. В результате, как в точке остановки и разворота, так и в исходной точке при возвращении путешественник оказывается моложе своего брата-домоседа.

Если же вместо остановки путешественника до его скорости ускорится домосед, то последний «попадёт» в «будущее» системы путешественника. В результате «домосед» окажется моложе «путешественника». Таким образом:

кто изменяет свою систему отсчёта, тот и оказывается моложе.

Обмен сигналами

Вычисление замедления времени с позиции каждого брата можно провести при помощи анализа обмена сигналами между ними. Хотя братья, находясь в различных точках пространства, не могут непосредственно сравнивать показания своих часов, они могут передавать сигналы «точного времени» при помощи световых импульсов или видеотрансляции изображения часов. Понятно, что при этом они наблюдают не «текущее» время на часах брата, а «прошлое», так как сигналу требуется время для распространения от источника к приёмнику.

При обмене сигналами необходимо учитывать эффект Доплера . Если источник удаляется от приёмника, то частота сигнала уменьшается, а когда он приближается - увеличивается:

где - собственная частота излучения, а - частота принимаемого наблюдателем сигнала. Эффект Доплера имеет классическую составляющую и составляющую релятивистскую, непосредственно связанную с замедлением времени. Скорость , входящая в соотношения изменения частоты, является относительной скоростью источника и приёмника.

Рассмотрим ситуацию, в которой братья передают друг другу каждую секунду (по своим часам) сигналы точного времени. Проведём сначала расчёт с позиции путешественника.

Расчёт путешественника

Пока путешественник удаляется от Земли, он, в силу эффекта Доплера , регистрирует уменьшение частоты принимаемых сигналов. Видеотрансляция с Земли выглядит более медленной. После быстрого торможения и остановки путешественник перестаёт удаляться от земных сигналов, и их период сразу оказывается равным его секунде. Темп видеотрансляции становится «естественным», хотя, в силу конечности скорости света, путешественник по-прежнему наблюдает «прошлое» своего брата. Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает «набегать» на идущие ему навстречу сигналы и их частота увеличивается. «Движения брата» на видеотрансляции с этого момента начинают выглядеть для путешественника ускоренными .

Время полёта по часам путешественника в одну сторону равно , и такое же в обратную. Количество принятых «земных секунд» в течение путешествия равно их частоте , умноженной на время. Поэтому при удалении от Земли путешественник получит существенно меньше «секунд»:

а при приближении, наоборот, больше:

Суммарное количество «секунд», полученных с Земли за время , больше, чем переданных на неё:

в точном соответствии с формулой замедления времени.

Расчёт домоседа

Несколько иная арифметика у домоседа. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличенный период точного времени, передаваемый путешественником. Однако, в отличие от брата, домосед наблюдает такое замедление дольше . Время полёта на расстояние в одну сторону составляет по земным часам . Торможение и разворот путешественника домосед увидит спустя дополнительное время , требуемое свету для прохождения расстояния от точки разворота. Поэтому, только через время от начала путешествия домосед зарегистрирует ускоренную работу часов приближающегося брата:

Время движения света от точки разворота выражается через время полёта к ней путешественника следующим образом (см. рисунок):

Поэтому количество «секунд», полученных от путешественника, до момента его разворота (по наблюдениям домоседа) равно:

Сигналы с повышенной частотой домосед принимает в течение времени (см. рисунок выше), и получает «секунд» путешественника:

Суммарное число полученных «секунд» за время равно:

Таким образом, соотношение для показания часов в момент встречи путешественника () и брата-домоседа () не зависит от того, с чьей точки зрения оно рассчитывается.

Геометрическая интерпретация

, где - гиперболический арксинус

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра , удалённой от Земли на расстояние в 4,3 световых года . Если время измеряется в годах, а расстояния в световых годах, то скорость света равна единице, а единичное ускорение св.год/год² близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9,5 м/c².

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину - с таким же ускорением тормозит (). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

За 64 года собственного времени космический корабль с единичным ускорением потенциально может совершить путешествие (вернувшись на Землю) к галактике Андромеды , удалённой на 2,5 млн св. лет . На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет. Развивая вдвое большее ускорение (к которому тренированный человек вполне может привыкнуть при соблюдении ряда условий и использования ряда приспособлений, например, анабиоза), можно подумать даже об экспедиции к видимому краю Вселенной (около 14 млрд. св. лет), которая займёт у космонавтов порядка 50 лет; правда, возвратившись из такой экспедиции (через 28 млрд. лет по земным часам), её участники рискуют не застать в живых не то что Землю и Солнце, но даже нашу Галактику. Исходя из этих расчётов, разумный радиус доступности для межзвёздных экспедиций с возвратом не превышает нескольких десятков световых лет, если, конечно, не будут открыты какие-либо принципиально новые физические принципы перемещения в пространстве-времени. Впрочем, обнаружение многочисленных экзопланет даёт основания полагать, что планетные системы встречаются у достаточно большой доли звёзд, поэтому космонавтам будет что исследовать и в этом радиусе (например, планетные системы ε Эридана и Глизе 581).

Расчёт путешественника

Для проведения того же расчёта с позиции путешественника, необходимо задать метрический тензор , соответствующий его неинерциальной системе отсчёта . Относительно этой системы скорость путешественника нулевая, поэтому время на его часах равно

Заметим, что является координатным временем и в системе путешественника отличается от времени системы отсчёта домоседа.

Земные часы свободны, поэтому они движутся вдоль геодезической , определяемой уравнением :

где - символы Кристоффеля , выражающиеся через метрический тензор . При заданном метрическом тензоре неинерциальной системы отсчёта эти уравнения позволяют найти траекторию часов домоседа в системе отсчёта путешественника. Её подстановка в формулу для собственного времени даёт интервал времени, прошедший по «неподвижным» часам:

где - координатная скорость земных часов.

Подобное описание неинерциальных систем отсчёта возможно либо при помощи теории гравитации Эйнштейна , либо без ссылки на последнюю. Детали расчёта в рамках первого способа можно найти, например, в книге Фока или Мёллера . Второй способ рассмотрен в книге Логунова .

Результат всех этих вычислений показывает, что и с точки зрения путешественника его часы отстанут от часов неподвижного наблюдателя. В итоге разница времени путешествия с обеих точек зрения будет одинаковая, и путешественник окажется моложе домоседа. Если длительность этапов ускоренного движения много меньше длительности равномерного полёта, то результат более общих вычислений совпадает с формулой, полученной в рамках инерциальных систем отсчёта.

Выводы

Рассуждения, проводимые в истории с близнецами, приводят только к кажущемуся логическому противоречию. При любой формулировке «парадокса» полной симметричности между братьями нет. Кроме этого, важную роль для понимания того, почему время замедляется именно у путешественника, менявшего свою систему отсчёта, играет относительность одновременности событий.

Расчёт величины замедления времени с позиции каждого брата может быть выполнен как в рамках элементарных вычислений в СТО, так и при помощи анализа неинерциальных систем отсчёта. Все эти вычисления согласуются друг с другом и показывают, что путешественник окажется моложе своего брата-домоседа.

Парадоксом близнецов часто также называют сам вывод теории относительности о том, что один из близнецов состарится сильнее другого. Хотя такая ситуация и необычна, в ней нет внутреннего противоречия. Многочисленные эксперименты по удлинению времени жизни элементарных частиц и замедлению хода макроскопических часов при их движении подтверждают теорию относительности. Это даёт основание утверждать, что замедление времени, описанное в истории с близнецами, произойдёт и при реальном осуществлении этого мысленного эксперимента.

См. также

Примечания

Источники

1. Эйнштейн А. «К электродинамике движущихся тел », Ann. d. Phys.,1905 b. 17, s. 89, русский перевод в «Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырёх томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905-1920.» М.: Наука, 1965.
2. Langevin P. «L’evolution de l’espace et du temps ». Scientia 10: 31-54. (1911)
3. Laue M. (1913) "Das Relativit\"atsprinzip ". Wissenschaft (No. 38) (2 ed.). (1913)
4. Эйнштейн А. «Диалог по поводу возражений против теории относительности », Naturwiss., 6, с.697-702. (1918). русский перевод «А. Эйнштейн, Собрание научных трудов», т. I, М., «Наука» (1965)
5. Паули В. - «Теория Относительности » М.: Наука, 1991.
6. Dingle Н. «Relativity and Space travel », Nature 177, 4513 (1956).
7. Dingle H. «A possible experimental test of Einstein’s Second postulate », Nature 183, 4677 (1959).
8. Coawford F. «Experimental verification of the clock-paradox in relativity », Nature 179, 4549 (1957).
9. Darvin S. , «The clock paradox in relativity », Nature 180, 4593 (1957).
10. Бойер Р. , «Парадокс часов и общая теория относительности », Эйнштейновский сборник, «Наука», (1968).
11. Campbell W. , «The clock paradox », Canad. Aeronaut. J.4, 9, (1958)
12. Frey R., Brigham V., «Paradox of the twins », Amer. J. Phys. 25, 8 (1957)
13. Leffert С. , Donahue T., «Clock paradox and the physics of discontinuous gravitational fields », Amer. J. Phys. 26, 8 (1958)
14. McMillan E., «The „clock-paradox“ and Space travel », Science, 126, 3270 (1957)
15. Romer R. , «Twin paradox in special relativity ». Amer. J. Phys. 27, 3 (1957)
16. Schild, A. «The clock paradox in relativity theory », Amer. Math. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).
17. Singer S., «Relativity and space travel », Nature 179,4567 (1957)
18. Скобельцын Д. В. , «Парадокс близнецов в теории относительности », «Наука», (1966).
19. Гольденблат И. И., «Парадоксы времени в релятивистской механике », М. «Наука», (1972).
20. Терлецкий Я. П. «Парадоксы теории относительности », М.: Наука (1965)
21. Угаров В. А. - «Специальная теория относительности » М.: «Наука», (1977)

Парадокс близнецов окутан романтикой межзвездных перелетов и туманом неверных толкований. Широкую известность он получил благодаря формулировке Поля Ланжевена (1911 г.), которая в популярном пересказе звучит следующим образом:

Один брат-близнец остаётся на Земле, а второй отправляется в космические странствия с околосветовой скоростью. С точки зрения домоседа, двигающийся относительно него путешественник имеет замедленный ход времени. Поэтому при возвращении он окажется моложе. Однако, с точки зрения космонавта двигалась Земля, поэтому моложе должен оказаться брат-домосед.

Слово "парадокс" имеет несколько значений. Например, парадоксальны многие выводы теории относительности, так как они противоречат привычным представлениям. В такой парадоксальности, конечно, нет ничего плохого. Любая новая теория "непривычна " и требует смены старых представлений. Однако, при описании истории с близнецами "парадокс" является синонимом "логического противоречия ". Проведя рассуждение об одном и том же событии (встреча братьев) двумя различными способами, мы получаем разный результат. Конечно, в непротиворечивой теории подобного происходить не должно.

Парадоксу близнецов посвящена обширнейшая литература. Общепринятое объяснение состоит в следующем. Для того, чтобы братья могли непосредственно сравнить свой возраст, одному из них (путешественнику) необходимо вернуться, а для этого испытать этапы ускоренного движения, перейдя в неинерциальную систему отсчета. Поэтому полной симметрии между братьями нет. Естественно, подобное снятие парадокса не объясняет, почему именно космонавт должен стать моложе. Кроме этого, сразу возникает следующее возражение: "если всё дело в ускорении, то этапы разгона и торможения можно сделать сколь угодно короткими (для каждого наблюдателя!) по сравнению с произвольно длинными и симметричными этапами равномерного движения".

На это отвечают, что расчет, в рамках общей теории относительности, дает одинаковый для каждого брата ответ. Конечно, гравитация к этому расчету не имеет никакого отношения, и используемая при этом дифференциальная геометрия служит математическим аппаратом описания неинерциальных систем отсчёта. Подобные расчёты абсолютно верны, однако физические причины произошедшего с братьями при этом часто оказываются скрытыми.

Наш анализ мы начнем с замечания о том, что возвращаться брату-путешественнику, необязательно. Ему достаточно затормозить, перейдя в систему отсчета, связанную с Землёй. Находясь далеко, но оставаясь относительно друг друга неподвижными, братья без труда могут синхронизировать своё время и выяснить как разошлись их часы (физические и биологические). При желании можно, конечно, рассмотреть новый старт космического корабля и его возвращение на Землю. Однако ни каких новых эффектов при этом не произойдет, и все времена необходимо будет просто умножить на два. По большому счету, нет даже необходимости и в ускоренном старте с Земли. Можно рассмотреть одновременное рождение братьев в двух различных инерциальных системах отсчета, когда они пролетали друг мимо друга. Оставляя в стороне физиологические детали подобного рождения, подчеркнем, что, когда братья находятся в различных системах, но в одной пространственной точке, они легко могут согласовать начальный момент времени (факт их рождения).

Так сформулированную историю мы подробно рассмотрели в разделе "Время ". В результате относительности одновременности части двигающейся системы отсчета, расположенные по ходу её движения, "находятся в прошлом", а части против движения — в будущем. И чем дальше они от точки рождения братьев , тем сильнее эффект:

Космонавт, летящий мимо любых "неподвижных" часов , видит, что они идут медленнее, чем его собственные . Однако на всех таких часах, встречающихся ему на пути , он наблюдает будущее время: в . Аналогично, сотрудники космопортов, мимо которых пролетает космонавт, видят его моложе. Пролетающие в это же время мимо брата-домоседа "племянники-одногодки" (на последних кораблях эскадры) выглядят старше землянина. Эти эффекты абсолютны для наблюдателей разных систем, находящихся в одной пространственной точке, поэтому не изменятся при остановке . Для понимания парадокса близнецов, на самом деле, нет необходимости даже рассматривать неинерциальные системы отсчета! Если остановится космонавт, то он "попадёт в будущее" земной системы отсчета и будет там моложе. Точно так же, если ускорится землянин, то он окажется в будущем системы космонавта и там будет моложе.

"Парадокс" близнецов можно проанализировать и без дорогостоящих инвестиций в строительство космопортов. Предположим, что два брата с момента расставания, начинают транслировать друг другу свои видеоизображения. Путешественник видит брата, сидящего в кресле у камина, на котором стоят часы. Тот, в свою очередь, на мониторе видит кабину космолёта с электронными часами над штурвалом, за которым сидит его мужественный брат-путешественник. Космический корабль должен достичь ближайшей звезды, удалённой на расстояние от Земли, и вернуться обратно. Приведём выписки из бортового журнала космического корабля.

Дневник путешествия . Совершив быстрый разгон, выхожу на околосветовую скорость. Перегрузки колоссальные, но благодаря последним достижениям биокибернетики переношу их сравнительно легко. Время начала путешествия по моим часам совпадает с временем брата-домоседа. Однако частота принимаемого сигнала со стремительно удаляющейся Земли заметно уменьшилась. Движения моего брата выглядят замедленными. Это и понятно, эффект Доплера ещё никто не отменял. Звёзды по курсу сбились в кучу, тогда как сзади, вокруг родной Земли, их заметно поубавилось, и они покраснели. Тут тоже всё понятно — аберрация плюс изменение частоты. Расстояния между автоматическими маяками, расставленными вдоль моей трассы уменьшились , и, следовательно, время полёта к звезде по моим часам составит , а не , как виделось нам с братом с Земли. Поэтому время путешествия должно получиться короче , чем по часам моего брата. Посмотрим, посмотрим. Кстати, о брате — секундная стрелка на его каминных часах еле ползёт, и время, которое они показывают, существенно отстаёт от моего. Этот результат — сумма эффекта Доплера и задержки видеотрансляции из-за конечности скорости света .

Достигнув цели путешествия, резко торможу и делаю памятные фотографии на фоне звезды. После торможения стрелка на каминных часах брата сразу начала свой естественный бег, хотя, конечно, общее время, прошедшее с начала полёта не изменилось, и сильно отстаёт от моего. Больше делать у одинокой звезды нечего, поэтому резко ускоряюсь в обратном направлении. Придя в себя после разгона, вижу, что часы брата заметно ускорились, и их секундная стрелка крутится, как угорелая.

До Земли осталось совсем немного. За время обратного путешествия часы брата успели наверстать отставание и, более того, обогнали мой хронометр. Завтра торможение и наша долгожданная встреча. Однако уже нет никаких сомнений в том, что теперь в семье младший брат — я.

Разберёмся с физикой впечатлений, описанных путешественником. Пусть братья передают друг другу каждую секунду (по своим часам) сигналы точного времени. Будем считать, что ускоренные движения космолёта очень короткие (с точки зрения обоих братьев) по сравнению со временем всего путешествия. Пока космолёт удаляется от Земли, каждый брат, в силу эффекта Доплера , видит уменьшение частоты (увеличение периода) принимаемых сигналов. После торможения у звезды путешественник перестаёт "убегать" от земных сигналов, и их период сразу становится равным его секунде. Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает "наскакивать" на идущие ему навстречу сигналы и их частота увеличивается (период уменьшается).

Время путешествия по его часам в одну сторону равно , и такое же в обратную. Количество принятых "земных секунд" за время путешествия равно их частоте , умноженной на время:

Поэтому при удалении от Земли космонавт получил существенно меньше секунд (первое слагаемое), а при приближении, соответственно, больше (второе слагаемое). Суммарное количество секунд, полученных с Земли, больше, чем переданных на неё, в точном соответствии с формулой замедления времени.

Несколько иная арифметика у землянина. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличение периодов точного времени передаваемых с космолёта. Однако, в отличие от брата, землянин наблюдает такое замедление дольше . Время полёта к звезде составляет по земным часам . Событие торможения путешественником у звезды землянин увидит спустя дополнительное время , требуемое свету для прохождения расстояния от звезды. Поэтому только через от начала путешествия на мониторе он увидит ускоренную работу часов приближающегося брата:

Учитывая, что времена равны и , имеем:

Таким образом, эффект замедления времени брата, менявшего свою систему отсчета, абсолютен, т.е. одинаков для обоих братьев.

Самое парадоксальное в парадоксе близнецов, то, что иногда его проще объяснить, чем сформулировать. Часто этот парадокс воспринимают поверхностно, поэтому приведём следующее "глубокое" рассуждение:

Ладно, пусть близнецы не равноправны и космонавт менял систему отсчёта. Нет особых возражений и к его описанию на основе эффекта Доплера. Однако, это всё равно не снимает парадокса в следующей формулировке. Космонавт, пролетая мимо всех часов , неподвижных в земной системе отсчёта, видит, что они идут медленнее его часов. Он "бывший землянин" и знает, что все эти часы одинаковые. Поэтому он должен сделать вывод, что и время его брата течёт медленнее. Интервалы времени, в отличии от длин линеек, накапливаются, и поэтому при остановке показания часов не могут сравняться. Более того, если остановка очень быстрая по сравнению с временем равномерного движения, она ни как не может привести к тому, что отставшие часы земного брата скачком обгонят часы космического корабля. Поэтому время на Земле должно (с точки зрения космонавта) отстать, и земной брат оказаться младше. Однако это противоречит аналогичному рассуждению с точки зрения землянина, относительно которого все процессы у двигающихся объектов замедляются. А раз так, то при возвращении путешественника (когда часы можно сравнить непосредственно), произойдёт непонятно что...

В этом неверном рассуждении забывают, что, кроме замедления времени, есть ещё один эффект — относительность одновременности. В классической механике для всех наблюдателей, независимо от их движения, существует единое настоящее. В теории относительности ситуация иная. Такое "единое настоящее" существует только для неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Однако, для наблюдателей, двигающихся мимо такой системы, она представляет собой непрерывное объединение прошлого, настоящего и будущего. Находящиеся далеко впереди по движению наблюдатели видят отдалённое будущее неподвижной системы отсчёта, а двигающиеся сзади — прошлое.

Все часы, мимо которых пролетают космонавты, идут медленнее, чем их собственные. Однако из этого не следует, что они должны показывать меньше "накопленного" времени! Имея более медленный ход, такие часы находятся в будущем земной системы отсчёта, и, когда космонавт до них добирается, они "не успевают" отстать настолько, чтобы скомпенсировать это будущее.

В заключение истории о парадоксе близнецов расскажем сказку .

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Колонка редактора

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Многие мужчины умеют готовить лишь одно блюдо – яичницу, и я не исключение. Меньшее количество могут еще пожарить картошку, но это уже сложнее. И уж совсем небольшое количество истинных героев способны воплотить в съедобном виде такие сложнейшие кулинарные конструкции, как мясо или суп.

До недавнего времени мои способности ограничивались только первыми двумя блюдами. Но теперь, благодаря моей подруге, я могу готовить еще одно блюдо. Его прелесть в том, что оно по сложности занимает промежуточное положение между яичницей и жаренной картошкой, и называется онокурица по-оксански (догадайтесь, почему;-).

Для этого блюда нужно:

• курица в форме разделанных и приправленных кусков (например, бёдрышек или ножек), такие продаются, они уже посыпаны всякой фигнёй и даже иногда посолены
• одна луковица
• микроволновка
• посуда для микроволновки

Вот. Луковицу надо очистить, порезать кружками и побросать на дно посудины. Потом туда покидать куски курицы. Потом накрыть крышкой. Потом поставить всё это в микроволновку и закрыть дверцу. Поставить регулятор на максимум, а часы – на 30 минут, и всё!

В течение 30 минут можно делать всё, что заблагорассудится, а потом можно вкусно поесть и даже не один раз!

И еще вопрос к читателям: кто может сделать на php/MySQL или знает, где взять бесплатно, какой-нибудь хороший тест интеллекта для нашего сайта? Лучше, тест Айзенка!

Введение

Ну а сегодня мы рассмотрим, пожалуй, самый известный из парадоксов относительности, который называетсяпарадокс близнецов.

Сразу говорю, что никакого парадокса на самом деле нет, а проистекает он от неправильного понимания происходящего. И если всё правильно понять, а это, уверяю, совсем не сложно, то никакого парадокса не будет.

Начнём мы с логической части, где посмотрим, как парадокс получается и какие логические ошибки к нему приводят. А потом перейдем к предметной части, в которой посмотрим механику того, что происходит при парадоксе.

Сперва напомню вам наше базовое рассуждение о замедлении времени.

Помните анекдот про Жору Батарейкина, когда за Жорой послали следить полковника, а за полковником – подполковника? Нам понадобится воображение, чтбы представить себя на месте подполковника, то есть, понаблюдать за наблюдателем.

Итак, постулат относительности гласит, что скорость света одинакова с точки зрения всех наблюдателей (во всех системах отсчёта, выражаясь наукообразно). Так вот, даже если наблюдатель полетит вдогонку свету со скоростью 2/3 скорости света, он всё равно увидит, что свет убегает от него с прежней скоростью.

Давайте посмотрим на эту ситуацию со стороны. Свет летит вперед со скоростью 300000 км/с, а вдогонку ему летит наблюдатель, со скоростью 200000 км/с. Мы-то видим, что расстояние между наблюдателем и светом уменьшается со скоростью 100000 км/с, но сам наблюдатель этого не видит, а видит те же самые 300000 км/с. Как это может быть так? Единственной (почти! 😉 причиной такому явлению может быть то, что наблюдатель замедлен. Он медленно двигается, медленно дышит и медленно измеряет скорость по медленным часам. В результате удаление со скоростью 100000 км/с он воспринимает, как удаление со скоростью 300000 км/с.

Помните другой анекдот, про двух наркоманов, которые увидели, как по небу несколько раз пронесся огненный шар, а потом оказалось, что они простояли на балконе три дня, а огненный шар – это было солнце? Так вот этот наблюдатель как раз и должен находиться в состоянии такого замедленного наркомана. Разумеется, это будет видно только нам, а сам он ничего особенного не заметит, ведь замедлятся все процессы вокруг него.

Описание эксперимента

Чтобы драматизировать данный вывод, неведомый автор из прошлого, возможно, сам Эйнштейн, придумал следующий мысленный эксперимент. На земле живут два брата-близнеца – Костя и Яша.

Костя	Яша

Если бы братья жили вместе на земле, то они синхронно прошли бы следующие стадии взросления и старения (прошу прощения за некоторую условность):

10	20	30	40	50	60	70
подросток	трудный возраст	молодой повеса	молодой работник	заслуженный работник	пенсионер	дряхлый старик

Но всё происходит не так.

Еще подростком Костя, назовём его космическим братом, садится в ракету и отправляется к звезде, расположенной в нескольких десятках световых лет от Земли.

Полёт совершается с околосветовой скоростью и поэтому путь туда и обратно занимает шестьдесят лет.

Костя, которого назовём земным братом, никуда не летит, а терпеливо ждет своего родственника дома.

Предсказание относительности

Когда космический брат возвращается, то земной оказывается постаревшим на шестьдесят лет.

Однако, поскольку космический брат находился всё время в движении, его время шло медленнее, поэтому, по возвращении, он окажется постаревшим всего на 30 лет. Один близнец окажется старше другого!

Костя	Яша

Многим кажется, что данное предсказание ошибочно и эти люди называют парадоксом близнецов само это предсказание. Но это не так. Предсказание совершенно истинно и мир устроен именно так!

Давайте еще раз посмотрим логику предсказания. Допустим, земной брат неотрывно наблюдает за космическим.

Кстати, я уже неоднократно говорил о том, что многие допускают здесь ошибку, неправильно интерпретируя понятиенаблюдает. Они думают, что наблюдение обязательно должно происходить при помощи света, например, в телескоп. Тогда, думают они, поскольку свет распространяется с конечной скоростью, всё, что наблюдается, будет видеться таким, каким оно было раньше, в момент испускания света. Из-за этого, думают эти люди, и возникает замедление времени, которое, таким образом, является кажущимся явлением.

Другим вариантом этого же заблуждения является списание всех явлений на эффект Доплера: поскольку космический брат удаляется от земного, то каждый новыйкадр изображения приходит на Землю всё позже, а сами кадры, таким образом, следуют реже, чем надо, и влекут за собой замедление времени.

Оба объяснения неверны. Теория относительности не настолько глупа, чтобы не учитывать эти эффекты. Посмотрите сами на . Мы там написаливсё равно увидит, что, но мы не имели в виду именноувидит глазами. Мы имели в видуполучит в результате, с учётом всех известных явлений. Обратите внимание, что вся логика рассуждений нигде не основывается на том, что наблюдение происходит при помощи света. И если Вы всё время представляли себе именно это, то перечитайте всё заново, представляя, как надо!

Для неотрывного наблюдения надо, чтобы космический брат, допустим, каждый месяц отсылал на Землю факсы (по радио, со скоростью света) со своим изображением, а земной брат развешивал бы их на календаре с учётом задержки передачи. Получалось бы, что сначала земно брат вешает свою фотографию, а фотографию брата того же времени вешает позже, когда она до него долетает.

По теории он будет всё время видеть, что время у космического брата течёт медленнее. Оно будет течь медленнее в начале пути, в первой четверти пути, в последней четверти пути, в конце пути. И из-за этого будет постоянно накапливаться отставание. Только во время разворота космического брата, в тот миг, когда он остановится, чтобы полететь назад, его время будет идти с той же скоростью, что и на Земле. Но это не изменит итогового результата, так как суммарное отставание всё равно будет. Следовательно, в момент возвращения космического брата отставание сохранится и значит, оно уже останется навсегда.

Космический брат
10	20	30	40
Земной брат
10	30	50	70

Как видите, логических ошибок тут нет. Однако, вывод выглядит очень удивительным. Но тут ничего не поделаешь: мы живем в удивительном мире. Данный вывод многократно подтверждался, как для элементарных частиц, которые проживали больше времени, если находились в движении, так и для самых обыкновенных, только очень точных (атомных) часов, которые отправлялись в космический полёт и потом обнаруживалось, что они отстают от лабораторных на доли секунды.

Подтвердился не только сам факт отставания, но и его численное значение, которое можно рассчитать по формулам из одного из .

Кажущееся противоречие

Итак, отставание будет. Космический брат будет моложе земного, можете не сомневаться.

Но возникает другой вопрос. Ведь движение относительно! Следовательно, можно считать, что космический брат никуда не летал, а оставался всё время неподвижным. Зато вместо него в путешествие летал земной брат, вместе с самой планетой Земля и всем остальным. А раз так, то значит больше постареть должен космический брат, а земной – остаться более молодым.

Получается противоречие: оба рассмотрения, которые должны быть равнозначными по теории относительности, приводят к противоположным выводам.

Вот это противоречие и называется парадоксом близнецов.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта

Как же нам разрешить это противоречие? Как известно, противоречий быть не может 🙂

Поэтому мы должны придумать, что же мы такого не учли, из-за чего возникло противоречие?

Сам вывод того, что время должно замедляться – безупречен, ибо он слишком прост. Следовательно, ошибка в рассуждениях должна присутствовать позже, там, где мы предположили, что братья равноправны. Значит, на самом деле братья неравноправны!

Я уже говорил в самом первом выпуске, что не всякая относительность, которая кажется, существует на самом деле. Например, может показаться, что если космический брат разгоняется прочь от Земли, то это равносильно тому, что он остаётся на месте, а разгоняется сама Земля, прочь от него. Но это не так. Природа не соглашается с этим. По каким-то причинам природа создаёт для того, кто разгоняется перегрузки : его прижимает к креслу. А для того, кто не разгоняется – перегрузок не создаёт.

Почему природа так поступает – в данный момент не важно. В данный момент важно научиться представлять себе природу как можно правильней.

Итак, братья могут быть неравноправны при условии, что один из них разгоняется или тормозит. Но у нас ведь именно такая ситуация: улететь с Земли и вернуться на неё можнотолько разогнавшись, развернувшись и затормозив. Во всех этих случаях космический брат испытывал перегрузки.

Каков вывод? Логический вывод прост: мы не имеем права заявлять, что братья равноправны. Следовательно, рассуждения о замедлении времени верны лишь с точки зрения одного из них. Какого? Разумеется, земного. Почему? Потому, что мы не задумывались о перегрузках и представляли все так, словно их не было. Мы, например, не можем утверждать, что в условиях перегрузок скорость света остаётся постоянной. Следовательно, мы не можем утверждать, что в условиях перегрузок происходит замедление времени. Всё, что мы утверждали – мы утверждали для случая отсутствия перегрузок.

Когда учёные дошли до этого момента, они поняли, что им требуется специальное название для описаниянормального мира, мира без перегрузок. Такое описание было названо описанием с точки зрения инерциальной системы отсчёта (сокращенно – ИСО). Новое же описание, которое еще не было создано, было названо, естественно, описанием с точки зрения неинерциальной системы отсчёта.

Что же такое инерциальная система отсчёта (ИСО)

Ясно, что первое , что мы можем сказать об ИСО – это такое описание мира, которое нам кажетсянормальным. То есть, это то описание, с которого мы начали.

В инерциальных системах отсчёта действует так называемый закон инерции – каждое тело, будучи предоставлено самому себе, либо остаётся в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Из-за этого системы и были так называны.

Если сесть в космический корабль, автомобиль или поезд, которые движутся абсолютно равномерно и прямолинейно с точки зрения ИСО, то внутри такого транспортного средства мы не сможем заметить движения. А это значит, что такая система наблюдения – тоже будет ИСО.

Следовательно, второе, что мы можем сказать об ИСО, что всякая система, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно ИСО – также будет ИСО.

Что же мы можем сказать об не-ИСО? О них мы можем сказать пока лишь то, что система, движущаяся относительно ИСО с ускорением – будет не-ИСО.

Часть последняя: история Кости

Теперь попробуем выяснить, как же будет выглядеть мир с точки зрения космического брата? Пусть он также получает факсы от земного брата и развешивает их на календаре с учётом времени полета факса с Земли до корабля. Что он получит?

Чтобы до этого догадаться, нужно обратить внимание на следующий момент: во время путешествия космического брата есть участки, на которых он движется равномерно и прямолинейно. Допустим, при старте брат ускоряется с огромной силой так, что достигает крейсерской скорости за 1 день. После этого он летит много лет равномерно. Затем, в середине пути, он также стремительно за один день разворачивается и летит обратно опять равномерно. В конце пути он очень резко, за один день, тормозит.

Разумеется, если посчитать, какие нам нужны скорости и с каким ускорением надо разгоняться и разворачиваться, мы получим, что космического брата должно попросту размазать по стенкам. Да и сами стенки космического корабля, если они сделаны из современных материалов – не смогут выдержать таких перегрузок. Но нам сейчас важно не это. Допустим, у Кости имеются супер-пупер противоперегрузочные кресла, а корабль сделан из инопланетянской стали.

Что же получится?

В самый первый миг полета, как нам известно, возрасты братьев равны. В течение первой половины полёта он происходит инерциально, а значит, к нему применимо правило замедления времени. То есть, космический брат будет видеть, что земной стареет в два раза медленнее. Следовательно, через 10 лет полета Костя постареет на 10 лет, а Яша – только на 5.

К сожалению, я не нарисовал 15-летнего близнеца, поэтому я буду использовать 10-летнюю картинку с припиской+5 .

Аналогичный результат получается из анализа конца пути. В самый последний миг возрасты братьев равны 40 (Яша) и 70 (Костя), мы это знаем точно. Кроме того, мы знаем, что вторая половина полёта также протекала инерциально, а значит, облик мира с точки зрения Кости соответствует нашим выводам о замедлении времени. Следовательно, за 10 лет до окончания полёта, когда космическому брату будет 30 лет, он заключит, что земному уже 65, ибо до окончания полёта, когда соотношение будет 40/70, он будет стареть в два раза медленнее.

Где-то между этими участками, в самой середине полёта, должно происходить что-то, чтосшивает процесс старения земного брата воедино.

Мы собственно, не будем дальше темнить и гадать, что же там такое происходит. Мы просто прямо и честно сделаем вывод, который следует с неизбежностью. Если за миг до разворота земному брату было 17,5 лет, а после разворота стало 52,5, то это означает ни что иное, как тот факт, что за время разворота космического брата у земного прошло 35 лет!

Выводы

Итак мы увидели, что существует так называемый парадокс близнецов, который заключается в кажущемся противоречии в том, у кого именно из двух близнецов замедляется время. Сам факт замедления времени – парадоксом не является.

Мы увидели, что существуют инерциальные и неинерциальные системы отсчёта, причём законы природы, полученные нами ранее, относились лишь к инерциальным системам. Именно в инерциальных системах наблюдается замедление времени на движущихся космических кораблях.

Мы получили, что в неинерциальных системах отсчёта, например, с точки зрения разворачивающихся космических кораблей, время ведёт себя еще более странно – оно проматывается вперёд.

Взгляд на парадокс близнецов из четырехмерного пространства-времени можно увидеть в .

Димс.