I. Механика. Движение по окружности. Центростремительное ускорение - вывод формулы и практическое применение Центростремительное ускорение частота

Равномерное движение по окружности характеризуется движением тела вдоль окружности. При этом меняется только направление скорости, а ее модуль остаётся постоянным.

В общем случае тело движется по криволинейной траектории, и его сложно описать. Для упрощения описания криволинейного движения его разбивают на более простые виды движения. В частности один из таких видов и является равномерное движение по окружности. Любую кривую траекторию движения можно разбить на участки достаточно малой величины, на которых тело будет приближённо двигаться по дуге являющуюся частью окружности.

При движении тела по окружности линейная скорость направлена по касательной. Следовательно, даже если тело движется по дуге с постоянной по модулю скоростью, то направление движения в каждой точке будет разным. Таки образом всякое движение по окружности является движением с ускорением.

Представьте себе окружность, по которой движется материальная точка. В нулевой момент времени она находится в положении A. Через некоторый интервал времени она оказывается в точке B. Если провести два радиус вектор из центра окружности к точке A и точке B, то между ними получится некоторый угол. Назовем его угол фи. Если за одинаковые промежутки времени точка поворачивается на одинаковый угол фи, то такое движение называется равномерным, а скорость называется угловой.

Рисунок 1 - угловая скорость.

Угловая скорость измеряется в оборотах в секунду. Один оборот в секунду это когда точка проходит вдоль всей окружности и возвращается в начальное положение, затратив на это одну секунду. Такой оборот называется периодом обращения. Величина обратная периоду вращения называется частота вращения. То есть сколько оборотов успевает совершить точка в течении одной секунды. Угол образованный двумя радиус векторами измеряется в радианах. Радиан это угол между двумя радиус векторами, которые вырезают на поверхности окружности дугу длинной в радиус.

Скорость движения точки по окружности можно измерять и в радианах в с секунду. В таком случае перемещение точки на один радиан в секунду и называется скоростью. Такая скорость называется угловой. То есть на какое количество единичных углов успевает повернуться радиус вектор в течении одной секунды. При равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна.

Для определения ускорения движения по окружности построим на рисунке вектора скорости точек А и В. Угол между этими векторами равен углу между радиус векторами. Так как ускорение это разница между скоростями, взятыми через определенный интервал времени деленная на этот интервал. То с помощью параллельного переноса перенесем начало вектора скорости в точке А в точку В. Разностью этих векторов будет вектор дельта V. Если его разделить на хорду соединяющую точки А и В, при условии что расстояние между точками бесконечно мало, то мы и получим вектор ускорения направленный к центру окружности. Который так же называют центростремительным ускорением.

При изучении движения в физике важную роль играет понятие траектории. Именно она определяет во многом тип перемещения объектов и, как следствие, вид формул, с помощью которых описывают это перемещение. Одной из распространенных траекторий движения является окружность. В данной статье рассмотрим, центростремительное при движении по окружности.

Понятие о полном ускорении

Прежде чем характеризовать при движении по окружности центростремительное ускорение рассмотрим понятие полного ускорения. Под ним полагают физическую величину, которая одновременно описывает изменение значения абсолютного и вектора скорости. В математическом виде это определение выглядит так:

Ускорение является полной производной скорости по времени.

Как известно, скорость v¯ тела в каждой точке траектории направлена по касательной. Этот факт позволяет представить ее в виде произведения модуля v на единичный касательный вектор u¯, то есть:

Тогда можно вычислить следующим образом:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Величина a¯ представляет собой сумму векторную двух слагаемых. Первое слагаемое направлено по касательной (как скорость тела) и называется Оно определяет быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое - Рассмотрим его подробнее далее в статье.

Полученное выше выражение для нормальной компоненты ускорения a n ¯ запишем в явном виде:

a n ¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v 2 /r*r e ¯

Здесь dl - пройденный телом вдоль траектории путь за время dt, r e ¯ - единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории, r - радиус это кривизны. Полученная формула приводит к нескольким важным особенностям компоненты a n ¯ полного ускорения:

• Величина a n ¯ растет как квадрат скорости и убывает обратно пропорционально радиусу, что отличает ее от тангенциальной компоненты. Последняя не равна нулю только в случае изменения модуля скорости.
• Нормальное ускорение направлено всегда к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.

Таким образом, главным условием существования ненулевой величины a n ¯ является кривизна траектории. Если такой кривизны не существует (прямолинейное перемещение), то a n ¯ = 0, так как r->∞.

Ускорение центростремительное при движении по окружности

Окружность - геометрическая линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от некоторой точки. Последняя называется центром окружности, а упомянутое расстояние - это ее радиус. Если скорость тела во время вращения не изменяется по модулю, то говорят о равнопеременном движении по окружности. Ускорение центростремительное в этом случае легко рассчитать по одной из двух формул ниже:

Где ω - угловая скорость, измеряется в радианах в секунду (рад/с). Второе равенство получено благодаря формуле связи между угловой и линейной скоростями:

Силы центростремительная и центробежная

При равномерном движении тела по окружности ускорение центростремительное возникает за счет действия соответствующей центростремительной силы. Ее вектор всегда направлен к центру окружности.

Природа этой силы может быть самой разнообразной. Например, когда человек раскручивает привязанный к веревке камень, то на своей траектории его удерживает сила натяжения веревки. Другим примером действия центростремительной силы является гравитационное взаимодействие между Солнцем и планетами. Именно оно заставляет двигаться по круговым орбитам все планеты и астероиды. Центростремительная сила не способна изменить кинетическую энергию тела, поскольку направлена она к его скорости перпендикулярно.

Каждый человек мог обратить внимание на то, что во время поворота автомобиля, например, налево, пассажиров прижимает к правому краю салона транспортного средства. Этот процесс является результатом действия центробежной силы вращательного движения. На самом деле эта сила является ненастоящей, поскольку обусловлена инерционными свойствами тела и его стремлением двигаться по прямой траектории.

Центробежная и центростремительная силы равны друг другу по величине и противоположны по направлению. Если бы этого не было, то круговая траектория движения тела нарушилась бы. Если учесть второй закон Ньютона, то можно утверждать, что при вращательном движении ценробежное ускорение равно центростремительному.

Источник задания: Решение 3553.-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Задание 18. На диаграмме показано распределение земель по категориям Уральского, Приволжского, Южного и Дальневосточного федеральных округов. Определите по диаграмме, в каком округе доля земель сельскохозяйственного назначения наименьшая.

1) Уральский ФО

2) Приволжский ФО

3) Южный ФО

4) Дальневосточный ФО

Решение.

Земли сельскохозяйственного назначения окрашены сектором в виде горизонтальных линий (см. рисунок). Нужно выбрать округ, в котором площадь такого сектора минимальная. Анализ рисунка показывает, что это Дальневосточный федеральный округ.

Ответ: 4.

Задание 19. У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение.

Так как чашек с синими цветами ровно 20-10=10 штук, а всего чашек 20, то вероятность выбора наугад чашки с синими цветами, будет равна

.

Ответ: 0,5.

Задание 20. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a=w^2*R где w - угловая скорость (в с-1), a R - радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 7,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 337,5 м/с2.

Решение.

Из формулы выразим радиус окружности, получим:

и вычислим его, подставив в формулу данные , , имеем.

В природе движение тела чаще происходит по кривым линиям. Почти любое криволинейное движение можно представить как по­следовательность движений по дугам окружностей. В общем случае, при движении по окружности скорость тела изменяется как по величине, так и по направлению.

Равномерное движение по окружности

Движение по окружности называется равномерным, если ве­личина скорости остается неизменной.

По третьему закону Ньютона всякое действие вызывает равное и противоположно направленное противодействие. Центростреми­тельной силе, с которой связь действует на тело, противодействует равная по модулю и противоположно направленная сила, с которой тело действует на связь. Эту силу F 6 назвали центробежной, так как она направлена по радиусу от центра окружности. Центробеж­ная сила равна по модулю центростремительной:

Примеры

Рассмотрим случай, когда спортсмен вращает вокруг своей го­ловы предмет, привязанный к концу нити. Спортсмен ощущает при этом силу, приложенную к руке и тянущую ее наружу. Для удер­жания предмета на окружности спортсмен (посредством нити) тянет его внутрь. Следовательно, по третьему закону Ньютона, предмет (опять-таки посредством нити) действует на руку с равной и противоположно направленной силой, и это та сила, которую ощущает рука спортсмена (рис. 3.23). Сила, действующая на пред­мет - это направленная внутрь сила натяжения нити.

Другой пример: на спортивный снаряд «молот» действует трос, удерживаемый спортсменом (рис. 3.24).

Напомним, что центробежная сила действует не на вращающее­ся тело, а на нить. Если бы центробежная сила действовала на те­ло, то при обрыве нити оно улетело бы по радиусу в сторону от центра, как показано на рис 3.25, а. Однако на самом деле при об­рыве нити тело начинает двигаться по касательной (рис 3.25, б) в направлении скорости, которую оно имело в момент обрыва нити.

Центробежные силы находят широкое применение.

Центрифуга - устройство, предназначенное для тренировок и испытаний летчиков, спортсменов, космонавтов. Большой радиус (до 15 м) и большая мощность двигателей (несколько МВт) позво­ляют создавать центростремительное ускорение до 400 м/с 2 . Цент­робежная сила при этом прижимает тела с силой, превосходящей нормальную силу тяжести на Земле больше чем в 40 раз. Человек может выдерживать временную перегрузку в 20-30 раз, если он ле­жит перпендикулярно направлению центробежной силы, и в 6 раз, если лежит вдоль направления этой силы.

3.8. Элементы описания движения человека

Движения человека носят сложный характер и с трудом под­даются описанию. Однако в ряде случаев можно выделить суще­ственные моменты, отличающие одни виды движений от других. Рассмотрим, например, чем отличается бег от ходьбы.

Элементы шагательных движений при ходьбе представлены на рис. 3.26. В шагательных движениях каждая нога поочередно быва­ет опорной и переносной. В опорный период входят амортизация (торможение движения тела по направлению к опоре) и отталки­вание, в переносной - разгон и торможение.

Последовательные движения тела человека и его ног при ходь­бе представлены на рис. 3.27.

Линии А и В дают качественное изображение движения стоп ног в процессе ходьбы. Верхняя линия А относится к одной ноге, нижняя линия В - к другой. Прямые участки соответствуют мо­ментам опоры стопы о землю, дугообразные участки - моментам движения стоп. В течение промежутка времени (а) обе ноги опи­раются на землю; затем (Ь) - нога А в воздухе, нога В продолжает опираться; а после (с) - вновь обе ноги опираются о землю. Чем быстрее ходьба, тем короче становятся промежутки (а и с).

На рис. 3.28 представлены последовательные движения тела человека при беге и графическое изображение движений стоп. Как видно на рисунке, при беге существуют промежутки времени { b , d , /), когда обе ноги находятся в воздухе, а промежутков од­новременного касания ног земли нет. Этим и отличается бег от ходьбы.

Другим распространенным видом движения является отталки­вание от опоры при различных прыжках. Отталкивание соверша­ется за счет выпрямления толчковой ноги, маховых движений рук и туловища. Задача отталкивания - обеспечить максимальную ве­личину вектора начальной скорости общего центра масс спортсме­на и его оптимальное направление. На рис. 3.29 показаны фазы

\ Глава 4

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение тела с учетом его взаимодействия с другими телами.

В разделе «Кинематика» были введены понятия скорости и ус­корения материальной точки. Для реальных тел эти понятия нуж­даются в уточнении, так как для различных точек реального тела эти характеристики движения могут быть различны. Например, закрученный футбольный мяч не только движется вперед, но и вра­щается. Точки вращающегося тела движутся с разными скоростями. По этой причине сначала рассматривается динамика материальной точки, а затем полученные результаты распространяются на реаль­ные тела.

Позволяет нам существовать на этой планете. Как можно понять, что представляет собой центростремительное ускорение? Определение этой физической величины представлено ниже.

Наблюдения

Самый простой пример ускорения тела, движущегося по окружности, можно наблюдать, вращая камень на веревке. Вы тянете веревку, а веревка тянет камень к центру. В каждый момент времени веревка сообщает камню некоторое количество движения, и каждый раз - в новом направлении. Можно представить движение веревки в виде серии слабых рывков. Рывок - и веревка изменяет свое направление, еще рывок - еще раз изменение, и так по кругу. Если вы внезапно отпустите веревку, рывки прекратятся, а вместе с ними и прекратится изменение направления скорости. Камень будет двигаться в направлении касательной к кругу. Возникает вопрос: "С каким ускорением будет двигаться тело в это мгновение?"

Формула центростремительного ускорения

Прежде всего стоит заметить, что движение тела по окружности является сложным. Камень участвует в двух видах движения одновременно: под действием силы он движется к центру вращения, и одновременно по касательной к окружности, от этого центра удаляется. Согласно Второму закону Ньютона, сила, удерживающая камень на веревке, направлена к центру вращения вдоль этой веревки. Туда же будет направлен вектор ускорения.

Пусть за некоторое время t наш камень, равномерно двигаясь со скоростью V, попадает из точки A в точку B. Предположим, что в момент времени, когда тело пересекало точку B, на него перестала действовать центростремительная сила. Тогда за промежуток времени оно попало бы в точку K. Она лежит на касательной. Если бы в тот же момент времени на тело действовали бы только центростремительные силы, то за время t, двигаясь с одинаковым ускорением, оно оказалось бы в точке O, которая расположена на прямой, представляющей собой диаметр окружности. Оба отрезка являются векторами и подчиняются правилу векторного сложения. В результате суммирования этих двух движений за отрезок времени t получаем результирующую движения по дуге AB.

Если промежуток времени t взять пренебрежимо малым, то дуга AB будет мало отличаться от хорды AB. Таким образом, можно заменить движение по дуге движением по хорде. В этом случае перемещение камня по хорде будет подчиняться законам прямолинейного движения, то есть пройденное расстояние AB будет равно произведению скорости камня на время его движения. AB = V х t.

Обозначим искомое центростремительное ускорение буквой a. Тогда пройденный только под действием центростремительного ускорения путь можно рассчитать по формуле равноускоренного движения:

Расстояние AB равно произведению скорости и времени, то есть AB = V х t,

AO - вычислено ранее по формуле равноускоренного движения для перемещения по прямой: AO = at 2 / 2.

Подставляя эти данные в формулу и преобразуя их, получаем простую и изящную формулу центростремительного ускорения:

Словами это можно выразить так: центростремительное ускорение тела, двигающегося по окружности, равно частному от деления линейной скорости в квадрате на радиус окружности, по которой вращается тело. Центростремительная сила в таком случае будет выглядеть так, как на картинке ниже.

Угловая скорость

Угловая скорость равна частному от деления линейной скорости на радиус окружности. Верно и обратное утверждение: V = ωR, где ω - угловая скорость

Если подставить это значение в формулу, можно получить выражение центробежного ускорения для угловой скорости. Оно будет выглядеть так:

Ускорение без изменения скорости

И все же, отчего тело с ускорением, направленным к центру, не движется быстрее и не перемещается ближе к центру вращения? Ответ кроется в самой формулировке ускорения. Факты говорят о том, что движение по окружности реально, но для его поддержания требуется ускорение, направленное к центру. Под действием силы, вызванной данным ускорением, происходит изменение количества движения, в результате чего траектория движения постоянно искривляется, все время меняя направление вектора скорости, но не изменяя ее абсолютной величины. Двигаясь по кругу, наш многострадальный камень устремляется внутрь, в противном случае он продолжал бы двигаться по касательной. Каждое мгновение времени, уходя по касательной, камень притягивается к центру, но не попадает в него. Еще одним примером центростремительного ускорения может стать водный лыжник, описывающий небольшие круги на воде. Фигура спортсмена наклонена; он как бы падает, продолжая движение и наклонившись вперед.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что ускорение не увеличивает скорость тела, так как векторы скорости и ускорения перпендикулярны друг к другу. Добавляясь к вектору скорости, ускорение лишь меняет направление движения и удерживает тело на орбите.

Превышение запаса прочности

В предыдущем опыте мы имели дело с идеальной веревкой, которая не рвалась. Но, допустим, наша веревка самая обычная, и даже можно вычислить усилие, после которого она просто порвется. Для того чтобы рассчитать эту силу, достаточно сопоставить запас прочности веревки с нагрузкой, которую она испытывает в процессе вращения камня. Вращая камень с большей скоростью, вы сообщаете ему большее количество движения, а значит, и большее ускорение.

При диаметре джутовой веревки около 20 мм ее прочность на разрыв равна около 26 кН. Примечательно, что длина веревки нигде не фигурирует. Вращая груз размером в 1 кг на веревке радиусом в 1 м, можно вычислить, что линейная скорость, необходимая для ее разрыва равна 26 х 10 3 = 1кг х V 2 / 1 м. Таким образом, скорость, которую опасно превышать, будет равна √26 х 10 3 = 161 м/с.

Сила тяжести

При рассмотрении опыта мы пренебрегали действием силы тяжести, так как при таких больших скоростях ее влияние пренебрежимо мало. Но можно заметить, что при раскручивании длинной веревки тело описывает более сложную траекторию и постепенно приближается к земле.

Небесные тела

Если перенести законы движения по окружности в космос и применить их к движению небесных тел, можно заново открыть несколько давно знакомых формул. Например, сила, с которой тело притягивается к Земле, известна по формуле:

В нашем случае множитель g и является тем самым центростремительным ускорением, которое было выведено из предыдущей формулы. Только в этом случае роль камня будет выполнять небесное тело, притягивающееся к Земле, а роль веревки - сила земного притяжения. Множитель g будет выражен через радиус нашей планеты и скорость ее вращения.

Итоги

Сущность центростремительного ускорения состоит в тяжелой и неблагодарной работе удержания движущегося тела на орбите. Наблюдается парадоксальный случай, когда при постоянном ускорении тело не изменяет величины своей скорости. Для неподготовленного ума такое заявление довольно парадоксально. Тем не менее и при расчете движения электрона вокруг ядра, и при вычислении скорости вращения звезды вокруг черной дыры, центростремительной ускорение играет не самую последнюю роль.