Графический метод. Координатная плоскость (x;y)

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра.

На плоскости функция задает семейство кривых зависящих от параметра. Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см. , , , , , , ).

Параллельный перенос

Пример . Для каждого значения параметра определить число решений уравнения.

Решение . Построим график функции.

Рассмотрим. Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ . Если, то решений нет;

если, то 3 решения;

если, то 2 решения;

если, 4 решения.

Поворот

Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах - прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.

Пример . При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение . Рассмотрим функцию и. График второй функции - это полуокружность с центром в точке с координатами и радиусом =1 (рис. 2).

Дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно. Угловой коэффициент касательной равен. Легко находится из системы

Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при.

Ответ . .

Пример . При каких уравнение имеет решение?

Решение . Рассмотрим функцию. Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке и убывает на. Точка - является точкой максимума.

Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку. Обратимся к рисунку 2. Графиком функции является дуга АВ. Прямые, которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число, а ОВ -- .

Ответ . При уравнение имеет 1 решение;

при остальных значениях параметра решений нет.

Гомотетия. Сжатие к прямой

Пример . Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений.

Решение . Имеем. Рассмотрим функцию. Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами, второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше, то есть. Заметим, что есть.

Ответ . или.

Графический метод. Координатная плоскость (x;a)

Вообще, уравнения , содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем

1. Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x : .

2. В координатной плоскости x Oa строим график функции.

3. Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa , на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции, б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

4. Если поставлена задача найти значения x , то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость. Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т . д. (см. , , ).

Пример . При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?

Решение . Переходим к равносильной системе

Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.

Ответ . При уравнение имеет два корня.

Пример . Найдите множество всех чисел, для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение . Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что, и - корни исходного уравнения лишь при условии. Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости. На рисунке 5 искомый график - объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ . При, или, или.

Уравнение
поверхности
F(x,y,z)=0
.

Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Положение плоскости в пространстве
можно определить, задав какую-либо
точку М0 на плоскости и какой-либо
нормальный вектор. Нормальным
вектором плоскости называется любой
вектор, перпендикулярный к этой
плоскости.

Пусть точка М0(х0,у0,z0) лежит в плоскости.
Введем в рассмотрение произвольную точку
плоскости М(х,у,z).
z
n (A,B,C)
M
y
M0
x

Векторы n(A, B, C) и M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ортогональны.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору.

Пример 1:

проходящей через точку М(2,3,-1)
перпендикулярно вектору n(1,2, 3)
Решение:
По формуле: 1(х-2)+2(у-3)-3(z+1)=0
или х+2у-3z-11=0

Пример 2:
Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку М(1,0,0)
перпендикулярно вектору n(2,0,1) .
Решение:
Получаем: 2(х-1)+0(у-0)+1(z-0)=0
или 2х+z-2=0.

Общее уравнение плоскости

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, раскроем в нем
скобки и обозначим –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Приведем уравнение рассматриваемой
плоскости к виду:
Ax+By+Cz+D=0 - общее уравнение плоскости.
Коэффициенты А,В,С являются
координатами нормального вектора
плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости

1. Пусть А=0, В,С,D≠0. Тогда: By+Cz+D=0.
Нормальный вектор плоскости n(0, B, C)
перпендикулярен оси ОХ и, следовательно,
плоскость параллельна оси ОХ.
z
y
x

Уравнения Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0
выражают плоскости, параллельные осям ОУ
и OZ.
2. D=0, А,В,С≠0. Уравнение плоскости:
Ax+By+Cz=0. Точка О(0,0,0) удовлетворяет
уравнению плоскости. Уравнение задает
плоскость, проходящую через начало
координат.
3. А=0, D=0, В,С≠0. Уравнение плоскости:
By+Cz=0. Плоскость одновременно
параллельна оси ОХ и проходит через начало
координат, т.е. проходит через ось ОХ.

Аналогично уравнения Ax+Cz=0 и Ax+By=0
выражают плоскости, проходящие через оси
OY и OZ.
4. А=0, В=0, С,D≠0. Уравнение плоскости:
Cz+D=0. Плоскость одновременно
параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. координатной
плоскости ОХУ. Аналогично уравнения
By+D=0, и Ax+D=0 выражают плоскости,
параллельные координатным плоскостям OXZ
и OYZ.

Пример:
Z=3
z
3
y
x

А=0, В=0, D=0, С≠0.
Уравнение плоскости: Cz=0 или z=0. Это
плоскость одновременно параллельная
координатной плоскости ОХУ, т.е. сама
координатная плоскость ОХУ. Аналогично:
у=0 и х=0 – уравнения координатных
плоскостей OXZ и OYZ.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Три точки, не лежащие на одной прямойM1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – произвольная точка плоскости.
z
M2
М1
М3
М

Векторы M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
компланарны. Их смешанное
произведение равно нулю.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Это искомое уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки.

Пример. Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Решение: Используя полученное
уравнение, имеем:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Или 4х+11у+5z-31=0

Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0 и
A2x+B2y+C2z+D2=0. Их нормальные
векторы n1 (A1 , B1 , C1) , n2 (A2 , B2 , C2)
Углом между двумя плоскостями
называется угол между их нормальными
векторами
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Если плоскости перпендикулярны, то их
нормальные векторы тоже
перпендикулярны, и поэтому их
скалярное произведение равно нулю:
А1·А2+В1·В2+С1·С2=0.
Если плоскости параллельны, то
параллельны их нормальные векторы, а
значит, выполняются соотношения:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Пример: Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку M(0,1,4)
параллельно плоскости 2х-4у-z+1=0.
Решение: Вектор нормали данной
плоскости будет являться нормальным
вектором и для искомой плоскости.
Используем уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору:
2(х-0)-4(у-1)-(z-4)=0 или 2х-4у-z+8=0.

.Расстояние от точки до плоскости

найти расстояние от точки М(х0,у0,z0) до
плоскости: Ax+By+Cz+D=0. Опустим из точки
М перпендикуляр МК на плоскость (d).
z
M
n
K
x
y

Пусть точка К имеет координаты х1,у1,z1
n KM n KM d n
Или n KM А(х0-х1)+В(у0-у1)+С(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Точка К лежит в плоскости, ее
координаты удовлетворяют уравнению
плоскости, то есть Ax1+By1+Cz1+D=0.

Учитывая это, получаем: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Тогда: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Пример:
Найти расстояние от точки М (-1,2,3) до
плоскости 2х-6у-3z+2=0.
Решение:
Воспользуемся формулой и подставим в
уравнение плоскости координаты
заданной точки:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Общие уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве рассматривается
как линия пересечения двух плоскостей.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Система задает прямую в том случае, если
плоскости не являются параллельными,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2

Канонические уравнения прямой в пространстве

Положение прямой L в пространстве
однозначно определено, если известна
какая-нибудь точка М0(х0,у0,z0), лежащая на
прямой L, и задан направляющий вектор
S (m, n, p)
S
M
M0

М(х,у,z) – произвольная точка на этой
прямой. Тогда векторы
M 0 M =(х-х0, у-у0, z-z0) и S (m, n, p)
будут коллинеарны:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
- канонические уравнения прямой в
пространстве или уравнения прямой по
точке и направляющему вектору.

Пример 1:

через точку М(1,2,3), параллельно прямой
x 1 y 7 z
2
5
3
Решение:
Так как прямые параллельны, то S (2,5,3)
является направляющим вектором и искомой
прямой. Следовательно:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Пример 2:
Написать уравнение прямой L, проходящей
через точку М(1,2,3), и имеющей
направляющий вектор S (2,0,5)
Решение:
Воспользуемся формулой:
x 1 z 3
и
2
5
у-2=0,
то есть 5х-2z+1=0 и у=2. Это означает, что
прямая лежит в плоскости у=2

Уравнения прямой в пространстве по двум точкам

Заданы две точки М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2).
Написать уравнение прямой, проходящей
через две точки.
М1
М2

Прямая проходит через точку М1 и имеет в
качестве направляющего вектора M 1M 2
Уравнение имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Пример: Написать уравнение прямой,
проходящей через точки М1(1,4,-3) и
М2(2,1,1).
Решение: Воспользуемся формулой
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим канонические уравнения
прямой: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Введем параметр t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

Получим:
x x0
t
y m y
0
t
n
z z0 t
p
или
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
параметрические уравнения прямой в
пространстве. В таком виде их часто
используют в механике и физике, параметр t,
обычно, время.

Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Заданы общие уравнения прямой в
пространстве
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Привести их к каноническому виду
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

Для решения задачи нужно:
1. найти координаты (х0,у0,z0) какой-либо
точки, лежащей на прямой,
2. найти координаты (m,n,p) направляющего
вектора этой прямой.
Чтобы найти координаты точки М0 придадим
одной из координат произвольное численное
значение, например полагаем х=х0. Внеся его
в систему (1), получаем систему двух
уравнений с неизвестными у и z. Решаем ее.
В результате на прямой найдена точка
М0(х0,у0,z0).

В качестве направляющего вектора примем
вектор, который является результатом
векторного произведения нормальных
векторов двух плоскостей.
S (m, n, p) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

Получаем координаты направляющего
вектора:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Общие уравнения прямой, записанные в
каноническом виде:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Пример: Записать каноническое уравнение
прямой
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Решение: Положим z0=0. Тогда:
x 2 y 5
x y 1
Отсюда: : у0=-6, х0=7. Точка М0, лежащая на
прямой, имеет координаты: (7,-6,0).

Найдем направляющий вектор. Нормальные
векторы плоскостей имеют координаты
n1 (1,2, 1)
Тогда
n2 (1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Канонические уравнения прямой имеют вид:
x 7 y 6 z
3
2
1

Угол между двумя прямыми в пространстве, условие перпендикулярности и параллельности прямых

прямые L1 и L2 заданы в каноническом виде с
направляющими векторами
S 1 (m1 , n1 , p1) и S 2 (m2 , n2 , p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

Углом между двумя прямыми называется угол
между их направляющими векторами.
S1 S 2
cos (L1 , L2) cos(S1 , S 2)
S1 S 2
cos(L1 , L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

Прямые перпендикулярны, если
перпендикулярны их направляющие векторы:
То есть S1 S2 0 , или
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Прямые параллельны, если параллельны их
направляющие векторы:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Пример: Найти угол между прямыми
x 2 y 7
z
1
3
2
и
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Решение: Направляющие векторы прямых
имеют координаты: (1,3,-2) и (4,1,2).
Следовательно,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1 , L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1 , L2) arccos
7 16

Угол между прямой и плоскостью

Задана плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0, и
прямая L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

Углом между прямой и плоскостью
называется угол φ между прямой и проекцией
ее на плоскость.
ω - угол между нормальным вектором
плоскости и направляющим вектором
прямой. ω=π/2-φ. Тогда sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Но cosω=cos (n, S)
Тогда
n S
sinφ= cos (n, S)
n S

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Пример: Найти угол между прямой:
x 2 y 1 z
3
2
6
и плоскостью: 2х+у+2z-5=0.
Решение: Нормальный вектор плоскости
имеет координаты: (2,1,2), направляющий
вектор прямой имеет координаты: (3,2,-6).
sin
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
Задана прямая L:
и плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0.
Если прямая параллельна плоскости, то
направляющий вектор прямой
перпендикулярен нормальному вектору
плоскости.
S
n
L

Следовательно, их скалярное произведение
равно нулю: A·m+B·n+C·p=0.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то
эти векторы параллельны.
S
n
Р
L
В этом случае:
A B C
m n p

Пример:
Написать уравнение прямой,
проходящей через точку М(1,2,-3),
перпендикулярно плоскости
4х+2у-z+5=0.
Решение:
Так как плоскость перпендикулярна
прямой, то нормальный вектор и
направляющий вектор параллельны:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Разберем типовую задачу.
Даны вершины пирамиды ABCD: А(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Найти:
1. Длину и уравнение ребра АВ,
2. Уравнение и площадь грани АВС,
3. Уравнение и длину высоты, опущенной
из вершины D на грань АВС,
4. Угол между ребром AD и гранью АВС,
5. Объем пирамиды.

Чертеж:
z
D
C
B
A
x
y

1. Введем в рассмотрение вектор AB . Его
координаты: (0-1;2-0;0-0), или (-1;2;0). Длина
ребра АВ равна модулю вектора.
АВ= 1 4 0 5
Уравнение прямой АВ (уравнение прямой по
двум точкам):
x 1 y
1 2
Или 2х+у-2=0

2. Уравнение грани АВС (уравнение
плоскости по трем точкам):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Отсюда: (х-1)∙6-у∙(-3)+z∙2=0,
или 6х+3у+2z-6=0.
Площадь треугольника АВС найдем с
помощью векторного произведения
векторов AB и AC

Координаты вектора AB =(-1;2;0),
вектора AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= AB AC
кв.единиц.
2
Векторное произведение:
i
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Тогда
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 êâ.åä.
2
2

Уравнение высоты - уравнение прямой по
точке D(2,3,4) и направляющему вектору. В
качестве направляющего вектора –
нормальный вектор грани АВС: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Для нахождения длины высоты используем
формулу:
Ax0 By 0 Cz0 D
d
A2 B 2 C 2

Получим:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Угол между ребром AD и гранью АВС.
Уравнение грани АВС: 6х+3у+2z-6=0,
нормальный вектор имеет координаты:
(6,3,2). Напишем уравнения прямой,
проходящей через точки А(1,0,0) и D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Эта прямая имеет направляющий вектор с
координатами:(1,3,4). Тогда
sin
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arcsin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Объем пирамиды равен 1/6 объема
параллелепипеда, построенного на
векторах, как на сторонах. Используем
смешанное произведение векторов.
Координаты векторов: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ Vпараллелепипеда
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vпирамиды=23/6 куб.ед.

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

.

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m , n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m , n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

,

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz , т. е. плоскости yOz .

Пример 1. Составить уравнения прямой в пространстве, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz .

Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz . Так как любая точка, лежащая на оси Oz , имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y = 0 , получим 4z - 8 = 0 или z = 2 . Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2) . Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали заданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора :

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

.

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

.

Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy .

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz .

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0 . Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0 , получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2 , z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0 , получим систему

Её решение x = -2 , z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz .

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0) :

,

или после деления знаменателей на -2:

,

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.