Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.
Шаги
Ряд кратных чисел
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.
-
Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..
- Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.
- Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.
-
Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.
- Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.
Разложение на простые множители
-
Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.
-
Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.
Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.
Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).
К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.
Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.
Нахождение общих делителей
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.
Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.
-
Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.
- Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.
-
Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.
Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.
- Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.
-
Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.
Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.
Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.
Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.
Алгоритм Евклида
Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.
Запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком. Выражение: делимое = делитель × частное + остаток {\displaystyle {\text{делимое}}={\text{делитель}}\times {\text{частное}}+{\text{остаток}}} . Это выражение будет использовано, чтобы записать алгоритм Евклида и найти наибольший общий делитель двух чисел.
Большее из двух чисел рассматривайте в качестве делимого. Меньшее из двух чисел считайте делителем. Для этих чисел запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком.
Первый делитель превратите в новое делимое. Остаток используйте в качестве нового делителя. Для этих чисел запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком.
Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Определение 1
Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Пример 1
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .
Решение
Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .
Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .
Пример 2
Найдите нок чисел 68 и 34 .
Решение
НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .
Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Определение 2
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
Пример 3
У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .
Пример 4
Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .
Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Определение 3
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Пример 5
Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .
Пример 6
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7
и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3
. Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7
числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3
числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .
Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теорема 1
Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Пример 7
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение
Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .
Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .
Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .
Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Определение 4
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Пример 8
Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Пример 9
НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a
и − a
– противоположные числа,
то множество кратных числа a
совпадает со множеством кратных числа − a
.
Пример 10
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .
Решение
Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .
Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".
Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.
Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.
Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.
Как найти наименьшее общее кратное чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.
Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.
Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.
Например, кратные числа 4 можно записать так:
К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}
К (6) = {12, 18, 24, ...}
Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:
НОК (4, 6) = 24
Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.
Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.
Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.
В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.
Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.
В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.
Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.
Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.
В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).
Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.
Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.
Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.
Например, НОК (10, 11) = 110.
Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Навигация по странице.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
Решение.
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .
Ответ:
НОК(126, 70)=630 .
Пример.
Чему равно НОК(68, 34) ?
Решение.
Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .
Ответ:
НОК(68, 34)=68 .
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .
Пример.
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
Ответ:
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Решение.
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .
Ответ:
НОК(84, 648)=4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.
Теорема.
Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Пример.
Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение.
В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .
Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .
Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .
Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .
Ответ:
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение.
Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .
Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .
Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.
Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.
Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 - взаимно простые. Поэтому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.
Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Нахождение путём подбора
Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.
Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:
- Определяем наибольшее число из данных чисел.
- Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.
Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них - это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:
24 · 1 = 24 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 2 = 48 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 3 = 72 - делится на 3 и на 18.
Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.
Нахождение путём последовательного нахождения НОК
Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.
НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.
Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8) = 24.
Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:
- Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
- Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
- Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа - 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.
