Το μάθημα της γεωμετρίας στην 8η τάξη αναπτύσσεται με βάση το μοντέλο μάθησης θέσης.
Στόχοι μαθήματος:
- Η μελέτη του θεωρητικού υλικού με θέμα "Τέσσερα υπέροχα σημεία του τριγώνου"?
- Ανάπτυξη της σκέψης, της λογικής, του λόγου, της φαντασίας των μαθητών, της ικανότητας ανάλυσης και αξιολόγησης της εργασίας.
- Ανάπτυξη δεξιοτήτων ομαδικής εργασίας.
- Αναπτύσσοντας το αίσθημα ευθύνης για την ποιότητα και το αποτέλεσμα της εργασίας που εκτελείται.
Εξοπλισμός:
- κάρτες με ονόματα ομάδων.
- κάρτες εργασιών για κάθε ομάδα.
- Χαρτί Α-4 για την καταγραφή των αποτελεσμάτων της εργασίας των ομάδων.
- επίγραφο γραμμένο στον πίνακα.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
1. Οργανωτική στιγμή.
2. Καθορισμός των στόχων και του θέματος του μαθήματος.
Ιστορικά, η γεωμετρία ξεκίνησε με ένα τρίγωνο, έτσι για δυόμισι χιλιετίες το τρίγωνο ήταν σύμβολο της γεωμετρίας. Η σχολική γεωμετρία μόνο τότε μπορεί να γίνει ενδιαφέρουσα και ουσιαστική, μόνο τότε μπορεί να γίνει σωστή γεωμετρία, όταν εμφανιστεί σε αυτήν μια βαθιά και περιεκτική μελέτη του τριγώνου. Παραδόξως, το τρίγωνο, παρά τη φαινομενική του απλότητα, είναι ένα ανεξάντλητο αντικείμενο μελέτης - κανείς, ακόμη και στην εποχή μας, δεν τολμά να πει ότι έχει μελετήσει και γνωρίζει όλες τις ιδιότητες ενός τριγώνου.
Ποιος δεν έχει ακούσει για το Τρίγωνο των Βερμούδων, όπου πλοία και αεροπλάνα εξαφανίζονται χωρίς ίχνος; Αλλά το ίδιο το τρίγωνο είναι γεμάτο με πολλά ενδιαφέροντα και μυστηριώδη πράγματα.
Την κεντρική θέση του τριγώνου καταλαμβάνουν τα λεγόμενα αξιόλογα σημεία.
Νομίζω ότι στο τέλος του μαθήματος θα μπορείτε να πείτε γιατί τα σημεία λέγονται υπέροχα και αν είναι έτσι.
Ποιο είναι το θέμα του μαθήματός μας; «Τέσσερα αξιόλογα σημεία του τριγώνου». Τα λόγια του K. Weierstrass μπορούν να χρησιμεύσουν ως επίγραμμα στο μάθημα: «Ένας μαθηματικός που δεν είναι εν μέρει ποιητής δεν θα επιτύχει ποτέ την τελειότητα στα μαθηματικά» (η επίγραφη είναι γραμμένη στον πίνακα).
Κοιτάξτε τη διατύπωση του θέματος του μαθήματος, την επίγραμμα και προσπαθήστε να προσδιορίσετε τους στόχους της εργασίας σας στο μάθημα. Στο τέλος του μαθήματος, θα ελέγξουμε πώς τα ολοκληρώσατε.
3. Ανεξάρτητη εργασία των μαθητών.
Προετοιμασία για ανεξάρτητη εργασία
Για να εργαστείτε στο μάθημα, πρέπει να επιλέξετε μία από τις έξι ομάδες: «Θεωρητικοί», «Δημιουργικότητα», «Λογικοί-κατασκευαστές», «Πρακτική», «Ιστορικοί», «Εμπειρογνώμονες».
ενημέρωση
Κάθε ομάδα λαμβάνει κάρτες εργασιών. Εάν η εργασία δεν είναι ξεκάθαρη, ο δάσκαλος δίνει επιπλέον εξηγήσεις.
«Θεωρητικοί»
Εργασία: ορίστε τις βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες κατά τη μελέτη του θέματος «Τέσσερα αξιόλογα σημεία ενός τριγώνου» (ύψος τριγώνου, διάμεσος τριγώνου, διχοτόμος τριγώνου, κάθετη διχοτόμος, εγγεγραμμένος κύκλος, περιγεγραμμένος κύκλος), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχολικό βιβλίο ; γράψτε τις κύριες έννοιες σε ένα κομμάτι χαρτί.
"ιστορικοί"
διχοτόμους κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου κάθετες το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Τα Στοιχεία δεν λένε ότι τα τρία ύψητρίγωνα τέμνονται σε ένα σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο διάμεσοι κέντρο βαρύτητας
Στη δεκαετία του 20 του XIX αιώνα. Οι Γάλλοι μαθηματικοί J. Poncelet, Ch. Brianchon και άλλοι καθιέρωσαν ανεξάρτητα το ακόλουθο θεώρημα: οι βάσεις των διάμεσων, οι βάσεις των υψών και τα μέσα των τμημάτων των υψών που συνδέουν το ορθόκεντρο με τις κορυφές του τριγώνου βρίσκονται στο ίδιο κύκλος.
Αυτός ο κύκλος ονομάζεται «κύκλος των εννέα σημείων», ή «κύκλος του Φόιερμπαχ», ή «κύκλος του Όιλερ». Ο K. Feuerbach βρήκε ότι το κέντρο αυτού του κύκλου βρίσκεται στη «γραμμή Euler».
Εργασία: αναλύστε το άρθρο και συμπληρώστε τον πίνακα που αντικατοπτρίζει το υλικό που μελετήθηκε.
Όνομα σημείου |
Αυτό που διασταυρώνεται |
||
"Δημιουργία"
Εργασία: βρείτε έναν σύντροφο με το θέμα "Τέσσερα υπέροχα σημεία ενός τριγώνου" (για παράδειγμα, ένα τρίγωνο, ένα σημείο, μια διάμεσος κ.λπ.)
Κανόνας γραφής cinquain:
Στην πρώτη γραμμή, το θέμα ονομάζεται με μία λέξη (συνήθως ουσιαστικό).
Η δεύτερη γραμμή είναι μια περιγραφή του θέματος με λίγα λόγια (2 επίθετα).
Η τρίτη γραμμή είναι μια περιγραφή της δράσης στο πλαίσιο αυτού του θέματος σε τρεις λέξεις (ρήματα, μετοχές).
Η τέταρτη γραμμή είναι μια φράση 4 λέξεων που δείχνει τη στάση απέναντι στο θέμα.
Η τελευταία γραμμή είναι ένα μονολεκτικό συνώνυμο (μεταφορά) που επαναλαμβάνει την ουσία του θέματος.
"κατασκευαστές λογικής"
Η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους.
Διχοτόμος είναι ένα τμήμα της διχοτόμου οποιασδήποτε γωνίας από την κορυφή έως την τομή με την απέναντι πλευρά. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους.
Το υψόμετρο ενός τριγώνου είναι η κάθετη που πέφτει από οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά ή την προέκτασή του. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.
Η μέση κάθετη σε ένα τμήμα είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο του δεδομένου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κάθετες διχοτόμους.
Εργασία: Χρησιμοποιώντας τριγωνικά φύλλα χαρτιού, κατασκευάστε λυγίζοντας τα σημεία τομής των διαμέσου, των υψών, των διχοτόμων, των μεσαίων καθέτων. Εξηγήστε το σε όλη την τάξη.
"Πρακτικές"
Στο τέταρτο βιβλίο των «Αρχών», ο Ευκλείδης λύνει το πρόβλημα «Εγγράψτε έναν κύκλο σε ένα δεδομένο τρίγωνο». Από τη λύση προκύπτει ότι τρεις διχοτόμουςοι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Από τη λύση ενός άλλου προβλήματος του Ευκλείδη, προκύπτει ότι κάθετες, που έχουν αποκατασταθεί στις πλευρές του τριγώνου στα μέσα τους, τέμνονται επίσης σε ένα σημείο - το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Τα Στοιχεία δεν λένε ότι τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, καλούμενο ορθόκεντρο(Η ελληνική λέξη «όρθος» σημαίνει ευθεία, δεξιά). Η πρόταση αυτή ήταν όμως γνωστή στον Αρχιμήδη, τον Πάππο, τον Πρόκλο. Το τέταρτο ενικό σημείο του τριγώνου είναι το σημείο τομής διάμεσοι. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι είναι κέντρο βαρύτητας(βαρύκεντρο) του τριγώνου. Τα παραπάνω τέσσερα σημεία έχουν λάβει ιδιαίτερη προσοχή από τον 18ο αιώνα. Έχουν ονομαστεί «αξιοσημείωτα» ή «ενικά σημεία του τριγώνου».
Η μελέτη των ιδιοτήτων ενός τριγώνου που σχετίζεται με αυτά και άλλα σημεία χρησίμευσε ως η αρχή για τη δημιουργία ενός νέου κλάδου των στοιχειωδών μαθηματικών - τη "γεωμετρία ενός τριγώνου" ή τη "νέα γεωμετρία ενός τριγώνου", ένα από τα ιδρυτής του οποίου ήταν ο Leonhard Euler.
Εργασία: αναλύστε το προτεινόμενο υλικό και δημιουργήστε ένα διάγραμμα που αντικατοπτρίζει τις σημασιολογικές σχέσεις μεταξύ των ενοτήτων, εξηγήστε το, σχεδιάστε το σε ένα κομμάτι χαρτί και σχεδιάστε το στον πίνακα.
Αξιοσημείωτα σημεία του τριγώνου
1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________
Σχέδιο 1 Σχέδιο 2 Σχέδιο 3 Σχέδιο 4
____________ ___________ ______________ ____________
(εξήγηση)
"Ειδικοί"
Εργασία: φτιάξτε έναν πίνακα στον οποίο αξιολογείτε την εργασία κάθε ομάδας, επιλέξτε τις παραμέτρους με τις οποίες θα αξιολογήσετε την εργασία των ομάδων, προσδιορίστε τα σημεία.
Οι παράμετροι μπορούν να είναι οι εξής: η συμμετοχή του κάθε μαθητή στις εργασίες της ομάδας του, συμμετοχή στην άμυνα, ενδιαφέρουσα παρουσίαση του υλικού, παρουσιάζεται οπτικοποίηση κ.λπ.
Στην παρουσίασή σας, θα πρέπει να σημειώσετε τα θετικά και αρνητικά σημεία στις δραστηριότητες κάθε ομάδας.
4. Απόδοση ομάδων.(για 2-3 λεπτά)
Τα αποτελέσματα της εργασίας αναρτώνται στον πίνακα
5. Συνοψίζοντας το μάθημα.
Δείτε τους στόχους που διατυπώσατε στην αρχή του μαθήματος. Καταφέρατε να ολοκληρώσετε τα πάντα;
Συμφωνείτε με την επιγραφή που επιλέχθηκε για το σημερινό μάθημα;
6. Εργασία για το σπίτι.
1) Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνο, που στηρίζεται στην άκρη της βελόνας σε ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι σε ισορροπία χρησιμοποιώντας το υλικό του σημερινού μαθήματος.
2) Σχεδιάστε σε διαφορετικά τρίγωνα και τα 4 υπέροχα σημεία.
© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Γεωμετρία, 8η τάξη ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΣΗΜΕΙΑ
Σημείο τομής των διαμέσων τριγώνου Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου Σημείο τομής των υψομέτρων τριγώνου Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου
Η διάμεσος (BD) ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. A B C D Διάμεσος
Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο (το κέντρο βάρους του τριγώνου) και διαιρούνται με αυτό το σημείο σε αναλογία 2: 1, μετρώντας από την κορυφή. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Η διχοτόμος (A D) ενός τριγώνου είναι το τμήμα της διχοτόμου της εσωτερικής γωνίας του τριγώνου.
Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας ξεδιπλωμένης γωνίας έχει ίση απόσταση από τις πλευρές του. Αντίθετα, κάθε σημείο που βρίσκεται μέσα σε μια γωνία και ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας βρίσκεται στη διχοτόμο του. Α Μ Β Γ
Όλες οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο. C B 1 M A B A 1 C 1 O Η ακτίνα του κύκλου (OM) είναι κάθετη που πέφτει από το κέντρο (t.O) προς την πλευρά του τριγώνου
ΥΨΟΣ Το ύψος (C D) ενός τριγώνου είναι το τμήμα της κάθετου που πέφτει από την κορυφή του τριγώνου στην ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά. Α Β Γ Δ
Τα ύψη ενός τριγώνου (ή οι προεκτάσεις τους) τέμνονται σε ένα σημείο. A A 1 B B 1 C C 1
ΜΕΣΗ ΚΑΘΕΤΟΣ Η κάθετη διχοτόμος (DF) είναι μια ευθεία κάθετη σε μια πλευρά ενός τριγώνου και τη διαιρεί στο μισό. A D F B C
A M B m O Κάθε σημείο της κάθετης διχοτόμου (m) σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος. Αντίστροφα, κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό.
Όλες οι κάθετες διχοτόμοι των πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο. A B C O Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι η απόσταση από το κέντρο του κύκλου σε οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου (ΟΑ). m n p
Εργασίες μαθητών Χρησιμοποιήστε μια πυξίδα και μια ευθεία για να κατασκευάσετε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα αμβλύ τρίγωνο. Για να το κάνετε αυτό: Κατασκευάστε τις διχοτόμους ενός αμβλύ τριγώνου χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και μια ευθεία. Το σημείο τομής των διχοτόμων είναι το κέντρο του κύκλου. Κατασκευάστε την ακτίνα του κύκλου: την κάθετη από το κέντρο του κύκλου στην πλευρά του τριγώνου. Κατασκευάστε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο.
2. Χρησιμοποιήστε μια πυξίδα και μια ευθεία για να φτιάξετε έναν κύκλο που να περιβάλλει ένα αμβλύ τρίγωνο. Για να το κάνετε αυτό: Κατασκευάστε τις κάθετες διχοτόμους στις πλευρές ενός αμβλείας τριγώνου. Το σημείο τομής αυτών των καθέτων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Η ακτίνα ενός κύκλου είναι η απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου. Κατασκευάστε έναν κύκλο που να περιγράφει ένα τρίγωνο.
Σιλτσένκοφ Ίλια
υλικά για το μάθημα, παρουσίαση με κινούμενα σχέδια
Κατεβάστε:
Προεπισκόπηση:
Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του και είναι ίσο με το μισό αυτής της πλευράς. Επίσης, σύμφωνα με το θεώρημα, η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη σε μία από τις πλευρές του και ίση με το μισό αυτής της πλευράς.
Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη.
Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου
Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου Σημείο τομής διάμεσων (κεντρικό τρίγωνο) ; Το σημείο τομής των διχοτόμων, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων. Σημείο τομής υψών (ορθόκεντρο). Γραμμή Euler και κύκλος εννέα σημείων. σημεία Gergonne και Nagel. Point Fermat-Torricelli;
Σημείο τομής διαμέσου
Η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή οποιασδήποτε γωνίας του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
I. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί κάθε διάμεσο σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή.
Απόδειξη:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Το τμήμα A 1 B 1 είναι παράλληλο στην πλευρά AB και 1/2 AB \u003d A 1 B 1 δηλ. AB \u003d 2A1B1 (σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης γραμμής του τριγώνου), επομένως 1 \u003d 4 και 3 \u003d 2 ( επειδή είναι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες με παράλληλες ευθείες AB και A 1 B 1 και τέμνονται BB 1 για 1, 4 και AA 1 για 3, 2 3. Επομένως, τα τρίγωνα AOB και A 1 OB 1 είναι παρόμοια σε δύο γωνίες, και επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες , δηλαδή οι λόγοι των πλευρών του AO και A 1 O, BO και B 1 O, AB και A 1 B 1 είναι ίσοι. Αλλά AB = 2A 1 B 1, επομένως AO \u003d 2A 1 O και BO \u003d 2B 1 O. Έτσι, το σημείο τομής O των διάμεσων BB 1 και AA 1 διαιρεί το καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Το θεώρημα αποδεικνύεται. Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει για το άλλοι δύο διάμεσοι
Το κέντρο μάζας μερικές φορές ονομάζεται κέντρο. Γι' αυτό λένε ότι το σημείο τομής της μέσης είναι το κέντρο του τριγώνου. Το κέντρο μάζας μιας ομοιογενούς τριγωνικής πλάκας βρίσκεται στο ίδιο σημείο. Εάν μια παρόμοια πλάκα τοποθετηθεί σε έναν πείρο έτσι ώστε η άκρη του πείρου να χτυπά ακριβώς το κέντρο του τριγώνου, τότε η πλάκα θα είναι σε ισορροπία. Επίσης το σημείο τομής των διαμέτρων είναι το κέντρο του κύκλου του διάμεσου τριγώνου του. Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα του σημείου τομής των διαμέσου συνδέεται με τη φυσική έννοια του κέντρου μάζας. Αποδεικνύεται ότι αν τοποθετηθούν ίσες μάζες στις κορυφές ενός τριγώνου, τότε το κέντρο τους θα πέσει ακριβώς σε αυτό το σημείο.
Σημείο τομής διχοτόμων
Διχοτόμος ενός τριγώνου - ένα τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας που συνδέει την κορυφή μιας από τις γωνίες του τριγώνου με ένα σημείο που βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά.
Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο σε ίση απόσταση από τις πλευρές του.
Απόδειξη:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Να χαρακτηρίσετε με το γράμμα O το σημείο τομής των διχοτόμων ΑΑ 1 και ΒΒ 1 του τριγώνου ΑΒΓ. 3. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας ξεδιπλωμένης γωνίας έχει ίση απόσταση από τις πλευρές του και αντίστροφα: κάθε σημείο που βρίσκεται μέσα στη γωνία και ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας βρίσκεται στη διχοτόμο του. Μετά OK=OL και OK=OM. Αυτό σημαίνει ότι το OM \u003d OL, δηλαδή το σημείο O απέχει ίση από τις πλευρές του τριγώνου ABC και, επομένως, βρίσκεται στη διχοτόμο CC1 της γωνίας C. 4. Κατά συνέπεια και οι τρεις διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο σημείο Ο. Κ Λ Μ Το θεώρημα αποδεικνύεται. 2. σχεδιάστε από αυτό το σημείο τις κάθετες ΟΚ, ΟΛ και ΟΜ, αντίστοιχα, στις ευθείες AB, BC και CA.
Σημείο τομής κάθετων διχοτόμων
Η διάμεσος κάθετος είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός δεδομένου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.
Οι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο σε ίση απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου.
Απόδειξη:
B C A m n 1. Να χαρακτηρίσετε με το γράμμα O το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων m και n των πλευρών AB και BC του τριγώνου ABC. O 2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα ότι κάθε σημείο της διχοτόμου προς το τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος και αντίστροφα: κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο σε αυτό, παίρνουμε ότι OB= ΟΑ και OB=OC. 3. Επομένως, OA \u003d OC, δηλαδή, το σημείο O απέχει ίση από τα άκρα του τμήματος AC και, επομένως, βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα. 4. Άρα και οι τρεις κάθετες διχοτόμοι m, n και p στις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο σημείο Ο. Το θεώρημα αποδεικνύεται. R
Σημείο τομής των υψών (ή των προεκτάσεων τους)
Το ύψος ενός τριγώνου είναι η κάθετη που τραβιέται από την κορυφή οποιασδήποτε γωνίας του τριγώνου στην ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά.
Τα ύψη ενός τριγώνου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο μπορεί να βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο ή μπορεί να είναι έξω από αυτό.
Απόδειξη:
Ας αποδείξουμε ότι οι ευθείες AA 1 , BB 1 και CC 1 τέμνονται σε ένα σημείο. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Σχεδιάστε μια ευθεία σε κάθε κορυφή του τριγώνου ABC παράλληλη στην απέναντι πλευρά. Παίρνουμε ένα τρίγωνο A 2 B 2 C 2. 2. Τα σημεία Α, Β και Γ είναι τα μέσα των πλευρών αυτού του τριγώνου. Πράγματι, AB \u003d A 2 C και AB \u003d CB 2 ως απέναντι πλευρές των παραλληλογραμμών ABA 2 C και ABCB 2, επομένως A 2 C \u003d CB 2. Ομοίως, C 2 A \u003d AB 2 και C 2 B \u003d BA 2. Επιπλέον, όπως προκύπτει από την κατασκευή, το CC 1 είναι κάθετο στο A 2 B 2, το AA 1 είναι κάθετο στο B 2 C 2 και το BB 1 είναι κάθετο στο A 2 C 2 (από το συμπέρασμα των παράλληλων ευθειών και του θεωρήματος τομής) . Έτσι, οι ευθείες AA 1, BB 1 και CC 1 είναι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές του τριγώνου A 2 B 2 C 2. Επομένως, τέμνονται σε ένα σημείο. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Υπάρχουν τα λεγόμενα τέσσερα αξιοσημείωτα σημεία σε ένα τρίγωνο: το σημείο τομής των διάμεσων. Το σημείο τομής των διχοτόμων, το σημείο τομής των υψών και το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά.
Σημείο τομής των διάμεσων τριγώνου
Θεώρημα 1
Στην τομή των διαμέτρων ενός τριγώνου: Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούν το σημείο τομής σε αναλογία $2:1$ ξεκινώντας από την κορυφή.
Απόδειξη.
Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι η διάμεσος του. Δεδομένου ότι οι διάμεσοι χωρίζουν τις πλευρές στη μέση. Εξετάστε τη μεσαία γραμμή $A_1B_1$ (Εικ. 1).
Εικόνα 1. Μέσος τριγώνου
Από το Θεώρημα 1, $AB||A_1B_1$ και $AB=2A_1B_1$, επομένως $\γωνία ABB_1=\γωνία BB_1A_1,\ \γωνία BAA_1=\γωνία AA_1B_1$. Επομένως, τα τρίγωνα $ABM$ και $A_1B_1M$ είναι παρόμοια σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ομοιότητας τριγώνου. Τότε
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου
Θεώρημα 2
Στην τομή των διχοτόμων ενός τριγώνου: Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.
Απόδειξη.
Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $AM,\ BP,\ CK$ είναι οι διχοτόμοι του. Έστω το σημείο $O$ το σημείο τομής των διχοτόμων $AM\ και\ BP$. Σχεδιάστε από αυτό το σημείο κάθετα στις πλευρές του τριγώνου (Εικ. 2).
Εικόνα 2. Διχοτόμοι τριγώνου
Θεώρημα 3
Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας μη διογκωμένης γωνίας απέχει από τις πλευρές του ίση απόσταση.
Με το Θεώρημα 3, έχουμε: $OX=OZ,\ OX=OY$. Εξ ου και $OY=OZ$. Ως εκ τούτου, το σημείο $O$ απέχει ίση από τις πλευρές της γωνίας $ACB$ και επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο του $CK$.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων τριγώνου
Θεώρημα 4
Οι κάθετες διχοτόμοι των πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.
Απόδειξη.
Έστω ένα τρίγωνο $ABC$, $n,\ m,\ p$ οι κάθετες του. Έστω το σημείο $O$ το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων $n\ και\ m$ (Εικ. 3).
Σχήμα 3. Κάθετες διχοτόμοι τριγώνου
Για την απόδειξη χρειαζόμαστε το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα 5
Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα του δεδομένου τμήματος.
Με το Θεώρημα 3, έχουμε: $OB=OC,\ OB=OA$. Εξ ου και $OA=OC$. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο $O$ απέχει ίση από τα άκρα του τμήματος $AC$ και, επομένως, βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο του $p$.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Το σημείο τομής των υψομέτρων του τριγώνου
Θεώρημα 6
Τα ύψη ενός τριγώνου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο.
Απόδειξη.
Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι το ύψος του. Σχεδιάστε μια γραμμή σε κάθε κορυφή του τριγώνου παράλληλη προς την πλευρά απέναντι από την κορυφή. Παίρνουμε ένα νέο τρίγωνο $A_2B_2C_2$ (Εικ. 4).
Εικόνα 4. Ύψη τριγώνου
Εφόσον τα $AC_2BC$ και $B_2ABC$ είναι παραλληλόγραμμα με κοινή πλευρά, τότε το $AC_2=AB_2$, δηλαδή, το σημείο $A$ είναι το μέσο της πλευράς $C_2B_2$. Ομοίως, παίρνουμε ότι το σημείο $B$ είναι το μέσο της πλευράς $C_2A_2$ και το σημείο $C$ είναι το μέσο της πλευράς $A_2B_2$. Από την κατασκευή έχουμε ότι $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Επομένως $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι οι κάθετες διχοτόμοι του τριγώνου $A_2B_2C_2$. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 4, έχουμε ότι τα ύψη $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ τέμνονται σε ένα σημείο.
Εισαγωγή
Τα αντικείμενα του κόσμου γύρω μας έχουν ορισμένες ιδιότητες, τις οποίες μελετούν διάφορες επιστήμες.
Η γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που εξετάζει διάφορα σχήματα και τις ιδιότητές τους, οι ρίζες της πηγαίνουν πίσω στο μακρινό παρελθόν.
Στο τέταρτο βιβλίο των «Αρχών», ο Ευκλείδης λύνει το πρόβλημα: «Εγγράψτε έναν κύκλο σε ένα δεδομένο τρίγωνο». Από τη λύση προκύπτει ότι οι τρεις διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Από τη λύση ενός άλλου προβλήματος του Ευκλείδη, προκύπτει ότι οι κάθετοι που έχουν αποκατασταθεί στις πλευρές του τριγώνου στα μεσαία τους σημεία τέμνονται επίσης σε ένα σημείο - το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Οι «Αρχές» δεν λένε ότι τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, που ονομάζεται ορθόκεντρο (η ελληνική λέξη «όρθος» σημαίνει «ίσιο», «σωστό»). Αυτή η πρόταση ήταν ωστόσο γνωστή στον Αρχιμήδη. Το τέταρτο ενικό σημείο του τριγώνου είναι το σημείο τομής των διάμεσων. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι είναι το κέντρο βάρους (βαρύκεντρο) του τριγώνου.
Στα παραπάνω τέσσερα σημεία δόθηκε ιδιαίτερη προσοχή και από τον 18ο αιώνα ονομάστηκαν «αξιοσημείωτα» ή «ειδικά» σημεία του τριγώνου. Η μελέτη των ιδιοτήτων ενός τριγώνου που σχετίζεται με αυτά και άλλα σημεία χρησίμευσε ως η αρχή για τη δημιουργία ενός νέου κλάδου των στοιχειωδών μαθηματικών - "η γεωμετρία ενός τριγώνου" ή "μια νέα γεωμετρία ενός τριγώνου", ένας από τους ιδρυτές εκ των οποίων ήταν ο Λέονχαρντ Όιλερ.
Το 1765, ο Euler απέδειξε ότι σε οποιοδήποτε τρίγωνο το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που αργότερα ονομάστηκε «γραμμή του Euler». Στη δεκαετία του 20 του 19ου αιώνα, οι Γάλλοι μαθηματικοί J. Poncelet, Ch. Brianchon και άλλοι καθιέρωσαν ανεξάρτητα το ακόλουθο θεώρημα: τις βάσεις των διαμέσου, τις βάσεις των υψών και τα μέσα των τμημάτων των υψών που συνδέουν το ορθόκεντρο με οι κορυφές του τριγώνου βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. Αυτός ο κύκλος ονομάζεται «κύκλος των εννέα σημείων», ή «κύκλος του Φόιερμπαχ», ή «κύκλος του Όιλερ». Ο K. Feuerbach διαπίστωσε ότι το κέντρο αυτού του κύκλου βρίσκεται στη γραμμή Euler.
«Νομίζω ότι δεν έχουμε ζήσει ποτέ σε μια τέτοια γεωμετρική περίοδο μέχρι τώρα. Τα πάντα γύρω είναι γεωμετρία. Αυτά τα λόγια, που είπε ο μεγάλος Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier στις αρχές του 20ού αιώνα, χαρακτηρίζουν με μεγάλη ακρίβεια την εποχή μας. Ο κόσμος στον οποίο ζούμε είναι γεμάτος με τη γεωμετρία των σπιτιών και των δρόμων, των βουνών και των αγρών, των δημιουργημάτων της φύσης και του ανθρώπου.
Μας ενδιέφεραν τα λεγόμενα «υπέροχα σημεία του τριγώνου».
Αφού διαβάσαμε τη βιβλιογραφία για αυτό το θέμα, καθορίσαμε μόνοι μας τους ορισμούς και τις ιδιότητες των αξιοσημείωτων σημείων του τριγώνου. Αλλά η δουλειά μας δεν τελείωσε εκεί και θέλαμε να εξερευνήσουμε αυτά τα σημεία μόνοι μας.
Έτσι στόχος δεδομένος εργασία - η μελέτη κάποιων υπέροχων σημείων και γραμμών του τριγώνου, η εφαρμογή της γνώσης που αποκτήθηκε στην επίλυση προβλημάτων. Στη διαδικασία επίτευξης αυτού του στόχου, διακρίνονται τα ακόλουθα στάδια:
Επιλογή και μελέτη εκπαιδευτικού υλικού από διάφορες πηγές πληροφοριών, βιβλιογραφία.
Η μελέτη των βασικών ιδιοτήτων των αξιόλογων σημείων και ευθειών του τριγώνου.
Γενίκευση αυτών των ιδιοτήτων και απόδειξη αναγκαίων θεωρημάτων.
Επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τα αξιόλογα σημεία του τριγώνου.
ΚεφάλαιοΕγώ. Υπέροχες τρίγωνες κουκκίδες και γραμμές
1.1 Σημείο τομής των μεσοκάθετων με τις πλευρές ενός τριγώνου
Η κάθετη διχοτόμος είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος, κάθετου σε αυτό. Γνωρίζουμε ήδη το θεώρημα που χαρακτηρίζει την ιδιότητα της διχοτόμου: κάθε σημείο της διχοτόμου προς το τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα του και αντίστροφα, εάν το σημείο απέχει από τα άκρα του τμήματος, τότε βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο.
Το πολύγωνο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο αν όλες οι κορυφές του ανήκουν στον κύκλο. Ο κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος κοντά στο πολύγωνο.
Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των ενδιάμεσων κάθετων προς τις πλευρές του τριγώνου.
Έστω το σημείο Ο το σημείο τομής των κάθετων με τις πλευρές του τριγώνου ΑΒ και ΒΓ.
Συμπέρασμα: Έτσι, αν το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των μεσοκάθετων προς τις πλευρές του τριγώνου, τότε ΟΑ = ΟΣ = ΟΒ, δηλ. Το σημείο Ο απέχει ίση από όλες τις κορυφές του τριγώνου ABC, που σημαίνει ότι είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
|
|
|
|
| οξεία γωνία | κουτός | ορθογώνιος |
Συνέπειες
sin γ \u003d c / 2R \u003d c / sin γ \u003d 2R.
Αποδεικνύεται παρόμοια ένα/ sin α =2R, b/sin β =2R.
Ετσι:
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ημιτονικό θεώρημα.
Στα μαθηματικά, συμβαίνει συχνά τα αντικείμενα που ορίζονται με πολύ διαφορετικούς τρόπους να είναι ίδια.
Παράδειγμα.Έστω A1, B1, C1 τα μέσα των πλευρών ∆ABS BC, AC, AB, αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι κύκλοι που περιγράφονται γύρω από τα τρίγωνα AB1C1, A1B1C, A1BC1 τέμνονται σε ένα σημείο. Επιπλέον, αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ΔABS.
|
| Θεωρήστε το τμήμα AO και κατασκευάστε έναν κύκλο σε αυτό το τμήμα, όπως σε μια διάμετρο. Τα σημεία C1 και B1 πέφτουν σε αυτόν τον κύκλο, επειδή είναι κορυφές ορθών γωνιών με βάση την ΑΟ. Τα σημεία A, C1, B1 βρίσκονται σε κύκλο = αυτός ο κύκλος περιγράφεται γύρω από το ΔAB1C1. Ομοίως, θα σχεδιάσουμε ένα τμήμα BO και θα κατασκευάσουμε έναν κύκλο σε αυτό το τμήμα, όπως σε μια διάμετρο. Αυτός θα είναι ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από το ΔBC1 A1. Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα CO και ας φτιάξουμε έναν κύκλο σε αυτό το τμήμα, όπως σε μια διάμετρο. Αυτός θα είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος Αυτοί οι τρεις κύκλοι διέρχονται από το σημείο O - το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το ΔABC. |
Γενίκευση.Εάν ληφθούν αυθαίρετα σημεία A 1 , B 1 , C 1 στις πλευρές ∆ABC AC, BC, AC, τότε οι κύκλοι που περιγράφονται γύρω από τα τρίγωνα AB 1 C 1 , A 1 B 1 C, A 1 BC 1 τέμνονται σε ένα σημείο .
1.2 Σημείο τομής των διχοτόμων τριγώνου
Η αντίστροφη πρόταση ισχύει επίσης: αν ένα σημείο απέχει από τις πλευρές μιας γωνίας, τότε βρίσκεται στη διχοτόμο του.
Είναι χρήσιμο να σημειώσετε τα μισά μιας γωνίας με τα ίδια γράμματα:
OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.
Έστω το σημείο Ο το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Α και Β. Με την ιδιότητα ενός σημείου που βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας Α, OF=OD=r. Με την ιδιότητα ενός σημείου που βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας Β, OE=OD=r. Έτσι, OE=OD= OF=r= το σημείο Ο απέχει από όλες τις πλευρές του τριγώνου ABC, δηλ. Το O είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. (Το σημείο Ο είναι το μόνο).
Συμπέρασμα:Έτσι, αν το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου, τότε OE=OD= OF=r, δηλ. Το σημείο Ο απέχει από όλες τις πλευρές του τριγώνου ABC, που σημαίνει ότι είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Το σημείο Ο - η τομή των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου είναι ένα υπέροχο σημείο του τριγώνου.
Συνέπειες:
Από την ισότητα των τριγώνων AOF και AOD (Εικόνα 1) κατά μήκος της υποτείνουσας και της οξείας γωνίας, προκύπτει ότι AF = ΕΝΑ Δ . Από την ισότητα των τριγώνων ΟΒΔ και ΟΒΕ προκύπτει ότι BD = ΕΙΝΑΙ , Από την ισότητα των τριγώνων COE και COF προκύπτει ότι Με φά = CE . Έτσι, τα τμήματα των εφαπτομένων που σύρονται στον κύκλο από ένα σημείο είναι ίσα.
AF=AD= z, BD=BE= y, СF=CE= Χ
a=x+y (1), σι= x+z (2), c= x+y (3).
+ (2) – (3), τότε παίρνουμε: α+σι-c=Χ+ y+ Χ+ z- z- y = α+σι-c= 2Χ =
x=( σι + ντο - Α2
Ομοίως: (1) + (3) - (2), παίρνουμε: y = (a + c -σι)/2.
Ομοίως: (2) + (3) - (1), παίρνουμε: z= (α +σι - ντο)/2.
Η διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε τμήματα ανάλογα με τις διπλανές πλευρές.
1.3 Σημείο τομής των μέσων τριγώνου (κεντροειδές)
Απόδειξη 1.Έστω A 1 , B 1 και C 1 τα μέσα των πλευρών BC, CA και AB του τριγώνου ABC, αντίστοιχα (Εικ. 4).
Έστω G το σημείο τομής δύο διαμέσου AA 1 και BB 1 . Ας αποδείξουμε πρώτα ότι AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.
Για να το κάνετε αυτό, πάρτε τα μέσα P και Q των τμημάτων AG και BG. Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης γραμμής του τριγώνου, τα τμήματα B 1 A 1 και PQ είναι ίσα με το μισό της πλευράς ΑΒ και είναι παράλληλα προς αυτήν. Επομένως, το τετράπλευρο A 1 B 1 είναι παραλληλόγραμμο PQ. Τότε το σημείο τομής G των διαγωνίων του PA 1 και QB 1 διχοτομεί καθεμία από αυτές. Επομένως, τα σημεία P και G διαιρούν τη διάμεσο του AA 1 σε τρία ίσα μέρη και τα σημεία Q και G διαιρούν τη διάμεσο του BB 1 επίσης σε τρία ίσα μέρη. Άρα, το σημείο G της τομής των δύο διαμέσου του τριγώνου διαιρεί το καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή.
Το σημείο τομής των διαμέτρων ενός τριγώνου ονομάζεται κεντροειδές ή κέντρο βαρύτητας τρίγωνο. Αυτό το όνομα οφείλεται στο γεγονός ότι σε αυτό το σημείο βρίσκεται το κέντρο βάρους μιας ομοιογενούς τριγωνικής πλάκας.
1.4 Σημείο τομής των υψών του τριγώνου (ορθόκεντρο)
1,5 Πόντος Τοριτσέλι
Η διαδρομή που δίνεται είναι το τρίγωνο ABC. Το σημείο Torricelli αυτού του τριγώνου είναι ένα τέτοιο σημείο Ο, από το οποίο οι πλευρές αυτού του τριγώνου είναι ορατές υπό γωνία 120°, δηλ. Οι γωνίες AOB, AOC και BOC είναι 120°.
Ας αποδείξουμε ότι αν όλες οι γωνίες του τριγώνου είναι μικρότερες από 120°, τότε υπάρχει το σημείο Torricelli.
Στην πλευρά ΑΒ του τριγώνου ABC, κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC "(Εικ. 6, α) και περιγράφουμε έναν κύκλο γύρω από αυτό. Το τμήμα ΑΒ υποτείνει το τόξο αυτού του κύκλου με τιμή 120 °. Επομένως, το σημεία αυτού του τόξου, εκτός από το Α και το Β, έχουν την ιδιότητα ότι το τμήμα ΑΒ είναι ορατό από αυτά υπό γωνία 120 °. Ομοίως, στην πλευρά AC του τριγώνου ABC, κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ACB "(Εικ. 6, α) και περιγράψτε έναν κύκλο γύρω του. Σημεία του αντίστοιχου τόξου, εκτός των Α και Γ, έχουν την ιδιότητα ότι το τμήμα AC είναι ορατό από αυτά υπό γωνία 120°. Στην περίπτωση που οι γωνίες του τριγώνου είναι μικρότερες από 120°, αυτά τα τόξα τέμνονται σε κάποιο εσωτερικό σημείο Ο. Στην περίπτωση αυτή, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Επομένως, ∟BOC = 120°. Επομένως, το σημείο Ο είναι το επιθυμητό.
Στην περίπτωση που μία από τις γωνίες του τριγώνου, για παράδειγμα ABC, είναι ίση με 120°, το σημείο τομής των τόξων των κύκλων θα είναι το σημείο Β (Εικ. 6, β). Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο Torricelli δεν υπάρχει, αφού είναι αδύνατο να μιλήσουμε για τις γωνίες στις οποίες οι πλευρές AB και BC είναι ορατές από αυτό το σημείο.
Στην περίπτωση που μία από τις γωνίες του τριγώνου, για παράδειγμα, ABC, είναι μεγαλύτερη από 120° (Εικ. 6, γ), τα αντίστοιχα τόξα των κύκλων δεν τέμνονται και το σημείο Torricelli επίσης δεν υπάρχει.
Σχετιζόμενο με το σημείο Torricelli είναι το πρόβλημα του Fermat (το οποίο θα εξετάσουμε στο Κεφάλαιο II) της εύρεσης του σημείου από το οποίο το άθροισμα των αποστάσεων από το οποίο σε τρία δεδομένα σημεία είναι το μικρότερο.
1.6 Κύκλος εννέα σημείων
Πράγματι, το A 3 B 2 είναι η μέση γραμμή του τριγώνου AHC και, κατά συνέπεια, το A 3 B 2 || CC1. B 2 A 2 είναι η μέση γραμμή του τριγώνου ABC και, επομένως, B 2 A 2 || ΑΒ. Αφού CC 1 ┴ AB, τότε A 3 B 2 A 2 = 90°. Ομοίως, A 3 C 2 A 2 = 90°. Επομένως τα σημεία A 2 , B 2 , C 2 , A 3 βρίσκονται στον ίδιο κύκλο με διάμετρο A 2 A 3 . Δεδομένου ότι AA 1 ┴BC, το σημείο A 1 ανήκει επίσης σε αυτόν τον κύκλο. Έτσι, τα σημεία A 1 και A 3 βρίσκονται στον κυκλικό κύκλο του τριγώνου A2B2C2. Ομοίως, φαίνεται ότι τα σημεία B 1 και B 3 , C 1 και C 3 βρίσκονται σε αυτόν τον κύκλο. Άρα και τα εννέα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κύκλο.
Στην περίπτωση αυτή, το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων βρίσκεται στη μέση μεταξύ του κέντρου της τομής των υψών και του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου. Πράγματι, έστω στο τρίγωνο ABC (Εικ. 9), το σημείο O είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. G είναι το σημείο τομής των διαμέσου. H σημείο τομής υψών. Απαιτείται να αποδειχθεί ότι τα σημεία O, G, H βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων N διαιρεί το τμήμα OH στη μέση.
Θεωρήστε μια ομοιοθεία με κέντρο στο G και με συντελεστή -0,5. Οι κορυφές A, B, C του τριγώνου ABC θα πάνε στα σημεία A 2 , B 2 , C 2 αντίστοιχα. Τα ύψη του τριγώνου ABC θα πάνε στα ύψη του τριγώνου A 2 B 2 C 2 και, κατά συνέπεια, το σημείο H θα πάει στο σημείο O. Επομένως, τα σημεία O, G, H θα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή.
Ας δείξουμε ότι το μέσο Ν του τμήματος ΟΗ είναι το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων. Πράγματι, το C 1 C 2 είναι η χορδή των εννέα σημείων του κύκλου. Επομένως, η κάθετη διχοτόμος σε αυτή τη χορδή είναι η διάμετρος και τέμνει το OH στο μέσο του N. Ομοίως, η κάθετη διχοτόμος στη χορδή B 1 B 2 είναι η διάμετρος και τέμνει το OH στο ίδιο σημείο N. Επομένως, το N είναι το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων. Q.E.D.
Πράγματι, έστω P ένα αυθαίρετο σημείο που βρίσκεται στον κυκλικό κύκλο του τριγώνου ABC. D, E, F είναι οι βάσεις των καθέτων που έπεσαν από το σημείο P στις πλευρές του τριγώνου (Εικ. 10). Ας δείξουμε ότι τα σημεία D, E, F βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Σημειώστε ότι αν το AP διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τότε τα σημεία D και E συμπίπτουν με τις κορυφές B και C. Διαφορετικά, η μία από τις γωνίες ABP ή ACP είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία. Από αυτό προκύπτει ότι τα σημεία D και E θα βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας BC, και για να αποδειχθεί ότι τα σημεία D, E και F βρίσκονται στην ίδια ευθεία, αρκεί να ελέγξουμε ότι ∟CEF =∟ ΚΡΕΒΑΤΙ.
Ας περιγράψουμε έναν κύκλο με διάμετρο CP. Εφόσον ∟CFP = ∟CEP = 90°, τα σημεία E και F βρίσκονται σε αυτόν τον κύκλο. Επομένως, ∟CEF =∟CPF ως εγγεγραμμένες γωνίες που βασίζονται σε ένα κυκλικό τόξο. Επιπλέον, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Ας περιγράψουμε έναν κύκλο με διάμετρο BP. Εφόσον ∟BEP = ∟BDP = 90°, τα σημεία F και D βρίσκονται σε αυτόν τον κύκλο. Επομένως, ∟BPD = ∟BED. Επομένως, τελικά λαμβάνουμε ότι ∟CEF =∟BED. Άρα τα σημεία D, E, F βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
ΚεφάλαιοIIΕπίλυση προβλήματος
Ας ξεκινήσουμε με προβλήματα που σχετίζονται με τη θέση των διχοτόμων, των διαμέσου και των υψών ενός τριγώνου. Η επίλυσή τους, αφενός, σας επιτρέπει να θυμάστε το υλικό που καλύφθηκε νωρίτερα και, αφετέρου, αναπτύσσει τις απαραίτητες γεωμετρικές παραστάσεις, σας προετοιμάζει για την επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων.
Εργασία 1.Στις γωνίες Α και Β του τριγώνου ABC (∟A
Απόφαση.Έστω CD το ύψος, CE η διχοτόμος, τότε
∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.
Επομένως, ∟DCE =.
Απόφαση.Έστω O το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου ABC (Εικ. 1). Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι μια μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. Αν AB BC, τότε ∟A
Απόφαση. Έστω O το σημείο τομής των υψομέτρων του τριγώνου ABC (Εικ. 2). Εάν AC ∟B. Ένας κύκλος με διάμετρο BC θα διέλθει από τα σημεία F και G. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μικρότερη από τις δύο χορδές είναι αυτή στην οποία στηρίζεται η μικρότερη εγγεγραμμένη γωνία, παίρνουμε ότι CG
Απόδειξη.Στις πλευρές AC και BC του τριγώνου ABC, όπως και στις διαμέτρους, κατασκευάζουμε κύκλους. Τα σημεία A 1 , B 1 , C 1 ανήκουν σε αυτούς τους κύκλους. Επομένως, ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, ως γωνίες που βασίζονται στο ίδιο κυκλικό τόξο. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 ως γωνίες με αμοιβαία κάθετες πλευρές. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 ως γωνίες που βασίζονται στο ίδιο κυκλικό τόξο. Επομένως, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1 , δηλ. CC 1 είναι η διχοτόμος της γωνίας B 1 C 1 A 1 . Ομοίως, φαίνεται ότι τα AA 1 και BB 1 είναι διχοτόμοι των γωνιών B 1 A 1 C 1 και A 1 B 1 C 1 .
Το εξεταζόμενο τρίγωνο, του οποίου οι κορυφές είναι οι βάσεις των υψών ενός δεδομένου τριγώνου οξείας γωνίας, δίνει μια απάντηση σε ένα από τα κλασικά ακραία προβλήματα.
Απόφαση.Έστω ABC ένα δεδομένο οξύ τρίγωνο. Στις πλευρές του απαιτείται να βρεθούν τέτοια σημεία A 1 , B 1 , C 1 για τα οποία η περίμετρος του τριγώνου A 1 B 1 C 1 θα ήταν η μικρότερη (Εικ. 4).
Ας διορθώσουμε πρώτα το σημείο C 1 και ας αναζητήσουμε τα σημεία A 1 και B 1 για τα οποία η περίμετρος του τριγώνου A 1 B 1 C 1 είναι η μικρότερη (για τη δεδομένη θέση του σημείου C 1).
Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε τα σημεία D και E συμμετρικά με το σημείο C 1 ως προς τις ευθείες AC και BC. Τότε B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E και, επομένως, η περίμετρος του τριγώνου A 1 B 1 C 1 θα είναι ίση με το μήκος της πολύγραμμης DB 1 A 1 E. Είναι ξεκάθαρα ότι το μήκος αυτής της πολυγραμμής είναι το μικρότερο εάν τα σημεία B 1 , A 1 βρίσκονται στην ευθεία DE.
Θα αλλάξουμε τώρα τη θέση του σημείου C 1 και θα αναζητήσουμε μια τέτοια θέση στην οποία η περίμετρος του αντίστοιχου τριγώνου A 1 B 1 C 1 είναι η μικρότερη.
Εφόσον το σημείο D είναι συμμετρικό προς το C 1 ως προς το AC, τότε CD = CC 1 και ACD=ACC 1 . Ομοίως, CE=CC 1 και BCE=BCC 1 . Επομένως, το τρίγωνο CDE είναι ισοσκελές. Η πλευρά του είναι ίση με CC 1 . Η βάση ΔΕ είναι ίση με την περίμετρο Πτρίγωνο A 1 B 1 C 1 . Η γωνία DCE είναι ίση με τη διπλάσια γωνία ACB του τριγώνου ABC και, επομένως, δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου C 1 .
Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο με δεδομένη γωνία στην κορυφή, όσο μικρότερη είναι η βάση, τόσο μικρότερη είναι η πλευρά. Επομένως, η μικρότερη τιμή της περιμέτρου Πεπιτυγχάνεται στην περίπτωση της μικρότερης τιμής του CC 1 . Αυτή η τιμή λαμβάνεται εάν το CC 1 είναι το ύψος του τριγώνου ABC. Έτσι, το απαιτούμενο σημείο C 1 στην πλευρά ΑΒ είναι η βάση του ύψους που τραβιέται από την κορυφή C.
Σημειώστε ότι θα μπορούσαμε πρώτα να καθορίσουμε όχι το σημείο C 1 , αλλά το σημείο A 1 ή το σημείο B 1 και θα λάβαμε ότι τα A 1 και B 1 είναι οι βάσεις των αντίστοιχων υψομέτρων του τριγώνου ABC.
Από αυτό προκύπτει ότι το επιθυμητό τρίγωνο, η μικρότερη περίμετρος, που εγγράφεται σε ένα δεδομένο τρίγωνο οξείας γωνίας ABC είναι ένα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές είναι οι βάσεις των υψών του τριγώνου ABC.
Απόφαση.Ας αποδείξουμε ότι αν οι γωνίες του τριγώνου είναι μικρότερες από 120°, τότε το επιθυμητό σημείο στο πρόβλημα Steiner είναι το σημείο Torricelli.
Ας περιστρέψουμε το τρίγωνο ABC γύρω από την κορυφή C κατά γωνία 60°, εικ. 7. Πάρτε το τρίγωνο A'B'C. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο Ο στο τρίγωνο ABC. Όταν στρίβετε, θα πάει σε κάποιο σημείο O’. Το τρίγωνο OO'C είναι ισόπλευρο αφού CO = CO' και ∟OCO' = 60°, άρα OC = OO'. Επομένως, το άθροισμα των μηκών των OA + OB + OC θα είναι ίσο με το μήκος της πολυγραμμής AO + OO’ + O’B’. Είναι σαφές ότι το μήκος αυτής της πολύγραμμης παίρνει τη μικρότερη τιμή εάν τα σημεία Α, Ο, Ο', Β' βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Εάν το O είναι ένα σημείο Torricelli, τότε είναι. Πράγματι, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Επομένως, τα σημεία A, O, O' βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Ομοίως, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120° Επομένως, τα σημεία Ο, Ο', Β' βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που σημαίνει ότι όλα τα σημεία Α, Ο, Ο', Β' βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
συμπέρασμα
Η γεωμετρία ενός τριγώνου, μαζί με άλλα τμήματα των στοιχειωδών μαθηματικών, καθιστά δυνατή την αίσθηση της ομορφιάς των μαθηματικών γενικά και μπορεί να γίνει για κάποιον η αρχή του μονοπατιού προς τη «μεγάλη επιστήμη».
Η γεωμετρία είναι μια καταπληκτική επιστήμη. Η ιστορία της εκτείνεται σε περισσότερο από μια χιλιετία, αλλά κάθε συνάντηση μαζί της μπορεί να προικίσει και να εμπλουτίσει (τόσο τον μαθητή όσο και τον δάσκαλο) με τη συναρπαστική καινοτομία μιας μικρής ανακάλυψης, την εκπληκτική χαρά της δημιουργικότητας. Πράγματι, οποιοδήποτε πρόβλημα στοιχειώδους γεωμετρίας είναι στην ουσία ένα θεώρημα και η λύση του είναι μια μέτρια (και μερικές φορές τεράστια) μαθηματική νίκη.
Ιστορικά, η γεωμετρία ξεκίνησε με ένα τρίγωνο, έτσι για δυόμισι χιλιετίες το τρίγωνο ήταν σύμβολο της γεωμετρίας. Η σχολική γεωμετρία μόνο τότε μπορεί να γίνει ενδιαφέρουσα και ουσιαστική, μόνο τότε μπορεί να γίνει σωστή γεωμετρία, όταν εμφανιστεί σε αυτήν μια βαθιά και περιεκτική μελέτη του τριγώνου. Παραδόξως, το τρίγωνο, παρά τη φαινομενική του απλότητα, είναι ένα ανεξάντλητο αντικείμενο μελέτης - κανείς, ακόμη και στην εποχή μας, δεν τολμά να πει ότι έχει μελετήσει και γνωρίζει όλες τις ιδιότητες ενός τριγώνου.
Στην εργασία αυτή εξετάστηκαν οι ιδιότητες των διχοτόμων, των διαμέσου, των κάθετων διχοτόμων και των υψομέτρων ενός τριγώνου, ο αριθμός των αξιοσημείωτων σημείων και των ευθειών ενός τριγώνου επεκτάθηκε, διατυπώθηκαν και αποδείχθηκαν θεωρήματα. Μια σειρά από προβλήματα σχετικά με την εφαρμογή αυτών των θεωρημάτων έχουν λυθεί.
Το υλικό που παρουσιάζεται μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο σε βασικά μαθήματα όσο και σε προαιρετικές τάξεις, καθώς και στην προετοιμασία για κεντρικές δοκιμές και ολυμπιάδες μαθηματικών.
Βιβλιογραφία
Berger M. Geometry in two volumes - M: Mir, 1984.
Kiselev A.P. Στοιχειώδης γεωμετρία. – Μ.: Διαφωτισμός, 1980.
Kokseter G.S., Greitzer S.L. Νέες συναντήσεις με τη γεωμετρία. – Μ.: Nauka, 1978.
Latotin L.A., Chebotaravskiy B.D. Μαθηματικά 9. - Μινσκ: Narodnaya Asveta, 2014.
Prasolov V.V. Προβλήματα στην επιπεδομετρία. - Μ.: Nauka, 1986. - Μέρος 1.
Scanavi M. I. Μαθηματικά. Προβλήματα με λύσεις. - Rostov-on-Don: Phoenix, 1998.
Sharygin I.F. Προβλήματα στη γεωμετρία: Επιπεδομετρία. – Μ.: Nauka, 1986.
