Ο λόγος της απόσβεσης είναι ότι σε κάθε ταλαντευόμενο σύστημα, εκτός από τη δύναμη επαναφοράς, υπάρχουν πάντα διάφορα είδη αντίστασης αέρα
κ.λπ., που επιβραδύνουν την κίνηση. Με κάθε ταλάντευση, ένα μέρος δαπανάται για εργασία ενάντια στις δυνάμεις της τριβής. Τελικά, αυτό το έργο παίρνει όλη την ενέργεια που παρέχεται στο ταλαντωτικό σύστημα αρχικά.
Λαμβάνοντας υπόψη το , είχαμε να κάνουμε με ιδανικές, αυστηρά περιοδικές φυσικές ταλαντώσεις. Περιγράφοντας πραγματικές διακυμάνσεις με τη βοήθεια ενός τέτοιου μοντέλου, επιτρέπουμε εσκεμμένα μια ανακρίβεια στην περιγραφή. Ωστόσο, μια τέτοια απλοποίηση είναι κατάλληλη λόγω του γεγονότος ότι για πολλά συστήματα ταλάντωσης η απόσβεση των ταλαντώσεων που προκαλούνται από την τριβή είναι πολύ μικρή: το σύστημα καταφέρνει να κάνει πολλές ταλαντώσεις πριν αυτές μειωθούν αισθητά.
Καμπύλες απόσβεσης ταλαντώσεων
Με την παρουσία απόσβεσης, η φυσική ταλάντωση (Εικ. 1) παύει να είναι αρμονική. Επιπλέον, η απόσβεση ταλάντωσης παύει να είναι μια περιοδική διαδικασία - η τριβή επηρεάζει όχι μόνο το πλάτος των ταλαντώσεων (δηλαδή προκαλεί απόσβεση), αλλά και τη διάρκεια των ταλαντώσεων. Καθώς η τριβή αυξάνεται, ο χρόνος που απαιτείται για το σύστημα να ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση αυξάνεται. Το γράφημα των αποσβεσμένων ταλαντώσεων φαίνεται στο σχ. 2.
Εικ.1. Γράφημα ελεύθερων αρμονικών ταλαντώσεων
Εικ.2. Γράφημα αποσύνθεσης ταλάντωσης
Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των ταλαντωτικών συστημάτων είναι ότι μια μικρή τριβή επηρεάζει την περίοδο ταλάντωσης σε πολύ μικρότερο βαθμό από το πλάτος. Αυτή η συγκυρία έπαιξε τεράστιο ρόλο στη βελτίωση του ρολογιού. Το πρώτο ρολόι κατασκευάστηκε από τον Ολλανδό φυσικό και μαθηματικό Christian Huygens το 1673. Αυτή η χρονιά μπορεί να θεωρηθεί η ημερομηνία γέννησης των σύγχρονων κινήσεων ρολογιών. Η κίνηση των ρολογιών με εκκρεμές δεν είναι πολύ ευαίσθητη σε αλλαγές λόγω τριβής, οι οποίες στη γενική περίπτωση εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες, ενώ η ταχύτητα των προηγούμενων ρολογιών χωρίς εκκρεμές εξαρτιόταν πολύ από την τριβή.
Στην πράξη, υπάρχει ανάγκη τόσο μείωσης όσο και αύξησης της εξασθένησης των ταλαντώσεων. Για παράδειγμα, όταν σχεδιάζουν μηχανισμούς ρολογιών, επιδιώκουν να μειώσουν την εξασθένηση των ταλαντώσεων του εξισορροπητή ρολογιού. Για να γίνει αυτό, ο άξονας του εξισορροπητή είναι εφοδιασμένος με αιχμηρές άκρες που ακουμπούν σε καλά γυαλισμένα κωνικά ωστικά ρουλεμάν από σκληρή πέτρα (αχάτη ή ρουμπίνι). Αντίθετα, σε πολλά όργανα μέτρησης είναι πολύ επιθυμητό το κινητό μέρος της συσκευής να σταθεροποιείται κατά τη διαδικασία μέτρησης γρήγορα, κάνοντας όμως μεγάλο αριθμό ταλαντώσεων. Για να αυξηθεί η απόσβεση σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούνται διάφοροι αποσβεστήρες - συσκευές που αυξάνουν την τριβή και, γενικά, την απώλεια ενέργειας.
Στην πραγματικότητα, ελεύθερες ταλαντώσεις συμβαίνουν υπό τη δράση δυνάμεων αντίστασης. Οι δυνάμεις διάχυσης οδηγούν σε μείωση του πλάτους ταλάντωσης. Οι ταλαντώσεις, το πλάτος των οποίων γίνεται μικρότερο με την πάροδο του χρόνου ως αποτέλεσμα των απωλειών ενέργειας, ονομάζονται απόσβεση.
Απόσβεση μηχανικών ταλαντώσεων
ΟΡΙΣΜΟΣ
Το φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει τον ρυθμό απόσβεσης των ταλαντώσεων ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης. Ο συντελεστής εξασθένησης μπορεί να υποδηλωθεί με διάφορους τρόπους: κ.λπ. Υπό την προϋπόθεση ότι οι δυνάμεις τριβής είναι ανάλογες με την ταχύτητα του σώματος:
όπου - είναι ο γενικευμένος συντελεστής τριβής, ο συντελεστής απόσβεσης θεωρείται ίσος με:
πού είναι η μάζα του σώματος που ταλαντώνεται.
Η διαφορική εξίσωση των ταλαντώσεων παρουσία απόσβεσης θα έχει τη μορφή:
είναι η κυκλική συχνότητα των ελεύθερων ταλαντώσεων του συστήματος απουσία τριβής.Εξίσωση απόσβεσης ταλάντωσης:
όπου 
είναι η συχνότητα των αποσβεσμένων ταλαντώσεων, είναι το πλάτος των αποσβεσμένων ταλαντώσεων. είναι μια σταθερή τιμή που εξαρτάται από την επιλογή του χρονικού σημείου αναφοράς.
Ο συντελεστής απόσβεσης μπορεί να οριστεί ως το αντίστροφο του χρόνου () για τον οποίο τα πλάτη (Α) μειώνονται κατά e φορές:
που είναι ο χρόνος χαλάρωσης. Δηλαδή, μπορείτε να γράψετε:
Η περίοδος απόσβεσης ταλαντώσεων είναι ίση με:
με ασήμαντη αντίσταση του μέσου, εάν ικανοποιηθεί η ανισότητα: η περίοδος ταλάντωσης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Καθώς ο συντελεστής απόσβεσης αυξάνεται, η περίοδος ταλάντωσης αυξάνεται. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια της περιόδου απόσβεσης ταλαντώσεων δεν συμπίπτει με την έννοια των μη απόσβεσης ταλαντώσεων, αφού το σύστημα παρουσία απόσβεσης δεν επιστρέφει ποτέ στην αρχική του κατάσταση. Η περίοδος απόσβεσης ταλαντώσεων είναι η ελάχιστη χρονική περίοδος κατά την οποία το σύστημα περνά τη θέση ισορροπίας δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.
Με την αύξηση του συντελεστή εξασθένησης των ταλαντώσεων, η συχνότητα των ταλαντώσεων μειώνεται. Αν , τότε η συχνότητα των αποσβεσμένων ταλαντώσεων θα γίνει ίση με το μηδέν, ενώ η περίοδος αυξάνεται στο άπειρο. Τέτοιες ταλαντώσεις χάνουν την περιοδικότητά τους και ονομάζονται απεριοδικές. Όταν ο συντελεστής απόσβεσης είναι ίσος με τη φυσική συχνότητα των ταλαντώσεων, οι παράμετροι του συστήματος ονομάζονται κρίσιμες.
Ο συντελεστής απόσβεσης ταλάντωσης σχετίζεται με τη λογαριθμική μείωση απόσβεσης () με την έκφραση:
Απόσβεση ηλεκτρικών ταλαντώσεων
Οποιοδήποτε ηλεκτρικό κύκλωμα υπάρχει στην πραγματικότητα έχει ενεργή αντίσταση, επομένως, η ενέργεια που αποθηκεύεται σε αυτό με την πάροδο του χρόνου δαπανάται σε αυτήν την αντίσταση, αφού θερμαίνεται.
Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής εξασθένησης για το ηλεκτρικό κύκλωμα υπολογίζεται ως εξής:
όπου R είναι η αντίσταση, L είναι η αυτεπαγωγή του κυκλώματος.
Η συχνότητα στο ηλεκτρομαγνητικό κύκλωμα αντιπροσωπεύεται από τον τύπο:
Για ένα κύκλωμα RLC, η κρίσιμη αντίσταση () στην οποία οι ταλαντώσεις γίνονται απεριοδικές είναι η αντίσταση ίση με:
Μονάδες αναλογίας απόσβεσης
Η βασική μονάδα μέτρησης του συντελεστή εξασθένησης στο σύστημα SI είναι:
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
| Ασκηση | Ποιος είναι ο συντελεστής απόσβεσης αν το πλάτος των ταλαντώσεων του εκκρεμούς κατά το χρόνο t=10 s. μειώνεται κατά 4 φορές; |
| Λύση | Ας γράψουμε την εξίσωση των αποσβεσμένων ταλαντώσεων του εκκρεμούς: Σύμφωνα με έναν από τους ορισμούς του συντελεστή εξασθένησης: Ας κάνουμε τους υπολογισμούς:
|
| Απάντηση |  |
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2
| Ασκηση | Το κύκλωμα ταλάντωσης αποτελείται από έναν επαγωγέα L, έναν πυκνωτή C και μια αντίσταση R (Εικ. 1). Μετά από ποιον αριθμό πλήρων ταλαντώσεων (Ν) θα μειωθεί το πλάτος του ρεύματος στο κύκλωμα κατά συντελεστή e; |
| Λύση | Εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: - την αρχική τιμή του πλάτους της ισχύος ρεύματος, - το πλάτος της έντασης ρεύματος μέσω Ν ταλαντώσεων, τότε μπορούμε να γράψουμε:
|
απόσβεση δονήσεων
Απόσβεση ταλαντώσεων εκκρεμούς ελατηρίου
απόσβεση δονήσεων- διακυμάνσεις, η ενέργεια των οποίων μειώνεται με το χρόνο. Μια απείρως συνεχής διαδικασία ειδών είναι αδύνατη στη φύση. Οι ελεύθερες ταλαντώσεις οποιουδήποτε ταλαντωτή αργά ή γρήγορα εξασθενούν και σταματούν. Επομένως, στην πράξη, συνήθως ασχολείται κανείς με αποσβεσμένες ταλαντώσεις. Χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι το πλάτος των ταλαντώσεων ΕΝΑείναι μια φθίνουσα συνάρτηση. Τυπικά, η απόσβεση συμβαίνει υπό τη δράση των δυνάμεων αντίστασης του μέσου, που εκφράζονται συχνότερα ως γραμμική εξάρτηση από την ταχύτητα των ταλαντώσεων ή το τετράγωνό του.
Στην ακουστική: εξασθένηση - μείωση της στάθμης του σήματος σε πλήρη ακουστό.
Απόσβεση ταλαντώσεων εκκρεμούς ελατηρίου
Ας υπάρχει ένα σύστημα που αποτελείται από ένα ελατήριο (υπακούει στο νόμο του Χουκ), το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερά στερεωμένο και στο άλλο υπάρχει ένα σώμα μάζας Μ. Οι ταλαντώσεις συμβαίνουν σε ένα μέσο όπου η δύναμη αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα με έναν συντελεστή ντο(βλέπε παχύρρευστη τριβή).
Οι ρίζες του οποίου υπολογίζονται με τον παρακάτω τύπο
Λύσεις
Ανάλογα με την τιμή του συντελεστή εξασθένησης, η λύση χωρίζεται σε τρεις πιθανές επιλογές.
- απεριοδικότητα
Αν , τότε υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες και η λύση της διαφορικής εξίσωσης παίρνει τη μορφή:
Σε αυτή την περίπτωση, οι ταλαντώσεις εξασθενούν εκθετικά από την αρχή.
- Όριο απεριοδικότητας
Αν , οι δύο πραγματικές ρίζες είναι ίδιες και η λύση της εξίσωσης είναι:
Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να υπάρξει μια προσωρινή αύξηση, αλλά στη συνέχεια μια εκθετική αποσύνθεση.
- Ασθενής εξασθένηση
Αν , τότε η λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες
Τότε η λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης είναι
Πού είναι η φυσική συχνότητα των αποσβεσμένων ταλαντώσεων.
Οι σταθερές και σε κάθε μία από τις περιπτώσεις προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες:
δείτε επίσης
- Μείωση της απόσβεσης
Βιβλιογραφία
Lit .: Saveliev I. V., Μάθημα Γενικής Φυσικής: Μηχανική, 2001.
Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .
Δείτε τι είναι το "Damped Oscillations" σε άλλα λεξικά:
απόσβεση δονήσεων- Απόσβεση κραδασμών. DAMING ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ, κραδασμοί των οποίων το πλάτος Α μειώνεται με την πάροδο του χρόνου λόγω απωλειών ενέργειας: η μετατροπή της ενέργειας δόνησης σε θερμότητα ως αποτέλεσμα της τριβής σε μηχανικά συστήματα (για παράδειγμα, σε ένα σημείο ανάρτησης ... ... Εικονογραφημένο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Φυσικές ταλαντώσεις, το πλάτος Α των οποίων μειώνεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο Α(t) = Аоexp (?t) (? δείκτης απόσβεσης λόγω διαρροής ενέργειας λόγω ιξωδών δυνάμεων τριβής για μηχανικές αποσβεσμένες ταλαντώσεις και ωμικές ... . .. Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Διακυμάνσεις, το πλάτος των οποίων μειώνεται σταδιακά, για παράδειγμα. ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς που παρουσιάζει αντίσταση αέρα και τριβή στην ανάρτηση. Όλες οι ελεύθερες δονήσεις που συμβαίνουν στη φύση είναι, σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό, Z. K. Electric Z. K. ... ... Marine Dictionary
απόσβεση ταλαντώσεων- Μηχανικές ταλαντώσεις με τιμές του εύρους της γενικευμένης συντεταγμένης ή της χρονικής της παραγώγου να μειώνονται χρονικά. [Συλλογή προτεινόμενων όρων. Τεύχος 106. Μηχανικοί κραδασμοί. Ακαδημία Επιστημών της ΕΣΣΔ. Επιστημονική και Τεχνική Επιτροπή ...... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή
απόσβεση δονήσεων- (ΔΟΝΗΣΗ) διακυμάνσεις (δόνηση) με φθίνουσες τιμές κορυφής σε κορυφή… Ρωσική εγκυκλοπαίδεια για την προστασία της εργασίας
Φυσικές ταλαντώσεις του συστήματος, των οποίων το πλάτος Α μειώνεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο A(t) = A0exp(?α t) (α δείκτης απόσβεσης) λόγω διαρροής ενέργειας λόγω ιξωδών δυνάμεων τριβής για μηχανικές αποσβεσμένες ταλαντώσεις και ωμικό...... εγκυκλοπαιδικό λεξικό
απόσβεση δονήσεων- 31. Απόσβεση ταλαντώσεων Ταλαντώσεις με φθίνουσες τιμές πλάτους Πηγή ... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης
Φυσικές ταλαντώσεις του συστήματος, το πλάτος A k ryh μειώνεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο A (t) = Aoeexp (at) (ένας δείκτης απόσβεσης) λόγω διαρροής ενέργειας λόγω ιξωδών δυνάμεων τριβής για μηχανικές. 3. προς και ωμική αντίσταση για el ... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό
απόσβεση ταλαντώσεων- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. απόσβεση ταλάντωσης vok. gedämpfte Schwingung, f rus. απόσβεση ταλαντώσεων, n pranc. ταλαντώσεις amorties, f; ταλαντώσεις décroissantes, f … Automatikos Terminų žodynas
απόσβεση ταλαντώσεων- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. απόσβεση ταλαντώσεων? απόσβεση κραδασμών? πεθαίνοντας ταλαντώσεις vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. απόσβεση ταλαντώσεων, n pranc. ταλαντώσεις αμοιβές, f … Fizikos terminų žodynas
§6 Απόσβεση κραδασμών
Μείωση της εξασθένησης. Λογαριθμική μείωση απόσβεσης.
Οι ελεύθερες δονήσεις των τεχνικών συστημάτων σε πραγματικές συνθήκες συμβαίνουν όταν δρουν πάνω τους δυνάμεις αντίστασης. Η δράση αυτών των δυνάμεων οδηγεί σε μείωση του πλάτους της ταλαντούμενης ποσότητας.
Οι ταλαντώσεις, το πλάτος των οποίων μειώνεται με το χρόνο λόγω απωλειών ενέργειας ενός πραγματικού ταλαντωτικού συστήματος, ονομάζονται ξεθώριασμα.
Οι πιο συνηθισμένες περιπτώσεις είναι όταν η δύναμη αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα κίνησης.
όπου r- μέσος συντελεστής αντίστασης. Το σύμβολο μείον το δείχνειF Cκατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την ταχύτητα.
Ας γράψουμε την εξίσωση των ταλαντώσεων σε ένα σημείο που ταλαντώνεται σε ένα μέσο του οποίου ο συντελεστής αντίστασης είναιr. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα
όπου β είναι ο συντελεστής απόσβεσης. Αυτός ο συντελεστής χαρακτηρίζει τον ρυθμό απόσβεσης των ταλαντώσεων.Παρουσία δυνάμεων αντίστασης, η ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος σταδιακά θα μειωθεί, οι ταλαντώσεις θα αποσβεσθούν.
- διαφορική εξίσωση απόσβεσης ταλαντώσεων.
Στο εξίσωση των αποσβεσμένων ταλαντώσεων.
ω - συχνότητα απόσβεσης ταλαντώσεων:
Περίοδος απόσβεσης ταλαντώσεων:
Οι αποσβεσμένες ταλαντώσεις, αυστηρά θεωρημένες, δεν είναι περιοδικές. Επομένως, μπορούμε να μιλήσουμε για την περίοδο απόσβεσης ταλαντώσεων όταν το β είναι μικρό.
Εάν οι εξασθενήσεις εκφράζονται ασθενώς (β→0), τότε. αποσβεσμένες ταλαντώσεις μπορεί
θεωρούνται ως αρμονικές ταλαντώσεις, το πλάτος των οποίων ποικίλλει σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο
Στην εξίσωση (1) Α 0και φ 0 είναι αυθαίρετες σταθερές ανάλογα με την επιλογή της χρονικής στιγμής, ξεκινώντας από την οποία θεωρούμε ταλαντώσεις
Ας εξετάσουμε μια ταλάντωση κατά τη διάρκεια κάποιου χρόνου τ, κατά την οποία το πλάτος θα μειωθεί μιμια φορά
τ - χρόνος χαλάρωσης.
Ο συντελεστής απόσβεσης β είναι αντιστρόφως ανάλογος με το χρόνο κατά τον οποίο το πλάτος μειώνεται μιμια φορά. Ωστόσο, ο συντελεστής εξασθένησης είναι ανεπαρκής για να χαρακτηρίσει την εξασθένηση των ταλαντώσεων. Επομένως, είναι απαραίτητο να εισαχθεί ένα τέτοιο χαρακτηριστικό για την εξασθένηση των ταλαντώσεων, το οποίο περιλαμβάνει το χρόνο μιας ταλάντωσης. Ένα τέτοιο χαρακτηριστικό είναι μείωση(στα ρωσικά: μείωση) απόσβεση ρε, που ισούται με τον λόγο των πλατών που χωρίζονται χρονικά με μια περίοδο:
Λογαριθμική μείωση απόσβεσης ισούται με τον λογάριθμοΔ:
Η λογαριθμική μείωση της απόσβεσης είναι αντιστρόφως ανάλογη με τον αριθμό των ταλαντώσεων, ως αποτέλεσμα των οποίων το πλάτος ταλάντωσης μειώθηκε σε μιμια φορά. Η λογαριθμική μείωση της απόσβεσης είναι μια σταθερή τιμή για ένα δεδομένο σύστημα.
Ένα άλλο χαρακτηριστικό του ταλαντευτικού συστήματος είναι ο παράγοντας ποιότηταςQ.
Ο συντελεστής ποιότητας είναι ανάλογος με τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί το σύστημα κατά το χρόνο χαλάρωσης τ.
QΤο ταλαντωτικό σύστημα είναι ένα μέτρο της σχετικής διασποράς (διασποράς) ενέργειας.
QΤαλαντωτικό σύστημα ονομάζεται ένας αριθμός που δείχνει πόσες φορές η ελαστική δύναμη είναι μεγαλύτερη από τη δύναμη αντίστασης.
§7 Αναγκαστικοί κραδασμοί.
Απήχηση
Σε ορισμένες περιπτώσεις, καθίσταται απαραίτητη η δημιουργία συστημάτων που εκτελούν ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση. Είναι δυνατό να επιτευχθούν ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση στο σύστημα, εάν οι απώλειες ενέργειας αντισταθμίζονται ενεργώντας στο σύστημα με περιοδικά μεταβαλλόμενη δύναμη.
Αφήνω
Ας γράψουμε μια έκφραση για την εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου που εκτελεί μια αρμονική ταλαντωτική κίνηση υπό τη δράση μιας κινητήριας δύναμης.
Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:
(1)
Διαφορική εξίσωση εξαναγκασμένων ταλαντώσεων.
Αυτή η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική ανομοιογενής.
Η επίλυσή του είναι ίση με το άθροισμα της γενικής λύσης της ομογενούς εξίσωσης και της συγκεκριμένης λύσης της ανομοιογενούς εξίσωσης:
Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, ξαναγράφουμε την εξίσωση (1) με την ακόλουθη μορφή:
(2)
Θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης με τη μορφή:
Επειτα
Αντικαταστάτης στο (2):
επειδή εκτελείται για οποιαδήποτεt, τότε πρέπει να ισχύει η ισότητα γ = ω, επομένως,
Αυτός ο μιγαδικός αριθμός μπορεί εύκολα να αναπαρασταθεί ως
όπου ΑΛΛΑπροσδιορίζεται από τον τύπο (3 παρακάτω), και το φ - από τον τύπο (4), επομένως, το διάλυμα (2), σε μιγαδική μορφή, έχει τη μορφή
Το πραγματικό του μέρος, που ήταν η λύση της εξίσωσης (1), ισούται με:
όπου
(3)
(4)
Ο όρος Χ ο.ο. παίζει σημαντικό ρόλο μόνο στο αρχικό στάδιο όταν οι ταλαντώσεις καθορίζονται μέχρι το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων να φτάσει την τιμή που καθορίζεται από την ισότητα (3). Στη σταθερή κατάσταση, οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συμβαίνουν με συχνότητα ω και είναι αρμονικές. Το πλάτος (3) και η φάση (4) των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων εξαρτώνται από τη συχνότητα της κινητήριας δύναμης. Σε μια ορισμένη συχνότητα της κινητήριας δύναμης, το πλάτος μπορεί να φτάσει πολύ μεγάλες τιμές. Μια απότομη αύξηση στο πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων όταν η συχνότητα της κινητήριας δύναμης πλησιάζει τη φυσική συχνότητα του μηχανικού συστήματος ονομάζεται απήχηση.
Η συχνότητα ω της κινητήριας δύναμης στην οποία παρατηρείται συντονισμός ονομάζεται συντονισμός. Για να βρεθεί η τιμή του ω res, είναι απαραίτητο να βρεθεί η συνθήκη για το μέγιστο πλάτος. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να καθοριστεί η ελάχιστη συνθήκη για τον παρονομαστή στο (3) (δηλαδή, να εξετάσουμε το (3) για ένα άκρο).
Η εξάρτηση του πλάτους ενός ταλαντούμενου μεγέθους από τη συχνότητα της κινητήριας δύναμης ονομάζεται καμπύλη συντονισμού. Η καμπύλη συντονισμού θα είναι όσο υψηλότερη, τόσο χαμηλότερος ο συντελεστής απόσβεσης β και με τη μείωση του β, το μέγιστο των καμπυλών συντονισμού θα μετατοπιστεί προς τα δεξιά. Αν β = 0, τότε
ω res = ω 0 .
Στο ω→0 όλες οι καμπύλες έρχονται στην τιμή- στατική απόκλιση.
Ο παραμετρικός συντονισμός εμφανίζεται όταν μια περιοδική αλλαγή σε μία από τις παραμέτρους του συστήματος οδηγεί σε απότομη αύξηση του πλάτους του ταλαντούμενου συστήματος. Για παράδειγμα, καμπίνες που κάνουν τον «ήλιο» αλλάζοντας τη θέση του κέντρου βάρους του συστήματος.(Το ίδιο και στις «βάρκες».) Βλέπε §61 .τ. 1 Saveliev I.V.
Οι αυτοταλαντώσεις ονομάζονται τέτοιες ταλαντώσεις, η ενέργεια των οποίων αναπληρώνεται περιοδικά ως αποτέλεσμα της επιρροής του ίδιου του συστήματος λόγω μιας πηγής ενέργειας που βρίσκεται στο ίδιο σύστημα. Βλέπε §59 v.1 Savelyev I.V.
