Προφορική λύση τετραγωνικών εξισώσεων και θεώρημα Vieta. Το θεώρημα του Βιέτα. Παραδείγματα χρήσης Εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Βιέτα για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αντίστροφο θεώρημα Vieta. Θεώρημα Vieta για κυβικές εξισώσεις και εξισώσεις αυθαίρετης τάξης.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τετραγωνικές εξισώσεις

Το θεώρημα του Βιέτα

Έστω και συμβολίζουμε τις ρίζες της ανηγμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης
(1) .
Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο. Το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο:
;
.

Μια σημείωση για πολλές ρίζες

Αν η διάκριση της εξίσωσης (1) είναι μηδέν, τότε αυτή η εξίσωση έχει μία ρίζα. Αλλά, για να αποφευχθούν οι περίπλοκες διατυπώσεις, είναι γενικά αποδεκτό ότι στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (1) έχει δύο πολλαπλές ή ίσες ρίζες:
.

Απόδειξη πρώτη

Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης (1). Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε τον τύπο για τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
;
;
.

Εύρεση του αθροίσματος των ριζών:
.

Για να βρούμε το προϊόν, εφαρμόζουμε τον τύπο:
.
Επειτα

.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη δύο

Αν οι αριθμοί και είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης (1), τότε
.
Ανοίγουμε τις αγκύλες.

.
Έτσι, η εξίσωση (1) θα έχει τη μορφή:
.
Συγκρίνοντας με το (1) βρίσκουμε:
;
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Αντίστροφο θεώρημα Vieta

Ας υπάρχουν αυθαίρετοι αριθμοί. Τότε και είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
,
όπου
(2) ;
(3) .

Απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης του Vieta

Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση
(1) .
Πρέπει να αποδείξουμε ότι αν και , τότε και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1).

Αντικατάσταση (2) και (3) σε (1):
.
Ομαδοποιούμε τους όρους της αριστερής πλευράς της εξίσωσης:
;
;
(4) .

Αντικαταστάτης στο (4) :
;
.

Αντικαταστάτης στο (4) :
;
.
Η εξίσωση εκπληρώνεται. Δηλαδή, ο αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης (1).

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το θεώρημα του Vieta για την πλήρη τετραγωνική εξίσωση

Τώρα εξετάστε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση
(5) ,
όπου , και είναι κάποιοι αριθμοί. Και .

Διαιρούμε την εξίσωση (5) με:
.
Δηλαδή έχουμε πάρει την παραπάνω εξίσωση
,
όπου ; .

Τότε το θεώρημα Vieta για την πλήρη τετραγωνική εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή.

Έστω και συμβολίζουμε τις ρίζες της πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης
.
Στη συνέχεια, το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών καθορίζονται από τους τύπους:
;
.

Θεώρημα Vieta για κυβική εξίσωση

Ομοίως, μπορούμε να δημιουργήσουμε συνδέσεις μεταξύ των ριζών μιας κυβικής εξίσωσης. Θεωρήστε την κυβική εξίσωση
(6) ,
όπου , , , είναι κάποιοι αριθμοί. Και .
Ας διαιρέσουμε αυτήν την εξίσωση με:
(7) ,
όπου , , .
Έστω , , οι ρίζες της εξίσωσης (7) (και της εξίσωσης (6)). Επειτα

.

Συγκρίνοντας με την εξίσωση (7) βρίσκουμε:
;
;
.

Θεώρημα Vieta για εξίσωση n ου βαθμού

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε συνδέσεις μεταξύ των ριζών , , ... , , για την εξίσωση του nου βαθμού
.

Το θεώρημα του Vieta για μια εξίσωση nου βαθμού έχει την ακόλουθη μορφή:
;
;
;

.

Για να λάβουμε αυτούς τους τύπους, γράφουμε την εξίσωση με την ακόλουθη μορφή:
.
Στη συνέχεια εξισώνουμε τους συντελεστές στο , , , ... , και συγκρίνουμε τον ελεύθερο όρο.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.
ΕΚ. Νικόλσκι, Μ.Κ. Potapov et al., Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για την 8η τάξη των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, Μόσχα, Εκπαίδευση, 2006.

Δείτε επίσης:

Στα μαθηματικά, υπάρχουν ειδικά κόλπα με τα οποία πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις λύνονται πολύ γρήγορα και χωρίς διακρίσεις. Επιπλέον, με την κατάλληλη εκπαίδευση, πολλοί αρχίζουν να λύνουν τις εξισώσεις του δευτεροβάθμιου λόγου προφορικά, κυριολεκτικά «με μια ματιά».

Δυστυχώς, στο σύγχρονο μάθημα των σχολικών μαθηματικών, τέτοιες τεχνολογίες σχεδόν δεν μελετώνται. Και πρέπει να ξέρεις! Και σήμερα θα εξετάσουμε μία από αυτές τις τεχνικές - το θεώρημα του Vieta. Αρχικά, ας εισαγάγουμε έναν νέο ορισμό.

Μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής x 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ανηγμένη. Σημειώστε ότι ο συντελεστής x 2 είναι ίσος με 1. Δεν υπάρχουν άλλοι περιορισμοί στους συντελεστές.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 είναι η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.
2. x 2 − 5x + 6 = 0 μειώνεται επίσης.
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - αλλά αυτό δεν δίνεται καθόλου, αφού ο συντελεστής στο x 2 είναι 2.

Φυσικά, οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0 μπορεί να γίνει μειωμένη - αρκεί να διαιρέσουμε όλους τους συντελεστές με τον αριθμό a . Μπορούμε πάντα να το κάνουμε αυτό, αφού από τον ορισμό μιας τετραγωνικής εξίσωσης προκύπτει ότι ένα ≠ 0.

Είναι αλήθεια ότι αυτοί οι μετασχηματισμοί δεν θα είναι πάντα χρήσιμοι για την εύρεση ριζών. Λίγο πιο χαμηλά, θα φροντίσουμε να γίνει αυτό μόνο όταν στην τελική τετραγωνική εξίσωση όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Προς το παρόν, ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα:

Μια εργασία. Μετατρέψτε την δευτεροβάθμια εξίσωση σε μειωμένη:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Ας διαιρέσουμε κάθε εξίσωση με τον συντελεστή της μεταβλητής x 2 . Παίρνουμε:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - διαιρούμε τα πάντα με το 3.
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - διαιρούμενο με −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - διαιρούμενο με 1,5, όλοι οι συντελεστές έγιναν ακέραιος.
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - διαιρούμενο με 2. Σε αυτή την περίπτωση, προέκυψαν κλασματικοί συντελεστές.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις μπορεί να έχουν ακέραιους συντελεστές ακόμα κι αν η αρχική εξίσωση περιείχε κλάσματα.

Τώρα διατυπώνουμε το κύριο θεώρημα, για το οποίο, στην πραγματικότητα, εισήχθη η έννοια της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης:

Το θεώρημα του Βιέτα. Θεωρήστε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση της μορφής x 2 + bx + c \u003d 0. Ας υποθέσουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες x 1 και x 2. Σε αυτή την περίπτωση, οι ακόλουθες δηλώσεις είναι αληθείς:

1. x1 + x2 = −b. Με άλλα λόγια, το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον συντελεστή της μεταβλητής x, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.
2. x 1 x 2 = γ. Το γινόμενο των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο συντελεστή.

Παραδείγματα. Για απλότητα, θα εξετάσουμε μόνο τις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις που δεν απαιτούν πρόσθετους μετασχηματισμούς:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ρίζες: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; ρίζες: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; ρίζες: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Το θεώρημα του Vieta μας δίνει πρόσθετες πληροφορίες για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Με την πρώτη ματιά, αυτό μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά ακόμα και με ελάχιστη εκπαίδευση, θα μάθετε να «βλέπετε» τις ρίζες και να τις μαντεύετε κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα.

Μια εργασία. Λύστε την τετραγωνική εξίσωση:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε τους συντελεστές σύμφωνα με το θεώρημα Vieta και να «μαντέψουμε» τις ρίζες:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 είναι ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.
   Με το θεώρημα Vieta, έχουμε: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι οι ρίζες είναι οι αριθμοί 2 και 7.
2. x 2 − 12x + 27 = 0 μειώνεται επίσης.
   Με το θεώρημα Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Εξ ου και οι ρίζες: 3 και 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - Αυτή η εξίσωση δεν μειώνεται. Αλλά θα το διορθώσουμε τώρα διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συντελεστή a \u003d 3. Παίρνουμε: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Λύνουμε σύμφωνα με το θεώρημα Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ρίζες: −10 και −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - και πάλι ο συντελεστής στο x 2 δεν είναι ίσος με 1, δηλ. η εξίσωση δεν δίνεται. Διαιρούμε τα πάντα με τον αριθμό a = −7. Παίρνουμε: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Με το θεώρημα Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Από αυτές τις εξισώσεις είναι εύκολο να μαντέψει κανείς τις ρίζες: 5 και 6.

Από τον παραπάνω συλλογισμό φαίνεται πώς το θεώρημα του Βιέτα απλοποιεί τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων. Χωρίς περίπλοκους υπολογισμούς, χωρίς αριθμητικές ρίζες και κλάσματα. Και ακόμη και η διάκριση (δείτε το μάθημα " Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων") δεν χρειαζόμασταν.

Φυσικά, σε όλους μας τους προβληματισμούς, προχωρήσαμε από δύο σημαντικές υποθέσεις, οι οποίες, γενικά, δεν εκπληρώνονται πάντα σε πραγματικά προβλήματα:

1. Η τετραγωνική εξίσωση ανάγεται, δηλ. ο συντελεστής στο x 2 είναι 1.
2. Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Από την άποψη της άλγεβρας, στην περίπτωση αυτή η διάκριση D > 0 - στην πραγματικότητα, αρχικά υποθέτουμε ότι αυτή η ανισότητα είναι αληθής.

Ωστόσο, σε τυπικά μαθηματικά προβλήματα πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις. Εάν το αποτέλεσμα των υπολογισμών είναι μια "κακή" τετραγωνική εξίσωση (ο συντελεστής x 2 είναι διαφορετικός από 1), αυτό είναι εύκολο να διορθωθεί - ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα στην αρχή του μαθήματος. Γενικά σιωπώ για τις ρίζες: τι είδους εργασία είναι αυτή στην οποία δεν υπάρχει απάντηση; Φυσικά θα υπάρχουν ρίζες.

Έτσι, το γενικό σχήμα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων σύμφωνα με το θεώρημα Vieta έχει ως εξής:

1. Να μειώσετε τη δευτεροβάθμια εξίσωση στη δεδομένη, εάν αυτό δεν έχει ήδη γίνει στην συνθήκη του προβλήματος.
2. Αν οι συντελεστές στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση αποδείχθηκαν κλασματικοί, λύνουμε μέσω της διάκρισης. Μπορείτε ακόμη και να επιστρέψετε στην αρχική εξίσωση για να εργαστείτε με πιο "βολικούς" αριθμούς.
3. Στην περίπτωση των ακέραιων συντελεστών, λύνουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta.
4. Εάν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα δεν ήταν δυνατό να μαντέψουμε τις ρίζες, βαθμολογούμε στο θεώρημα Vieta και λύνουμε μέσω του διαχωριστή.

Μια εργασία. Λύστε την εξίσωση: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Άρα, έχουμε μια εξίσωση που δεν ανάγεται, γιατί συντελεστής a \u003d 5. Διαιρέστε τα πάντα με 5, παίρνουμε: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Όλοι οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης είναι ακέραιοι - ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Έχουμε: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ρίζες είναι εύκολο να μαντέψουν - αυτές είναι 2 και 5. Δεν χρειάζεται να μετράτε μέσω του διαχωριστή.

Μια εργασία. Λύστε την εξίσωση: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Βλέπουμε: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - αυτή η εξίσωση δεν μειώνεται, διαιρούμε και τις δύο πλευρές με τον συντελεστή a = −5. Παίρνουμε: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - μια εξίσωση με κλασματικούς συντελεστές.

Είναι καλύτερα να επιστρέψετε στην αρχική εξίσωση και να μετρήσετε μέσω της διάκρισης: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Μια εργασία. Λύστε την εξίσωση: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Αρχικά, διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή a \u003d 2. Παίρνουμε την εξίσωση x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Αυτή είναι η ανηγμένη εξίσωση, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta έχουμε: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Είναι δύσκολο να μαντέψεις τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης σε αυτήν την περίπτωση - προσωπικά, "πάγωσα" σοβαρά όταν έλυσα αυτό το πρόβλημα.

Θα πρέπει να αναζητήσουμε ρίζες μέσω του διαχωριστή: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Εάν δεν θυμάστε τη ρίζα του διαχωριστικού, θα σημειώσω απλώς ότι 1225: 25 = 49. Επομένως, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Τώρα που είναι γνωστή η ρίζα της διάκρισης, η επίλυση της εξίσωσης δεν είναι δύσκολη. Λαμβάνουμε: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται συχνά για τον έλεγχο ριζών που έχουν ήδη βρεθεί. Εάν έχετε βρει τις ρίζες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) για να υπολογίσετε τις τιμές \(p\ ) και \(q\ ). Και αν αποδειχθούν ότι είναι ίδια με την αρχική εξίσωση, τότε οι ρίζες βρίσκονται σωστά.

Για παράδειγμα, ας χρησιμοποιήσουμε , λύσουμε την εξίσωση \(x^2+x-56=0\) και πάρουμε τις ρίζες: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ας ελέγξουμε αν κάναμε λάθος στη διαδικασία επίλυσης. Στην περίπτωσή μας, \(p=1\), και \(q=-56\). Με το θεώρημα του Vieta έχουμε:

\(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(περιπτώσεις)\) \(\αριστερό βέλος\) \(\αρχή(περιπτώσεις)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end (περιπτώσεις)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end (περιπτώσεις)\ )

Και οι δύο προτάσεις συνέκλιναν, πράγμα που σημαίνει ότι λύσαμε σωστά την εξίσωση.

Αυτή η εξέταση μπορεί να γίνει από το στόμα. Θα χρειαστούν 5 δευτερόλεπτα και θα σας σώσει από ανόητα λάθη.

Αντίστροφο θεώρημα Vieta

Αν \(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(περιπτώσεις)\), τότε \(x_1\) και \(x_2\) είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης \ (x^ 2+px+q=0\).

Ή με έναν απλό τρόπο: αν έχετε μια εξίσωση της μορφής \(x^2+px+q=0\), τότε λύνοντας το σύστημα \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) θα βρείτε τις ρίζες του.

Χάρη σε αυτό το θεώρημα, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, ειδικά αν αυτές οι ρίζες είναι . Αυτή η ικανότητα είναι σημαντική καθώς εξοικονομεί πολύ χρόνο.

Παράδειγμα . Λύστε την εξίσωση \(x^2-5x+6=0\).

Λύση : Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο θεώρημα Vieta, παίρνουμε ότι οι ρίζες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Δείτε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος \(x_1 \cdot x_2=6\). Σε ποια δύο μπορεί να αποσυντεθεί ο αριθμός \(6\); Σε \(2\) και \(3\), \(6\) και \(1\) ή \(-2\) και \(-3\), και \(-6\) και \(- ένας\). Και ποιο ζευγάρι να επιλέξετε, η πρώτη εξίσωση του συστήματος θα πει: \(x_1+x_2=5\). Τα \(2\) και \(3\) είναι παρόμοια, επειδή \(2+3=5\).
Απάντηση : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Παραδείγματα . Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta, βρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
α) \(x^2-15x+14=0\); β) \(x^2+3x-4=0\); γ) \(x^2+9x+20=0\); δ) \(x^2-88x+780=0\).

Λύση :
α) \(x^2-15x+14=0\) - σε ποιους παράγοντες αποσυντίθεται το \(14\); \(2\) και \(7\), \(-2\) και \(-7\), \(-1\) και \(-14\), \(1\) και \(14\ ). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται στο \(15\); Απάντηση: \(1\) και \(14\).

β) \(x^2+3x-4=0\) - σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(-4\); \(-2\) και \(2\), \(4\) και \(-1\), \(1\) και \(-4\). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται σε \(-3\); Απάντηση: \(1\) και \(-4\).

γ) \(x^2+9x+20=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(20\); \(4\) και \(5\), \(-4\) και \(-5\), \(2\) και \(10\), \(-2\) και \(-10\ ), \(-20\) και \(-1\), \(20\) και \(1\). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται σε \(-9\); Απάντηση: \(-4\) και \(-5\).

δ) \(x^2-88x+780=0\) - σε ποιους παράγοντες αποσυντίθεται το \(780\); \(390\) και \(2\). Αθροίζονται στο \(88\); Οχι. Τι άλλους πολλαπλασιαστές έχει ο \(780\); \(78\) και \(10\). Αθροίζονται στο \(88\); Ναί. Απάντηση: \(78\) και \(10\).

Δεν είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί ο τελευταίος όρος σε όλους τους πιθανούς παράγοντες (όπως στο τελευταίο παράδειγμα). Μπορείτε να ελέγξετε αμέσως αν το άθροισμά τους δίνει \(-p\).

Σπουδαίος!Το θεώρημα του Vieta και το αντίστροφο θεώρημα λειτουργούν μόνο με , δηλαδή με ένα του οποίου ο συντελεστής μπροστά από το \(x^2\) είναι ίσος με ένα. Αν αρχικά έχουμε μια μη ανηγμένη εξίσωση, τότε μπορούμε να την κάνουμε μειωμένη διαιρώντας απλώς με τον συντελεστή μπροστά από το \ (x ^ 2 \).

Για παράδειγμα, ας δοθεί η εξίσωση \(2x^2-4x-6=0\) και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε ένα από τα θεωρήματα του Vieta. Αλλά δεν μπορούμε, γιατί ο συντελεστής πριν από το \(x^2\) είναι ίσος με \(2\). Ας το ξεφορτωθούμε διαιρώντας ολόκληρη την εξίσωση με το \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Ετοιμος. Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τα δύο θεωρήματα.

Απαντήσεις σε συχνές ερωτήσεις

Ερώτηση: Με το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να λύσετε οποιοδήποτε ?
Απάντηση: Δυστυχώς όχι. Εάν δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί στην εξίσωση ή η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες, τότε το θεώρημα του Vieta δεν θα βοηθήσει. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε διακριτική . Ευτυχώς, το 80% των εξισώσεων στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών έχουν ακέραιες λύσεις.

Μία από τις μεθόδους επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι η εφαρμογή Φόρμουλες VIETA, που πήρε το όνομά του από τον FRANCOIS VIETE.

Ήταν διάσημος δικηγόρος και υπηρέτησε τον 16ο αιώνα με τον Γάλλο βασιλιά. Στον ελεύθερο χρόνο του σπούδασε αστρονομία και μαθηματικά. Καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Πλεονεκτήματα του τύπου:

1 . Εφαρμόζοντας τον τύπο, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τη λύση. Επειδή δεν χρειάζεται να εισαγάγετε τον δεύτερο συντελεστή στο τετράγωνο, στη συνέχεια να αφαιρέσετε 4ac από αυτόν, να βρείτε το διαχωριστικό, να αντικαταστήσετε την τιμή του στον τύπο για την εύρεση των ριζών.

2 . Χωρίς λύση, μπορείτε να προσδιορίσετε τα σημάδια των ριζών, να σηκώσετε τις τιμές των ριζών.

3 . Έχοντας λύσει το σύστημα των δύο εγγραφών, δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις ίδιες τις ρίζες. Στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με την τιμή του δεύτερου συντελεστή με πρόσημο μείον. Το γινόμενο των ριζών στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση ισούται με την τιμή του τρίτου συντελεστή.

4 . Σύμφωνα με τις ρίζες που δίνονται, να γράψετε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας, δηλαδή να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα. Για παράδειγμα, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρητική μηχανική.

5 . Είναι βολικό να εφαρμόζεται ο τύπος όταν ο κύριος συντελεστής είναι ίσος με ένα.

Ελαττώματα:

1 . Η φόρμουλα δεν είναι καθολική.

Θεώρημα Vieta Βαθμός 8

Τύπος
Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 + px + q \u003d 0, τότε:

Παραδείγματα
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - οι ρίζες της εξίσωσης x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Αντίστροφο θεώρημα

Τύπος
Αν οι αριθμοί x 1 , x 2 , p, q συνδέονται με τις συνθήκες:

Τότε τα x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2 + px + q = 0.

Παράδειγμα
Ας φτιάξουμε μια τετραγωνική εξίσωση από τις ρίζες της:

X 1 \u003d 2 -? 3 και x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Η επιθυμητή εξίσωση έχει τη μορφή: x 2 - 4x + 1 = 0.

Αρχικά, ας διατυπώσουμε το ίδιο το θεώρημα: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση της μορφής x^2+b*x + c = 0. Ας υποθέσουμε ότι αυτή η εξίσωση περιέχει ρίζες x1 και x2. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα, οι ακόλουθες προτάσεις είναι παραδεκτές:

1) Το άθροισμα των ριζών x1 και x2 θα είναι ίσο με την αρνητική τιμή του συντελεστή b.

2) Το γινόμενο αυτών των ριζών θα μας δώσει τον συντελεστή c.

Ποια είναι όμως η παραπάνω εξίσωση;

Μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση είναι μια τετραγωνική εξίσωση, ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού, ο οποίος είναι ίσος με ένα, δηλ. αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής x^2 + b*x + c = 0. (και η εξίσωση a*x^2 + b*x + c = 0 δεν ανάγεται). Με άλλα λόγια, για να μειώσουμε την εξίσωση στη μειωμένη μορφή, πρέπει να διαιρέσουμε αυτήν την εξίσωση με τον συντελεστή στον υψηλότερο βαθμό (α). Ο στόχος είναι να φέρουμε αυτήν την εξίσωση στη μειωμένη μορφή:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Διαιρούμε κάθε εξίσωση με τον συντελεστή του υψηλότερου βαθμού, παίρνουμε:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα, ακόμη και οι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα μπορούν να αναχθούν στη μειωμένη μορφή.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

παίρνουμε τις ρίζες: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τις ρίζες: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

παίρνουμε τις ρίζες: x1 = −1; x2 = −4.

Σημασία του θεωρήματος του Vieta

Το θεώρημα του Vieta μας επιτρέπει να λύσουμε οποιαδήποτε δεδομένη τετραγωνική εξίσωση σε σχεδόν δευτερόλεπτα. Με την πρώτη ματιά, αυτό φαίνεται σαν ένα αρκετά δύσκολο έργο, αλλά μετά από 5 10 εξισώσεις, μπορείτε να μάθετε να βλέπετε τις ρίζες αμέσως.

Από τα παραπάνω παραδείγματα, και χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορείτε να δείτε πώς μπορείτε να απλοποιήσετε σημαντικά τη λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων, επειδή χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, μπορείτε να λύσετε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με λίγους ή καθόλου περίπλοκους υπολογισμούς και τον υπολογισμό της διάκρισης, και όπως γνωρίζετε , όσο λιγότεροι υπολογισμοί, τόσο πιο δύσκολο είναι να κάνεις λάθος, κάτι που είναι σημαντικό.

Σε όλα τα παραδείγματα, χρησιμοποιήσαμε αυτόν τον κανόνα με βάση δύο σημαντικές υποθέσεις:

Η παραπάνω εξίσωση, δηλ. ο συντελεστής στον υψηλότερο βαθμό είναι ίσος με ένα (αυτή η συνθήκη είναι εύκολο να αποφευχθεί. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μη αναγωγική μορφή της εξίσωσης, τότε οι ακόλουθες προτάσεις x1+x2=-b/a· x1*x2=c/a θα είναι ισχύει, αλλά συνήθως είναι πιο δύσκολο να λυθεί :))

Όταν η εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Υποθέτουμε ότι η ανισότητα είναι αληθής και η διάκριση είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν.

Επομένως, μπορούμε να συνθέσουμε έναν γενικό αλγόριθμο λύσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αλγόριθμος γενικής λύσης με το θεώρημα του Vieta

Φέρνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση στη μειωμένη μορφή αν η εξίσωση μας δοθεί σε μη αναγωγική μορφή. Όταν οι συντελεστές στην τετραγωνική εξίσωση, που προηγουμένως παρουσιάσαμε ως μειωμένοι, αποδείχθηκαν κλασματικοί (όχι δεκαδικοί), τότε σε αυτή την περίπτωση η εξίσωσή μας θα πρέπει να λυθεί μέσω του διαχωριστή.

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις που η επιστροφή στην αρχική εξίσωση μας επιτρέπει να δουλέψουμε με «βολικούς» αριθμούς.