Что такое сходящийся ряд. Признаки сходимости числовых рядов. Сходимость рядов с положительными членами

ВВЕДЕНИЕ

Методическое пособие предназначено для преподавателей математики в техникумах, а также для студентов второго курса, всех специальностей.

В данной работе излагаются основные понятия теории рядов. Теоретический материал соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.).

Изложение теоретического материала по всей теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по-возможности строгом языке. В конце пособия приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Пособие предназначено для студентов заочной и дневной форм обучения.

Учитывая уровень подготовки учащихся техникума, а также крайне ограниченное число часов (12 часов + 4 ф.), отводимое программой для прохождения высшей математики в техникумах, строгие выводы, представляющие большие трудности для усвоения, опущены, ограничиваясь рассмотрением примеров.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

где ;;;…;;… - члены ряда; - n-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда:

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где ,,,…,,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членназывается общим членом ряда.

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся .

Если ряд сходящийся , то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

(1.2)

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n- ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

Ряд (1.2) принимает вид:

,ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

Не имеет предела, ряд расходится.

- конечное число, ряд сходится.

- ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Ряд вида

(1.3)

называется гармоническим .

Запишем частичную сумму этого ряда:

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

(1.4)

называется обобщенным гармоническим .

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

Полагая ,,,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

Сложив его члены, получим ряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придаваязначения 1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд

.

Найти n- ый член ряда по его данным первым членам:

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n- ый член ряда имеет вид .

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n- й член ряда имеет вид . или .

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

;

.

Подставив в общий член ряда вместо n число n+ 1, получим . Найдем предел отношения -го члена к n- му члену при :

Следовательно, данный ряд сходится.

Значит, данный ряд расходится.

Т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда .

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

.

Взяв пять членов, т.е. заменивна

Сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

и

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

Используя признак Лейбница, получим

;,

т.е. ряд сходится.

.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Используя признак Лейбница, имеем

;

, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

, или

.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным :

Придавая определенное значение , получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости .

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от :.

Определяется она в области сходимости равенством

, где

Частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна ;

, при .

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа называются коэффициентами ряда , а член - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится.

Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

(не зависит от),

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при .

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке .

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

.

Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд

При имеем ряд- это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при, т.е. при.

Приимеем ряд, который сходится по признаку Лейбница.

Приимеем расходящийся ряд

.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежуток.

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

который называется рядом Маклорена .

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е.,,,…,;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию.

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменивнаполучим:

, или

где , т.е. .

V. Практические задания для самоконтроля студентов.

При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость рядов:

cходится условно;

cходится условно;

cходится абсолютно.

;

;

VII. Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

И стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях представляют собой значения , где .

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке . Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд сходящимся, если его общий член стремится к нулю при возрастании .

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

Список литературы:

Основная:

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная:

1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;
5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;
6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.

Определение 1.1. Числовым рядом с общим членом называют последовательность чисел соединенных знаком сложения, т. е. выражение вида:

Такой ряд записывают также в виде

Пример 1.1. Если то ряд имеет вид:

Иногда при записи ряда выписывают только несколько его первых членов. Это делают лишь тогда, когда закономерность, характерная для членов ряда, легко усматривается. Строго говоря, такой способ задания ряда не является математически корректным, так как получение формулы общего члена по нескольким первым членам ряда - задача, не имеющая однозначного решения.

Пример 1.2. Напишем одну из возможных формул для общего члена ряда, зная его первые 4 члена:

Решение. Рассмотрим сначала последовательность числителей 2, 5, 8, 11. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 3. Это позволяет в качестве общего выражения для числителя взять формулу общего члена арифметической прогрессии: Знаменатели 2, 6, 18, 54 образуют геометрическую прогрессию с

первым членом 2 и знаменателем 3. В качестве их общего выражения можно взять формулу общего члена геометрической прогрессии Итак, общий член ряда будет иметь следующий вид:

Следует отметить, что в качестве общего члена можно было бы принять и более сложное выражение

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б)
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком "плюс" или "минус".
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6 .

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а)
Вычисления: Вычислениям границы

убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б)
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а)

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

Сумма числового ряда равна -1/30 .
б)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

Сумма ряда равна 4,5 .

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а)


Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

Через такие же дроби расписываем сумму ряда

Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена .

Методические указания по теме 1.4:

Числовые ряды:

Числовым рядом называется сумма вида

где числа u 1 , u 2 , u 3 , n n , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда.

. . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S 1 , S 2 , S 3 . Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S n стремится к пределу S , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S n ряда (27.1) при неограниченном возрастании n не имеет конченого предела (в частности, стремится к + ¥ или к - ¥), то такой ряд называется расходящимся

Если ряд сходится, то значение S n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность r n = S - S n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. r n = 0, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется геометрическим рядом.

называется гармоническим.

если N ®¥, то S n ®¥, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену:

1) полагая n = 1, n = 2, n = 3, имеем бесконечную последовательность чисел: , , , Сложив ее члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3) Придавая n значения 1, 2, 3, и учитывая,что 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, получим ряд

Пример 2. Найти n -й член ряда по его данным первым числам:

1) ; 2) ; 3) .

Пример 3. Найти сумму членов ряда:

1) Находим частичные суммы членов ряда:

Запишем последовательность частичных сумм: …, , … .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a 1 = , q= . Используя формулу получим Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера :

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится - это достаточный признак растворимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и растворимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

который сходится при |q|

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

Если p = 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p < 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p > 1 имеем геометрический ряд, в котором |q | < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p £1.

Признак Даламбера . Если для ряда с положительными членами

(u n >0)

выполняется условие , то ряд сходится при l l > 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость рядов:

Числовой ряд

u 1 + u 2 + u 3 + u n

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости для знакочередующихся рядов . Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u n стремится к нулю при n ® ,то ряд сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞ . Поэтому данный ряд расходится. Пример 6. Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходятся ли этот ряд абсолютно или условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

Функциональные ряды:

Обычный числовой ряд состоит из чисел:

Все члены ряда - это числа.

Функциональный же ряд состоит из функций:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и т.д. непременно входит буква «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда - это функции .

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд .

Степенные ряды:

Степенным рядом называется ряд вида

где числа а 0 , а 1 , а 2 , а n называется коэффициентами ряда, а член a n x n - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при |x| ряд сходится.

Пример 8. Дан ряд

Исследовать его сходимость в точках x = 1 и х = 3, x = -2.

При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

Т.е. ряд сходится.

При х = 3 получим ряд

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х = -2 получим

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках x = 1 и х = -2. ряд сходится, а в точке x = 3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

Если, а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадают с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке x = 0, т.е. , , .

8. Разложить в ряд Маклорена функции.

Произведите предварительную проверку. Есть простая теорема, которая гласит, что если бесконечная сумма функции f сходится, то предел функции f равен 0. Таким образом, если мы имеем функцию x^2, то у нее нет предела, и ее сумма до бесконечности расходится; с другой стороны, предел функции 1/x равен 0, так что ее сумма может сходиться. Если предел не равен нулю, мы знаем, что ряд расходится. ВНИМАНИЕ: обратное не верно, то есть то, что предел равен нулю, совсем не означает, что ряд обязательно сходится. В этом случае необходима дальнейшая проверка.

Геометрические ряды. Для этих рядов существует очень простое правило, так что прежде всего определите, не является ли ваш ряд геометрическим. Геометрический ряд -- это последовательность чисел, каждый член которой можно представить в виде r^k, где k -- переменная, а r -- число, лежащее в интервале между -1 и 1. Геометрические ряды всегда сходятся. Более того, вы легко можете определить сумму такого ряда, которая равна 1/(1-r).

Обобщенные гармонические ряды, или ряды Дирихле. Таким рядом называется сумма функций вида 1/(x^p), где x -- любое число. Теорема для этих рядов гласит, что если p больше единицы, ряд сходится, если же p меньше или равно единице, ряд расходится. Это означает, что упомянутый выше ряд 1/x расходится, так как его можно представить в виде 1/(x^1), где p=1. Этот ряд называется гармоническим. Ряд 1/(X^2) сходится, поскольку 2 больше 1.

Другие ряды. Если ряд не принадлежит одному из типов, указанных выше, примените к нему методы, приведенные ниже. Если не помог один метод, примените следующий, поскольку не всегда ясно, какой из них следует выбрать. Хотя и не существует однозначных правил, со временем вы сможете лучше ориентироваться в выборе нужного метода.

• Метод сравнения. Допустим, у вас есть два ряда, состоящие из положительных членов, a(n) и b(n). Тогда: 1) если бесконечная сумма b(n) сходится, и a(n) меньше чем b(n) (для любого достаточно большого n), тогда сумма a(n) также сходится; 2) если b(n) расходится, и a(n)>b(n), тогда a(n) тоже расходится. Например, у вас есть ряд 2/x; мы можем сравнить его с рядом 1/x. Поскольку мы уже знаем, что ряд 1/x расходится, и 2/x > 1/x, отсюда следует, что ряд 2/x также расходится. Таким образом, идея метода состоит в том, чтобы определить, сходится или нет исследуемый ряд, используя уже известный ряд.
• Метод сравнения пределов. Если a(n) и b(n) являются рядами положительных чисел, и если существует предел a(n)/b(n), который больше 0, тогда оба ряда либо сходятся, либо расходятся. В этом случае исследуемый ряд также сравнивается с известным; метод состоит в том, чтобы подобрать известный ряд, максимальная степень которого соответствует степени исследуемого ряда. Например, если вы рассматриваете ряд 1/(x^3+2x+1), имеет смысл сравнить его с рядом 1/(x^3).
• Проверка интегралом. Если функция больше нуля, непрерывна и уменьшается при значениях x больше или равных 1, тогда бесконечный ряд f(n) сходится, если определенный интеграл от 1 до бесконечности от функции f(x) существует и имеет конечное значение; в противном случае ряд расходится. Таким образом, достаточно проинтегрировать функцию и найти предел при x, стремящемся к бесконечности: если предел конечен, ряд сходится, если же предел равен бесконечности, ряд расходится.
• Знакопеременные ряды. Если a(k)>a(k+1)>0 при достаточно больших k, и предел a(n) равен 0, тогда знакопеременный ряд (-1)^n a(n) сходится. Проще говоря, допустим, что ваш ряд является знакопеременным (то есть его члены попеременно положительны и отрицательны); в этом случае отбросьте знакопеременную часть функции и найдите предел того, что осталось -- если предел конечен, ряд сходится.
• Метод отношения. Если дан бесконечный ряд a(n), найдите следующий член ряда a(n+1). Затем вычислите отношение последующего члена к предыдущему a(n+1)/a(n), в случае необходимости взяв его абсолютное значение. Найдите предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности; если этот предел существует и конечен, это означает следующее: 1) если предел меньше единицы, ряд сходится; 2) если предел больше единицы, ряд расходится; 3) если предел равен единице, данный способ недостаточен (ряд может как сходиться, так и расходиться).
• Это основные методы определения сходимости рядов, и они чрезвычайно полезны. Если ни один из них не помог, вполне вероятно, что задача не имеет решения, или же вы где-то допустили ошибку. Эти способы могут быть использованы и для других рядов, таких как степенные ряды, ряды Тейлора и т.д. Владение данными методами сложно переоценить, поскольку других простых способов определить сходимость ряда не существует.