Выражение a n (степень с целым показателем) будет определено во всех случаях, за исключением случая, когда a = 0 и при этом n меньше либо равно нулю.
Свойства степеней
Основные свойства степеней с целым показателем:
a m *a n = a (m+n) ;
a m: a n = a (m-n) (при a не равном нулю);
(a m) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n *b n ;
(a/b) n = (a n)/(b n) (при b не равном нулю);
a 0 = 1 (при a не равном нулю);
Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:
Если m>n, то a m > a n , при a>1 и a m
Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.
Например, при выполнении свойства (a m) n = a (m*n) выполнялось бы следующее равенство:
(a (m/n)) n = a m .
Это равенство означает, что число a (m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа a m .
Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m - некоторое целое число, n - некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(a m) . Исходя из определения: a (m/n) = n√(a m).
Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0 r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .
Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .
Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число a r будет положительным .
Основные свойства степени с рациональным показателем
Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:
1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;
2. (a p):(b q) = a (p-q) ;
3. (a p) q = a (p*q) ;
4. (a*b) p = (a p)*(b p);
5. (a/b) p = (a p)/(b p).
Данные свойства вытекают из свойств корней. Все данные свойства доказываются аналогичным способом, поэтому ограничимся доказательством только одного из них, например, первого (a p)*(a q) = a (p + q) .
Пусть p = m/n, a q = k/l, где n, l - некоторые натуральные числа, а m, k - некоторые целые числа. Тогда нужно доказать, что:
(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .
Сначала приведем дроби m/n k/l к общему знаменателю. Получим дроби (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Перепишем левую часть равенства с помощью этих обозначений и получим:
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))).
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m/n)+(k/l)) .
Выражения, преобразование выражений
Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование
В этой статье мы поговорим о преобразовании выражений со степенями. Сначала мы остановимся на преобразованиях, которые выполняются с выражениями любых видов, в том числе и со степенными выражениями, таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. А дальше разберем преобразования, присущие именно выражениям со степенями: работа с основанием и показателем степени, использование свойств степеней и т.д.
Навигация по странице.
Что такое степенные выражения?
Термин «степенные выражения» практически не встречается школьных учебниках математики, но он довольно часто фигурирует в сборниках задач, особенно предназначенных для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, например, . После анализа заданий, в которых требуется выполнить какие-либо действия со степенными выражениями, становится понятно, что под степенными выражениями понимают выражения, содержащие в своих записях степени. Поэтому, для себя можно принять такое определение:
Определение.
Степенные выражения – это выражения, содержащие степени.
Приведем примеры степенных выражений . Причем будем их представлять согласно тому, как происходит развитие взглядов на от степени с натуральным показателем до степени с действительным показателем.
Как известно, сначала происходит знакомство со степенью числа с натуральным показателем, на этом этапе появляются первые самые простые степенные выражения типа 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.п.
Чуть позже изучается степень числа с целым показателем, что приводит к появлению степенных выражений с целыми отрицательными степенями, наподобие следующих: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .
В старших классах вновь возвращаются к степеням. Там вводится степень с рациональным показателем, что влечет появление соответствующих степенных выражений: , , и т.п. Наконец, рассматриваются степени с иррациональными показателями и содержащие их выражения: , .
Перечисленными степенными выражениями дело не ограничивается: дальше в показатель степени проникает переменная, и возникают, например, такие выражения 2 x 2 +1 или . А после знакомства с , начинают встречаться выражения со степенями и логарифмами, к примеру, x 2·lgx −5·x lgx .
Итак, мы разобрались с вопросом, что представляют собой степенные выражения. Дальше будем учиться преобразовывать их.
Основные виды преобразований степенных выражений
Со степенными выражениями можно выполнять любые из основных тождественных преобразований выражений . Например, можно раскрывать скобки, заменять числовые выражения их значениями, приводить подобные слагаемые и т.д. Естественно, при этом стоит надо соблюдать принятый порядок выполнения действий . Приведем примеры.
Пример.
Вычислите значение степенного выражения 2 3 ·(4 2 −12) .
Решение.
Согласно порядку выполнения действий сначала выполняем действия в скобках. Там, во-первых, заменяем степень 4 2 ее значением 16 (при необходимости смотрите ), и во-вторых, вычисляем разность 16−12=4 . Имеем 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4 .
В полученном выражении заменяем степень 2 3 ее значением 8 , после чего вычисляем произведение 8·4=32 . Это и есть искомое значение.
Итак, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32 .
Ответ:
2 3 ·(4 2 −12)=32 .
Пример.
Упростить выражения со степенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 .
Решение.
Очевидно, что данное выражение содержит подобные слагаемые 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и мы можем привести их: .
Ответ:
3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .
Пример.
Представьте выражение со степенями в виде произведения.
Решение.
Справиться с поставленной задачей позволяет представление числа 9
в виде степени 3 2
и последующее использование формулы сокращенного умножения разность квадратов:
Ответ:
Также существует ряд тождественных преобразований, присущих именно степенным выражениям. Дальше мы их и разберем.
Работа с основанием и показателем степени
Встречаются степени, в основании и/или показателе которых находятся не просто числа или переменные, а некоторые выражения. В качестве примера приведем записи (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
При работе с подобными выражениями можно как выражение в основании степени, так и выражение в показателе заменить тождественно равным выражением на ОДЗ его переменных. Другими словами, мы можем по известным нам правилам отдельно преобразовывать основание степени, и отдельно – показатель. Понятно, что в результате этого преобразования получится выражение, тождественно равное исходному.
Такие преобразования позволяют упрощать выражения со степенями или достигать других нужных нам целей. Например, в упомянутом выше степенном выражении (2+0,3·7) 5−3,7 можно выполнить действия с числами в основании и показателе, что позволит перейти к степени 4,1 1,3 . А после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в основании степени (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) мы получим степенное выражение более простого вида a 2·(x+1) .
Использование свойств степеней
Один из главных инструментов преобразования выражений со степенями – это равенства, отражающие . Напомним основные из них. Для любых положительных чисел a и b и произвольных действительных чисел r и s справедливы следующие свойства степеней:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Заметим, что при натуральных, целых, а также положительных показателях степени ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Например, для натуральных чисел m и n равенство a m ·a n =a m+n верно не только для положительных a , но и для отрицательных, и для a=0 .
В школе основное внимание при преобразовании степенных выражений сосредоточено именно на умении выбрать подходящее свойство и правильно его применить. При этом основания степеней обычно положительные, что позволяет использовать свойства степеней без ограничений. Это же касается и преобразования выражений, содержащих в основаниях степеней переменные – область допустимых значений переменных обычно такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения, что позволяет свободно использовать свойства степеней. Вообще, нужно постоянно задаваться вопросом, а можно ли в данном случае применять какое-либо свойство степеней, ведь неаккуратное использование свойств может приводить к сужению ОДЗ и другим неприятностям. Детально и на примерах эти моменты разобраны в статье преобразование выражений с использованием свойств степеней . Здесь же мы ограничимся рассмотрением нескольких простых примеров.
Пример.
Представьте выражение a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 в виде степени с основанием a .
Решение.
Сначала второй множитель (a 2) −3
преобразуем по свойству возведения степени в степень: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6
. Исходное степенное выражение при этом примет вид a 2,5 ·a −6:a −5,5
. Очевидно, остается воспользоваться свойствами умножения и деления степеней с одинаковым основанием, имеем
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2
.
Ответ:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2 .
Свойства степеней при преобразовании степенных выражений используются как слева направо, так и справа налево.
Пример.
Найти значение степенного выражения .
Решение.
Равенство (a·b) r =a r ·b r , примененное справа налево, позволяет от исходного выражения перейти к произведению вида и дальше . А при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: .
Можно было выполнять преобразование исходного выражения и иначе:
Ответ:
.
Пример.
Дано степенное выражение a 1,5 −a 0,5 −6 , введите новую переменную t=a 0,5 .
Решение.
Степень a 1,5 можно представить как a 0,5·3 и дальше на базе свойства степени в степени (a r) s =a r·s , примененного справа налево, преобразовать ее к виду (a 0,5) 3 . Таким образом, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6 . Теперь легко ввести новую переменную t=a 0,5 , получаем t 3 −t−6 .
Ответ:
t 3 −t−6 .
Преобразование дробей, содержащих степени
Степенные выражения могут содержать дроби со степенями или представлять собой такие дроби. К таким дробям в полной мере применимы любые из основных преобразований дробей , которые присущи дробям любого вида. То есть, дроби, которые содержат степени, можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с их числителем и отдельно со знаменателем и т.д. Для иллюстрации сказанных слов рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Упростить степенное выражение .
Решение.
Данное степенное выражение представляет собой дробь. Поработаем с ее числителем и знаменателем. В числителе раскроем скобки и упростим полученное после этого выражение, используя свойства степеней, а в знаменателе приведем подобные слагаемые:
И еще изменим знак знаменателя, поместив минус перед дробью: .
Ответ:
.
Приведение содержащих степени дробей к новому знаменателю проводится аналогично приведению к новому знаменателю рациональных дробей. При этом также находится дополнительный множитель и выполняется умножение на него числителя и знаменателя дроби. Выполняя это действие, стоит помнить, что приведение к новому знаменателю может приводить к сужению ОДЗ. Чтобы этого не происходило, нужно, чтобы дополнительный множитель не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.
Пример.
Приведите дроби к новому знаменателю: а) к знаменателю a , б) к знаменателю .
Решение.
а) В этом случае довольно просто сообразить, какой дополнительный множитель помогает достичь нужного результата. Это множитель a 0,3
, так как a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a
. Заметим, что на области допустимых значений переменной a
(это есть множество всех положительных действительных чисел) степень a 0,3
не обращается в нуль, поэтому, мы имеем право выполнить умножение числителя и знаменателя заданной дроби на этот дополнительный множитель:
б) Присмотревшись повнимательнее к знаменателю, можно обнаружить, что
и умножение этого выражения на даст сумму кубов и , то есть, . А это и есть новый знаменатель, к которому нам нужно привести исходную дробь.
Так мы нашли дополнительный множитель . На области допустимых значений переменных x
и y
выражение не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
Ответ:
а) , б) .
В сокращении дробей, содержащих степени, также нет ничего нового: числитель и знаменатель представляются в виде некоторого количества множителей, и сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.
Пример.
Сократите дробь: а) , б) .
Решение.
а) Во-первых, числитель и знаменатель можно сократить на чисел 30
и 45
, который равен 15
. Также, очевидно, можно выполнить сокращение на x 0,5 +1
и на . Вот что мы имеем:
б) В этом случае одинаковых множителей в числителе и знаменателе сразу не видно. Чтобы получить их, придется выполнить предварительные преобразования. В данном случае они заключаются в разложении знаменателя на множители по формуле разности квадратов:
Ответ:
а)
б) .
Приведение дробей к новому знаменателю и сокращение дробей в основном используется для выполнения действий с дробями. Действия выполняются по известным правилам. При сложении (вычитании) дробей, они приводятся к общему знаменателю, после чего складываются (вычитаются) числители, а знаменатель остается прежним. В результате получается дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей. Деление на дробь есть умножение на дробь, обратную ей.
Пример.
Выполните действия .
Решение.
Сначала выполняем вычитание дробей, находящихся в скобках. Для этого приводим их к общему знаменателю, который есть , после чего вычитаем числители:
Теперь умножаем дроби:
Очевидно, возможно сокращение на степень x 1/2 , после которого имеем .
Еще можно упростить степенное выражение в знаменателе, воспользовавшись формулой разность квадратов: .
Ответ:
Пример.
Упростите степенное выражение .
Решение.
Очевидно, данную дробь можно сократить на (x 2,7 +1) 2 , это дает дробь . Понятно, что надо еще что-то сделать со степенями икса. Для этого преобразуем полученную дробь в произведение . Это дает нам возможность воспользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: . И в заключение процесса переходим от последнего произведения к дроби .
Ответ:
.
И еще добавим, что можно и во многих случаях желательно множители с отрицательными показателями степени переносить из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, изменяя знак показателя. Такие преобразования часто упрощают дальнейшие действия. Например, степенное выражение можно заменить на .
Преобразование выражений с корнями и степенями
Часто в выражениях, в которыми требуется провести некоторые преобразования, вместе со степенями с дробными показателями присутствуют и корни. Чтобы преобразовать подобное выражение к нужному виду, в большинстве случаев достаточно перейти только к корням или только к степеням. Но поскольку работать со степенями удобнее, обычно переходят от корней к степеням. Однако, осуществлять такой переход целесообразно тогда, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков (это мы подробно разобрали в статье переход от корней к степеням и обратно После знакомства со степенью с рациональным показателем вводится степень с иррациональным показателем, что позволяет говорить и о степени с произвольным действительным показателем. На этом этапе в школе начинает изучаться показательная функция , которая аналитически задается степенью, в основании которой находится число, а в показателе – переменная. Так мы сталкиваемся со степенными выражениями, содержащими числа в основании степени, а в показателе - выражения с переменными, и естественно возникает необходимость выполнения преобразований таких выражений.
Следует сказать, что преобразование выражений указанного вида обычно приходится выполнять при решении показательных уравнений и показательных неравенств , и эти преобразования довольно просты. В подавляющем числе случаев они базируются на свойствах степени и нацелены по большей части на то, чтобы в дальнейшем ввести новую переменную. Продемонстрировать их нам позволит уравнение 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0 .
Во-первых, степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной (или выражения с переменными) и числа, заменяются произведениями. Это относится к первому и последнему слагаемым выражения из левой части:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0
,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0
.
Дальше выполняется деление обеих частей равенства на выражение 7 2·x
, которое на ОДЗ переменной x
для исходного уравнения принимает только положительные значения (это стандартный прием решения уравнений такого вида, речь сейчас не о нем, так что сосредоточьте внимание на последующих преобразованиях выражений со степенями):
Теперь сокращаются дроби со степенями, что дает .
Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению , которое равносильно . Проделанные преобразования позволяют ввести новую переменную , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения
Выражением вида a (m/n) , где n - некоторое натуральное число, m - некоторое целое число и основание степени а больше нуля, называется степень с дробным показателем. Причем верным является следующее равенство. n√(a m) = a (m/n) .
Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n - некоторое натуральное число, а m - некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами. Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.
Для любых рациональных чисел p,q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:
- 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
- 2. (a p):(b q) = a (p-q)
- 3. (a p) q = a (p*q)
- 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
- 5. (a/b) p = (a p)/(b p)
Данные свойства широко используются при преобразовании различных выражений, где содержатся степени с дробными показателями.
Примеры преобразований выражений, содержащих степень с дробным показателем
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этих свойств для преобразования выражений.
1. Вычислить 7 (1/4) * 7 (3/4) .
- 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.
2. Вычислить 9 (2/3) : 9 (1/6) .
- 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.
3. Вычислить (16 (1/3)) (9/4) .
- (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.
4. Вычислить 24 (2/3) .
- 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.
5. Вычислить (8/27) (1/3) .
- (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.
6. Упростить выражение ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)
- ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3)))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.
7. Вычислить (25 (1/5))*(125 (1/5)).
- (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.
8. Упростить выражение
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/(a (2/3) + a (-1/3)).
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/(a (2/3) + a (-1/3)) =
- = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1-a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
- = 1 +a - (1-a) = 2*a.
Как видите используя эти свойства, можно значительно упростить некоторые выражения, которые содержат степени с дробными показателями.
Учитель математики: Нашкенова А.Н. Майбалыкской средней школы План-конспект урока по теме «Степень с рациональным показателем»
(алгебра, 11 класс)
Цели урока:
Расширить и углубить знания учащихся о степени числа; ознакомление учащихся с понятием степени с рациональным показателем и их свойствами;
Выработать знания, умения и навыки вычислять значения выражений путем использования свойств;
Продолжить работу по развитию умений анализировать, сравнивать, выделять главное, определять и объяснять понятия;
Формировать коммуникативные компетентности, умения аргументировать свои действия, воспитывать самостоятельность, трудолюбие.
Оборудование: учебник, раздаточные карточки, ноутбук, презентационный материал Power Point ;
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
План урока:
1.Орг. момент. - 1 мин.
2.Мотивация урока.- 2мин
3.Актуализация опорных знаний. - 5 мин.
4.Изучение нового материала. - 15 мин.
5.Физкультминутка - 1 мин.
6.Первичное закрепление изученного материала - 10 мин
7.Самостоятельная работа. - 7 мин.
8.Домашнее задание. - 2 мин.
9.Рефлексия – 1 мин.
10.Итог урока. – 1 мин.
Ход урока
1. Организационный момент
Эмоциональный настрой на урок.
Желаю работать, желаю
трудиться,
Желаю успехов сегодня добиться.
Ведь в будущем всё это вам
пригодится.
И легче в дальнейшем вам будет
учиться (Слайд №1)
2.Мотивация урока
Действия возведения в степень и извлечения корня, как и четыре арифметических действий, появились в результате практической потребности. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона а которого известна, встречалась обратная задача: «Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в. В 14-15 веках в Западной Европе появляются банки, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р % годовых. Уплачиваемая сумма выражается формулой : s = а(1 + ) п .Иногда деньги брались в долг ни на целое число лет, а например, на 2 года 6 месяцев. Если через 2.5 года сумма а обратиться в aq , то через следующие 2.5 лет она увеличиться еще в q раз и станет равной aq 2 . Через 5 лет: а=(1 + 5 , поэтому q 2 = (1 + 5 и значит q =
(Слайд 2) .
Так возникла идея степени с дробным показателем.
3.Актуализация опорных знаний.
Вопросы:
1.Что означает запись; а п
2. Что такое а ?
3. Что такое п ?
4. а -п =?
5.Запишите в тетради свойства степени с целым показателем.
6.Какие числа относятся к натуральным, целым, рациональным? Изобразить их с помощью кругов Эйлера. (Слайд 3)
Ответы: 1. Степень с целым показателем
2. а- основание
3. п- показатель степени
4. а -п =
5. Свойства степени с целым показателем :
a m *a n = a (m+n) ;
a m : a n = a (m-n) ( при a не равном нулю );
(a m ) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n *b n ;
(a/b) n = (a n )/(b n ) (при b не равном нулю);
a 1 = a;
a 0 = 1 (при a не равном нулю);
Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n.
6.1,2,3, …- положительные числа – множество натуральные числа – N
0,-1,-2,-3,.. число О и отрицательные числа –множество целые числа - Z
Q , – дробные числа (отрицательные и положительные) – множество рациональные числа - Q ZN
Круги Эйлера (слайд 4)
4. Изучение нового материала.
Пусть. а - неотрицательное число и требуется возвести его в дробную степень . Вам известно равенство (а m ) n = а m n (слайд 4) , т.е. правило возведения степени с степень. В приведенном равенстве предположим, что m = , тогда получим: (а ) п = а =а (слайд 4)
Отсюда можно заключить, что является а корнем п - й степени от числа а , т.е. а = . из этого следует, что (а п ) = п =а (слайд 4).
Следовательно а =(а ) m =(а m ) = m . ( слайд 4 ).
Таким образом, имеет место следующее равенство: а = m (слайд 4)
Определение: степенью неотрицательного числа а с рациональным показателем , где - несократимая дробь, называется значение корня п –й степени из числа а т .
Следовательно, по определению а = m (слайд 5)
Разберем пример 1 : Напишите степень с рациональным показателем в виде корня п-й степени:
1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (слайд 6) Решение: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( слайд 7) Над степенями с рациональным показателем можно производить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня по тем же правилам, как степенями с целым показателями и степенями с одинаковыми основаниями: а = а + а = а - (а ) = а * (а*в) = а * в ) = а / в где п, q – натуральные, т, р- целые числа. (слайд 8) 5.ФизкультминуткаОтвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ согнуться – потянутся,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.
И снова в путь! (слайд 9)
6.Первичное закрепление изученного материала:
Страница 51, № 90, № 91 – выполнить в тетради самостоятельно,
с проверкой у доски
7.Самостоятельная работа
Вариант 1
(Слайд 10)
Вариант 1
(Слайд 11)
Выполнить самостоятельную работу с взаимопроверкой.
Ответы:
Вариант 1
(Слайд 12)
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с понятием степени с рациональным показателем и научились записывать в виде корней, применять основные свойства степеней при нахождении значений числовых выражений. 8.Домашнее задание: №92,№ 93 Информация о домашнем задании
9. Рефлексия
(Слайд 13)
10.Итог урока:
В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем? (сходство: все свойства степени с целым показателем имеют место и для степени с рациональным показателем;
различие: степени)
Перечислите свойства степени с рациональным показателем
Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
Спасибо за урок!
(слайд 14)
Урок №30 (Алгебра и начала анализа, 11 класс)
Тема урока: Степень с рациональным показателем.
Цель урока: 1 . Расширить понятие степени, дать понятие степени с рациональным показателем; научить переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот; вычислять степени с рациональным показателем.
2. Развитие памяти, мышления.
3. Формирование активности .
«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть
из математики степени, и он увидит,
Что без них далеко не уедешь» М.В.Ломоносов
Ход урока.
I. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала .
1. Разбор нерешенных домашних примеров.
2. Контролирующая самостоятельная работа:
Вариант 1.
1. Решить уравнение: √(2х – 1) = 3х – 12
2. Решить неравенство: √(3х – 2) ≥ 4 – х
Вариант 2.
1. Решить уравнение: 3 – 2х = √(7х + 32)
2. Решить неравенство: √(3х + 1) ≥ х – 1
III. Изучение нового материала.
1 . Вспомним расширение понятия чисел: N є Z є Q є R.
Это лучше представить в виде приведенной ниже схемы:
Натуральные (N)
Ноль
Неотрицательные числа
Отрицательные числа
Дробные числа
Целые числа (Z)
Иррациональные
Рациональные (Q)
Действительные числа
2. В младших классах было определено понятие степени числа с целым показателем. а) Вспомните определение степени а) с натуральным, б) с целым отрицательным, в) с нулевым показателем. Подчеркнуть, что выражение a n имеет смысл при всех целых n и любых значениях а, кроме а=0 и n≤0.
б) Перечислите свойства степеней с целым показателем.
3 . Устная работа.
1). Вычислить: 1 -5 ; 4 -3 ; (-10) 0 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .
2). Запишите в виде степени с отрицательным показателем:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/х 7 ; 1/а 9 .
3).Сравните с единицей: 12 -3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . Теперь необходимо понять смысл выражений 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 и т.д. Для этого надо таким образом обобщить понятие степени, чтобы выполнялись все перечисленные свойства степеней. Рассмотрим равенство (a m/n ) n = а m . Тогда по определению корня п-й степени разумно считать, что a m/n будет корнем п-й степени из числа a m . Дается определение степени с рациональным показателем.
5. Рассмотреть примеры 1 и 2 из учебника.
6. Сделаем ряд замечаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем.
Замечание 1 : Для любого а>0 и рационального числа r число a r >0
Замечание 2 : По основному свойству дробей рациональное число m/n можно записать в виде mk/nk для любого натурального числа k. Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, так как a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n
Замечание 3 : При а Поясним это на примере. Рассмотрим (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. С другой стороны: 1/3 = 2/6 и тогда (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Получаем противоречие.