Metoda grafică. Planul de coordonate (x;y)

Ecuațiile cu un parametru provoacă dificultăți logice serioase. Fiecare astfel de ecuație este în esență o versiune scurtă a unei familii de ecuații. Este clar că este imposibil să notăm fiecare ecuație dintr-o familie infinită, dar, cu toate acestea, fiecare dintre ele trebuie rezolvată. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să utilizați o reprezentare grafică a dependenței unei variabile de un parametru.

Pe plan, funcția definește o familie de curbe în funcție de parametru. Ne va interesa ce transformare plană poate fi folosită pentru a trece la alte curbe ale familiei (vezi , , , , , , ).

Transfer paralel

Exemplu. Pentru fiecare valoare a parametrului, determinați numărul de soluții ale ecuației.

Soluţie. Să construim un grafic al funcției.

Sa luam in considerare. Aceasta este o linie dreaptă paralelă cu axa OX.

Răspuns. Dacă, atunci nu există soluții;

dacă, atunci 3 soluții;

dacă, atunci 2 soluții;

dacă, 4 soluții.

Întoarce-te

Trebuie remarcat imediat că alegerea unei familii de curbe nu este monotonă (spre deosebire de problemele în sine) sau, mai degrabă, este aceeași: în toate problemele - linii drepte. În plus, centrul de rotație aparține dreptei.

Exemplu. Pentru ce valori ale parametrului ecuația are o soluție unică?

Soluţie. Să luăm în considerare funcția și. Graficul celei de-a doua funcții este un semicerc cu un centru într-un punct cu coordonate și rază =1 (Fig. 2).

Arc AB.

Toate razele care trec între OA și OB se intersectează într-un punct, iar OB și OM (tangentă) se intersectează, de asemenea, într-un punct. Coeficienții unghiulari OA și, respectiv, OB sunt egali. Panta tangentei este egală cu. Se găsește ușor din sistem

Deci, familiile drepte au un singur punct comun cu un arc la.

Răspuns. .

Exemplu. În ce condiții are ecuația o soluție?

Soluţie. Să luăm în considerare funcția. Examinând-o pentru monotonitate, aflăm că crește pe interval și scade pe. Punct - este punctul maxim.

O funcție este o familie de drepte care trec printr-un punct. Să ne uităm la Figura 2. Graficul funcției este arcul AB. Dreaptele care vor fi situate între dreptele OA și OB satisfac condițiile problemei. Coeficientul de pantă al dreptei OA este un număr, iar OB este .

Răspuns. Când ecuația are 1 soluție;

pentru alte valori ale parametrului nu există soluții.

Omotezia. Compresie la drept

Exemplu. Găsiți toate valorile parametrului pentru fiecare dintre care ecuația are exact 8 soluții.

Soluţie. Avem. Să luăm în considerare funcția. Primul dintre ele specifică o familie de semicercuri cu un centru într-un punct cu coordonate, al doilea o familie de drepte paralele cu axa absciselor.

Numărul de rădăcini va corespunde cu numărul 8 atunci când raza semicercului este mai mare și mai mică, adică. Rețineți că există.

Răspuns. sau.

Metoda grafică. Planul de coordonate (x;a)

În general, ecuațiile, care conțin un parametru, nu sunt prevăzute cu niciun sistem de soluții clar, proiectat metodic. Trebuie să căutați anumite valori ale parametrilor prin atingere, căutând, rezolvând un număr mare de ecuații intermediare. Această abordare nu asigură întotdeauna succesul în găsirea tuturor valorilor parametrilor pentru care ecuația nu are soluții sau are una, două sau mai multe soluții. Adesea, unele valori ale parametrilor se pierd sau apar valori suplimentare. Pentru a face acestea din urmă, este necesar să se efectueze un studiu special care poate fi destul de dificil.

Să luăm în considerare o metodă care simplifică munca de rezolvare a ecuațiilor cu un parametru. Metoda este următoarea

1. Dintr-o ecuație cu o variabilă Xși parametru A Să exprimăm parametrul în funcție de X: .

2. În planul de coordonate X O A construiți un grafic al funcției.

3. Luați în considerare liniile drepte și selectați acele intervale ale axei O A, pe care aceste drepte îndeplinesc următoarele condiții: a) nu intersectează graficul funcției, b) intersectează graficul funcției într-un punct, c) în două puncte, d) în trei puncte și așa mai departe.

4. Dacă sarcina este de a găsi valorile X, apoi ne exprimăm X prin A pentru fiecare dintre intervalele de valori găsite A separat.

Vederea unui parametru ca o variabilă egală este reflectată în metodele grafice. Astfel, apare un plan de coordonate. S-ar părea că un detaliu atât de nesemnificativ precum respingerea denumirii tradiționale a planului de coordonate prin litere XȘi y defineşte una dintre cele mai eficiente metode de rezolvare a problemelor cu parametri.

Metoda descrisă este foarte clară. În plus, aproape toate conceptele de bază ale cursului de algebră și principiile analizei își găsesc aplicare în el. Este implicat întregul set de cunoștințe legate de studiul unei funcții: aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor extreme, găsirea limitei funcției, asimptote etc.. d. (vezi , , ).

Exemplu. La ce valori ale parametrilor ecuația are două rădăcini?

Soluţie. Să trecem la un sistem echivalent

Graficul arată că ecuația are 2 rădăcini.

Răspuns. Când ecuația are două rădăcini.

Exemplu. Găsiți mulțimea tuturor numerelor pentru fiecare dintre care ecuația are doar două rădăcini diferite.

Soluţie. Să rescriem această ecuație în următoarea formă:

Acum este important să nu ratați asta și - rădăcinile ecuației originale numai cu condiția. Să acordăm atenție faptului că este mai convenabil să construim un grafic pe un plan de coordonate. În figura 5, graficul dorit este o unire de linii continue. Aici răspunsul este „citește” prin linii verticale.

Răspuns. La, sau, sau.

Ecuația
suprafete
F(x,y,z)=0
.

Avion. Ecuația unui plan cu punct și vector normal

Poziția avionului în spațiu
poate fi determinat prin setarea unora
punctul M0 din plan și orice
vector normal. Normal
un vector plan este oricare
vector perpendicular pe acesta
avion.

Fie punctul M0(x0,y0,z0) să se afle în plan.
Să introducem un punct arbitrar în considerare
planul M(x,y,z).
z
n(A,B,C)
M
y
M0
X

Vectorii n(A, B, C) și M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ortogonală.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Ecuația unui plan cu punct și
vector normal.

Exemplul 1:

trecând prin punctul M(2,3,-1)
perpendicular pe vectorul n(1,2, 3)
Soluţie:
După formula: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
sau x+2y-3z-11=0

Exemplul 2:
Scrieți ecuația planului,
trecând prin punctul M(1,0,0)
perpendicular pe vectorul n(2,0,1) .
Soluţie:
Se obține: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
sau 2x+z-2=0.

Ecuația generală a planului

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, să-l extindem
paranteze și notăm –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Să prezentăm ecuația celor luate în considerare
avion pentru a vedea:
Ax+By+Cz+D=0 - ecuația generală a planului.
Coeficienții A, B, C sunt
coordonate vectoriale normale
avion.

Cazuri speciale ale ecuației planului general

1. Fie A=0, B,C,D≠0. Apoi: By+Cz+D=0.
Vector plan normal n(0, B, C)
perpendicular pe axa OX și, prin urmare,
planul este paralel cu axa OX.
z
y
X

Ecuațiile Ax+Cz+D=0 și Ax+By+D=0
exprimă plane paralele cu axele amplificatorului operațional
și OZ.
2. D=0, A,B,C≠0. Ecuația plană:
Ax+By+Cz=0. Punctul O(0,0,0) satisface
ecuația plană. Ecuația se stabilește
plan care trece prin origine
coordonate
3. A=0, D=0, B,C≠0. Ecuația plană:
Prin+Cz=0. Avionează în același timp
paralel cu axa OX și trece prin început
coordonate, adică trece prin axa OX.

Similar cu ecuațiile Ax+Cz=0 și Ax+By=0
planuri expres care trec prin axe
OY și OZ.
4. A=0, B=0, C,D≠0. Ecuația plană:
Cz+D=0. Avionează în același timp
paralel cu axele OX și OU, adică coordona
avion OXY. Similar cu Eq.
Prin+D=0 și Ax+D=0 exprimă planele,
paralel cu planurile de coordonate OXZ
și OYZ.

Exemplu:
Z=3
z
3
y
X

A=0, B=0, D=0, C≠0.
Ecuație plană: Cz=0 sau z=0. Acest
planul este simultan paralel
planul de coordonate OXY, adică se
planul de coordonate OXY. De asemenea:
y=0 și x=0 – ecuații de coordonate
avioanele OXZ și OYZ.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

Trei puncte nu pe aceeași linie M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – punctul arbitrar al planului.
z
M2
M1
M3
M

Vectorii M1M, M 1M 2, M 1 M 3,
coplanare. S-au amestecat
produsul este zero.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Aceasta este ecuația dorită a planului,
trecând prin trei puncte date.

Exemplu. Scrieți ecuația planului,
trecând prin punctele M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Soluție: Folosind cea obținută
ecuație, avem:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Sau 4x+11y+5z-31=0

Unghiul dintre plane, condiția de paralelism și perpendicularitatea a două plane

Două planuri: A1x+B1y+C1z+D1=0 și
A2x+B2y+C2z+D2=0. Normalul lor
vectori n1 (A1, B1, C1), n2 (A2, B2, C2)
Unghiul dintre două plane
numit unghiul dintre normala lor
vectori
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Dacă planurile sunt perpendiculare, atunci ele
vectori normali de asemenea
perpendiculară și, prin urmare
produsul punctual este zero:
A1·A2+B1·B2+C1·C2=0.
Dacă planurile sunt paralele, atunci
vectorii lor normali sunt paraleli și
Aceasta înseamnă că sunt valabile următoarele relații:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Exemplu: scrieți ecuația planului,
trecând prin punctul M(0,1,4)
paralel cu planul 2x-4y-z+1=0.
Rezolvare: Vector normal al dat
avionul va fi normal
vector şi pentru planul dorit.
Folosim ecuația planului în punct
și vector normal:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 sau 2x-4y-z+8=0.

.Distanţa de la punct la plan

găsiți distanța de la punctul M(x0,y0,z0) la
plan: Ax+By+Cz+D=0. Să renunțăm la subiect
M este perpendicular pe MK pe planul (d).
z
M
n
K
X
y

Fie punctul K să aibă coordonatele x1,y1,z1
n KM n KM d n
Sau n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Punctul K se află în plan, acesta
coordonatele satisfac ecuația
plan, adică Ax1+By1+Cz1+D=0.

Ținând cont de acest lucru, obținem: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Atunci: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 Cu 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Exemplu:
Aflați distanța de la punctul M (-1,2,3) la
planul 2x-6y-3z+2=0.
Soluţie:
Să folosim formula și să înlocuim în
ecuația planului de coordonate
punct dat:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Ecuații generale ale unei drepte în spațiu

Se consideră o linie dreaptă în spațiu
ca linia de intersecție a două plane.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Sistemul stabilește o linie dreaptă dacă
planurile nu sunt paralele,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2

Ecuații canonice ale unei drepte în spațiu

Poziția liniei L în spațiu
determinat fără ambiguitate dacă este cunoscut
un punct M0(x0,y0,z0) întins
linia dreaptă L și este dat un vector de direcție
S(m,n,p)
S
M
M0

M(x,y,z) este un punct arbitrar pe acesta
Drept. Apoi vectorii
M 0 M =(x-x0, y-y0, z-z0) și S (m, n, p)
va fi coliniar:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
- ecuațiile canonice ale dreptei în
spațiu sau ecuații ale unei linii drepte
vector punct și direcție.

Exemplul 1:

prin punctul M(1,2,3), paralel cu dreapta
x 1 y 7 z
2
5
3
Soluţie:
Deoarece dreptele sunt paralele, atunci S (2,5,3)
este vectorul de direcție și cel dorit
Drept. Prin urmare:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Exemplul 2:
Scrieți ecuația dreptei L care trece
prin punctul M(1,2,3) și având
vector de direcție S (2,0,5)
Soluţie:
Să folosim formula:
x 1 z 3
Și
2
5
y-2=0,
adică 5x-2z+1=0 și y=2. Înseamnă că
linia dreaptă se află în planul y=2

Ecuațiile unei drepte în spațiu din două puncte

Sunt date două puncte M1(x1,y1,z1) și M2(x2,y2,z2).
Scrieți ecuația dreptei care trece prin
prin două puncte.
M1
M2

Linia dreaptă trece prin punctul M1 și are
ca vector de direcție M 1M 2
Ecuația este:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Exemplu: scrieți ecuația dreptei,
trecând prin punctele M1(1,4,-3) și
M2(2,1,1).
Soluție: Să folosim formula
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Ecuații parametrice ale unei linii în spațiu

Luați în considerare ecuațiile canonice
linie dreaptă: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Să introducem parametrul t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

Primim:
x x0
t
da m y
0
t
n
z z0 t
p
sau
x x0 mt
y y0 nt
z z pct
0
ecuații parametrice ale unei linii drepte în
spaţiu. În această formă sunt adesea
utilizat în mecanică și fizică, parametrul t,
de obicei, timp.

Reducerea ecuațiilor generale ale unei linii drepte în spațiu la formă canonică

Ecuațiile generale ale dreptei sunt date în
spaţiu
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Aduceți-le la forma canonică
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

Pentru a rezolva problema aveți nevoie de:
1. găsiți coordonatele (x0,y0,z0) ale oricărei
un punct situat pe o linie
2. găsiți coordonatele (m,n,p) ale ghidajului
vector al acestei linii.
Pentru a găsi coordonatele punctului M0 dăm
una dintre coordonate este o valoare numerică arbitrară
valoare, de exemplu presupunem x=x0. Aducând-o înăuntru
în sistemul (1), obținem un sistem de doi
ecuații cu necunoscute y și z. Să rezolvăm.
Drept urmare, a fost găsit un punct pe linie
M0(x0,y0,z0).

Ca vector de direcție pe care îl luăm
vector care este rezultatul
produs vectorial al normalului
vectorii a două planuri.
S (m, n, p) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

Obținem coordonatele ghidului
vector:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Ecuații generale ale liniilor scrise în
forma canonica:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Exemplu: Scrieți ecuația canonică
Drept
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Soluție: Să setăm z0=0. Apoi:
x 2 y 5
x y 1
Prin urmare: y0=-6, x0=7. Punctul M0 întins pe
linie dreaptă, are coordonatele: (7,-6,0).

Să găsim vectorul direcție. Normal
vectorii plani au coordonate
n1 (1,2, 1)
Apoi
n2 (1,1,1)
eu j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Ecuațiile canonice ale dreptei au forma:
x 7 y 6 z
3
2
1

Unghiul dintre două drepte în spațiu, condiția de perpendicularitate și paralelism al dreptelor

liniile L1 si L2 sunt date in forma canonica cu
vectori de direcție
S1 (m1, n1, p1) și S2 (m2, n2, p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

Unghiul dintre două drepte se numește unghi
între vectorii lor de direcție.
S1 S 2
cos(L1, L2) cos(S1, S2)
S1 S 2
cos(L1, L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

Liniile sunt perpendiculare dacă
vectorii lor de direcție sunt perpendiculari:
Adică S1 S2 0 sau
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Liniile sunt paralele dacă sunt paralele
vectori de direcție:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Exemplu: Găsiți unghiul dintre linii
x 2 y 7
z
1
3
2
Și
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Rezolvare: Vectorii de direcție ai liniilor drepte
au coordonatele: (1,3,-2) și (4,1,2).
Prin urmare,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1, L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1, L2) arccos
7 16

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan

Planul P este dat: Ax+By+Cz+D=0, și
drept L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan
numit unghiul φ dintre linie și proiecție
e într-un avion.
ω - unghiul dintre vectorul normal
plan și vector de direcție
Drept. ω=π/2-φ. Atunci sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Dar cosω=cos (n, S)
Apoi
n S
sinφ= cos (n, S)
n S

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Exemplu: Găsiți unghiul dintre o linie dreaptă:
x 2 y 1 z
3
2
6
și plan: 2x+y+2z-5=0.
Rezolvare: Vector plan normal
are coordonatele: (2,1,2), direcţionare
vectorul linie are coordonatele: (3,2,-6).
păcat
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Condiția de perpendicularitate și paralelism a unei drepte și a unui plan.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
Linia L este dată:
iar planul P: Ax+By+Cz+D=0.
Dacă linia este paralelă cu planul, atunci
vector directie drept
perpendicular pe vectorul normal
avion.
S
n
L

Prin urmare, produsul lor scalar
egal cu zero: A·m+B·n+C·p=0.
Dacă linia este perpendiculară pe plan, atunci
acești vectori sunt paraleli.
S
n
R
L
În acest caz:
A B C
m n p

Exemplu:
Scrieți ecuația dreptei,
trecând prin punctul M(1,2,-3),
perpendicular pe plan
4x+2y-z+5=0.
Soluţie:
Deoarece planul este perpendicular
drept, apoi un vector normal și
vector de direcție paralel:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Să ne uităm la o problemă tipică.
Având în vedere vârfurile piramidei ABCD: A(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Găsi:
1. Lungimea și ecuația muchiei AB,
2. Ecuația și aria feței ABC,
3. Ecuația și lungimea înălțimii au fost omise
de la vârful D la fața ABC,
4. Unghiul dintre muchia AD și fața ABC,
5. Volumul piramidei.

Desen:
z
D
C
B
A
X
y

1. Să introducem vectorul AB în considerare. A lui
coordonate: (0-1;2-0;0-0) sau (-1;2;0). Lungime
muchia AB este egală cu modulul vectorului.
AB= 1 4 0 5
Ecuația dreptei AB (ecuația dreptei de-a lungul
două puncte):
x 1 y
1 2
Sau 2x+y-2=0

2. Ecuația feței ABC (ecuația
avion în trei puncte):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Prin urmare: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
sau 6x+3y+2z-6=0.
Găsiți aria triunghiului ABC cu
folosind un produs vectorial
vectorii AB și AC

Coordonatele vectoriale AB =(-1;2;0),
vector AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= AB AC
unități mp
2
Opera de artă vectorială:
i
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Apoi
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3.5 q.åä.
2
2

Ecuația înălțimii - ecuația unei linii drepte
punctul D(2,3,4) și vectorul direcție. ÎN
ca vector ghid –
vector normal al feței ABC: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Pentru a afla lungimea înălțimii pe care o folosim
formulă:
Ax0 Cu 0 Cz0 D
d
A2 B 2 C 2

Primim:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Unghiul dintre muchia AD și fața ABC.
Ecuația feței ABC: 6x+3y+2z-6=0,
un vector normal are coordonatele:
(6,3,2). Să scriem ecuațiile dreptei,
trecând prin punctele A(1,0,0) și D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Această linie dreaptă are un vector de direcție cu
coordonate: (1,3,4). Apoi
păcat
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arcsin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Volumul piramidei este 1/6 din volum
paralelipiped construit pe
vectori, ca pe laturi. Folosim
produs mixt al vectorilor.
Coordonatele vectoriale: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ Vparalelepiped
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vpiramide=23/6 unități cubice

Ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat, coliniar cu vectorul de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică condiția este îndeplinită pentru ei:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nȘi p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nȘi p nu poate fi simultan egal cu zero. Dar unul sau două dintre ele se pot dovedi a fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea intrare:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axă OiȘi Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia dreaptă definite de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele OiȘi Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1. Scrieți ecuații pentru o dreaptă în spațiu perpendiculară pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Să găsim punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz. Din moment ce orice punct situat pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x = y = 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul normal avion dat.

Acum să scriem ecuațiile necesare pentru o dreaptă care trece printr-un punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte situate pe ea Și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus determină o dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă din spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Să scriem ecuațiile necesare ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dreaptă dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca linia de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca linia de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3. Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiu date de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii sau, ceea ce este același lucru, ecuațiile unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzȘi xOz .

Punct de intersecție a unei drepte și a unui plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) linia dorită. Apoi presupunând în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum să scriem ecuațiile dreptei care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

În această lecție ne vom uita la cum să folosim determinantul pentru a crea ecuația plană. Dacă nu știți ce este un determinant, mergeți la prima parte a lecției - „Matrici și determinanți”. Altfel, riști să nu înțelegi nimic din materialul de astăzi.

Ecuația unui plan folosind trei puncte

De ce avem nevoie de o ecuație plană? Este simplu: știind asta, putem calcula cu ușurință unghiuri, distanțe și alte prostii în problema C2. În general, nu te poți descurca fără această ecuație. Prin urmare, formulăm problema:

Sarcină. În spațiu sunt date trei puncte care nu se află pe aceeași linie. Coordonatele lor:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Trebuie să creați o ecuație pentru avionul care trece prin aceste trei puncte. În plus, ecuația ar trebui să arate astfel:

Ax + By + Cz + D = 0

unde numerele A, B, C și D sunt coeficienții care, de fapt, trebuie să fie găsiți.

Ei bine, cum să obțineți ecuația unui plan dacă sunt cunoscute doar coordonatele punctelor? Cel mai simplu mod este să înlocuiți coordonatele în ecuația Ax + By + Cz + D = 0. Obțineți un sistem de trei ecuații care pot fi rezolvate cu ușurință.

Mulți studenți consideră această soluție extrem de obositoare și nesigură. Examenul de stat unificat de matematică de anul trecut a arătat că probabilitatea de a face o eroare de calcul este foarte mare.

Prin urmare, cei mai avansați profesori au început să caute soluții mai simple și mai elegante. Și l-au găsit! Adevărat, tehnica obținută se referă mai degrabă la matematica superioară. Personal, a trebuit să răsfoiesc întreaga Listă Federală de Manuale pentru a mă asigura că avem dreptul de a folosi această tehnică fără nicio justificare sau dovezi.

Ecuația unui plan printr-un determinant

Destul de versuri, să trecem la treabă. Pentru început, o teoremă despre modul în care determinantul unei matrice și ecuația planului sunt legate.

Teorema. Fie date coordonatele a trei puncte prin care trebuie trasat planul: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Atunci ecuația acestui plan poate fi scrisă prin determinantul:

Ca exemplu, să încercăm să găsim o pereche de avioane care apar de fapt în problemele C2. Uite cât de repede se calculează totul:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Compunem un determinant și îl echivalăm cu zero:

Extindem determinantul:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

După cum puteți vedea, când am calculat numărul d, am „pieptănat” puțin ecuația, astfel încât variabilele x, y și z să fie în ordinea corectă. Asta e tot! Ecuația plană este gata!

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Inlocuim imediat coordonatele punctelor in determinant:

Extindem din nou determinantul:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Deci, se obține din nou ecuația planului! Din nou, la ultimul pas a trebuit să schimbăm semnele din el pentru a obține o formulă mai „frumoasă”. Nu este deloc necesar să faceți acest lucru în această soluție, dar este totuși recomandat - pentru a simplifica soluția ulterioară a problemei.

După cum puteți vedea, alcătuirea ecuației unui plan este acum mult mai ușoară. Înlocuim punctele în matrice, calculăm determinantul - și gata, ecuația este gata.

Acest lucru ar putea pune capăt lecției. Cu toate acestea, mulți studenți uită constant ce este în interiorul determinantului. De exemplu, care linie conține x 2 sau x 3 și care linie conține doar x. Pentru a elimina cu adevărat acest lucru, să vedem de unde provine fiecare număr.

De unde vine formula cu determinantul?

Deci, să ne dăm seama de unde vine o ecuație atât de dură cu un determinant. Acest lucru vă va ajuta să vă amintiți și să îl aplicați cu succes.

Toate planurile care apar în problema C2 sunt definite de trei puncte. Aceste puncte sunt întotdeauna marcate pe desen sau chiar indicate direct în textul problemei. În orice caz, pentru a crea o ecuație, va trebui să le notăm coordonatele:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Să luăm în considerare un alt punct din planul nostru cu coordonate arbitrare:

T = (x, y, z)

Luați orice punct din primele trei (de exemplu, punctul M) și trageți vectori din acesta către fiecare dintre cele trei puncte rămase. Obținem trei vectori:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Acum să compunem o matrice pătrată din acești vectori și să echivalăm determinantul acesteia cu zero. Coordonatele vectorilor vor deveni rânduri ale matricei - și vom obține chiar determinantul care este indicat în teoremă:

Această formulă înseamnă că volumul unui paralelipiped construit pe vectorii MN, MK și MT este egal cu zero. Prin urmare, toți cei trei vectori se află în același plan. În special, un punct arbitrar T = (x, y, z) este exact ceea ce căutam.

Înlocuirea punctelor și dreptelor unui determinant

Determinanții au câteva proprietăți grozave care o fac și mai ușoară rezolvarea problemei C2. De exemplu, nu contează pentru noi din ce punct desenăm vectorii. Prin urmare, următorii determinanți dau aceeași ecuație plană ca cea de mai sus:

De asemenea, puteți schimba liniile determinantului. Ecuația va rămâne neschimbată. De exemplu, multor oameni le place să scrie o linie cu coordonatele punctului T = (x; y; z) în partea de sus. Vă rog, dacă vă este convenabil:

Unii oameni sunt confuzi de faptul că una dintre linii conține variabile x, y și z, care nu dispar la înlocuirea punctelor. Dar nu ar trebui să dispară! Înlocuind numerele în determinant, ar trebui să obțineți această construcție:

Apoi determinantul este extins conform diagramei date la începutul lecției și se obține ecuația standard a planului:

Ax + By + Cz + D = 0

Aruncă o privire la un exemplu. Este ultimul din lecția de astăzi. Voi schimba în mod deliberat liniile pentru a mă asigura că răspunsul va da aceeași ecuație a planului.

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Deci, luăm în considerare 4 puncte:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Mai întâi, să creăm un determinant standard și să-l echivalăm cu zero:

Extindem determinantul:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Asta e, avem răspunsul: x + y + z − 2 = 0.

Acum să rearanjam câteva rânduri în determinant și să vedem ce se întâmplă. De exemplu, să scriem o linie cu variabilele x, y, z nu în partea de jos, ci în partea de sus:

Extindem din nou determinantul rezultat:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Avem exact aceeași ecuație plană: x + y + z − 2 = 0. Aceasta înseamnă că într-adevăr nu depinde de ordinea rândurilor. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Deci, suntem convinși că ecuația planului nu depinde de succesiunea de drepte. Putem efectua calcule similare și dovedim că ecuația planului nu depinde de punctul ale cărui coordonate le scădem din alte puncte.

În problema considerată mai sus, am folosit punctul B 1 = (1, 0, 1), dar a fost foarte posibil să luăm C = (1, 1, 0) sau D 1 = (0, 1, 1). În general, orice punct cu coordonate cunoscute se află pe planul dorit.