- (distribuție binomială) O distribuție care permite calcularea probabilității de apariție a oricărui eveniment aleatoriu obținut ca urmare a observațiilor unei serii evenimente independente, dacă probabilitatea de apariție, componentele sale elementare... ... Dicționar economic
- (distribuția Bernoulli) distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui anumit eveniment în timpul încercărilor independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu p(0 p 1). Exact, numărul? evenimentele acestui eveniment sunt... ... Dicţionar enciclopedic mare
distribuție binomială- - Subiecte de telecomunicații, concepte de bază EN distribuție binomială ...
- (distribuția Bernoulli), distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui anumit eveniment în timpul încercărilor independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu p (0≤p≤1). Și anume, numărul μ de apariții ale acestui eveniment... ... Dicţionar enciclopedic
distribuție binomială- 1,49. distribuție binomială Distribuție de probabilitate a discretelor variabilă aleatorie X, luând orice valori întregi de la 0 la n, astfel încât pentru x = 0, 1, 2, ..., n și parametrii n = 1, 2, ... și 0< p < 1, где Источник … Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
Distribuția Bernoulli, distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare X, luând valori întregi cu probabilități, respectiv (coeficient binomial; parametrul p al B. r., numit probabilitatea unui rezultat pozitiv, luând valorile ... Enciclopedie matematică
Distribuția probabilității a numărului de apariții ale unui anumit eveniment în timpul încercărilor independente repetate. Dacă în timpul fiecărei încercări probabilitatea ca un eveniment să se producă este egală cu p, cu 0 ≤ p ≤ 1, atunci numărul μ de apariții a acestui eveniment pentru n independent... ... Mare Enciclopedia sovietică
- (distribuția Bernoulli), distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui anumit eveniment în timpul încercărilor independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
Distribuție binomială de probabilitate- (distribuție binomială) O distribuție care este observată în cazurile în care rezultatul fiecărui experiment independent (observare statistică) ia una dintre cele două valori posibile: victorie sau înfrângere, includere sau excludere, plus sau... Dicționar economic și matematic
distribuție de probabilitate binomială- O distribuție care este observată în cazurile în care rezultatul fiecărui experiment independent (observare statistică) ia una dintre cele două valori posibile: victorie sau înfrângere, includere sau excludere, plus sau minus, 0 sau 1. Adică... ... Ghidul tehnic al traducătorului
Cărți
- Teoria probabilității și statistica matematică în probleme. Peste 360 de probleme și exerciții, D. A. Borzykh. Manualul propus conține sarcini de diferite niveluri de complexitate. Cu toate acestea, accentul principal este pus pe sarcini de complexitate medie. Acest lucru este făcut în mod intenționat pentru a încuraja elevii să...
- Teoria probabilităților și statistica matematică în probleme Peste 360 de probleme și exerciții, D. Borzykh.Manualul propus conține probleme de diferite niveluri de complexitate. Cu toate acestea, accentul principal este pus pe sarcini de complexitate medie. Acest lucru este făcut în mod intenționat pentru a încuraja elevii să...
Buna ziua! Știm deja ce este o distribuție de probabilitate. Poate fi discretă sau continuă și am învățat că se numește funcție de densitate de probabilitate. Acum să examinăm câteva distribuții mai comune. Să presupunem că am o monedă, o monedă corectă și o voi întoarce de 5 ori. Voi defini, de asemenea, o variabilă aleatoare X, notă cu o literă mare X, aceasta va fi egală cu numărul de capete în 5 aruncări. Poate am 5 monede, le voi întoarce pe toate odată și voi număra câte capete am. Sau aș putea avea o monedă, aș putea întoarce-o de 5 ori și aș număra de câte ori am primit capete. Chiar nu contează. Dar să presupunem că am o monedă și o voi întoarce de 5 ori. Atunci nu vom avea nicio incertitudine. Deci, aici este definiția variabilei mele aleatoare. După cum știm, o variabilă aleatoare este puțin diferită de o variabilă obișnuită, este mai mult ca o funcție. Acordă un anumit sens experimentului. Și această variabilă aleatorie este destul de simplă. Numărăm pur și simplu de câte ori au apărut „capete” după 5 aruncări - aceasta este variabila noastră aleatoare X. Să ne gândim la care ar putea fi probabilitățile diferitelor valori în cazul nostru? Deci, care este probabilitatea ca X (majusculul X) să fie 0? Acestea. Care este probabilitatea ca după 5 aruncări să nu existe cap? Ei bine, aceasta este în esență aceeași cu probabilitatea de a obține doar capete (așa este, o scurtă prezentare generală a teoriei probabilităților). Ar trebui să primești doar cozi. Care este probabilitatea fiecăruia dintre aceste capete? Aceasta este 1/2. Acestea. Aceasta ar trebui să fie de 1/2 ori 1/2, 1/2, 1/2 și 1/2 din nou. Acestea. (1/2)⁵. 1⁵=1, împărțiți la 2⁵, adică. la 32. Destul de logic. Deci... voi repeta puțin ceea ce am acoperit în teoria probabilității. Acest lucru este important pentru a înțelege unde ne mișcăm acum și cum, de fapt, se formează distribuția de probabilitate discretă. Deci, care este probabilitatea ca să obținem „capete” exact o dată? Ei bine, s-ar putea să apară capete la prima aruncare. Acestea. ar putea fi: „capete”, „cozi”, „cozi”, „cozi”, „cozi”. Sau ar putea apărea capete la a doua aruncare. Acestea. ar putea exista o combinație ca aceasta: „cozi”, „capete”, „cozi”, „cozi”, „cozi” și așa mai departe. Un „capete” poate apărea după oricare dintre cele 5 aruncări. Care este probabilitatea fiecăreia dintre aceste situații? Probabilitatea de a obține capete este 1/2. Apoi, probabilitatea de a obține capete, egală cu 1/2, se înmulțește cu 1/2, cu 1/2, cu 1/2. Acestea. probabilitatea fiecăreia dintre aceste situații este de 1/32. La fel ca și probabilitatea unei situații în care X=0. În esență, probabilitatea oricărei anumite ordine de capete și cozi va fi 1/32. Deci probabilitatea ca acest lucru să se întâmple este de 1/32. Și probabilitatea acestui lucru este 1/32. Și astfel de situații apar pentru că „capete” ar fi putut cădea în oricare dintre cele 5 aruncări. Prin urmare, probabilitatea ca exact un „cap” să apară este de 5*1/32, adică. 5/32. Destul de logic. Acum lucrurile devin interesante. Care este probabilitatea... (voi scrie fiecare exemplu într-o culoare diferită)... care este probabilitatea ca variabila mea aleatoare să fie egală cu 2? Acestea. Arunc o monedă de 5 ori și care este probabilitatea ca aceasta să cadă exact de 2 ori? Asta e mai interesant, nu? Ce combinații sunt posibile? Ar putea fi capete, capete, cozi, cozi, cozi. Ar putea fi, de asemenea, „capete”, „cozi”, „capete”, „cozi”, „cozi”. Și dacă credeți că acești doi „vulturi” pot fi în locuri diferite în combinație, puteți deveni puțin confuz. Nu mai este posibil să ne gândim la destinații de plasare așa cum am făcut-o aici mai sus. Deși... poți, dar riști să te încurci. Trebuie să înțelegi un lucru. Pentru fiecare dintre aceste combinații probabilitatea este 1/32. ½*½*½*½*½. Acestea. probabilitatea fiecăreia dintre aceste combinații este 1/32. Și ar trebui să ne gândim câte astfel de combinații există care ne satisface condiția (2 „capete”)? Acestea. Practic, trebuie să vă imaginați că există 5 aruncări ale unei monede și trebuie să alegeți 2 dintre ele în care să apară „capete”. Să ne imaginăm că cele 5 aruncări ale noastre sunt adunate în cerc și, de asemenea, să ne imaginăm că avem doar două scaune. Și spunem: „Bine, care dintre voi va sta pe aceste scaune Vultur? Acestea. Care dintre voi va fi „vulturul”? Și nu ne interesează în ce ordine se așează. Dau acest exemplu, sperand ca iti va fi mai clar. Și poate doriți să urmăriți câteva lecții de probabilitate pe acest subiect când vorbesc despre binomul lui Newton. Pentru că acolo voi intra în toate acestea mai detaliat. Dar dacă gândiți astfel, veți înțelege ce este un coeficient binomial. Pentru că dacă gândești așa: bine, am 5 aruncări, care aruncare va primi primele „capete”? Ei bine, iată 5 posibilități în care aruncarea va avea ca rezultat primele „capete”. Câte oportunități există pentru un al doilea vultur? Ei bine, prima aruncare pe care am folosit-o deja a luat o posibilitate de a obține capete. Acestea. o poziție a capului în combinație este deja ocupată de una dintre aruncări. Acum au mai rămas 4 aruncări, ceea ce înseamnă că al doilea „capete” poate cădea pe unul dintre cele 4 aruncări. Și ai văzut-o, chiar aici. Am ales că ar fi capete la prima aruncare și am presupus că 1 din cele 4 aruncări rămase ar avea ca rezultat și capete. Deci aici sunt doar 4 posibilități. Tot ce spun este că pentru primele capete aveți 5 poziții diferite pe care poate ateriza. Iar pentru al doilea au mai rămas doar 4 posturi. Gandeste-te la asta. Când calculăm așa, se ia în considerare comanda. Dar pentru noi acum nu contează în ce ordine cad „capetele” și „cozile”. Nu spunem că este capul 1 sau este capul 2. În ambele cazuri sunt doar capete. Am putea ghici că acesta este Heads 1 și acesta este Heads 2. Sau ar putea fi invers: acesta ar putea fi al doilea „vultur”, iar acesta ar putea fi „primul”. Și spun asta pentru că este important să înțelegem unde să folosiți destinațiile de plasare și unde să folosiți combinațiile. Nu ne interesează consistența. Deci, de fapt, există doar 2 moduri în care evenimentul nostru poate avea loc. Deci împărțim acest lucru la 2. Și după cum veți vedea mai târziu, sunt 2! moduri de origine a evenimentului nostru. Dacă ar fi 3 capete, atunci ar fi 3 aici!, și vă arăt de ce. Deci, acesta va fi egal cu... 5*4=20 și împărțit la 2 - obțineți 10. Deci există 10 combinații diferite din 32 în care cu siguranță veți avea 2 capete. Deci, 10*(1/32) este egal cu 10/32, ce înseamnă asta? 5/16. O voi scrie în termeni de coeficient binomial. Aceasta este valoarea chiar aici, în partea de sus. Dacă vă gândiți bine, acesta este același cu 5!, împărțit la... Ce înseamnă acest 5 * 4? 5! – acesta este 5*4*3*2*1. Acestea. dacă am nevoie doar de 5*4 aici, atunci pot împărți 5 pentru asta! pana la 3! Acesta este egal cu 5*4*3*2*1 împărțit la 3*2*1. Și au mai rămas doar 5*4. Deci, acesta este același cu acest numărător. Și apoi, pentru că nu ne interesează secvența, aici avem nevoie de 2. De fapt, 2!. Înmulțiți cu 1/32. Aceasta ar fi probabilitatea ca să obținem exact 2 capete. Care este probabilitatea ca să obținem capete exact de 3 ori? Acestea. probabilitatea ca X=3. Deci, după aceeași logică, primul caz de capete poate apărea la 1 din 5 aruncări. Al doilea caz de capete poate apărea la 1 din cele 4 aruncări rămase. Iar al treilea caz de „capete” poate apărea la 1 din cele 3 aruncări rămase. Câte moduri diferite există de a aranja 3 aruncări? În general, câte moduri există de a pune 3 obiecte la locul lor? Sunt 3! Și vă puteți da seama, sau poate doriți să revizuiți acele lecții în care am explicat acest lucru mai detaliat. Dar dacă, de exemplu, luați literele A, B și C, atunci există în total 6 moduri în care le puteți aranja. Vă puteți gândi la acestea ca fiind cazuri de capete. Ar putea fi ACB, CAB aici. Ar putea fi BAC, BCA și... Care este ultima opțiune pe care nu am menționat-o? CBA. Există 6 moduri de a aranja 3 obiecte diferite. Împărțim la 6 pentru că nu vrem să numărăm din nou aceste 6 moduri diferite pentru că le tratăm ca fiind egale. Aici nu ne interesează ce aruncare va duce la capete. 5*4*3... Acesta poate fi rescris ca 5!/2!. Și împărțiți-l cu încă 3!. Acesta este el. 3! este egal cu 3*2*1. Trei sunt reduse. Acesta devine egal cu 2. Acesta devine egal cu 1. Încă o dată, 5*2, adică. este egală cu 10. Fiecare situație are o probabilitate de 1/32, deci aceasta este din nou egală cu 5/16. Și asta este interesant. Probabilitatea de a obține 3 capete este egală cu probabilitatea de a obține 2 capete. Și motivul pentru asta... Ei bine, există multe motive pentru care s-a întâmplat asta. Dar dacă te gândești bine, probabilitatea de a obține 3 capete este aceeași cu probabilitatea de a obține 2 cozi. Și probabilitatea de a obține 3 capete ar trebui să fie aceeași cu probabilitatea de a obține 2 capete. Și este bine că valorile funcționează așa. Amenda. Care este probabilitatea ca X=4? Putem folosi aceeași formulă pe care am folosit-o înainte. Ar putea fi 5*4*3*2. Deci, aici scriem 5*4*3*2... Câte moduri diferite există pentru a aranja 4 obiecte? Acesta este 4!. 4! - Aceasta este, de fapt, această parte, chiar aici. Acesta este 4*3*2*1. Deci, aceasta este redusă, lăsând 5. Apoi, fiecare combinație are o probabilitate de 1/32. Acestea. aceasta este egală cu 5/32. Și rețineți că probabilitatea de a obține capete de 4 ori este egală cu probabilitatea de a obține capete de 1 dată. Și asta are sens, pentru că... 4 capete este la fel cu a obține 1 coadă. Tu spui: ei bine, în ce aruncare vor apărea aceste „cozi”? Da, există 5 combinații diferite pentru asta. Și fiecare dintre ele are o probabilitate de 1/32. Și în sfârșit, care este probabilitatea ca X=5? Acestea. capete apar de 5 ori la rând. Ar trebui să fie așa: „vultur”, „vultur”, „vultur”, „vultur”, „vultur”. Fiecare dintre capete are o probabilitate de 1/2. Le înmulțiți și obțineți 1/32. Poți merge pe altă cale. Dacă există 32 de moduri în care puteți obține cap și coadă în aceste experimente, atunci acesta este doar unul dintre acele moduri. Aici au existat 5 astfel de metode din 32. Aici - 10 din 32. Cu toate acestea, am efectuat calculele și acum suntem gata să desenăm distribuția probabilității. Dar timpul meu a trecut. Lasă-mă să continui în lecția următoare. Și dacă ai chef, poate poți să desenezi înainte de a urmări următoarea lecție? Pe curând!
În aceasta și în următoarele câteva postări ne vom uita la modele matematice ale evenimentelor aleatorii. Model matematic este o expresie matematică care reprezintă o variabilă aleatorie. Pentru variabile aleatoare discrete, această expresie matematică este cunoscută sub numele de funcție de distribuție.
Dacă problema vă permite să scrieți în mod explicit o expresie matematică reprezentând o variabilă aleatorie, puteți calcula probabilitatea exactă a oricăreia dintre valorile acesteia. În acest caz, puteți calcula și enumera toate valorile funcției de distribuție. O varietate de distribuții ale variabilelor aleatoare sunt întâlnite în aplicații de afaceri, sociologice și medicale. Una dintre cele mai utile distribuții este binomul.
Distribuție binomială folosit pentru a simula situaţii caracterizate prin următoarele trăsături.
- Eșantionul este format dintr-un număr fix de elemente n, reprezentând rezultatele unui anumit test.
- Fiecare element eșantion aparține uneia dintre cele două categorii care se exclud reciproc, care epuizează întreg spațiul eșantionului. De obicei, aceste două categorii sunt numite succes și eșec.
- Probabilitatea de succes R este constantă. Prin urmare, probabilitatea de eșec este 1 – p.
- Rezultatul (adică succesul sau eșecul) oricărui studiu nu depinde de rezultatul altui studiu. Pentru a asigura independența rezultatelor, elementele eșantionului sunt obținute de obicei folosind două metode diferite. Fiecare element din eșantion este extras aleatoriu dintr-o populație infinită fără reversiune sau dintr-o populație finită cu reversie.
Descărcați nota în sau format, exemple în format
Distribuția binomială este utilizată pentru a estima numărul de succese dintr-un eșantion format din n observatii. Să luăm comanda ca exemplu. Pentru a plasa o comandă, clienții Saxon Company pot folosi formularul electronic interactiv și îl pot trimite companiei. Sistemul informatic verifică apoi erorile, informațiile incomplete sau incorecte în comenzi. Orice comandă în cauză este semnalată și inclusă în raportul zilnic de excepție. Datele colectate de companie indică faptul că probabilitatea de erori în comenzi este de 0,1. O companie ar dori să știe care este probabilitatea de a găsi un anumit număr de comenzi eronate într-un eșantion dat. De exemplu, să presupunem că clienții completează patru formulare electronice. Care este probabilitatea ca toate comenzile să fie fără erori? Cum se calculează această probabilitate? Prin succes vom înțelege o eroare la completarea formularului și toate celelalte rezultate vor fi considerate eșec. Amintiți-vă că suntem interesați de numărul de comenzi eronate dintr-un eșantion dat.
Ce rezultate putem vedea? Dacă eșantionul constă din patru ordine, unul, două, trei sau toate cele patru pot fi incorecte și toate pot fi corecte. Poate o variabilă aleatorie care descrie numărul de formulare completate incorect să ia orice altă valoare? Acest lucru nu este posibil deoarece numărul de formulare incorecte nu poate depăși dimensiunea eșantionului n sau fi negativ. Astfel, o variabilă aleatorie care respectă legea distribuției binomiale ia valori de la 0 la n.
Să presupunem că într-un eșantion de patru ordine se observă următoarele rezultate:
Care este probabilitatea de a găsi trei ordine eronate într-un eșantion de patru ordine, în ordinea specificată? Deoarece cercetările preliminare au arătat că probabilitatea unei erori la completarea formularului este de 0,10, probabilitățile rezultatelor de mai sus sunt calculate după cum urmează:
Deoarece rezultatele nu depind unele de altele, probabilitatea secvenței specificate de rezultate este egală cu: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Dacă trebuie să calculați numărul de opțiuni X n elemente, ar trebui să utilizați formula de combinare (1):
unde n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - factorial al unui număr n, și 0! = 1 si 1! = 1 prin definiție.
Această expresie este adesea denumită . Astfel, dacă n = 4 și X = 3, numărul de secvențe constând din trei elemente extrase dintr-o dimensiune a eșantionului de 4 este determinat de următoarea formulă:
Prin urmare, probabilitatea de a detecta trei ordine eronate se calculează după cum urmează:
(Numărul de secvențe posibile) *
(probabilitatea unei anumite secvențe) = 4 * 0,0009 = 0,0036
În mod similar, puteți calcula probabilitatea ca între patru ordine să fie una sau două eronate, precum și probabilitatea ca toate comenzile să fie eronate sau toate corecte. Cu toate acestea, odată cu creșterea dimensiunii eșantionului n determinarea probabilității unei anumite secvențe de rezultate devine mai dificilă. În acest caz, ar trebui să aplicați modelul matematic adecvat care descrie distribuția binomială a numărului de opțiuni. X obiecte dintr-o selecție care conține n elemente.
Distribuție binomială
Unde P(X)- probabilitate X succes pentru o anumită dimensiune a eșantionului nși probabilitatea de succes R, X = 0, 1, … n.
Vă rugăm să rețineți că formula (2) este o formalizare a concluziilor intuitive. Valoare aleatoare X, care se supune distribuției binomiale, poate lua orice valoare întreagă în intervalul de la 0 la n. Muncă RX(1 – p)n – X reprezintă probabilitatea unei anumite secvenţe constând din X succes într-o dimensiune a eșantionului egală cu n. Valoarea determină numărul de combinații posibile constând din X succes in n teste. Prin urmare, pentru un număr dat de teste nși probabilitatea de succes R probabilitatea unei secvenţe formate din X succes, egal
P(X) = (numărul de secvențe posibile) * (probabilitatea unei anumite secvențe) = 
Să luăm în considerare exemple care ilustrează aplicarea formulei (2).
1. Să presupunem că probabilitatea de a completa incorect formularul este 0,1. Care este probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate, trei să fie incorecte? Folosind formula (2), aflăm că probabilitatea de a detecta trei ordine eronate într-un eșantion format din patru ordine este egală cu
2. Să presupunem că probabilitatea de a completa incorect formularul este 0,1. Care este probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate, cel puțin trei să fie incorecte? După cum se arată în exemplul anterior, probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate, trei să fie incorecte este de 0,0036. Pentru a calcula probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate cel puțin trei să fie incorecte, trebuie să adăugați probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate trei să fie incorecte și probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate să fie toate incorecte. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment este
Astfel, probabilitatea ca dintre cele patru formulare completate cel puțin trei să fie incorecte este egală cu
P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037
3. Să presupunem că probabilitatea de a completa incorect formularul este 0,1. Care este probabilitatea ca din patru formulare completate, mai puțin de trei să fie incorecte? Probabilitatea acestui eveniment
P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Folosind formula (2), calculăm fiecare dintre aceste probabilități:
Prin urmare, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.
Probabilitatea P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Apoi P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.
Pe măsură ce dimensiunea eșantionului crește n calcule similare cu cele efectuate în exemplul 3 devin dificile. Pentru a evita aceste complicații, multe probabilități binomiale sunt tabulate în avans. Unele dintre aceste probabilități sunt prezentate în Fig. 1. De exemplu, pentru a obține probabilitatea ca X= 2 at n= 4 și p= 0,1, ar trebui să extrageți din tabel numărul de la intersecția dreptei X= 2 și coloane R = 0,1.
Orez. 1. Probabilitate binomială la n = 4, X= 2 și R = 0,1
Distribuția binomială poate fi calculată folosind funcția Excel =BINOM.DIST() (Fig. 2), care are 4 parametri: numărul de reușite - X, numărul de teste (sau dimensiunea eșantionului) – n, probabilitatea de succes - R, parametru integrală, care ia valoarea TRUE (în acest caz, probabilitatea este calculată nu mai puțin X evenimente) sau FALS (în acest caz se calculează probabilitatea exact X evenimente).
Orez. 2. Parametrii funcției =BINOM.DIST()
Pentru cele trei exemple de mai sus, calculele sunt prezentate în Fig. 3 (vezi și fișierul Excel). Fiecare coloană conține o formulă. Numerele arată răspunsurile la exemplele numărului corespunzător).
Orez. 3. Calculul distribuției binomiale în Excel pt n= 4 și p = 0,1
Proprietăţi ale distribuţiei binomiale
Distribuția binomială depinde de parametri nȘi R. Distribuția binomială poate fi fie simetrică, fie asimetrică. Dacă p = 0,05, distribuția binomială este simetrică indiferent de valoarea parametrului n. Totuși, dacă p ≠ 0,05, distribuția devine deformată. Cum valoare mai apropiată parametru R la 0,05 și cu cât dimensiunea eșantionului este mai mare n, cu atât asimetria distribuției este mai puțin pronunțată. Astfel, distribuția numărului de formulare completate incorect este înclinată spre dreapta deoarece p= 0,1 (Fig. 4).
Orez. 4. Histograma distribuţiei binomiale la n= 4 și p = 0,1
Așteptarea distribuției binomiale egal cu produsul mărimii eșantionului n asupra probabilității de succes R:
(3) M = E(X) =n.p.
În medie, cu o serie suficient de lungă de teste într-un eșantion format din patru ordine, pot exista p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 formulare completate incorect.
Abaterea standard a distribuției binomiale
De exemplu, abaterea standard a numărului de formulare completate incorect într-un sistem informațional contabil este:
Sunt folosite materiale din cartea Levin et al. Statistics for Managers. – M.: Williams, 2004. – p. 307–313
Luați în considerare implementarea Scheme Bernoulli, adică Se efectuează o serie de teste independente repetate, în fiecare dintre acestea un anumit eveniment A are aceeași probabilitate, independent de numărul testului. Și pentru fiecare test există doar două rezultate:
1) evenimentul A - succes;
2) eveniment - eșec,
cu probabilități constante
Să introducem în considerare o variabilă aleatoare discretă X - „numărul de apariții ale evenimentului A la P teste" și găsiți legea de distribuție a acestei variabile aleatoare. Valoarea X poate lua următoarele valori:
Probabilitate 
că variabila aleatoare X va lua valoarea x k găsit prin formula lui Bernoulli
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, definită de formula Bernoulli (1), se numește legea distribuției binomiale. Permanent P Și R (q=1-p), cuprinse în formula (1) se numesc parametrii distribuţiei binomiale.
Denumirea „distribuție binomială” se datorează faptului că partea dreaptă în egalitate (1) este termenul general al expansiunii Binomul lui Newton,acestea.
(2)
Și de când p+q=1, atunci partea dreaptă a egalității (2) este egală cu 1
Înseamnă că
(4)
În egalitate (3) primul termen qnîn partea dreaptă înseamnă probabilitatea ca în P teste, evenimentul A nu va apărea nici măcar o dată, al doilea termen 
probabilitatea ca evenimentul A să apară o dată, al treilea termen este probabilitatea ca evenimentul A să apară de două ori și, în final, ultimul termen r p- probabilitatea ca evenimentul A să se producă exact P o singura data.
Legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este prezentată sub forma unui tabel:
| X | 0 | 1 | … | k | … | n |
| R | qn | … | 
|
… | r p |
Caracteristicile numerice de bază ale distribuției binomiale:
1) valorea estimata 
(5)
2) dispersie 
(6)
3) abaterea standard 
(7)
4) numărul cel mai probabil de apariții ale evenimentului k 0- acesta este numărul care, pentru un dat P corespunde probabilității binomiale maxime
Pentru dat PȘi R acest număr este determinat de inegalități
(8)
dacă număr pr+r nu este întreg, atunci k 0 egal cu partea întreagă a acestui număr, dacă pr+r este un număr întreg, atunci k 0 are două sensuri
Legea binomială a distribuției probabilităților este utilizată în teoria tirului, în teoria și practica controlului statistic al calității produselor, în teoria cozilor, în teoria fiabilității etc. Această lege poate fi aplicată în toate cazurile în care există o succesiune de teste independente.
Exemplul 1: Testele de calitate au stabilit că din 100 de dispozitive, 90 în medie nu prezintă defecte. Întocmește o lege binomială a distribuției probabilității a numărului de dispozitive de înaltă calitate achiziționate la întâmplare 4.
Soluţie: Evenimentul A, a cărui apariție este verificată, este „un dispozitiv de înaltă calitate achiziționat la întâmplare”. În funcție de condițiile problemei, principalii parametri ai distribuției binomiale sunt:
Variabila aleatorie X este numărul de dispozitive de înaltă calitate din 4 luate, ceea ce înseamnă valorile lui X - Să găsim probabilitățile valorilor lui X folosind formula (1):
Astfel, legea distribuției valorii X este numărul de dispozitive de înaltă calitate din 4 luate:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| R | 0,0001 | 0,0036 | 0,0486 | 0,2916 | 0,6561 |
Pentru a verifica corectitudinea construcției distribuției, să verificăm cu ce suma probabilităților este egală cu
Răspuns: Legea distribuției
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| R | 0,0001 | 0,0036 | 0,0486 | 0,2916 | 0,6561 |
Exemplul 2: Metoda de tratament folosita duce la recuperare in 95% din cazuri. Au folosit cinci pacienți aceasta metoda. Găsiți cel mai probabil număr de persoane recuperate, precum și caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X - numărul de persoane recuperate din 5 pacienți care au folosit această metodă.
