Derivată a funcțiilor exponențiale și logaritmice. Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice. Prototip de lucru B14

Algebra și începutul analizei matematice

Diferențierea funcției exponențiale și logaritmice

Compilat de:

profesor de matematică MOU liceu №203 CHETs

Orașul Novosibirsk

Vidutova T.V.

Număr e. Funcţie y=e X, proprietățile sale, graficul, diferențierea

1. Să construim grafice pentru diverse baze a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Opțiunea 2) (Opțiunea 1) "width="640"

Luați în considerare funcția exponențială y = a X, unde un 1.

Să construim pentru diferite baze A diagrame:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Opțiunea 2)

(1 opțiune)

1) Toate graficele trec prin punctul (0; 1);

2) Toate graficele au o asimptotă orizontală y = 0

la X  ∞;

3) Toate sunt întoarse cu o umflătură în jos;

4) Toate au tangente în toate punctele lor.

Desenați o tangentă la graficul funcției y=2 X la punct X= 0 si se masoara unghiul format de tangenta la axa X

Cu ajutorul construcțiilor exacte ale tangentelor la grafice, se poate observa că dacă baza A functie exponentiala y = a X baza crește treptat de la 2 la 10, apoi unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul X= 0 și axa x crește treptat de la 35’ la 66,5’.

Prin urmare, există o bază A, pentru care unghiul corespunzător este de 45'. Și acest sens Aîncheiat între 2 şi 3, deoarece la A= 2 unghiul este de 35’, cu A= 3 este egal cu 48'.

În cursul analizei matematice, se dovedește că această bază există, este de obicei notat cu litera e.

Hotărât că e - un număr irațional, adică este o fracție zecimală neperiodică infinită:

e = 2,7182818284590... ;

În practică, de obicei se presupune că e ≈ 2,7.

Proprietăți grafice și funcții y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) crește;

4) nelimitat de sus, limitat de jos

5) nu are nici cel mai mare, nici cel mai mic

valori;

6) continuu;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) convex în jos;

9) este diferențiabilă.

Funcţie y = e X numit expozant .

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că funcția y = e X are o derivată în orice punct X :

(e X ) = e X

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Exemplul 1 . Desenați o tangentă la graficul funcției în punctul x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Răspuns:

Exemplul 2 .

X = 3.

Exemplul 3 .

Investigați o funcție pentru un extremum

x=0 și x=-2

X= -2 - punct maxim

X= 0 – punct minim

Dacă baza logaritmului este numărul e, atunci ei spun că dat logaritmul natural . Pentru logaritmii naturali, a fost introdusă o notație specială ln (l - logaritm, n - natural).

Graficul și proprietățile funcției y = ln x

Proprietățile funcției y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nu este nici par, nici impar;

3) crește cu (0; + ∞);

4) nelimitat;

5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;

6) continuu;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) vârf convex;

9) este diferențiabilă.

0 formula de diferențiere „width="640" este valabilă

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că pentru orice valoare x0 formula de diferentiere este valabila

Exemplul 4:

Calculați valoarea derivatei unei funcții într-un punct X = -1.

De exemplu:

Resurse de internet:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Derivată de funcții exponențiale și logaritmice Lecția din clasa 11 „B”.
profesor Kopova O.V.

Calculați derivata

oral
1.
2.
3.
3x2 2x5
e
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 x
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
în scris
X
1
y log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
X

X
Dată o funcție y 2 x e . Găsiți un colț
coeficientul tangentei trasate în
punct cu abscisă x0 0 .
Scrieți o ecuație pentru tangenta la
graficul funcției f x x 5 ln x în punctul c
abscisă x0 1 .

Sarcina B8 (#8319)

definit pe intervalul 5; zece . Găsiți golurile
cresterea functiei. Dați răspunsului dumneavoastră lungimea celui mai lung
dintre ei.

Sarcina B8 (#9031)
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții,
definit pe intervalul 11; 2. Găsiți un punct
extremul funcției pe segmentul 10; 5 .

Sarcina B8 (#8795)
Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții,
definit pe intervalul 9; 2. Găsiți cantitatea
puncte în care tangenta la graficul funcţiei
este paralelă cu dreapta y x 12 sau coincide cu aceasta.

Prototip de lucru B14

Aflați punctul minim al funcției y 4x 4 ln x 7 6 .
76xx2
Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții
y 3
Găsiți cea mai mică valoare a unei funcții
y e 2 x 6e x 3
pe segmentul 1; 2.

Considerăm o funcție exponențială y = a x, unde a > 1. Construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (prima opțiune) 3. y = 10 x (a doua opțiune) 1. Să construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (prima opțiune) 3. y = 10 x (a doua opțiune) "> 1. Să construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y \u003d 3 x (prima opțiune) 3. y \u003d 10 x (a doua opțiune) "\u003e 1. Să construim grafice pentru diferite baze: 1. y \u003d 2 x 2. y \u003d 3 x (prima opțiune) 3 . y = 10 x (Opțiunea 2)" title="(!LANG: Luați în considerare o funcție exponențială y = a x, unde a > 1. Să trasăm grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x ( Opțiunea 1) 3. y = 10 x (Opțiunea 2)"> title="Considerăm o funcție exponențială y = a x, unde a > 1. Construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (prima opțiune) 3. y = 10 x (a doua opțiune)"> !}

Cu ajutorul construcțiilor precise ale tangentelor la grafice, se poate observa că, dacă baza a a funcției exponențiale y \u003d a x crește treptat baza de la 2 la 10, atunci unghiul dintre tangenta la graficul funcției la punctul x \u003d 0 și axa x crește treptat de la 35 la 66, 5. Prin urmare, există o bază a pentru care unghiul corespunzător este 45. Și această valoare a lui a este între 2 și 3, deoarece cu un \u003d 2, unghiul este de 35, cu un \u003d 3 este de 48. În cursul analizei matematice, se demonstrează că această bază există, este de obicei notat cu litera e. Se stabilește că e este un număr irațional, adică este o fracție zecimală neperiodică infinită: e \u003d 2, ...; În practică, de obicei se presupune că e 2.7.

Graficul și proprietățile funcției y = e x: 1) D (f) = (- ; +); 2) nu este nici par, nici impar; 3) crește; 4) nelimitat de sus, limitat de jos 5) nu are nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare; 6) continuu; 7) E (f) = (0; +); 8) convex în jos; 9) este diferențiabilă. Funcția y = e x se numește exponent.

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că funcția y \u003d e x are o derivată în orice punct x: (e x) \u003d e x (e 5x) "= 5e 5x (e -4x + 1)" \u003d - 4e -4x-1 (e x -3)" = e x-3

3) -2 x) x \u003d -2 - punctul maxim x \u003d 0 - punctul minim Răspuns:

Proprietăţile funcţiei y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) nu este nici par, nici impar; 3) crește cu (0; +); 4) nelimitat; 5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori; 6) continuu; 7) E (f) = (-; +); 8) vârf convex; 9) este diferențiabilă. Graficul și proprietățile funcției y = ln x

În cursul analizei matematice s-a demonstrat că pentru orice valoare x> 0 formula de diferențiere este valabilă 0 formula de diferențiere este valabilă"> 0 formula de diferențiere este valabilă"> 0 formula de diferențiere este valabilă" title="(!LANG: În cursul analizei matematice s-a demonstrat că pentru orice valoare x>0 formula de diferențiere este valabil"> title="În cursul analizei matematice s-a demonstrat că pentru orice valoare x> 0 formula de diferențiere este valabilă"> !} Resurse de internet: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html