Lecția de geometrie din clasa a VIII-a se desfășoară pe baza modelului de învățare pozițională.
Obiectivele lecției:
- Studiul materialului teoretic pe tema „Patru puncte minunate ale triunghiului”;
- Dezvoltarea gândirii, a logicii, a vorbirii, a imaginației elevilor, a capacității de a analiza și evalua munca;
- Dezvoltarea abilităților de lucru în grup;
- Creșterea simțului responsabilității pentru calitatea și rezultatul muncii prestate.
Echipament:
- carduri cu nume de grup;
- carduri de sarcini pentru fiecare grup;
- Lucrare A-4 pentru consemnarea rezultatelor muncii grupelor;
- epigraf scris pe tablă.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric.
2. Determinarea scopurilor și a temei lecției.
Din punct de vedere istoric, geometria a început cu un triunghi, așa că timp de două milenii și jumătate triunghiul a fost un simbol al geometriei. Geometria școlară poate deveni abia atunci interesantă și semnificativă, abia atunci poate deveni geometrie adecvată, atunci când în ea apare un studiu profund și cuprinzător al triunghiului. În mod surprinzător, triunghiul, în ciuda aparentei sale simplități, este un obiect de studiu inepuizabil - nimeni, nici măcar în vremea noastră, nu îndrăznește să spună că a studiat și cunoaște toate proprietățile unui triunghi.
Cine nu a auzit de Triunghiul Bermudelor, unde navele și avioanele dispar fără urmă? Dar triunghiul în sine este plin de o mulțime de lucruri interesante și misterioase.
Locul central al triunghiului este ocupat de așa-numitele puncte remarcabile.
Cred că la sfârșitul lecției vei putea spune de ce punctele sunt numite minunate și dacă sunt așa.
Care este subiectul lecției noastre? „Patru puncte remarcabile ale triunghiului”. Cuvintele lui K. Weierstrass pot servi drept epigrafe pentru lecția: „Un matematician care nu este parțial poet nu va atinge niciodată perfecțiunea în matematică” (epigraful este scris pe tablă).
Priviți formularea subiectului lecției, la epigraf și încercați să determinați scopurile muncii dvs. în lecție. La sfârșitul lecției, vom verifica cum le-ați finalizat.
3. Munca independentă a elevilor.
Pregătirea pentru munca independentă
Pentru a lucra în lecție, trebuie să alegeți una dintre cele șase grupuri: „Teoreticieni”, „Creativitate”, „Constructori-logici”, „Practicieni”, „Istorici”, „Experți”.
briefing
Fiecare grup primește carduri de sarcini. Dacă sarcina nu este clară, profesorul oferă în plus explicații.
„Teoreticieni”
Sarcină: definiți conceptele de bază necesare atunci când studiați subiectul „Patru puncte remarcabile ale unui triunghi” (înălțimea unui triunghi, mediana unui triunghi, bisectoarea unui triunghi, bisectoarea perpendiculară, cerc înscris, cerc circumscris), puteți folosi manualul ; scrieți conceptele principale pe o foaie de hârtie.
„Istorici”
bisectoare centrul cercului înscris perpendiculare centrul cercului circumscris. Elementele nu spune că cele trei înălțimi triunghiuri se intersectează într-un punct numit ortocentru mediane centrul de greutate
În anii 20 ai secolului al XIX-lea. Matematicienii francezi J. Poncelet, Ch. Brianchon și alții au stabilit în mod independent următoarea teoremă: bazele medianelor, bazele înălțimilor și punctele mijlocii ale segmentelor înălțimilor care leagă ortocentrul de vârfurile triunghiului se află pe aceeași cerc.
Acest cerc este numit „cercul din nouă puncte”, sau „cercul lui Feuerbach”, sau „cercul lui Euler”. K. Feuerbach a constatat că centrul acestui cerc se află pe „linia Euler”.
Sarcină: analizați articolul și completați tabelul care reflectă materialul studiat.
Numele punctului |
Ce se intersectează |
||
"Creare"
Sarcină: găsiți un cinquain (e) pe tema „Patru puncte minunate ale unui triunghi” (de exemplu, un triunghi, un punct, o mediană etc.)
Regula pentru scrierea cinquain:
În prima linie, subiectul este numit printr-un cuvânt (de obicei un substantiv).
Al doilea rând este o descriere a subiectului pe scurt (2 adjective).
Al treilea rând este o descriere a acțiunii din cadrul acestui subiect în trei cuvinte (verbe, participii).
Al patrulea rând este o expresie de 4 cuvinte care arată atitudinea față de subiect.
Ultima linie este un sinonim cu un singur cuvânt (metaforă) care repetă esența subiectului.
„Constructori logici”
Mediana unui triunghi este un segment care leagă orice vârf al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse. Orice triunghi are trei mediane.
O bisectoare este un segment al bisectoarei oricărui unghi de la vârf până la intersecția cu latura opusă. Orice triunghi are trei bisectoare.
Altitudinea unui triunghi este perpendiculara coborâtă de la orice vârf al triunghiului către latura opusă sau prelungirea acesteia. Orice triunghi are trei înălțimi.
Mediana perpendiculară pe un segment este o dreaptă care trece prin punctul de mijloc al segmentului dat și perpendiculară pe acesta. Orice triunghi are trei bisectoare perpendiculare.
Sarcină: Folosind foi de hârtie triunghiulare, construiți prin îndoirea punctelor de intersecție ale medianelor, înălțimii, bisectoarelor, perpendicularelor medii. Explicați acest lucru întregii clase.
"practici"
În a patra carte a „Începuturilor”, Euclid rezolvă problema „Înscrie un cerc într-un triunghi dat”. Din soluție rezultă că trei bisectoare unghiurile interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct centrul cercului înscris. Din rezolvarea unei alte probleme euclidiene rezultă că perpendiculare, restaurate pe laturile triunghiului în punctele lor medii, se intersectează de asemenea într-un punct - centrul cercului circumscris. Elementele nu spune că cele trei înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct, numit ortocentru(Cuvântul grecesc „orthos” înseamnă drept, drept). Această propunere era totuși cunoscută de Arhimede, Pappus, Proclus. Al patrulea punct singular al triunghiului este punctul de intersecție mediane. Arhimede a dovedit că este centrul de greutate(baricentrul) triunghiului. Cele patru puncte de mai sus au primit o atenție deosebită încă din secolul al XVIII-lea. Ele au fost numite „remarcabile” sau „puncte singulare ale triunghiului”.
Studiul proprietăților unui triunghi asociat cu aceste și alte puncte a servit drept început pentru crearea unei noi ramuri a matematicii elementare - „geometria unui triunghi” sau „noua geometrie a unui triunghi”, una dintre fondatorii căruia a fost Leonhard Euler.
Sarcina: analizați materialul propus și veniți cu o diagramă care să reflecte relațiile semantice dintre unități, explicați-o, desenați-o pe o coală de hârtie, desenați-o pe tablă.
Puncte remarcabile ale triunghiului
1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________
Desen 1 Desen 2 Desen 3 Desen 4
____________ ___________ ______________ ____________
(explicaţie)
„Experți”
Sarcină: alcătuiți un tabel în care evaluați munca fiecărui grup, selectați parametrii după care veți evalua munca grupurilor, determinați punctele.
Parametrii pot fi următorii: participarea fiecărui elev la munca grupului său, participarea la apărare, o prezentare interesantă a materialului, se prezintă vizualizarea etc.
În prezentarea dvs., ar trebui să notați punctele pozitive și negative din activitățile fiecărui grup.
4. Performanța grupurilor.(timp de 2-3 minute)
Rezultatele lucrărilor sunt afișate pe tablă
5. Rezumând lecția.
Priviți obiectivele pe care le-ați formulat la începutul lecției. Ai reusit sa completezi totul?
Sunteți de acord cu epigraful care a fost ales pentru lecția de astăzi?
6. Tema pentru acasă.
1) Asigurați-vă că triunghiul, care se sprijină pe vârful acului la un anumit punct, este în echilibru folosind materialul lecției de astăzi.
2) Desenați în diferite triunghiuri toate cele 4 puncte minunate.
© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometrie, clasa a 8-a TRIANGURI PATRU PUNCTE REMARCABILE
Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi Punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi
Mediana (BD) a unui triunghi este segmentul de linie care leagă vârful triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse. A B C D Median
Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct (centrul de greutate al triunghiului) și sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2: 1, numărând de sus. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Bisectoarea (A D) a unui triunghi este segmentul bisectoarei unghiului interior al triunghiului.
Fiecare punct al bisectoarei unui unghi desfășurat este echidistant de laturile sale. În schimb, fiecare punct situat în interiorul unui unghi și echidistant de laturile unghiului se află pe bisectoarea sa. A M B C
Toate bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris în triunghi. C B 1 M A B A 1 C 1 O Raza cercului (OM) este o perpendiculară coborâtă din centru (t.O) spre latura triunghiului
ÎNĂLȚIE Înălțimea (C D) a unui triunghi este segmentul perpendicularei coborât de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă. A B C D
Înălțimile unui triunghi (sau prelungirile lor) se intersectează într-un punct. A A 1 B B 1 C C 1
PERPENDICULARĂ MEDIULUI Bisectoarea perpendiculară (DF) este o dreaptă perpendiculară pe o latură a unui triunghi și o împarte la jumătate. A D F B C
A M B m O Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare (m) pe un segment este echidistant de capetele acestui segment. În schimb, fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.
Toate bisectoarele perpendiculare ale laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului circumscris triunghiului. A B C O Raza cercului circumscris este distanța de la centrul cercului la orice vârf al triunghiului (OA). m n p
Sarcini ale elevilor Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc înscris într-un triunghi obtuz. Pentru a face acest lucru: Construiți bisectoarele unui triunghi obtuz folosind o busolă și o linie dreaptă. Punctul de intersecție al bisectoarelor este centrul cercului. Construiți raza cercului: perpendiculara de la centrul cercului pe latura triunghiului. Construiți un cerc înscris într-un triunghi.
2. Folosiți o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un cerc care circumscrie un triunghi obtuz. Pentru a face acest lucru: Construiți bisectoarele perpendiculare pe laturile unui triunghi obtuz. Punctul de intersecție al acestor perpendiculare este centrul cercului circumscris. Raza unui cerc este distanța de la centru până la orice vârf al triunghiului. Construiți un cerc circumscriind un triunghi.
Silcenkov Ilya
materiale pentru lecție, prezentare cu animație
Descarca:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele mijlocii a două dintre laturile sale și este egală cu jumătate din această latură. De asemenea, conform teoremei, linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătate din această latură.
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.
Puncte triunghiulare remarcabile
Puncte triunghiulare remarcabile Punctul de intersecție al medianelor (centroidul triunghiului); Punctul de intersecție al bisectoarelor, centrul cercului înscris; Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare; Punct de intersecție al înălțimilor (ortocentru); linia lui Euler și cerc de nouă puncte; punctele Gergonne și Nagel; Punctul Fermat-Torricelli;
Punctul de intersecție al medianelor
Mediana unui triunghi este un segment de linie care leagă vârful oricărui unghi al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse.
I. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de sus.
Dovada:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Segmentul A 1 B 1 este paralel cu latura AB și 1/2 AB \u003d A 1 B 1, adică AB \u003d 2A1B1 (conform teoremei liniei mediane a triunghiului), prin urmare 1 \u003d 4 și 3 \u003d 2 ( deoarece ele unghiuri încrucișate interne cu drepte paralele AB și A 1 B 1 și secante BB 1 pentru 1, 4 și AA 1 pentru 3, 2 3. Prin urmare, triunghiurile AOB și A 1 OB 1 sunt similare în două unghiuri și, prin urmare, laturile lor sunt proporționale, adică rapoartele laturilor lui AO și A 1 O, BO și B 1 O, AB și A 1 B 1 sunt egale. Dar AB = 2A 1 B 1, prin urmare AO \u003d 2A 1 O și BO \u003d 2B 1 O. Astfel, punctul de intersecție O al medianelor BB 1 și AA 1 împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârf. Teorema este demonstrată. În mod similar, se poate demonstra despre alte două mediane
Centrul de masă este uneori numit centroid. De aceea se spune că punctul de intersecție al medianei este centroidul triunghiului. Centrul de masă al unei plăci triunghiulare omogene este situat în același punct. Dacă o placă similară este plasată pe un știft, astfel încât vârful știftului să lovească exact centroidul triunghiului, atunci placa va fi în echilibru. De asemenea, punctul de intersecție al medianelor este centrul cercului triunghiului său median. O proprietate interesantă a punctului de intersecție al medianelor este legată de conceptul fizic al centrului de masă. Se pare că dacă mase egale sunt plasate la vârfurile unui triunghi, atunci centrul lor va cădea exact în acest punct.
Punct de intersecție al bisectoarelor
Bisectoarea unui triunghi - un segment al bisectoarei unui unghi care leagă vârful unuia dintre unghiurile triunghiului cu un punct situat pe partea opusă.
Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct echidistant de laturile sale.
Dovada:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Notăm cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor AA 1 și BB 1 ale triunghiului ABC. 3. Să folosim faptul că fiecare punct al bisectoarei unui unghi desfășurat este echidistant de laturile sale și invers: fiecare punct situat în interiorul unghiului și echidistant de laturile unghiului se află pe bisectoarea lui. Apoi OK=OL și OK=OM. Aceasta înseamnă OM \u003d OL, adică punctul O este echidistant de laturile triunghiului ABC și, prin urmare, se află pe bisectoarea CC1 a unghiului C. 4. În consecință, toate cele trei bisectoare ale triunghiului ABC se intersectează în punctul O. K L M Se demonstrează teorema. 2. trageți din acest punct perpendicularele OK, OL și respectiv OM pe dreptele AB, BC și CA.
Punct de intersecție al bisectoarelor perpendiculare
Perpendiculara mediană este o dreaptă care trece prin mijlocul unui segment dat și perpendiculară pe acesta.
Bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct echidistant de vârfurile triunghiului.
Dovada:
B C A m n 1. Notăm cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor m și n pe laturile AB și BC ale triunghiului ABC. O 2. Folosind teorema că fiecare punct al bisectoarei pe segment este echidistant de capetele acestui segment și invers: fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta, obținem că OB= OA și OB=OC. 3. Prin urmare, OA \u003d OC, adică punctul O este echidistant de capetele segmentului AC și, prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. 4. Prin urmare, toate cele trei bisectoare perpendiculare m, n și p pe laturile triunghiului ABC se intersectează în punctul O. Se demonstrează teorema. R
Punctul de intersecție al înălțimilor (sau prelungirile acestora)
Înălțimea unui triunghi este perpendiculara trasă de la vârful oricărui unghi al triunghiului pe linia care conține latura opusă.
Înălțimile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct, care poate fi situat în triunghi sau poate fi în afara acestuia.
Dovada:
Să demonstrăm că dreptele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Desenați o dreaptă prin fiecare vârf al triunghiului ABC paralel cu latura opusă. Obținem un triunghi A 2 B 2 C 2. 2. Punctele A, B și C sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui triunghi. Într-adevăr, AB \u003d A 2 C și AB \u003d CB 2 ca laturi opuse ale paralelogramelor ABA 2 C și ABCB 2, deci A 2 C \u003d CB 2. În mod similar, C 2 A \u003d AB 2 și C 2 B \u003d BA 2. În plus, după cum rezultă din construcție, CC 1 este perpendicular pe A 2 B 2, AA 1 este perpendicular pe B 2 C 2 și BB 1 este perpendicular pe A 2 C 2 (din corolarul dreptelor paralele și teoremei secantei) . Astfel, dreptele AA 1, BB 1 și CC 1 sunt bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului A 2 B 2 C 2. Prin urmare, ele se intersectează la un moment dat. Teorema a fost demonstrată.
Există așa-numitele patru puncte remarcabile într-un triunghi: punctul de intersecție al medianelor. Punctul de intersecție al bisectoarelor, punctul de intersecție al înălțimilor și punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.
Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi
Teorema 1
La intersecția medianelor unui triunghi: Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și împart punctul de intersecție într-un raport de $2:1$ începând de la vârf.
Dovada.
Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este mediana acestuia. Deoarece medianele împart laturile în jumătate. Luați în considerare linia de mijloc $A_1B_1$ (Fig. 1).
Figura 1. Medianele unui triunghi
După teorema 1, $AB||A_1B_1$ și $AB=2A_1B_1$, deci $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Prin urmare, triunghiurile $ABM$ și $A_1B_1M$ sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiului. Apoi
În mod similar, se dovedește că
Teorema a fost demonstrată.
Punct de intersecție al bisectoarelor unui triunghi
Teorema 2
La intersecția bisectoarelor unui triunghi: Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.
Dovada.
Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $AM,\ BP,\ CK$ sunt bisectoarele sale. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor $AM\ și\ BP$. Desenați din acest punct perpendicular pe laturile triunghiului (Fig. 2).
Figura 2. Bisectoarele unui triunghi
Teorema 3
Fiecare punct al bisectoarei unui unghi neexpandat este echidistant de laturile sale.
Prin teorema 3, avem: $OX=OZ,\ OX=OY$. Prin urmare, $OY=OZ$. Prin urmare, punctul $O$ este echidistant de laturile unghiului $ACB$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa $CK$.
Teorema a fost demonstrată.
Punct de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi
Teorema 4
Bisectoarele perpendiculare ale laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct.
Dovada.
Fie dat un triunghi $ABC$, $n,\ m,\ p$ bisectoarele sale perpendiculare. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare $n\ și\ m$ (Fig. 3).
Figura 3. Bisectoare perpendiculare ale unui triunghi
Pentru demonstrație avem nevoie de următoarea teoremă.
Teorema 5
Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele segmentului dat.
Prin teorema 3, avem: $OB=OC,\ OB=OA$. Prin urmare, $OA=OC$. Aceasta înseamnă că punctul $O$ este echidistant de capetele segmentului $AC$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa perpendiculară $p$.
Teorema a fost demonstrată.
Punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului
Teorema 6
Înălțimile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct.
Dovada.
Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este înălțimea acestuia. Desenați o linie prin fiecare vârf al triunghiului paralel cu latura opusă vârfului. Obținem un nou triunghi $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).
Figura 4. Înălțimile unui triunghi
Deoarece $AC_2BC$ și $B_2ABC$ sunt paralelograme cu o latură comună, atunci $AC_2=AB_2$, adică punctul $A$ este punctul de mijloc al laturii $C_2B_2$. În mod similar, obținem că punctul $B$ este punctul de mijloc al laturii $C_2A_2$, iar punctul $C$ este punctul de mijloc al laturii $A_2B_2$. Din construcție avem că $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Prin urmare, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sunt bisectoarele perpendiculare ale triunghiului $A_2B_2C_2$. Apoi, prin teorema 4, avem că înălțimile $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se intersectează într-un punct.
Introducere
Obiectele lumii din jurul nostru au anumite proprietăți, care sunt studiate de diverse științe.
Geometria este o ramură a matematicii care ia în considerare diferitele forme și proprietățile lor, rădăcinile sale merg înapoi în trecutul îndepărtat.
În cartea a patra a „Începuturilor”, Euclid rezolvă problema: „Înscrie un cerc într-un triunghi dat”. Din soluție rezultă că cele trei bisectoare ale unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris. Din rezolvarea unei alte probleme a lui Euclid, rezultă că perpendicularele restaurate pe laturile triunghiului la mijlocul lor se intersectează și ele într-un punct - centrul cercului circumscris. „Principiile” nu spune că cele trei înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct, numit ortocentru (cuvântul grecesc „orthos” înseamnă „drept”, „corect”). Această propunere era însă cunoscută lui Arhimede. Al patrulea punct singular al triunghiului este punctul de intersecție al medianelor. Arhimede a demonstrat că este centrul de greutate (baricentrul) al triunghiului.
Cele patru puncte de mai sus au primit o atenție deosebită, iar din secolul al XVIII-lea au fost numite puncte „remarcabile” sau „speciale” ale triunghiului. Studiul proprietăților unui triunghi asociat cu aceste și alte puncte a servit drept început pentru crearea unei noi ramuri a matematicii elementare - „geometria unui triunghi” sau „o nouă geometrie a unui triunghi”, unul dintre fondatori. dintre care a fost Leonhard Euler.
În 1765, Euler a demonstrat că în orice triunghi ortocentrul, baricentrul și centrul cercului circumscris se află pe aceeași linie dreaptă, numită mai târziu „linia lui Euler”. În anii douăzeci ai secolului al XIX-lea, matematicienii francezi J. Poncelet, Ch. Brianchon și alții au stabilit independent următoarea teoremă: bazele medianelor, bazele înălțimilor și punctele mijlocii ale segmentelor înălțimilor care leagă ortocentrul cu vârfurile triunghiului se află pe același cerc. Acest cerc este numit „cercul din nouă puncte”, sau „cercul lui Feuerbach”, sau „cercul lui Euler”. K. Feuerbach a stabilit că centrul acestui cerc se află pe linia lui Euler.
„Cred că nu am trăit niciodată într-o perioadă atât de geometrică până acum. Totul în jur este geometrie. Aceste cuvinte, rostite de marele arhitect francez Le Corbusier la începutul secolului XX, caracterizează foarte exact timpul nostru. Lumea în care trăim este plină de geometria caselor și străzilor, munților și câmpurilor, creațiile naturii și ale omului.
Ne-au interesat așa-numitele „puncte minunate ale triunghiului”.
După ce am citit literatura pe această temă, ne-am fixat pentru noi înșine definițiile și proprietățile punctelor remarcabile ale triunghiului. Dar munca noastră nu s-a încheiat aici și am vrut să explorăm noi înșine aceste puncte.
De aceea poartă dat muncă - studiul unor puncte şi linii minunate ale triunghiului, aplicarea cunoştinţelor acumulate la rezolvarea problemelor. În procesul de realizare a acestui obiectiv, se pot distinge următoarele etape:
Selectarea și studiul materialului educațional din diverse surse de informare, literatură;
Studiul proprietăților de bază ale punctelor și liniilor remarcabile ale triunghiului;
Generalizarea acestor proprietăți și demonstrarea teoremelor necesare;
Rezolvarea problemelor legate de punctele remarcabile ale triunghiului.
Capitoleu. Minunate puncte și linii triunghiulare
1.1 Punct de intersecție al perpendicularelor medii la laturile unui triunghi
Bisectoarea perpendiculară este o dreaptă care trece prin mijlocul unui segment, perpendicular pe acesta. Cunoaștem deja teorema care caracterizează proprietatea bisectoarei perpendiculare: fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe segment este echidistant de capetele sale și invers, dacă punctul este echidistant de capetele segmentului, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară.
Poligonul se numește înscris într-un cerc dacă toate vârfurile sale aparțin cercului. Cercul se numește circumscris lângă poligon.
Un cerc poate fi circumscris în jurul oricărui triunghi. Centrul său este punctul de intersecție al perpendicularelor mediale pe laturile triunghiului.
Fie punctul O punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului AB și BC.
Concluzie: Astfel, dacă punctul O este punctul de intersecție al perpendicularelor medii la laturile triunghiului, atunci OA = OS = OB, adică. punctul O este echidistant de toate vârfurile triunghiului ABC, ceea ce înseamnă că este centrul cercului circumscris.
|
|
|
|
| unghiular acut | obtuz | dreptunghiular |
Consecințe
sin γ \u003d c / 2R \u003d c / sin γ \u003d 2R.
Se dovedește la fel A/ sin α =2R, b/sin β =2R.
În acest fel:
Această proprietate se numește teorema sinusului.
În matematică, se întâmplă adesea ca obiectele definite în moduri foarte diferite să se dovedească a fi aceleași.
Exemplu. Fie A1, B1, C1 punctele medii ale laturilor ∆ABS BC, AC, respectiv AB. Arătați că cercurile circumscrise triunghiurilor AB1C1, A1B1C, A1BC1 se intersectează într-un punct. Mai mult, acest punct este centrul cercului circumscris aproximativ ∆ABS.
|
| Luați în considerare segmentul AO și construiți un cerc pe acest segment, ca pe un diametru. Punctele C1 și B1 cad pe acest cerc, deoarece sunt vârfuri ale unghiurilor drepte bazate pe AO. Punctele A, C1, B1 se află pe un cerc = acest cerc este circumscris în jurul ∆AB1C1. În mod similar, vom desena un segment BO și vom construi un cerc pe acest segment, ca pe un diametru. Acesta va fi un cerc circumscris în jurul ∆BC1 A1. Să desenăm un segment CO și să construim un cerc pe acest segment, ca pe un diametru. Acesta va fi cercul circumscris Aceste trei cercuri trec prin punctul O - centrul cercului circumscris aproximativ ∆ABC. |
Generalizare. Dacă punctele arbitrare A 1 , B 1 , C 1 sunt luate pe laturile ∆ABC AC, BC, AC, atunci cercurile circumscrise triunghiurilor AB 1 C 1 , A 1 B 1 C, A 1 BC 1 se intersectează într-un punct. .
1.2 Punct de intersecție al bisectoarelor unui triunghi
Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi, atunci se află pe bisectoarea sa.
Este util să marcați jumătățile unui colț cu aceleași litere:
OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.
Fie punctul O punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor A și B. Prin proprietatea unui punct situat pe bisectoarea unghiului A, OF=OD=r. Prin proprietatea unui punct situat pe bisectoarea unghiului B, OE=OD=r. Astfel, OE=OD= OF=r= punctul O este echidistant de toate laturile triunghiului ABC, i.e. O este centrul cercului înscris. (Punctul O este singurul).
Concluzie: Astfel, dacă punctul O este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor triunghiului, atunci OE=OD= OF=r, adică. punctul O este echidistant de toate laturile triunghiului ABC, ceea ce înseamnă că este centrul cercului înscris. Punctul O - intersecția bisectoarelor unghiurilor triunghiului este un punct minunat al triunghiului.
Consecințe:
Din egalitatea triunghiurilor AOF și AOD (Figura 1) de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit, rezultă că AF = ANUNȚ . Din egalitatea triunghiurilor OBD și OBE rezultă că BD = FI , Din egalitatea triunghiurilor COE și COF rezultă că DIN F = CE . Astfel, segmentele tangentelor trasate la cerc dintr-un punct sunt egale.
AF=AD= z, BD=BE= y, СF=CE= X
a=x+y (1), b= x+z (2), c= x+y (3).
+ (2) – (3), atunci obținem: a+b-c=X+ y+ X+ z- z- y = a+b-c= 2X =
x=( b + c - a)/2
În mod similar: (1) + (3) - (2), obținem: y = (a + c -b)/2.
În mod similar: (2) + (3) - (1), obținem: z= (a +b - c)/2.
Bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente.
1.3 Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi (centroid)
Dovada 1. Fie A 1 , B 1 și C 1 punctele medii ale laturilor BC, CA și AB ale triunghiului ABC, respectiv (Fig. 4).
Fie G punctul de intersecție a două mediane AA 1 și BB 1 . Să demonstrăm mai întâi că AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.
Pentru a face acest lucru, luați punctele medii P și Q ale segmentelor AG și BG. Conform teoremei liniei mediane a triunghiului, segmentele B 1 A 1 și PQ sunt egale cu jumătate din latura AB și sunt paralele cu aceasta. Prin urmare, patrulaterul A 1 B 1 este un paralelogram PQ. Apoi punctul de intersecție G al diagonalelor sale PA 1 și QB 1 le traversează pe fiecare. Prin urmare, punctele P și G împart mediana lui AA 1 în trei părți egale, iar punctele Q și G împart mediana lui BB 1, de asemenea, în trei părți egale. Deci, punctul G de intersecție a celor două mediane ale triunghiului împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de sus.
Se numește punctul de intersecție al medianelor unui triunghi centroid sau centrul de greutate triunghi. Acest nume se datorează faptului că în acest punct se află centrul de greutate al unei plăci triunghiulare omogene.
1.4 Punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului (ortocentrul)
1,5 Punct Torricelli
Calea dată este triunghiul ABC. Punctul Torricelli al acestui triunghi este un astfel de punct O, din care laturile acestui triunghi sunt vizibile la un unghi de 120°, i.e. unghiurile AOB, AOC și BOC sunt de 120°.
Să demonstrăm că dacă toate unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120°, atunci punctul Torricelli există.
Pe latura AB a triunghiului ABC, construim un triunghi echilateral ABC "(Fig. 6, a) și descriem un cerc în jurul acestuia. Segmentul AB subtinde arcul acestui cerc cu o valoare de 120 °. Prin urmare, punctele acestui arc, altele decât A și B, au proprietatea că segmentul AB este vizibil din ele la un unghi de 120 °. În mod similar, pe partea AC a triunghiului ABC, construim un triunghi echilateral ACB "(Fig. 6, a) și descrieți un cerc în jurul lui. Punctele arcului corespunzător, altele decât A și C, au proprietatea că segmentul AC este vizibil din ele la un unghi de 120°. În cazul în care unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120°, aceste arce se intersectează într-un punct interior O. În acest caz, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Prin urmare, ∟BOC = 120°. Prin urmare, punctul O este cel dorit.
În cazul în care unul dintre unghiurile triunghiului, de exemplu ABC, este egal cu 120°, punctul de intersecție al arcelor cercurilor va fi punctul B (Fig. 6, b). În acest caz, punctul Torricelli nu există, deoarece este imposibil să vorbim despre unghiurile la care laturile AB și BC sunt vizibile din acest punct.
În cazul în care unul dintre unghiurile triunghiului, de exemplu, ABC, este mai mare de 120° (Fig. 6, c), arcele corespunzătoare ale cercurilor nu se intersectează și nici punctul Torricelli nu există.
Legată de punctul Torricelli este problema lui Fermat (pe care o vom considera în capitolul II) de a găsi punctul de la care suma distanțelor de la care la trei puncte date este cea mai mică.
1.6 Cercul de nouă puncte
Într-adevăr, A 3 B 2 este linia mediană a triunghiului AHC și, în consecință, A 3 B 2 || CC1. B 2 A 2 este linia de mijloc a triunghiului ABC și, prin urmare, B 2 A 2 || AB. Deoarece CC 1 ┴ AB, atunci A 3 B 2 A 2 = 90°. În mod similar, A 3 C 2 A 2 = 90°. Prin urmare punctele A 2 , B 2 , C 2 , A 3 se află pe același cerc cu diametrul A 2 A 3 . Deoarece AA 1 ┴BC, punctul A 1 aparține și el acestui cerc. Astfel, punctele A 1 și A 3 se află pe cercul circumferitor al triunghiului A2B2C2. În mod similar, se arată că punctele B 1 și B 3 , C 1 și C 3 se află pe acest cerc. Deci toate cele nouă puncte se află pe același cerc.
În acest caz, centrul cercului de nouă puncte se află la mijloc între centrul intersecției înălțimilor și centrul cercului circumscris. Într-adevăr, fie în triunghiul ABC (Fig. 9), punctul O centrul cercului circumscris; G este punctul de intersecție al medianelor. H punct de intersecție al înălțimilor. Este necesar să se demonstreze că punctele O, G, H se află pe aceeași dreaptă și centrul cercului de nouă puncte N împarte segmentul OH la jumătate.
Se consideră o homotezie centrată pe G și cu coeficientul -0,5. Vârfurile A, B, C ale triunghiului ABC vor merge în punctele A 2 , B 2 , respectiv C 2. Înălțimile triunghiului ABC vor merge la înălțimile triunghiului A 2 B 2 C 2 și, în consecință, punctul H va merge la punctul O. Prin urmare, punctele O, G, H se vor așeza pe o singură dreaptă.
Să arătăm că mijlocul N al segmentului OH este centrul cercului de nouă puncte. Într-adevăr, C 1 C 2 este coarda în nouă puncte a cercului. Prin urmare, bisectoarea perpendiculară pe această coardă este diametrul și intersectează OH la mijlocul lui N. În mod similar, bisectoarea perpendiculară pe coarda B 1 B 2 este diametrul și intersectează OH în același punct N. Prin urmare, N este centrul a cercului de nouă puncte. Q.E.D.
Într-adevăr, fie P un punct arbitrar situat pe cercul circumferitor al triunghiului ABC; D, E, F sunt bazele perpendicularelor căzute din punctul P spre laturile triunghiului (Fig. 10). Să arătăm că punctele D, E, F se află pe aceeași dreaptă.
Rețineți că dacă AP trece prin centrul cercului, atunci punctele D și E coincid cu vârfurile B și C. În caz contrar, unul dintre unghiurile ABP sau ACP este acut, iar celălalt este obtuz. Rezultă de aici că punctele D și E vor fi situate pe laturi diferite ale dreptei BC, iar pentru a demonstra că punctele D, E și F se află pe aceeași dreaptă este suficient să se verifice că ∟CEF =∟ PAT.
Să descriem un cerc cu diametrul CP. Deoarece ∟CFP = ∟CEP = 90°, punctele E și F se află pe acest cerc. Prin urmare, ∟CEF =∟CPF ca unghiuri înscrise pe baza unui arc circular. În plus, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Să descriem un cerc cu diametrul BP. Deoarece ∟BEP = ∟BDP = 90°, punctele F și D se află pe acest cerc. Prin urmare, ∟BPD = ∟BED. Prin urmare, obținem în sfârșit că ∟CEF =∟BED. Deci punctele D, E, F se află pe aceeași dreaptă.
CapitolIIRezolvarea problemelor
Să începem cu probleme legate de localizarea bisectoarelor, medianelor și înălțimii unui triunghi. Soluția lor, pe de o parte, vă permite să vă amintiți materialul tratat mai devreme și, pe de altă parte, dezvoltă reprezentările geometrice necesare, pregătește rezolvarea unor probleme mai complexe.
Sarcina 1. La unghiurile A și B ale triunghiului ABC (∟A
Soluţie. Fie CD înălțimea, CE bisectoarea, atunci
∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.
Prin urmare, ∟DCE =.
Soluţie. Fie O punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului ABC (Fig. 1). Să profităm de faptul că un unghi mai mare se află opus laturii mai mari a triunghiului. Dacă AB BC, atunci ∟A
Soluţie. Fie O punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului ABC (Fig. 2). Dacă AC ∟B. Un cerc cu diametrul BC va trece prin punctele F și G. Având în vedere că cel mai mic dintre cele două coarde este cel pe care se sprijină unghiul înscris mai mic, obținem acel CG.
Dovada. Pe laturile AC și BC ale triunghiului ABC, ca și pe diametre, construim cercuri. Punctele A 1 , B 1 , C 1 aparțin acestor cercuri. Prin urmare, ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, ca unghiuri bazate pe același arc de cerc. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 ca unghiuri cu laturile reciproc perpendiculare. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 ca unghiuri bazate pe același arc de cerc. Prin urmare, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1 , i.e. CC 1 este bisectoarea unghiului B 1 C 1 A 1 . În mod similar, se arată că AA 1 și BB 1 sunt bisectoare ale unghiurilor B 1 A 1 C 1 și A 1 B 1 C 1 .
Triunghiul considerat, ale cărui vârfuri sunt bazele înălțimilor unui triunghi unghiular acut dat, oferă un răspuns la una dintre problemele extremale clasice.
Soluţie. Fie ABC un triunghi acut dat. Pe laturile sale este necesar să se găsească astfel de puncte A 1 , B 1 , C 1 pentru care perimetrul triunghiului A 1 B 1 C 1 ar fi cel mai mic (Fig. 4).
Să fixăm mai întâi punctul C 1 și să căutăm punctele A 1 și B 1 pentru care perimetrul triunghiului A 1 B 1 C 1 este cel mai mic (pentru poziția dată a punctului C 1).
Pentru a face acest lucru, considerați punctele D și E simetrice față de punctul C 1 față de dreptele AC și BC. Atunci B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E și, prin urmare, perimetrul triunghiului A 1 B 1 C 1 va fi egal cu lungimea poliliniei DB 1 A 1 E. Este clar că lungimea acestei polilinii este cea mai mică dacă punctele B 1 , A 1 se află pe linia DE.
Vom schimba acum poziția punctului C 1 și vom căuta o astfel de poziție la care perimetrul triunghiului corespunzător A 1 B 1 C 1 este cel mai mic.
Deoarece punctul D este simetric față de C 1 față de AC, atunci CD = CC 1 și ACD = ACC 1 . În mod similar, CE=CC1 şi BCE=BCC1. Prin urmare, triunghiul CDE este isoscel. Latura sa este egală cu CC 1 . Baza DE este egală cu perimetrul P triunghiul A 1 B 1 C 1 . Unghiul DCE este egal cu dublul unghiului ACB al triunghiului ABC și, prin urmare, nu depinde de poziția punctului C 1 .
Într-un triunghi isoscel cu un unghi dat la vârf, cu cât baza este mai mică, cu atât latura este mai mică. Prin urmare, cea mai mică valoare a perimetrului P se realizează în cazul celei mai mici valori a CC 1 . Această valoare este luată dacă CC 1 este înălțimea triunghiului ABC. Astfel, punctul necesar C 1 pe latura AB este baza înălțimii trase din partea de sus C.
Rețineți că am putea fixa mai întâi nu punctul C 1 , ci punctul A 1 sau punctul B 1 și am obține că A 1 și B 1 sunt bazele altitudinilor corespunzătoare ale triunghiului ABC.
De aici rezultă că triunghiul dorit, cel mai mic perimetru, înscris într-un triunghi unghiular acut ABC dat este un triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele altitudinilor triunghiului ABC.
Soluţie. Să demonstrăm că dacă unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120°, atunci punctul dorit în problema Steiner este punctul Torricelli.
Să rotim triunghiul ABC în jurul vârfului C cu un unghi de 60°, fig. 7. Obțineți triunghiul A'B'C. Luați un punct arbitrar O din triunghiul ABC. Când se întoarce, va merge la un punct O’. Triunghiul OO'C este echilateral deoarece CO = CO' și ∟OCO' = 60°, deci OC = OO'. Prin urmare, suma lungimilor lui OA + OB + OC va fi egală cu lungimea poliliniei AO + OO’ + O’B’. Este clar că lungimea acestei polilinii capătă cea mai mică valoare dacă punctele A, O, O’, B’ se află pe aceeași dreaptă. Dacă O este un punct Torricelli, atunci este. Într-adevăr, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Prin urmare, punctele A, O, O' se află pe aceeași linie dreaptă. În mod similar, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120° Prin urmare, punctele O, O', B' se află pe aceeași dreaptă, ceea ce înseamnă că toate punctele A, O, O', B' se află pe aceeași dreaptă.
Concluzie
Geometria unui triunghi, împreună cu alte secțiuni ale matematicii elementare, face posibilă simțirea frumuseții matematicii în general și poate deveni pentru cineva începutul căii către „mare știință”.
Geometria este o știință uimitoare. Istoria ei se întinde pe mai mult de un mileniu, dar fiecare întâlnire cu ea este capabilă să înzele și să îmbogățească (atât elevul, cât și profesorul) cu noutatea incitantă a unei mici descoperiri, bucuria uimitoare a creativității. Într-adevăr, orice problemă de geometrie elementară este, în esență, o teoremă, iar soluția ei este o victorie matematică modestă (și uneori uriașă).
Din punct de vedere istoric, geometria a început cu un triunghi, așa că timp de două milenii și jumătate triunghiul a fost un simbol al geometriei. Geometria școlară poate deveni abia atunci interesantă și semnificativă, abia atunci poate deveni geometrie adecvată, atunci când în ea apare un studiu profund și cuprinzător al triunghiului. În mod surprinzător, triunghiul, în ciuda aparentei sale simplități, este un obiect de studiu inepuizabil - nimeni, nici măcar în vremea noastră, nu îndrăznește să spună că a studiat și cunoaște toate proprietățile unui triunghi.
În această lucrare au fost luate în considerare proprietățile bisectoarelor, medianelor, bisectoarelor perpendiculare și înălțimii unui triunghi, s-a extins numărul de puncte și drepte remarcabile ale unui triunghi, s-au formulat și demonstrat teoreme. Au fost rezolvate o serie de probleme de aplicare a acestor teoreme.
Materialul prezentat poate fi folosit atât în lecțiile de bază, cât și în orele opționale, precum și în pregătirea pentru testarea centralizată și olimpiadele de matematică.
Bibliografie
Berger M. Geometrie în două volume - M: Mir, 1984.
Kiselev A.P. Geometrie elementară. – M.: Iluminismul, 1980.
Kokseter G.S., Greitzer S.L. Noi întâlniri cu geometria. – M.: Nauka, 1978.
Latotin L.A., Chebotaravskiy B.D. Matematică 9. - Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.
Prasolov V.V. Probleme de planimetrie. - M.: Nauka, 1986. - Partea 1.
Scanavi M. I. Matematică. Probleme cu soluțiile. - Rostov-pe-Don: Phoenix, 1998.
Sharygin I.F. Probleme de geometrie: Planimetrie. – M.: Nauka, 1986.
