Integrala nedefinită și proprietățile ei de bază. Integrală nedefinită. Conceptul de integrală nedefinită. Exemple de rezolvare a problemelor

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii și anume restabilirea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția astfel restabilită F(X) se numește antiderivat pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea este valabilă F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este o antiderivată a funcției f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este mulțimea tuturor antiderivatelor sale. În acest caz, se folosește notația

∫

f(X)dx

unde este semnul ∫ numit semn integral, funcția f(X) – funcția integrand și f(X)dx – expresie integrantă.

Astfel, dacă F(X) – unele antiderivate pt f(X) , Acea

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o uşă (uşă tradiţională din lemn). Funcția sa este de a „fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Facut din lemn. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului funcției „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate denotă, de exemplu, tipul de arbore. Așa cum o ușă este făcută din lemn folosind unele unelte, un derivat al unei funcții este „făcut” dintr-o funcție antiderivată folosind formule pe care le-am învățat în timp ce studiam derivata .

Apoi tabelul cu funcțiile obiectelor comune și antiderivatele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal”, etc.) este similar cu tabelul de bază. integrale nedefinite, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune cu o indicație a antiderivatelor din care sunt „facute” aceste funcții. În parte din problemele de găsire a integralei nedefinite, sunt dați integranți care pot fi integrați direct fără prea mult efort, adică folosind tabelul integralelor nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat astfel încât integralele de tabel să poată fi utilizate.

Faptul 2. Când restabilim o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, de exemplu, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și când este diferențiat, 4 sau 3 sau orice altă constantă ajunge la zero.

Să punem problema integrării: pentru această funcție f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat egal cu f(X).

Exemplul 1. Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X), dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferențială F(X) este egal f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este o antiderivată a funcției. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Ele servesc și ca funcții

Unde CU– constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un număr infinit de antiderivate care diferă printr-un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(X) – antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat sub formă F(X) + C, Unde CU– constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime în timpul integrării.

Exemplul 2. Găsiți seturi de funcții antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată acceptați doar că există astfel de formule acolo și vom studia tabelul integralelor nedefinite în sine puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pt n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) cu n= -1/4 găsim

Nu funcția în sine este scrisă sub semnul integral. f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica prin ce variabilă este căutat antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile considerate se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să presupunem că trebuie să găsim o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta unghiului tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangenta unghiului de înclinare a tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egală cu valoarea derivatei F"(x). Deci trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este un antiderivat al f(x). Condițiile problemei sunt îndeplinite nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre astfel de curbe și orice altă curbă poate fi obținută din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) există o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale , ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la originea coordonatelor este determinată de o constantă de integrare arbitrară C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Lecția 2. Calcul integral

Integrala nedefinită și semnificația ei geometrică. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite.

Metode de bază pentru integrarea integralei nedefinite.

Integrală definită și semnificația ei geometrică.

formula Newton-Leibniz. Metode de calcul a integralei definite.

Cunoscând derivata sau diferențiala unei funcții, puteți găsi funcția în sine (restaurează funcția). Această acțiune, inversa diferențierii, se numește integrare.

Funcția antiderivatăîn raport cu o funcţie dată se numeşte următoarea funcţie
, a cărei derivată este egală cu funcția dată, adică.

Pentru această funcție Există un număr infinit de funcții antiderivate, deoarece oricare dintre funcții
, este, de asemenea, un antiderivat al .

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ei integrală nedefinită este indicat prin simbolul:

, Unde

numită integrand, funcție
- functia integrand.

Sensul geometric al integralei nedefinite. Geometric, o integrală nedefinită este o familie de curbe integrale pe un plan obținute prin transferul paralel al graficului unei funcții
de-a lungul axei ordonatelor (Fig. 3).

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

Proprietatea 1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

Proprietatea 2. Diferenţiala unei integrale nedefinite este egală cu integrandul:

Proprietatea 3. Integrala diferenţială a unei funcţii este egală cu această funcţie plus const:

Proprietatea 4. Linearitatea integralei.

Tabelul integralelor de bază

	Integral
putere


indicativ
indicativ
trigonometric



verso trigonometric
verso trigonometric

Metode de integrare de bază

Metoda de integrare pe părți este o metodă care presupune utilizarea formulei:

Această metodă este utilizată dacă integrala
este mai ușor de rezolvat decât
. De regulă, această metodă rezolvă integralele formei
, Unde
este un polinom și este una dintre următoarele funcții:
,
,
, , ,
,
.

Să luăm în considerare o funcție
, definit pe interval
, orez. 4. Să facem 5 operații.

1. Să împărțim intervalul cu puncte într-o manieră arbitrară în părți. Să notăm
, iar cea mai mare dintre lungimile acestor secțiuni parțiale va fi notat cu , îl vom numi rangul zdrobitor.

2. Pe fiecare parcelă parțială
să luăm un punct arbitrar și calculați valoarea funcției din ea
.

3. Să compunem o lucrare

4. Să facem o sumă
. Această sumă se numește sumă integrală sau sumă Riemann.

5. Prin reducerea strivirii (prin creșterea numărului de puncte de zdrobire) și în același timp direcționarea gradului de zdrobire la zero (
) adică (prin creșterea numărului de puncte de strivire, ne asigurăm că lungimea tuturor secțiunilor parțiale scade și tinde spre zero
), vom găsi limita șirului de sume integrale

Dacă această limită există și nu depinde de metoda de împărțire și alegere a punctelor, atunci se numește integrala definita dintr-o funcție pe un interval și se notează după cum urmează:
.

Sensul geometric al unei integrale definite. Să presupunem că funcția este continuă și pozitivă pe interval. Luați în considerare un trapez curbat ABCD(Fig. 4). Suma cumulativă
ne dă suma ariilor dreptunghiurilor cu baze
și înălțimi
. Poate fi luată ca valoare aproximativă a ariei unui trapez curbat ABCD , adică

Mai mult, această egalitate va fi cu atât mai precisă, cu cât zdrobirea va fi mai fină și în limita la n→+∞ Și λ → 0 vom obține:

Acesta este sensul geometric al integralei definite.

Proprietățile de bază ale integralei definite

Proprietatea 1. O integrală definită cu limite egale este egală cu zero.

Proprietatea 2. Când limitele integrării sunt schimbate, integrala definită își schimbă semnul cu cel opus.

Proprietatea 3. Linearitatea integralei.

Proprietatea 4. Oricare ar fi numerele, dacă funcția
integrabil pe fiecare interval
,
,
(Fig. 5), apoi:

Teorema. Dacă o funcție este continuă pe interval, atunci integrala definită a acestei funcții pe interval este egală cu diferența dintre valorile oricărei antiderivate a acestei funcții la limitele superioare și inferioare de integrare, adică.

(formula Newton-Leibniz) .

Această formulă reduce găsirea integralelor definite la găsirea integralelor nedefinite. Diferență
se numește increment al antiderivatei și se notează
.

Să luăm în considerare principalele modalități de a calcula o integrală definită: modificarea variabilelor (substituție) și integrarea pe părți.

Înlocuirea (modificarea variabilei) într-o integrală definită - trebuie să faceți următoarele:

Și
;

Cometariu. Când se evaluează integralele definite folosind substituția, nu este nevoie să se revină la argumentul inițial.

2. Integrarea pe părți într-o integrală definită se rezumă la utilizarea formulei:

Exemple de rezolvare a problemelor

Exercitiul 1. Aflați integrala nedefinită prin integrare directă.

1.
. Folosind proprietatea integralei nedefinite, luăm un factor constant dincolo de semnul integralei. Apoi, efectuând transformări matematice elementare, reducem funcția integrand la forma de putere:

Sarcina 2. Găsiți integrala nedefinită folosind metoda schimbării variabilei.

1.
. Să facem o schimbare variabilă
, Apoi . Integrala originală va lua forma:

Astfel, am obținut o integrală nedefinită a unei forme tabelare: o funcție de putere. Folosind regula pentru găsirea integralei nedefinite a unei funcții de putere, găsim:

După ce am făcut înlocuirea inversă, obținem răspunsul final:

Sarcina 3. Aflați integrala nedefinită folosind metoda integrării pe părți.

1.
. Să introducem următoarea notație: sens ... de bază concept integrală calcul– concept incert integrală ... incert integrală De bază proprietăți incert integrală Utilizați tabelul principal incert ...

Programul de lucru al disciplinei academice „matematică superioară” Ciclul

Program de lucru

... de bază legi... Integral calcul funcţiile unei variabile Antiderivate. Incert integralăȘi a lui proprietăți ... integralăȘi a lui geometric sens. Integral... coordonate. Incert integralăși... și practice clase„. Petrushko I.M.,...

Calcul integral.

Funcția antiderivată.

Definiție: Se numește funcția F(x). funcția antiderivată funcția f(x) pe segment dacă egalitatea este adevărată în orice punct al acestui segment:

Trebuie remarcat faptul că poate exista un număr infinit de antiderivate pentru aceeași funcție. Ele vor diferi unele de altele printr-un număr constant.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Integrală nedefinită.

Definiție: Integrală nedefinită funcția f(x) este un set de funcții antiderivate care sunt definite prin relația:

Scrie:

Condiția existenței unei integrale nedefinite pe un anumit segment este continuitatea funcției pe acest segment.

Proprietăți:

Exemplu:

Găsirea valorii integralei nedefinite este asociată în principal cu găsirea antiderivatei funcției. Pentru unele funcții, aceasta este o sarcină destul de dificilă. Mai jos vom lua în considerare metode de găsire a integralelor nedefinite pentru principalele clase de funcții - raționale, iraționale, trigonometrice, exponențiale etc.

Pentru comoditate, valorile integralelor nedefinite ale majorității funcțiilor elementare sunt colectate în tabele speciale de integrale, care uneori sunt destul de voluminoase. Acestea includ diverse combinații de funcții utilizate în mod obișnuit. Dar cele mai multe dintre formulele prezentate în aceste tabele sunt consecințe unele ale altora, așa că mai jos vă prezentăm un tabel de integrale de bază, cu ajutorul căruia puteți obține valorile integralelor nedefinite ale diferitelor funcții.

Integral	Sens	Integral	Sens

	lnsinx+ C



	ln

Metode de integrare.

Să luăm în considerare trei metode principale de integrare.

Integrare directă.

Metoda integrării directe se bazează pe presupunerea valorii posibile a funcției antiderivate cu verificarea ulterioară a acestei valori prin diferențiere. În general, observăm că diferențierea este un instrument puternic pentru verificarea rezultatelor integrării.

Să ne uităm la aplicarea acestei metode folosind un exemplu:

Trebuie să găsim valoarea integralei . Pe baza binecunoscutei formule de diferențiere
putem concluziona că integrala căutată este egală cu
, unde C este un număr constant. Cu toate acestea, pe de altă parte
. Astfel, putem concluziona în sfârșit:

Rețineți că, spre deosebire de diferențiere, în care s-au folosit tehnici și metode clare pentru a găsi derivata, regulile pentru găsirea derivatei și, în sfârșit, definiția derivatei, astfel de metode nu sunt disponibile pentru integrare. Dacă la găsirea derivatei am folosit, ca să spunem așa, metode constructive, care, pe baza unor reguli, au condus la rezultat, atunci la găsirea antiderivatei trebuie să ne bazăm în principal pe cunoașterea tabelelor de derivate și antiderivate.

În ceea ce privește metoda integrării directe, aceasta este aplicabilă doar pentru unele clase foarte limitate de funcții. Există foarte puține funcții pentru care puteți găsi imediat un antiderivat. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, sunt utilizate metodele descrise mai jos.

Metoda de substituție (înlocuirea variabilelor).

Teorema: Dacă trebuie să găsiți integrala
, dar este dificil de găsit antiderivată, atunci folosind înlocuirea x = (t) și dx = (t)dt obținem:

Dovada : Să diferențiem egalitatea propusă:

Potrivit proprietății nr. 2 a integralei nedefinite discutate mai sus:

f(X) dx = f[  (t)]  (t) dt

care, ținând cont de notația introdusă, este ipoteza inițială. Teorema este demonstrată.

Exemplu. Aflați integrala nedefinită
.

Să facem un înlocuitor t = sinx, dt = cosxdt.

Exemplu.

Înlocuire
Primim:

Mai jos vom lua în considerare și alte exemple de utilizare a metodei de substituție pentru diferite tipuri de funcții.

Integrare pe părți.

Metoda se bazează pe formula binecunoscută pentru derivatul unui produs:

(uv) = uv + vu

unde u și v sunt unele funcții ale lui x.

Sub formă diferenţială: d(uv) = udv + vdu

Integrând, obținem:
, și în conformitate cu proprietățile de mai sus ale integralei nedefinite:

sau
;

Am obținut o formulă de integrare pe părți, care ne permite să găsim integralele multor funcții elementare.

Exemplu.

După cum puteți vedea, aplicarea consecventă a formulei de integrare prin părți vă permite să simplificați treptat funcția și să aduceți integrala la una tabelară.

Exemplu.

Se poate observa că, ca urmare a aplicării repetate a integrării pe părți, funcția nu a putut fi simplificată în formă tabelară. Cu toate acestea, ultima integrală obținută nu este diferită de cea inițială. Prin urmare, îl mutam în partea stângă a egalității.

Astfel, integrala a fost găsită fără a folosi deloc tabele de integrale.

Înainte de a considera în detaliu metodele de integrare a diferitelor clase de funcții, dăm mai multe exemple de găsire a integralelor nedefinite prin reducerea lor la cele tabulare.

Exemplu.

Integrarea fracțiilor elementare.

Definiție: Elementar Următoarele patru tipuri de fracții se numesc:

eu.
III.

II.
IV.

m, n – numere naturale (m  2, n  2) și b 2 – 4ac<0.

Primele două tipuri de integrale ale fracțiilor elementare pot fi pur și simplu aduse la tabel prin substituția t = ax + b.

Să luăm în considerare metoda de integrare a fracțiilor elementare de tip III.

Integrala fracțională de tip III poate fi reprezentată ca:

Aici, în formă generală, este prezentată reducerea unei integrale fracționale de tip III la două integrale tabelare.

Să ne uităm la aplicarea formulei de mai sus folosind exemple.

Exemplu.

În general, dacă trinomul ax 2 + bx + c are expresia b 2 – 4ac >0, atunci fracția, prin definiție, nu este elementară, totuși poate fi integrată în modul indicat mai sus.

Exemplu.

Să luăm acum în considerare metodele de integrare a fracțiilor simple de tip IV.

Mai întâi, să considerăm un caz special cu M = 0, N = 1.

Apoi integrala formei
poate fi reprezentat sub formă selectând pătratul complet la numitor
. Să facem următoarea transformare:

Vom lua a doua integrală inclusă în această egalitate pe părți.

Să notăm:

Pentru integrala originală obținem:

Formula rezultată se numește recurent. Dacă îl aplicați de n-1 ori, obțineți o integrală de tabel
.

Să revenim acum la integrala unei fracții elementare de tip IV în cazul general.

În egalitatea rezultată, prima integrală utilizând substituția t = u 2 + s redus la tabelar , iar formula de recurență discutată mai sus se aplică integralei a doua.

În ciuda complexității aparente a integrării unei fracții elementare de tip IV, în practică este destul de ușor de utilizat pentru fracții cu un grad mic. n, iar universalitatea și generalitatea abordării fac posibilă o implementare foarte simplă a acestei metode pe un computer.

Exemplu:

Integrarea funcţiilor raţionale.

Integrarea fracțiilor raționale.

Pentru a integra o fracție rațională este necesară descompunerea ei în fracții elementare.

Teorema: Dacă
- o fracție rațională propriu-zisă, al cărei numitor P(x) este reprezentat ca produs al factorilor liniari și pătratici (rețineți că orice polinom cu coeficienți reali poate fi reprezentat în această formă: P(X) = (X - A)  …(X - b)  (X 2 + px + q)  …(X 2 + rx + s)  ), atunci această fracție poate fi descompusă în fracțiuni elementare după următoarea schemă:

unde A i, B i, M i, N i, R i, S i sunt niște mărimi constante.

La integrarea fracțiilor raționale, acestea recurg la descompunerea fracției inițiale în fracții elementare. Pentru a găsi mărimile A i, B i, M i, N i, R i, S i, așa-numitele metoda coeficienților nesiguri, a cărei esență este că pentru ca două polinoame să fie identic egale, este necesar și suficient ca coeficienții la aceleași puteri ale lui x să fie egali.

Să luăm în considerare utilizarea acestei metode folosind un exemplu specific.

Exemplu.

Reducând la un numitor comun și echivalând numărătorii corespunzători, obținem:

Exemplu.

Deoarece Dacă fracția este necorespunzătoare, trebuie mai întâi să-i selectați întreaga parte:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Să factorizăm numitorul fracției rezultate. Se poate observa că la x = 3 numitorul fracției se transformă în zero. Apoi:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Deci 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Apoi:

Pentru a evita deschiderea parantezelor, gruparea și rezolvarea unui sistem de ecuații (care în unele cazuri se poate dovedi a fi destul de mare) atunci când se găsesc coeficienți nesiguri, așa-numitul metoda valorii arbitrare. Esența metodei este că mai multe (în funcție de numărul de coeficienți nedeterminați) valori arbitrare ale lui x sunt înlocuite în expresia de mai sus. Pentru a simplifica calculele, se obișnuiește să se ia drept valori arbitrare puncte la care numitorul fracției este egal cu zero, adică. în cazul nostru – 3, -2, 1/3. Primim:

În sfârșit obținem:

Exemplu.

Să găsim coeficienții nedeterminați:

Atunci valoarea integralei date:

Integrarea unor trigonometrie

funcții.

Pot exista un număr infinit de integrale din funcții trigonometrice. Majoritatea acestor integrale nu pot fi calculate deloc analitic, așa că vom lua în considerare unele dintre cele mai importante tipuri de funcții care pot fi întotdeauna integrate.

Integrala formei
.

Aici R este desemnarea unei funcții raționale a variabilelor sinx și cosx.

Integrale de acest tip sunt calculate folosind substituție
. Această înlocuire vă permite să convertiți o funcție trigonometrică într-una rațională.

Apoi

Prin urmare:

Transformarea descrisă mai sus se numește substituție trigonometrică universală.

Exemplu.

Avantajul incontestabil al acestei substituții este că, cu ajutorul ei, puteți transforma întotdeauna o funcție trigonometrică într-una rațională și calcula integrala corespunzătoare. Dezavantajele includ faptul că transformarea poate avea ca rezultat o funcție rațională destul de complexă, a cărei integrare va necesita mult timp și efort.

Totuși, dacă este imposibil să se aplice o înlocuire mai rațională a variabilei, această metodă este singura eficientă.

Exemplu.

Integrala formei
Dacă

funcţieRcosx.

În ciuda posibilității de a calcula o astfel de integrală folosind substituția trigonometrică universală, este mai rațional să se folosească substituția t = sinx.

Funcţie
poate conține cosx numai în puteri pare și, prin urmare, poate fi convertit într-o funcție rațională în raport cu sinx.

Exemplu.

În general, pentru a aplica această metodă, este necesară doar neobișnuirea funcției în raport cu cosinusul, iar gradul sinusului inclus în funcție poate fi oricare, atât întreg cât și fracționar.

Integrala formei
Dacă

funcţieReste impar relativ lasinx.

Prin analogie cu cazul considerat mai sus se face substituirea t = cosx.

Exemplu.

Integrala formei

funcţieRchiar relativsinxȘicosx.

Pentru a transforma funcția R într-una rațională, folosiți substituția

t = tgx.

Exemplu.

Integrală a produsului sinusurilor și cosinusurilor

diverse argumente.

În funcție de tipul de lucru, se va aplica una dintre cele trei formule:

Exemplu.

Uneori, atunci când integrați funcții trigonometrice, este convenabil să folosiți formule trigonometrice binecunoscute pentru a reduce ordinea funcțiilor.

Exemplu.

Uneori sunt folosite unele tehnici non-standard.

Exemplu.

Integrarea unor funcții iraționale.

Nu orice funcție irațională poate avea o integrală exprimată prin funcții elementare. Pentru a găsi integrala unei funcții iraționale, ar trebui să utilizați o substituție care vă va permite să transformați funcția într-una rațională, a cărei integrală poate fi întotdeauna găsită, așa cum se știe întotdeauna.

Să ne uităm la câteva tehnici de integrare a diferitelor tipuri de funcții iraționale.

Integrala formei
Unden- numar natural.

Folosind substituția
funcția este raționalizată.

Exemplu.

Dacă compoziția unei funcții iraționale include rădăcini de diferite grade, atunci ca variabilă nouă este rațional să se ia rădăcina unui grad egal cu cel mai mic multiplu comun al gradelor rădăcinilor incluse în expresie.

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplu.

Integrarea diferenţialelor binomiale.

Integral este o parte importantă a calculului diferențial. Integralele pot fi duble, triple etc. Pentru a afla aria suprafeței și volumul corpurilor geometrice, se folosesc diferite tipuri de integrale.

Integrala nedefinită are forma: \(∫f (x)\, dx\) iar integrala definită are forma: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

Regiunea planului limitată de graficul integralei definite:

Operațiile de integrare sunt inversul diferențierii. Din acest motiv, trebuie să ne amintim antiderivată, funcția, tabelul derivatelor.

Funcția \(F (x) = x^2\) este o antiderivată a funcției \(f (x) = 2x\). Funcțiile \(f (x) = x^2+2\) și \(f (x) = x^2+7\) sunt, de asemenea, antiderivate pentru funcția \(f (x) = 2x\). \(2\) și \(7-\) sunt constante ale căror derivate sunt egale cu zero, așa că le putem înlocui cât ne place, valoarea antiderivatei nu se va modifica. Pentru a scrie o integrală nedefinită, folosiți semnul \(∫\) . Integrală nedefinită este mulțimea tuturor antiderivatelor funcției \(f (x) = 2x\). Operațiile de integrare sunt inversul diferențierii. \(∫2x = x^2+C\) , unde \(C\) este constanta integrării, adică dacă calculăm derivata \(x^2\) , obținem \(2x\) și aceasta este \ (∫2x\) . Ușor, nu-i așa? Dacă nu înțelegeți, atunci trebuie să repetați derivata funcției. Acum putem deriva formula prin care vom calcula integrala: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ≠ -1\). am scăzut 1, acum adăugăm 1, n nu poate fi egal cu 0. Există și alte reguli de integrare pentru alte funcții de bază care trebuie învățate:

Rezolvarea unei integrale nedefinite este procesul invers de găsire a antiderivatelor unei ecuații diferențiale. Găsim o funcție a cărei derivată este o integrală și nu uitați să adăugați „+ C” la sfârșit.

Principiile calculului integral au fost formulate independent de Isaac Newton și Gottfried Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Bernhard Riemann a dat o definiție matematică strictă a integralelor. Prima metodă sistematică documentată capabilă să determine integralele este metoda de calcul a astronomului grec antic Eudoxus, care a încercat să găsească zone și volume descompunându-le într-un număr infinit de zone și volume cunoscute. Această metodă a fost dezvoltată și utilizată în continuare de Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. e. și a fost folosit pentru a calcula ariile parabolelor și pentru a aproxima aria unui cerc.

O metodă similară a fost dezvoltată independent în China în jurul secolului al III-lea d.Hr. de către Liu Hui, care a folosit-o pentru a găsi aria unui cerc. Această metodă a fost folosită mai târziu în secolul al V-lea de matematicienii chinezi, tată și fiu, ZU Chongzhi și ZU Geng, pentru a găsi volumul unei sfere.

Următoarele progrese semnificative în calculul integral nu au apărut decât în secolul al XVII-lea. În acest timp, lucrările lui Cavalieri și Fermat au început să pună bazele calculului modern.

În special, teorema fundamentală a calculului integral ne permite să rezolvăm o clasă mult mai largă de probleme. La fel de important este cadrul matematic complex pe care l-au dezvoltat Newton și Leibniz. Această structură a integralelor este preluată direct din lucrarea lui Leibniz și a devenit calculul integral modern. Calculul a fost modificat de Riemann, folosind limite. Ulterior, au fost luate în considerare funcții mai generale, mai ales în contextul analizei Fourier, cărora nu se aplică definiția lui Riemann. Lebesgue a formulat o altă definiție a integralei, bazată pe teoria măsurii (un subdomeniu al analizei reale).

Notația modernă pentru integrala nedefinită a fost introdusă de Gottfried Leibniz în 1675.

Integralele sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale matematicii. De exemplu, în teoria probabilității, integralele sunt folosite pentru a determina probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze într-un anumit interval.

Integralele pot fi utilizate pentru a calcula aria unei regiuni bidimensionale care are o limită curbă, precum și pentru a calcula volumul unui obiect tridimensional care are o limită curbă.

Integralele sunt folosite în fizică, în domenii precum cinematica, pentru a găsi deplasarea, timpul și viteza.

Definiţia antiderivative.

O antiderivată a unei funcții f(x) pe intervalul (a; b) este o funcție F(x) astfel încât egalitatea este valabilă pentru orice x din intervalul dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea este adevărată . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unei integrale nedefinite.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrandși f(x) – funcția integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x) .

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa incert integrarea, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci o mulțime de antiderivatele sale F(x)+C.

Pe baza proprietăților derivatului, se poate formula și dovedi proprietățile integralei nedefinite(proprietățile unui antiderivat).

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsiți derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este o dovadă datorită primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este inversul problemei diferențierii și există o legătură foarte strânsă între aceste probleme:

prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;
a doua proprietate a integralei nedefinite permite găsirea antiderivată a acesteia dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Aflați antiderivată a funcției a cărei valoare este egală cu unu la x = 1.

Soluţie.

Din calculul diferenţial ştim că (doar uitați-vă la tabelul derivatelor funcțiilor elementare de bază). Prin urmare, . Prin a doua proprietate . Adică avem multe antiderivate. Pentru x = 1 obținem valoarea . Conform condiției, această valoare trebuie să fie egală cu unu, prin urmare, C = 1. Antiderivatul dorit va lua forma .