O figură geometrică compusă din segmente AB, BC, CD, .., EF, FA în așa fel încât segmentele adiacente să nu se afle pe o singură dreaptă, iar segmentele neadiacente să nu aibă puncte comune, se numește poligon. Capetele acestor segmente, punctele A, B, C, D, ..., E, F sunt numite culmi poligon și segmentele în sine AB, BC, CD, .., EF, FA - petreceri poligon.
Se spune că un poligon este convex dacă se află pe o parte a fiecărei linii care trece prin două dintre vârfurile sale adiacente. Figura de mai jos prezintă un poligon convex:
Și figura următoare ilustrează un poligon neconvex:
Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile acestui poligon care converg la un vârf dat. Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la vârful dat.
Teoremă: suma unghiurilor unui n-gon convex este 180˚ *(n-2)
Dovada: considerăm un n-gon convex. Pentru a găsi suma tuturor unghiurilor interioare, conectăm unul dintre vârfurile poligonului la alte vârfuri.
Ca rezultat, obținem (n-2) triunghiuri. Știm că suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. Și deoarece numărul lor în poligon este (n-2), suma unghiurilor poligonului este 180˚ *(n-2). Acesta este ceea ce trebuia dovedit.
O sarcină:
Aflați suma unghiurilor unui convex a) pentagon b) hexagon c) decagon.
Să folosim formula pentru a calcula suma unghiurilor unui n-gon convex.
a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.
b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.
c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.
Răspuns: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.
Determinarea convexității unui poligon.
Algoritmul Kyrus-Back presupune ca un poligon convex să fie folosit ca fereastră.
Cu toate acestea, în practică, se pune destul de des problema tăierii de către un poligon, iar informațiile despre dacă este sau nu convex nu sunt specificate inițial. În acest caz, înainte de a începe procedura de tăiere, este necesar să se determine dacă poligonul dat este convex sau nu.
Să dăm câteva definiții ale convexității unui poligon
Un poligon este considerat convex dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) într-un poligon convex, toate vârfurile sunt situate pe o parte a liniei care poartă orice muchie (pe interiorul muchiei date);
2) toate unghiurile interioare ale poligonului sunt mai mici de 180 o;
3) toate diagonalele care leagă vârfurile unui poligon se află în interiorul acestui poligon;
4) toate colțurile poligonului sunt ocolite în aceeași direcție (Fig. 3.3-1).
Pentru a dezvolta o reprezentare analitică a ultimului criteriu de convexitate, folosim produsul vectorial.
produs vectorial W doi vectori A și b (Fig. 3.3-2 a) definit ca:
A x ,a y ,a z și b x ,by y ,b z Ași b,
- i, j, k– vectori unitari de-a lungul axelor de coordonate X , Y , Z .
 |
Orez.3.3 ‑ 1
Orez.3.3 ‑ 2
Dacă considerăm reprezentarea bidimensională a unui poligon ca reprezentarea sa în planul de coordonate XY al sistemului de coordonate tridimensional X ,Y ,Z (Fig. 3.3-2 b ), atunci expresia pentru formarea produsului încrucișat de vectori Uși V, unde vectorii Uși V sunt muchii adiacente care formează colțul poligonului, pot fi scrise ca determinant:
Vectorul produs încrucișat este perpendicular pe planul în care se află vectorii factori. Direcția vectorului produs este determinată de regula gimletului sau de regula șurubului drept.
Pentru cazul prezentat în fig. 3.3-2 b ), vector W, corespunzător produsului vectorial al vectorilor V, U, va avea aceeași directivitate ca și direcția axei de coordonate Z.
Ținând cont de faptul că proiecțiile pe axa Z a vectorilor-factori în acest caz sunt egale cu zero, produsul vectorial poate fi reprezentat ca:
(3.3-1)
Vector unitar kîntotdeauna pozitiv, de unde semnul vectorului w produsul vectorial va fi determinat numai de semnul determinantului D din expresia de mai sus. Rețineți că, pe baza proprietății produsului vectorial, atunci când rearanjați vectorii factori Uși V semn vectorial w se va schimba la invers.
De aici rezultă că dacă ca vectori Vși U luați în considerare două margini adiacente ale poligonului, atunci ordinea de enumerare a vectorilor în produsul vectorial poate fi pusă în conformitate cu ocolirea colțului considerat al poligonului sau a marginilor care formează acest colț. Acest lucru ne permite să folosim regula ca criteriu pentru determinarea convexității unui poligon:
dacă pentru toate perechile de muchii ale poligonului este îndeplinită următoarea condiție:
 |
Dacă semnele produselor vectoriale pentru unghiuri individuale nu se potrivesc, atunci poligonul nu este convex.
Deoarece marginile unui poligon sunt specificate ca coordonatele punctelor finale ale acestora, este mai convenabil să folosiți determinantul pentru a determina semnul unui produs încrucișat.
Ansamblu convex de puncte pe plan.
Se numește un set de puncte dintr-un plan sau dintr-un spațiu tridimensional convex, dacă oricare două puncte din această mulțime pot fi conectate printr-un segment de linie care se află complet în această mulțime.
Teorema 1. Intersecția unui număr finit de mulțimi convexe este o mulțime convexă.
Consecinţă. Intersecția unui număr finit de mulțimi convexe este o mulțime convexă.
puncte de colt.
Se numește punctul limită al unei mulțimi convexe unghiular, dacă este posibil să se deseneze un segment prin el, toate punctele cărora nu aparțin mulțimii date.
Seturile de diferite forme pot avea un număr finit sau infinit de puncte de colț.
Poligon convex.
Poligon numit convex, dacă se află pe o parte a fiecărei linii care trece prin cele două vârfuri adiacente ale acesteia.
Teoremă: suma unghiurilor unui n-gon convex este 180˚ *(n-2)
6) Rezolvarea sistemelor de m inegalități liniare cu două variabile
Având în vedere un sistem de m inegalități liniare cu două variabile
Semnele unora sau tuturor inegalităților pot fi ≥.
Luați în considerare prima inegalitate din sistemul de coordonate X1OX2. Să construim o linie dreaptă
care este linia de hotar.
Această linie dreaptă împarte planul în două semiplane 1 și 2 (Fig. 19.4).
Semiplanul 1 conține originea, semiplanul 2 nu conține originea.
Pentru a determina pe ce parte a liniei de limită se află un anumit semiplan, trebuie să luați un punct arbitrar pe plan (mai bine, originea) și să înlocuiți coordonatele acestui punct în inegalitate. Dacă inegalitatea este adevărată, atunci semiplanul este întors spre acest punct, dacă nu este adevărată, atunci în direcția opusă punctului.
Direcția semiplanului din figuri este indicată de o săgeată.
Definiție 15. Soluția fiecărei inegalități a sistemului este un semiplan care conține linia de limită și situat pe o parte a acesteia.
Definiție 16. Intersecția semiplanurilor, fiecare dintre acestea fiind determinată de inegalitatea corespunzătoare a sistemului, se numește aria soluției sistemului (SR).
Definiție 17. Aria soluției unui sistem care îndeplinește condițiile de non-negativitate (xj ≥ 0, j =) se numește aria soluțiilor nenegative sau admisibile (ODS).
Dacă sistemul de inegalități este consistent, atunci OP și ODE pot fi un poliedru, o regiune poliedrică nemărginită sau un singur punct.
Dacă sistemul de inegalități este inconsecvent, atunci OR și ODR sunt o mulțime goală.
Exemplul 1
Soluţie. Să aflăm OR al primei inegalități: x1 + 3x2 ≥ 3. Să construim linia de frontieră x1 + 3x2 - 3 = 0 (Fig. 19.5). Înlocuiți coordonatele punctului (0,0) în inegalitatea: 1∙0 + 3∙0 > 3; întrucât coordonatele punctului (0,0) nu îl satisfac, atunci soluția inegalității (19.1) este un semiplan care nu conține punctul (0,0).
În mod similar, găsim soluții la inegalitățile rămase ale sistemului. Obținem că OP și ODE ale sistemului de inegalități este un poliedru convex ABCD.
Găsiți punctele de colț ale poliedrului. Punctul A este definit ca punctul de intersecție al liniilor
Rezolvând sistemul, obținem A(3/7, 6/7).
Găsim punctul B ca punct de intersecție al dreptelor
Din sistem obținem B(5/3, 10/3). În mod similar, găsim coordonatele punctelor C și D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Exemplul 2. Aflați OR și ODR ale sistemului de inegalități
Soluţie. Să construim drepte și să determinăm soluțiile inegalităților (19.5)-(19.7). OR și ODR sunt zone poliedrice nemărginite ACFM și respectiv ABDEKM (Fig. 19.6).
Exemplul 3. Aflați OR și ODR ale sistemului de inegalități
Soluţie. Găsim soluții la inegalitățile (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7). OP reprezintă regiunea poliedrică nemărginită ABC; ODR - punctul B.
Exemplul 4. Aflați OP și ODS ale sistemului de inegalități
Soluţie. După ce am construit linii drepte, găsim soluții la inegalitățile sistemului. OR și ODR sunt incompatibile (Fig. 19.8).
EXERCIȚII
Găsiți OR și ODR ale sistemelor de inegalități
Teorema. Dacă xn ® a, atunci .
Dovada. Din xn ® a rezultă că . În același timp:
Acestea. , adică . Teorema a fost demonstrată.
Teorema. Dacă xn ® a, atunci șirul (xn) este mărginit.
Trebuie remarcat faptul că afirmația inversă nu este adevărată, adică. mărginirea unei secvențe nu implică convergența acesteia.
De exemplu, secvența nu are limită, deși
Extinderea funcțiilor în serii de puteri.
Extinderea funcțiilor într-o serie de puteri este de mare importanță pentru rezolvarea diferitelor probleme de studiere a funcțiilor, diferențiere, integrare, rezolvare de ecuații diferențiale, calcul de limite, calculare a valorilor aproximative ale unei funcții.
În total, obținem:
Luați în considerare o modalitate de a extinde o funcție într-o serie folosind integrare.
Cu ajutorul integrării, este posibilă extinderea într-o serie a unei astfel de funcție pentru care expansiunea într-o serie a derivatei sale este cunoscută sau poate fi găsită cu ușurință.
Găsim diferența funcției și o integrăm în intervalul de la 0 la x.
Definiția 1. O linie întreruptă este o succesiune finită de segmente, astfel încât unul dintre capetele primului segment servește drept capăt al celui de-al doilea, celălalt capăt al celui de-al doilea segment servește ca capăt al celui de-al treilea etc.
Segmentele care alcătuiesc o linie întreruptă se numesc legături. Segmentele învecinate nu se află pe aceeași linie dreaptă. Dacă capetele poliliniei coincid, atunci se numește închis. Linia întreruptă se poate încrucișa, se poate atinge și se poate sprijini pe ea însăși. Dacă o linie întreruptă nu are astfel de singularități, atunci se numește simplu.
Definiția 2. O polilinie închisă simplă, împreună cu o parte a planului delimitată de aceasta, se numește poligon.
Linia întreruptă în sine se numește limita poligonului, legăturile liniei întrerupte - petreceri poligon, capetele legăturilor - vârfurile poligonului. Două laturi adiacente ale unui poligon formează un unghi. Numărul de colțuri dintr-un poligon este egal cu numărul de laturi. Fiecare poligon are unghiuri mai mici de 180°. Laturile și unghiurile unui poligon se numesc elemente poligon.
Un segment care leagă două vârfuri neadiacente ale unui poligon se numește diagonală. Orice n-gon are n-2 diagonale.
Definiția 3. Poligonul se numește convex dacă se află pe o parte a fiecărei linii care îi conține latura. Poligoanele care nu îndeplinesc această condiție se numesc neconvexe.
Proprietățile poligoanelor convexe.
Proprietatea 1. Un poligon convex are toate unghiurile mai mici de 180°.
Demonstrație: Luați orice unghi A al unui poligon convex P și latura lui a care provine de la vârful A. Fie l linia care conține latura a. Deoarece poligonul P este convex, acesta se află pe o parte a dreptei l. Prin urmare, unghiul A se află pe o parte a dreptei l. Prin urmare, unghiul A este mai mic decât cel extins, adică ÐA< 180°.
Proprietatea 2. Un segment de linie care unește oricare două puncte ale unui poligon convex este conținut în acel poligon.
Demonstrație: Luați oricare două puncte M și N ale unui poligon convex P. Poligonul P este intersecția mai multor semiplane. Segmentul MN se află în fiecare dintre aceste semiplane. Prin urmare, este conținut și în poligonul R.
Proprietatea 3. Suma unghiurilor unui poligon convex este (n – 2)∙180°.
Dovada: Luați un punct arbitrar O în interiorul unui poligon convex P și conectați-l la toate vârfurile poligonului. Se formează n triunghiuri, suma unghiurilor fiecăruia fiind de 180°. Unghiurile de la vârful O se adună până la 360° = 2∙180°. Prin urmare, suma unghiurilor poligonului este n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Conceptul de paralelogram. Proprietățile paralelogramului.
Definiția 1. Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi se numește paralelogram.
Fiecare paralelogram are patru vârfuri, patru laturi, patru colțuri. Se numesc două laturi care au capete comune legate de. Fiecare paralelogram are două diagonale - segmente care leagă vârfuri opuse ale paralelogramului. Suma unghiurilor unui paralelogram este 360°.
Proprietățile paralelogramului.
Proprietatea 1. Un paralelogram are laturile opuse egale, iar unghiurile opuse sunt egale în perechi.
Dovada: Desenați diagonala AC. AC - general;
РВАС = РАСD (încrucișată internă la AB II î.Hr. și secanta AC);
РВСА = РСАD (încrucișată interioară la II d.Hr. și secanta AC);
Þ DABC \u003d DADC (pentru 2 semne).
AB = CD; BC=AD; РВ = РD.
RA = RAAC + RAAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
Proprietatea 2.Într-un paralelogram, unghiurile adiacente unei laturi se adună până la 180°.
Dovada:
РВ + РА =180° (internă unilaterală cu BC II AD și secanta AB).
РB + РС =180° (internă unilaterală cu AB II CD și secanta BC).
ÐD + ÐC = 180° (internă unilaterală cu BC II AD și CD secant).
ÐA + ÐD \u003d 180 ° (internă unilaterală cu AB II CD și secanta AD).
Proprietatea 3. Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul de intersecție.
Dovada: Desenați diagonalele AC și BD care se intersectează în punctul O.
AB \u003d CD (conform primului paralelogram);
RAVO = ÐODC (încrucișat intern la AB II CD și secant BD);
ÐBAO = ÐOCD (încrucișat intern la AB II CD și secant AC);
Þ DAVO = DODC (pentru 2 trăsături).
BO=OD; AO = OC.
Caracteristicile unui paralelogram.
Semnul 1. Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Având în vedere: ABCD este un patrulater; al II-lea î.Hr.,
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
