Proprietățile de bază ale unei parabole. Ce este o parabolă? Hiperbola și ecuația ei canonică

O parabolă este locul punctelor din planul echidistant de un punct dat F

iar o dreaptă dată dd nu trece printr-un punct dat. Această definiție geometrică exprimă proprietatea directorială a unei parabole.

Proprietatea directorială a parabolelor

Punctul F se numește focarul parabolei, linia dreaptă d este directricea parabolei, punctul de mijloc O al perpendicularei coborâte de la focar la directrice este vârful parabolei, distanța p de la focar la directriza este parametrul parabolei, iar distanța p2 de la vârful parabolei până la focar este distanța focală. Linia dreaptă perpendiculară pe directrice și care trece prin focar se numește axa parabolei (axa focală a parabolei). Segmentul FM care leagă un punct arbitrar M al unei parabole cu focarul său se numește raza focală a punctului

M. Segmentul care leagă două puncte ale unei parabole se numește coardă a parabolei.

Pentru un punct arbitrar al unei parabole, raportul dintre distanța la focalizare și distanța la directrice este egal cu unu. Comparând proprietățile directoare ale elipsei, hiperbolei și parabolei, concluzionăm că excentricitatea parabolei prin definiţie egal cu unu

Definiția geometrică a unei parabole, care își exprimă proprietatea directorială, este echivalentă cu definiția sa analitică - linia definită de ecuația canonică a unei parabole:

Proprietăți

• Are o axă de simetrie numită axa parabolei. Axa trece prin focar și vârful perpendicular pe directrice.
• Proprietate optică. Un fascicul de raze paralel cu axa parabolei, reflectat în parabolă, este colectat la focarul său. Și invers, lumina de la o sursă situată în focalizare este reflectată de o parabolă într-un fascicul de raze paralel cu axa ei.
• Dacă focarul parabolei este reflectat în raport cu tangenta, atunci imaginea ei se va afla pe directrice.
• Un segment care leagă punctul de mijloc al unei coarde arbitrare a unei parabole și punctul de intersecție al tangentelor la acesta de la capetele acestei coarde este perpendicular pe directrice, iar punctul său de mijloc se află pe parabolă.
• O parabolă este antipodul unei linii.
• Toate parabolele sunt similare. Distanța dintre focalizare și directrix determină scara.

Funcția unei variabile reale: concepte de bază, exemple.

Definiție: Dacă fiecare valoare x a unei mulțimi numerice X conform regulii f corespunde unui singur număr al mulțimii Y, atunci se spune că funcția y = f(x) este dată pe mulțimea numerică X, valorile a lui x sunt determinate de setul de valori incluse în domeniul de definire a funcției (X).
În acest caz, x se numește argument, iar y este valoarea funcției. Mulțimea X se numește domeniul de definire a funcției, Y este mulțimea de valori ale funcției.
Această regulă este adesea dată de o formulă; de exemplu, y = 2x + 5. Această metodă de specificare a unei funcții folosind o formulă se numește analitică.
O functie poate fi specificata si printr-un grafic - Graficul unei functii y - f(x) este multimea punctelor din plan ale caror coordonate x satisfac relatia y = f(x).

Pe parcursul acestui capitol se presupune că s-a ales o anumită scară în plan (în care se află toate cifrele considerate mai jos); Sunt luate în considerare numai sistemele de coordonate dreptunghiulare cu această scară.

§ 1. Parabola

O parabolă este cunoscută cititorului de la un curs de matematică școlar ca o curbă, care este graficul unei funcții

(Fig. 76). (1)

Graficul oricărui trinom pătratic

este și o parabolă; este posibil prin simpla deplasare a sistemului de coordonate (cu un vector OO), adică transformând

asigurați-vă că graficul funcției (în cel de-al doilea sistem de coordonate) coincide cu graficul (2) (în primul sistem de coordonate).

De fapt, să substituim (3) în egalitate (2). Primim

Vrem să alegem astfel încât coeficientul la și termenul liber al polinomului (în raport cu ) din partea dreaptă a acestei egalități să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, determinăm din ecuație

care dă

Acum stabilim din condiție

în care înlocuim valoarea deja găsită. Primim

Deci, prin intermediul schimbului (3), în care

am trecut la un nou sistem de coordonate, în care ecuația parabolei (2) a luat forma

(Fig. 77).

Să revenim la ecuația (1). Poate servi ca definiție a unei parabole. Să ne amintim cele mai simple proprietăți ale sale. Curba are o axă de simetrie: dacă un punct satisface ecuația (1), atunci un punct simetric față de punctul M față de axa ordonatelor satisface și ecuația (1) - curba este simetrică față de axa ordonatelor (Fig. 76) .

Dacă , atunci parabola (1) se află în semiplanul superior, având un singur punct comun O cu axa absciselor.

Odată cu o creștere nelimitată a valorii absolute a abscisei, și ordonata crește fără limită. Vederea generală a curbei este prezentată în Fig. 76, a.

Dacă (Fig. 76, b), atunci curba este situată în semiplanul inferior simetric față de axa absciselor față de curbă.

Dacă trecem la un nou sistem de coordonate, obținut din cel vechi prin înlocuirea direcției pozitive a axei ordonatelor cu cea opusă, atunci parabola, care are ecuația y în sistemul vechi, va primi ecuația y în noul sistem. sistem de coordonate. Prin urmare, atunci când studiem parabolele, ne putem limita la ecuațiile (1), în care .

Să schimbăm în cele din urmă denumirile axelor, adică vom trece la un nou sistem de coordonate, în care axa ordonatelor va fi vechea axă a absciselor, iar axa absciselor va fi vechea axă a ordonatelor. În acest nou sistem, ecuația (1) va fi scrisă sub forma

Sau, dacă numărul este notat cu , în forma

Ecuația (4) se numește în geometria analitică ecuația canonică a unei parabole; sistemul de coordonate dreptunghiular în care o parabolă dată are ecuația (4) se numește sistem de coordonate canonic (pentru această parabolă).

Acum vom stabili semnificația geometrică a coeficientului. Pentru a face acest lucru, luăm punctul

numită focarul parabolei (4) și linia dreaptă d, definită de ecuație

Această linie este numită directriza parabolei (4) (vezi Fig. 78).

Fie un punct arbitrar al parabolei (4). Din ecuația (4) rezultă că. Prin urmare, distanța punctului M de directricea d este numărul

Distanța punctului M de focalizarea F este

Dar, prin urmare

Deci, toate punctele M ale parabolei sunt echidistante de focarul și directricea acesteia:

În schimb, fiecare punct M care satisface condiția (8) se află pe parabola (4).

Într-adevăr,

Prin urmare,

și, după ce am deschis parantezele și am adus termeni similari,

Am demonstrat că fiecare parabolă (4) este locul punctelor echidistante de focarul F și de directricea d a acestei parabole.

Totodată, am stabilit sensul geometric al coeficientului din ecuația (4): numărul este egal cu distanța dintre focar și directrixa parabolei.

Să presupunem acum că un punct F și o dreaptă d care nu trece prin acest punct sunt date în mod arbitrar pe plan. Să demonstrăm că există o parabolă cu focar F și directrice d.

Pentru a face acest lucru, trageți o dreaptă g prin punctul F (Fig. 79), perpendiculară pe dreapta d; să notăm punctul de intersecție al ambelor drepte cu D; distanța (adică distanța dintre punctul F și linia dreaptă d) va fi notată cu .

Să transformăm linia dreaptă g într-o axă, luând direcția DF pe ea ca pozitivă. Să facem din această axă axa de abscisă a unui sistem de coordonate dreptunghiular, a cărui origine este mijlocul O al segmentului

Apoi linia dreaptă d primește și ecuația .

Acum putem scrie ecuația canonică a parabolei în sistemul de coordonate selectat:

unde punctul F va fi focarul, iar linia dreaptă d va fi directricea parabolei (4).

Am stabilit mai sus că o parabolă este locul punctelor M echidistante de punctul F și dreapta d. Deci, putem da o astfel de definiție geometrică (adică, independentă de orice sistem de coordonate) a unei parabole.

Definiție. O parabolă este locul de puncte echidistante de un punct fix („focalizarea” parabolei) și o linie fixă ​​(„directricea” parabolei).

Sugerez ca restul cititorilor să-și extindă semnificativ cunoștințele școlare despre parabole și hiperbole. Hiperbola și parabola - sunt simple? ...abia astept =)

Hiperbola și ecuația ei canonică

Structura generală a prezentării materialului se va asemăna cu paragraful anterior. Să începem cu conceptul general de hiperbolă și sarcina de a o construi.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma , unde sunt numere reale pozitive. Vă rugăm să rețineți că, spre deosebire de elipsă, aici nu se impune condiția, adică valoarea lui „a” poate fi mai mică decât valoarea lui „fi”.

Trebuie să spun, destul de neașteptat... ecuația hiperbolei „școlare” nici măcar nu seamănă prea mult cu notația canonică. Dar acest mister va trebui totuși să ne aștepte, dar deocamdată să ne zgâriem capul și să ne amintim ce trăsături caracteristice are curba în cauză? Să o răspândim pe ecranul imaginației noastre graficul unei funcții ….

O hiperbolă are două ramuri simetrice.

Nu este un progres rău! Orice hiperbolă are aceste proprietăți și acum ne vom uita cu adevărată admirație la decolteul acestei linii:

Exemplul 4

Construiți hiperbola dată de ecuație

Soluţie: în primul pas, aducem această ecuație la forma canonică. Vă rugăm să rețineți procedura standard. În dreapta trebuie să obțineți „unu”, așa că împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la 20:

Aici puteți reduce ambele fracții, dar este mai optim să faceți fiecare dintre ele cu trei etaje:

Și numai după aceea efectuați reducerea:

Selectați pătratele din numitori:

De ce este mai bine să efectuăm transformări în acest fel? La urma urmei, fracțiile din partea stângă pot fi imediat reduse și obținute. Cert este că în exemplul luat în considerare am fost puțin norocoși: numărul 20 este divizibil atât cu 4, cât și cu 5. În cazul general, un astfel de număr nu funcționează. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Aici totul este mai trist cu divizibilitate și fără fracții cu trei etaje nu mai este posibil:

Deci, să folosim rodul muncii noastre - ecuația canonică:

Cum se construiește o hiperbolă?

Există două abordări pentru construirea unei hiperbole - geometrică și algebrică.
Din punct de vedere practic, desenul cu busola... aș spune chiar utopic, așa că este mult mai profitabil să folosești încă o dată calcule simple pentru a ajuta.

Este recomandabil să respectați următorul algoritm, mai întâi desenul terminat, apoi comentariile:

În practică, o combinație de rotație printr-un unghi arbitrar și translația paralelă a hiperbolei este adesea întâlnită. Această situație este discutată în clasă Reducerea ecuației liniei de ordinul 2 la formă canonică.

Parabola și ecuația ei canonică

S-a terminat! Ea e aleasa. Gata să dezvăluie multe secrete. Ecuația canonică a unei parabole are forma , unde este un număr real. Este ușor de observat că în poziția sa standard parabola „se află pe o parte” și vârful ei este la origine. În acest caz, funcția specifică ramura superioară a acestei linii, iar funcția – ramura inferioară. Este evident că parabola este simetrică față de axă. De fapt, de ce să te deranjezi:

Exemplul 6

Construiți o parabolă

Soluţie: vârful este cunoscut, să găsim puncte suplimentare. Ecuația determină arcul superior al parabolei, ecuația determină arcul inferior.

Pentru a scurta înregistrarea calculelor, vom efectua calculele „cu o perie”:

Pentru înregistrarea compactă, rezultatele ar putea fi rezumate într-un tabel.

Înainte de a efectua un desen elementar punct cu punct, să formulăm un strict

Definiția parabolei:

O parabolă este mulțimea tuturor punctelor din plan care sunt echidistante de un punct dat și o dreaptă dată care nu trece prin punctul respectiv.

Punctul se numește se concentreze parabole, linie dreaptă - directoare (ortografiat cu un „es”) parabole. Se numește „pe” constantă a ecuației canonice parametru focal, care este egală cu distanța de la focalizare la directrice. În acest caz . În acest caz, focalizarea are coordonate, iar directriza este dată de ecuația.
În exemplul nostru:

Definiția unei parabole este chiar mai simplu de înțeles decât definițiile unei elipse și ale unei hiperbole. Pentru orice punct de pe o parabolă, lungimea segmentului (distanța de la focar la punct) este egală cu lungimea perpendicularei (distanța de la punct la directriză):

Felicitări! Mulți dintre voi ați făcut o adevărată descoperire astăzi. Se pare că o hiperbolă și o parabolă nu sunt deloc grafice ale funcțiilor „obișnuite”, ci au o origine geometrică pronunțată.

Evident, pe măsură ce parametrul focal crește, ramurile graficului se vor „ridica” în sus și în jos, apropiindu-se infinit de aproape de axă. Pe măsură ce valoarea „pe” scade, acestea vor începe să se comprime și să se întindă de-a lungul axei

Excentricitatea oricărei parabole este egală cu unitatea:

Rotația și translația paralelă a unei parabole

Parabola este una dintre cele mai comune linii în matematică și va trebui să o construiți foarte des. Prin urmare, vă rugăm să acordați o atenție deosebită ultimului paragraf al lecției, unde voi discuta opțiunile tipice pentru locația acestei curbe.

! Notă : ca și în cazurile cu curbele anterioare, este mai corect să vorbim despre rotația și translația paralelă a axelor de coordonate, dar autorul se va limita la o versiune simplificată a prezentării, astfel încât cititorul să aibă o înțelegere de bază a acestor transformări.

Probabil că toată lumea știe ce este o parabolă. Dar vom analiza mai jos cum să-l folosim corect și competent atunci când rezolvăm diverse probleme practice.

În primul rând, să subliniem conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Să luăm în considerare toate tipurile posibile ale acestui grafic.

Să aflăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construcției curbei (geometrie). Să învățăm cum să găsim vârful și alte valori de bază ale unui grafic de acest tip.

Să aflăm: cum să construiți corect curba dorită folosind ecuația, la ce trebuie să acordați atenție. Să ne uităm la aplicarea practică principală a acestei valori unice în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată?

Algebră: Acest termen se referă la graficul unei funcții pătratice.

Geometrie: aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția ramurilor funcției desenând de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 = 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră se va scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei absciselor.

Gama de valori ale funcției – (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția unei curbe de acest tip dintr-o expresie, trebuie să determinați semnul înaintea primului parametru al expresiei algebrice. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt îndreptate în sus. Dacă este invers, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide calculatoare online speciale, dar este mai bine să puteți face acest lucru singur.

Cum să o determine? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Să găsim vârfurile acestei funcție.

Pentru o linie ca aceasta:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Deplasarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt egali cu 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează modificărilor parametrilor b și, respectiv, c. Linia de pe plan va fi deplasată exact cu numărul de unități egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Aceasta înseamnă că forma clasică a curbei se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca școlari să învețe cum să deseneze corect o parabolă în funcție de parametrii dați.

Analizând expresii și ecuații, puteți vedea următoarele:

1. Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
2. Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, punctele de intersecție cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor unei parabole depinde de rezultat:

• D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, atunci x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

• determinați direcția ramurilor;
• găsiți coordonatele vârfului;
• găsiți intersecția cu axa ordonatelor;
• găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1.

Având în vedere funcția y = x 2 - 5 * x + 4. Este necesar să se construiască o parabolă. Urmăm algoritmul:

1. a = 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. se intersectează cu axa ordonatelor la valoarea y = 4;
4. să găsim discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
5. caut radacini:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Exemplul 2.

Pentru funcția y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului dat:

1. a = 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. se va intersecta cu axa y la valoarea y = -1;
4. să găsim discriminantul: D = 4 + 12 = 16. Deci rădăcinile sunt:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Folosind punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focalizarea lui F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă a unei parabole de o anumită lungime). Ecuația sa: x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Ne-am uitat la un subiect pe care elevii îl studiază în liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există o deplasare de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.

Nivelul III

3.1. Hiperbola atinge liniile 5 X – 6y – 16 = 0, 13X – 10y– – 48 = 0. Notați ecuația hiperbolei cu condiția ca axele acesteia să coincidă cu axele de coordonate.

3.2. Scrieți ecuații pentru tangente la o hiperbolă

1) trecerea printr-un punct A(4, 1), B(5, 2) și C(5, 6);

2) paralel cu dreapta 10 X – 3y + 9 = 0;

3) perpendicular pe dreapta 10 X – 3y + 9 = 0.

Parabolă este locul geometric al punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația

Parametrii parabolei:

Punct F(p/2, 0) se numește se concentreze parabole, magnitudine p – parametru , punct DESPRE(0, 0) – top . În acest caz, linia dreaptă DE, despre care parabola este simetrică, definește axa acestei curbe.

Magnitudinea Unde M(X, y) – un punct arbitrar al unei parabole, numit raza focală , Drept D: X = –p/2 – directoare (nu intersectează regiunea interioară a parabolei). Magnitudinea se numește excentricitatea parabolei.

Principala proprietate caracteristică a unei parabole: toate punctele parabolei sunt echidistante de directrice și focus (Fig. 24).

Există și alte forme ale ecuației parabolei canonice care determină alte direcții ale ramurilor sale în sistemul de coordonate (Fig. 25):

Pentru definirea parametrică a unei parabole ca parametru t valoarea ordonată a punctului parabolă poate fi luată:

Unde t este un număr real arbitrar.

Exemplul 1. Determinați parametrii și forma unei parabole folosind ecuația ei canonică:

Soluţie. 1. Ecuația y 2 = –8X definește o parabolă cu vârf în punct DESPRE Oh. Ramurile sale sunt îndreptate spre stânga. Comparând această ecuație cu ecuația y 2 = –2px, găsim: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Prin urmare, focalizarea este în punct F(–2; 0), ecuația directricei D: X= 2 (Fig. 26).

2. Ecuația X 2 = –4y definește o parabolă cu vârf în punct O(0; 0), simetric față de axă Oi. Ramurile sale sunt îndreptate în jos. Comparând această ecuație cu ecuația X 2 = –2py, găsim: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Prin urmare, focalizarea este în punct F(0; –1), ecuația directricei D: y= 1 (Fig. 27).

Exemplul 2. Determinați parametrii și tipul curbei X 2 + 8X – 16y– 32 = 0. Faceți un desen.

Soluţie. Să transformăm partea stângă a ecuației folosind metoda de extracție completă a pătratului:

X 2 + 8X– 16y – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(y + 3).

Ca rezultat obținem

(X + 4) 2 = 16(y + 3).

Aceasta este ecuația canonică a unei parabole cu vârful în punctul (–4, –3), parametrul p= 8, ramuri îndreptate în sus (), axa X= –4. Concentrarea este pe punct F(–4; –3 + p/2), adică F(–4; 1) Directoare D dat de ecuaţie y = –3 – p/2 sau y= –7 (Fig. 28).

Exemplul 4. Scrieți o ecuație pentru o parabolă cu vârful ei în punct V(3; –2) și focalizați la punct F(1; –2).

Soluţie. Vârful și focarul unei parabole date se află pe o linie dreaptă paralelă cu axa Bou(aceleași ordonate), ramurile parabolei sunt îndreptate spre stânga (abscisa focarului este mai mică decât abscisa vârfului), distanța de la focar la vârf este p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Prin urmare, ecuația necesară

(y+ 2) 2 = –2 4( X– 3) sau ( y + 2) 2 = = –8(X – 3).

Sarcini pentru soluție independentă

nivelez

1.1. Determinați parametrii parabolei și construiți-o:

1) y 2 = 2X; 2) y 2 = –3X;

3) X 2 = 6y; 4) X 2 = –y.

1.2. Scrieți ecuația unei parabole cu vârful său la origine dacă știți că:

1) parabola este situată în semiplanul stâng simetric față de axă BouȘi p = 4;

2) parabola este situată simetric față de axă Oiși trece prin punct M(4; –2).

3) directriza este dată de ecuația 3 y + 4 = 0.

1.3. Scrieți o ecuație pentru o curbă a cărei toate punctele sunt echidistante de punctul (2; 0) și de linia dreaptă X = –2.

Nivelul II

2.1. Determinați tipul și parametrii curbei.