1 0 Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
2 0 Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.
3 0 Модуль градиента равен наибольшей производной по направлениювданной точке поля:
Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке.
Замечание 2.1. Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор
лежит в плоскости oxy.
Пусть U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) дифференцируемых в точке М 0 (x,y,z) функции. Тогда имеет место следующие равенства:
а) grad()= ; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;
в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) grad = , V ;
д) gradU( = gradU, где , U=U() имеет производную по .
Пример 2.1. Дана функция U=x 2 +y 2 +z 2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4).
Решение. Согласно формуле (2.2) имеем
Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x 2 +y 2 +z 2 , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей.
Пример 2.2. Найти градиент скалярного поля U=x-2y+3z.
Решение. Согласно формуле (2.2) имеем
Поверхностями уровня данного скалярного поля являются плоскости
x-2y+3z=С; вектор gradU=(1;-2;3) есть нормальный вектор плоскостей этого семейства.
Пример 2.3. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности U=x y в точке М(2;2;4).
Решение. Имеем:
Пример 2.4. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .
Решение. Поверхности уровня данного скалярного Поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).
Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, так что
Определяет вектор нормали к поверхности уровня в точке М(x,y,z). Для единичного вектора нормали получаем выражение
Пример 2.5. Найти градиент поля U= , где и постоянные векторы, r –радиус вектор точки.
Решение. Пусть
Тогда: . По правилу дифференцирования определителя получаем
Следовательно,
Пример 2.6. Найти градиент расстояния , где P(x,y,z) - изучаемая точка поля, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - некоторая фиксированная точка.
Решение. Имеем - единичный вектор направления .
Пример 2.7. Найти угол между градиентами функций в точке М 0 (1,1).
Решение. Находим градиенты данных функций в точке М 0 (1,1), имеем
; Угол между gradU и gradV в точке М 0 определяется из равенства
Отсюда =0.
Пример 2.8. Найти производную по направлению, радиус- вектор равен
Решение. Находим градиент этой функции:
Подставляя (2.5) в (2.4), получим
Пример 2.9. Найти в точке М 0 (1;1;1) направление наибольшего изменения скалярного поля U=xy+yz+xz и величину этого наибольшего изменения в этой точке.
Решение. Направление наибольшего изменения поля указывается вектором grad U(M). Находим его:
И, значит, . Это вектор определяет направление наибольшего возрастания данного поля в точке М 0 (1;1;1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна
Пример 3.1. Найти векторные линии векторного поля где -постоянный вектор.
Решение. Имеем так что
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, второй-на у, третий- на z и сложим почленно. Используя свойство пропорций, получим
Отсюда xdx+ydy+zdz=0, а значит
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Умножив теперь числитель и знаменатель первой дроби (3.3) на с 1 , второй –на с 2 , третий на с 3 и сложив почленно, получим
Откуда с 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
И, следовательно, с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.
Искомые уравнения векторных линий
Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пересечения сфер, имеющих общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору . Отсюда следует, что векторные линии являются окружностями, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с. Плоскости окружностей перпендикулярны указанной прямой.
Пример 3.2. Найти векторную линию поля проходящую через точку (1,0,0).
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий
Отсюда имеем . Решая первое уравнение . Или если ввести параметр t, то будем иметь В этом случае уравнение принимает вид или dz=bdt, откуда z=bt+c 2 .
Лекция 15. «Дифференцирование функции нескольких переменных»
Градиент функции двух переменных и производная по направлению.
Определение . Градиентом функции
называется вектор
.
Как видно из определения градиента функции, компонентами вектора градиента являются частные производные функции.
Пример. Вычислить градиент функции
в точке A(2,3).
Решение. Вычислим частные производные функции.
В общем виде градиент функции имеет вид:
=
Подставим координаты точки A(2,3) в выражения частных производных
В градиент функции в точке A(2,3) имеет вид:
Аналогично можно определить понятие градиента функции трех переменных:
Определение . Градиентом функции от трех переменных
называется вектор
Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:
Определение производной по направлению.
Пусть задана функция двух переменных
и произвольный вектор
Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного вектора
Т.е. вектор коллинеарный по отношению к вектору . Длина приращения аргумента
Производной по некоторому направлению называется предел отношения приращения функции вдоль данного направления на длину приращения аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.
Формула для вычисления производной по направлению .
Исходя из определения градиента, производную функции по направлению, можно посчитать следующим образом.
некоторый вектор. Вектор с тем же направлением, но единичной длины назовем
Координаты этого вектора вычисляются следующим образом:
Из определения производной по направлению , производная по направлению может быть вычислена по следующей формуле:
Правая часть этой формулы представляет собой скалярное произведение двух векторов
Поэтому, производную по направлению можно представить в виде следующей формулы:
Из этой формулы следует несколько важных свойств вектора градиента.
Первое свойство градиента следует из того очевидного факта, что скалярное произведение двух векторов принимает наибольшее значение, когда вектора совпадают по направлению. Второе свойство следует из того, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Кроме того, из первого свойства следует геометрический смысл градиента – градиент это вектор, вдоль направления, которого производная по направлению наибольшая. Так как производная по направлению определяет тангенс угла наклона касательной к поверхности функции, то градиент направлен вдоль наибольшего наклона касательной.
Пример 2. Для функции (из примера 1)
Вычислить производную по направлению
в точке A(2,3).
Решение. Для вычисления производной по направлению надо вычислить вектор градиента в указанной точке и единичный вектор направления (т.е. нормализовать вектор ).
Вектор градиента был вычислен в примере 1:
Вычисляем единичный вектор направления:
Вычисляем производную по направлению:
#2. Максимум и минимум функции нескольких переменных.
Определение. Функция
Имеет максимум в точке (т. е. при и ), если
Определение. Совершенно аналогично говорят, что функция
Имеет минимум в точке (т. е. при и ), если
для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от нее.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.
Например, функция
Имеет очевидный минимум z = -1 при x = 1 и y = 2.
Имеет максимум в точке при x = 0 и y = 0.
Теорема. (необходимые условия экстремума).
Если функция достигает экстремума при , , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.
Замечание. Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции. Можно привести примеры функций, которые в некоторых точках имеет нулевые частные производные, но не имеет экстремума в этих точка.
Пример. Функции, которая имеет нулевые частные производные, но не имеет экстремума.
В самом деле:
Достаточные условия экстремума.
Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.
Тогда при ,
Пример 3.2. Исследовать на максимум и на минимум функцию
Найдем критические точки, т.е. точки, в которых первые частные производные равны нулю или не существуют.
Сначала вычисляем сами частные производные.
Приравниваем частные производные нулю и решаем следующую систему линейных уравнений
Умножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым. Получится уравнение только от y.
Находим и подставляем в первое уравнение
Преобразуем
Следовательно, точка () является критической.
Вычислим вторые производные второго порядка и подставим в них координаты критической точки.
В нашем случае, подставлять значения критических точек не надо, так как вторые производные являются числами.
В итоге имеем:
Следовательно, найденная критическая точка, является точкой экстремума. Более того, так как
то эта точка минимума.
Градиент функции – векторная величина, нахождение которой связано с определением частных производных функции. Направление градиента указывает путь наискорейшего роста функции от одной точки скалярного поля к иной.
Инструкция
1. Для решения задачи на градиент функции применяются способы дифференциального исчисления, а именно нахождение частных производных первого порядка по трем переменным. При этом предполагается, что сама функция и все ее частные производные владеют свойством непрерывности в области определения функции.
2. Градиент – это вектор, направление которого указывает направление максимально стремительного возрастания функции F. Для этого на графике выбираются две точки M0 и M1, которые являются концами вектора. Величина градиента равна скорости возрастания функции от точки M0 к точке M1.
3. Функция дифференцируема во всех точках этого вектора, следственно, проекциями вектора на координатных осях являются все ее частные производные. Тогда формула градиента выглядит дальнейшим образом:grad = (?F/?х) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, где i, j, k – координаты единичного вектора. Иными словами, градиент функции – это вектор, координатами которого являются ее частные производные grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Пример1.Пускай задана функция F = sin(х z?)/y. Требуется обнаружить ее грaдиент в точке (?/6, 1/4, 1).
5. Решение.Определите частные производные по всякой переменной: F’_х = 1/y соs(х z?) z?;F’_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?);F’_z = 1/y соs(х z?) 2 х z.
6. Подставьте знаменитые значения координат точки:F’_x = 4 соs(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 соs(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. Примените формулу градиента функции:grаd F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Пример2.Обнаружьте координаты градиента функции F = y arсtg (z/x) в точке (1, 2, 1).
9. Решение.F’_х = 0 аrсtg (z/х) + y (аrсtg(z/х))’_х = y 1/(1 + (z/х)?) (-z/х?) = -y z/(х? (1 + (z/х)?)) = -1;F’_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F’_z = 0 аrсtg(z/х) + y (аrсtg(z/х))’_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grаd = (-1, ?/4, 1).
Градиент скалярного поля является векторной величиной. Таким образом, для его нахождения требуется определить все компоненты соответствующего вектора, исходя из познаний о разделении скалярного поля.
Инструкция
1. Прочитайте в учебнике по высшей математике, что собой представляет градиент скалярного поля. Как вестимо, данная векторная величина имеет направление, характеризующееся максимальной скоростью спада скалярной функции. Такой толк данной векторной величины обосновывается выражением для определения ее компонент.
2. Помните, что всякий вектор определяется величинами его компонент. Компоненты вектора являются реально проекциями этого вектора на ту либо другую координатную ось. Таким образом, если рассматривается трехмерное пространство, то у вектора должно быть три компоненты.
3. Запишите, как определяются компоненты вектора, являющегося градиентом некоторого поля. Вся из координат такого вектора равна производной скалярного потенциала по переменной, координата которой рассчитывается. То есть, если нужно вычислить «иксовую» компоненту вектора градиента поля, то надобно продифференцировать скалярную функцию по переменной «икс». Обратите внимание, что производная должна быть частная. Это обозначает, что при дифференцировании остальные переменные, не участвующие в нем, надобно считать константами.
4. Напишите выражение для скалярного поля. Как знаменито, данный термин подразумевает собой каждого лишь скалярную функцию нескольких переменных, являющихся также скалярными величинами. Число переменных скалярной функции ограничено размерностью пространства.
5. Продифференцируйте отдельно скалярную функцию по всякой переменной. В результате у вас получится три новые функции. Впишите всякую функцию в выражение для вектора градиента скалярного поля. Всякая из полученных функций реально является показателем при единичном векторе данной координаты. Таким образом, финальный вектор градиента должен выглядеть как многочлен с показателями в виде производных функции.
При рассмотрении вопросов, включающих представление градиента, почаще каждого функции воспринимают как скалярные поля. Следственно нужно ввести соответствующие обозначения.
Вам понадобится
- – буман;
- – ручка.
Инструкция
1. Пускай функция задается тремя доводами u=f(x, y, z). Частную производную функции, на пример по х, определяют как производную по этому доводу, полученную при фиксировании остальных доводов. Для остальных доводов подобно. Обозначения частной производной записывается в виде: дf/дх = u’x …
2. Полный дифференциал будет равен du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz.Частные производные дозволено понимать, как производные по направлениям координатных осей. Следственно появляется вопрос о нахождении производной по направлению заданного вектора s в точке M(x, y, z) (не забывайте, что направление s задает единичный вектор-орт s^o). При этом вектор-дифференциал доводов {dx, dy, dz}={дscos(альфа), дsсоs(бета), дsсоs(гамма)}.
3. Рассматривая вид полного дифференциала du, дозволено сделать итог, что производная по направле-нию s в точке М равна:(дu/дs)|M=((дf/дх)|M)соs(альфа)+ ((дf/дy)|M) соs(бета) +((дf/дz)|M) соs(гамма).Если s= s(sx,sy,sz), то направляющие косинусы {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)} вычисляются (см. рис.1а).
4. Определение производной по направлению, считая точку М переменной, дозволено переписать в виде скалярного произведения: (дu/дs)=({дf/дх, дf/дy,дf/дz}, {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)})=(grad u, s^o). Данное выражение будет объективно для скалярного поля. Если рассматривается легко функ-ция, то gradf – это вектор, имеющий координаты, совпадающие с частными производными f(x, y, z).gradf(x,y,z)={{дf/дх, дf/дy, дf/дz}=)=(дf/дх)i+(дf/дy)j +(дf/дz)k. Тут (i, j, k) – орты координатных осей в прямоугольной декартовой системе координат.
5. Если применять дифференциальный вектор-оператор Гамильтона набла, то gradf дозволено записать, как умножение этого вектора-оператора на скаляр f (см. рис. 1б). С точки зрения связи gradf c производной по направлению, равенство (gradf, s^o)=0 допустимо, если эти векторы ортогональны. Следственно gradf зачастую определяют, как направление быстрейшего метаморфозы скалярного поля. А с точки зрения дифференциальных операций (gradf – одна из них), свойства gradf в точности повторяют свойства дифференцирования функций. В частности, если f=uv, то gradf=(vgradu+u gradv).
Видео по теме
Градиент это инструмент, в графических редакторах исполняющий заливку силуэта плавным переходом одного цвета в иной. Градиент может придать силуэту результат объема, имитировать освещение, блики света на поверхности предмета либо результат заката на заднем плане фотографии. Данный инструмент имеет широкое использование, следственно для обработки фотографий либо создания иллюстраций дюже значимо обучится им пользоваться.
Вам понадобится
- Компьютер, графический редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net либо иной.
Инструкция
1. Откройте в программе изображение либо сделайте новое. Сделайте силуэт либо выделите надобную область на изображении.
2. Включите инструмент градиент на панели инструментов графического редактора. Разместите курсор мышки на точку внутри выделенной области либо силуэта, в которой будет начинаться 1-й цвет градиента. Нажмите и удерживайте левую клавишу мышки. Перемещайте курсор в точку, в которой градиент должен перейти в конечный цвет. Отпустите левую клавишу мышки. Выделенный силуэт заполнит заливка градиентом.
3. Градиент у дозволено задать прозрачность, цвета и их соотношение в определенной точке заливки. Для этого откройте окно редактирования градиента. Дабы открыть окно редактирования в Photoshop – кликните по примеру градиента в панели «Параметры».
4. В открывшемся окне в виде примеров отображаются доступные варианты градиентной заливки. Дабы отредактировать один из вариантов выберите его кликом мышки.
5. В нижней части окна отображается пример градиента в виде широкой шкалы, на которой расположены ползунки. Ползунки обозначают точки, в которых градиент должен иметь заданные колляции, а в интервале между ползунками цвет равномерно переходит из заданного в первой точке к цвету 2-й точки.
6. Ползунки, которые расположены в верхней части шкалы задают прозрачность градиента. Дабы изменить прозрачность кликните по необходимому ползунку. Под шкалой появится поле, в которое введите необходимую степень прозрачности в процентах.
7. Ползунки в нижней части шкалы задают цвета градиента. Кликнув по одному из них, вы сумеете предпочесть надобный цвет.
8. Градиент может иметь несколько цветов перехода. Дабы задать еще один цвет – кликните по свободному месту на нижней части шкалы. На ней появится еще один ползунок. Задайте для него необходимый цвет. Шкала отобразит пример градиента с еще одной точкой. Вы можете передвигать ползунки, удерживая их с поддержкой левой клавиши мышки, дабы добиться необходимого сочетания.
9. Градиент ы бывают нескольких типов, которые могут придать форму плоским силуэтам. Скажем, дабы придать окружности форму шара применяется радиальный градиент, а дабы придать форму конуса – конусовидный. Дабы придать поверхности иллюзию выпуклости дозволено воспользоваться зеркальным градиентом, а ромбовидный градиент может применяться для создания бликов.
Видео по теме
Видео по теме
Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, обозначается.
Если рассмотреть единичный вектор e=(), то согласно формуле (3) производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление. Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимального роста функции в этой точке.
Теорема. Если функция дифференцируема и в точке М 0 величина градиента отлична от нуля, то градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку и направлен в сторону возрастания функции при этом
ВЫВОД: 1) Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению.
- 2) Значение производной функции по направлению, которое определяет градиент этой функции в данной точке, равно.
- 3) Зная градиент функции в каждой точке, можно с некоторой погрешностью строить линии уровня. Начнем с точки М 0 . Построим градиент в этой точке. Зададим направление, перпендикулярное градиенту. Построим малую часть линии уровня. Рассмотрим близкую точку М 1 , построим градиент в ней и так далее.
Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала.
Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будет n координат).
Градиентом grad z функции z = f(х 1 , х 2 , …х n) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами .
Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке.
Например, для функции z = 2х 1 + х 2 (см. рисунок 5.8) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. (см. рисунок 5.8). Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Из рисунка 5.8 хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2.
Рисунок 5.8 - Градиент функции z = 2х 1 + х 2
Рассмотрим другой пример – функцию z = 1/(х 1 х 2). Градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках, поскольку его координаты определяются формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).
На рисунке 5.9 представлены линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2) для уровней 2 и 10 (прямая 1/(х 1 х 2) = 2 обозначена пунктиром, а прямая
1/(х 1 х 2) = 10 – сплошной линией).
Рисунок 5.9 - Градиенты функции z = 1/(х 1 х 2) в различных точках
Возьмем, например, точку (0,5; 1) и вычислим градиент в этой точке: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; -2). Заметим, что точка (0,5; 1) лежит на линии уровня 1/(х 1 х 2) = 2, ибо z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Чтобы изобразить вектор (-4; -2) на рисунке 5.9, соединим точку (0,5; 1) с точкой (-3,5; -1), ибо
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Возьмем другую точку на той же самой линии уровня, например, точку (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Вычислим градиент в этой точке
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Чтобы изобразить его на рисунке 5.9, соединим точку (1; 0,5) с точкой (-1; -3,5), ибо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).
Возьмем еще одну точку на той же самой линии уровня, но только теперь в неположительной координатной четверти. Например, точку (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиент в этой точке будет равен
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Изобразим его на рисунке 5.9, соединив точку (-0,5; -1) с точкой (3,5; 1), ибо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).
