Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах Общее обозначение предела последовательностей

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

Общий элемент последовательности является функцией от n.

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции :

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т. е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: https://pandia.ru/text/78/342/images/image002_181.gif" width="59" height="27 src=">

т. е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. ограниченной сверху

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_113.gif" width="67" height="44 src=">.

Пусть при n > N верно https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_83.gif" width="41" height="41">. Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что https://pandia.ru/text/78/342/images/image011_52.gif" width="76" height="85 src=">

Запишем выражение:

А т. к. e - любое число, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image014_41.gif" width="61" height="27">.

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_33.gif" width="83" height="29"> , т. е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a , то последовательность { xn } ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}=https://pandia.ru/text/78/342/images/image021_30.gif" width="127" height="41 src=">

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= https://pandia.ru/text/78/342/images/image023_24.gif" width="143" height="44 src=">, т. к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

Найдем . Найдем разность

Т. к. nÎN, то 1 – 4n <0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т. к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т. к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

Отсюда a - e < xn < a + e

E < xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

https://pandia.ru/text/78/342/images/image031_19.gif" width="633" height="93 src="> Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image033_17.gif" width="76" height="56">- монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т. е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image035_15.gif" width="83" height="49"> следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image037_13.gif" width="99" height="41 src=">

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image041_12.gif" width="152" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image043_11.gif" width="484" height="49">

Число е является основанием натурального логарифма.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image045_9.gif" width="202" height="188 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_9.gif" width="253 height=41" height="41">, где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

Предел функции в точке.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т. е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image051_7.gif" width="101" height="29 src="> называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .

у

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

https://pandia.ru/text/78/342/images/image054_9.gif" width="89" height="29 src=">

Графически можно представить:

y y

Аналогично можно определить пределы https://pandia.ru/text/78/342/images/image065_7.gif" width="92" height="29"> для любого х

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие. https://pandia.ru/text/78/342/images/image070_5.gif" width="135" height="57"> при

Теорема 5. Если f (x )>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g (x ) £ f (x ) £ u (x ) вблизи точки х = а и https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_5.gif" width="53" height="29 src=">.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï

Теорема 7. Если функция f (x ) имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т. е. , тогда

https://pandia.ru/text/78/342/images/image076_5.gif" width="96" height="27 src=">, т. е.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image078_6.gif" width="84" height="29">.

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т. к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f (x ) при х ® а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f (x ) = A + a (x ),

где a (х) – бесконечно малая при х ® а (a (х) ® 0 при х ® а).

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

https://pandia.ru/text/78/342/images/image080_5.gif" width="185" height="29">, тогда

https://pandia.ru/text/78/342/images/image083_5.gif" width="369" height="29 src=">

Теорема доказана.

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми.

Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а - число, равен бесконечности , если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается https://pandia.ru/text/78/342/images/image085_4.gif" width="100" height="29 src=">

а если заменить на f(x)

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если https://pandia.ru/text/78/342/images/image088_5.gif" width="100" height="44 src=">

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т. е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка , чем функция b.

Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка .

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми . Записывают a ~ b.

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image093_5.gif" width="51" height="45 src="> конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой..gif" width="127" height="21">.gif" width="132" height="41">.gif" width="79" height="45 src=">

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и или .

Следствие: а) если a ~ a1 и https://pandia.ru/text/78/342/images/image105_5.gif" width="101" height="45 src=">

б) если b ~ b1 и https://pandia.ru/text/78/342/images/image106_5.gif" width="101" height="45 src=">

Свойство 4 особенно важно на практике, т. к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image109_5.gif" width="83" height="44 src=">.

Так как 1 – cosx = при х®0, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image112_5.gif" width="159" height="41">

Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a..gif" width="256" height="44 src=">.

Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image117_5.gif" width="173" height="83 src=">

Введение………………………………………………………………………………3

1.Теоретическая часть……………………………………………………………….4

Основные понятия и термины…………………………………………………....4

1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6

1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6

1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6

1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7

1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9

1.2Предел последовательности………………………………………………….11

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15

1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17

1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17

1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19

1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19

1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21

1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22

1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23

2. Собственные исследования…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список использованной литературы…………………………………………....31

Введение.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний.

Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности.

1. Рассмотреть последовательность;

2. Рассмотреть ее свойства;

3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;

4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.

5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.

1. Теоретическая часть.

Основные понятия и термины.

Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a, и пишут

.

Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Виды последовательностей.

1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;

Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;

Например:

1.1.2 Монотонность последовательностей.

Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn

Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле.

Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными.

Последовательность всех этих типов носят общее название- монотонные.

1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности.

Бесконечно малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)=0.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)=0 либо ℓimx→-∞ f(x)=0

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Бесконечно большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

ℓimn→0 an=∞.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.

Если {xn} - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

Если {an} - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства.

Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a - ε < x n < a + ε которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ "

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1| < ε

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.