Вычисление дисперсии случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Высшие моменты суммы случайных величин

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Подойдём к понятию математического ожидания. Пусть масса некоторого вещества распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , ..., x n . При этом каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу с вероятностью из p 1 , p 2 , ..., p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X , в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Число	Прибыль x i	Вероятность p i	x i p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Всего:		1,00	25000

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .

Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли .

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Значение X	Вероятность
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятность
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y , законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y , как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е (х )=Е (y )=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, P =1	1000, P =0,5	500, P =0,5	500, P =0,5
	0, P =0,5	1000, P =0,25	10500, P =0,25
		0, P =0,25	9500, P =0,25

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.

Свойства дисперсии

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

где .

Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E (X ) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.

Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:

E (X ) = x 1 p + x 2 (1 − p ) = −3p + 7(1 − p ) = 4 ,

откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .

Закон распределения случайной величины:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:

D (X ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D (X ) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.

Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей . Закон распределения случайной величины:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:

M (X ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсия данной случайной величины:

D (X ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f (x ). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.

Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы . Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или .

Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений , принимаемых случайной величиной ξ , вокруг её математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.

D ξ = M(ξ-M ξ) 2 . (1)

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.

называется средним квадратичным отклонением

величины ξ .

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ , то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.

Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».

Действительно, если

ξ = С, то Mξ = C и, значит Dξ = M(C-C ) 2 = M 0 = 0.

2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C 2

D(Cξ ) = C 2 Dξ . (3)

Действительно

D(Cξ) = M(C

= M(C .

3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:

Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания.

Мы имеем:

4. Если величины ξ 1 и ξ 2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

Доказательство . Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ 1 = m 1 , Mξ 2 = m 2 , тогда.

Формула (5) доказана.

Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ -m ) 2 , где m = Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.

Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения

x 1	x 2	...
p 1	p 2	...

то будем иметь:

Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x) , тогда получим:

Dξ = . (8)

Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:

если величина ξ дискретна, и

Dξ = , (10)

если ξ распределена с плотностью p (x ).

Пример 1 . Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b ]. Воспользовавшись формулой (10) получим:

Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью

p(x) = , (11)

равна σ 2 .

Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ .

Пример 2 . Найти дисперсию случайной величины ξ , распределенной по биномиальному закону.

Решение . Воспользовавшись представлением ξ в виде

ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξ n (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим

Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 + Dξ n .

Дисперсия любой из величин ξ i (i = 1,2, n ) подсчитывается непосредственно:

Dξ i = M(ξ i ) 2 - (Mξ i ) 2 = 0 2 · q + 1 2 p - p 2 = p (1-p ) = pq .

Окончательно получаем

Dξ = npq , где q = 1 - p .

variance ) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение σ X 2 {\displaystyle \sigma _{X}^{2}} или σ 2 {\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}} .

Квадратный корень из дисперсии, равный σ {\displaystyle \displaystyle \sigma } , называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием , станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах , что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Замечания

где - i {\displaystyle i} -ое значение случайной величины, p i {\displaystyle p_{i}} - вероятность того, что случайная величина принимает значение x i {\displaystyle x_{i}} , n {\displaystyle n} - количество значений случайной величины.

где f (x) {\displaystyle f(x)} - плотность вероятности случайной величины.

В силу линейности математического ожидания, справедлива формула: D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 {\displaystyle D[X]=M-\left(M[X]\right)^{2}}
Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
Дисперсия может быть бесконечной.
Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U (t) {\displaystyle U(t)} : D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = U ″ (0) − (U ′ (0)) 2 {\displaystyle D[X]=M-\left(M[X]\right)^{2}=U""(0)-\left(U"(0)\right)^{2}}
Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности .
Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance ) случайной величины X {\displaystyle X} по последовательности X 1 . . . X n {\displaystyle X_{1}...X_{n}} - реализаций этой случайной величины: S ¯ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ¯ 2) n {\displaystyle {\bar {S}}^{2}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)}{n}}^{2}}{n}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}}{n}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-{\bar {X}}^{2}\right)}{n}}} где X ¯ = ∑ i = 1 n X i n {\displaystyle {\bar {X}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}} - несмещённая оценка M [ X ] {\displaystyle M[X]} . Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance ) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на n n − 1 {\displaystyle {\frac {n}{n-1}}} . Несмещённая оценка обозначается S ~ 2 {\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}} : S ~ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n − 1 = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n − 1 = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ¯ 2) n − 1 {\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)}{n}}^{2}}{n-1}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}}{n-1}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-{\bar {X}}^{2}\right)}{n-1}}}

Свойства

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D [ X ] ⩾ 0 ; {\displaystyle D[X]\geqslant 0;}
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D [ a ] = 0. {\displaystyle D[a]=0.} Верно и обратное: если D [ X ] = 0 , {\displaystyle D[X]=0,} то X = M [ X ] {\displaystyle X=M[X]} почти всюду ;
Дисперсия суммы двух случайных величин равна: D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov (X , Y) {\displaystyle D=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)} , где cov (X , Y) {\displaystyle {\text{cov}}(X,Y)} - их ковариация ;
Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство: D [ ∑ i = 1 n c i X i ] = ∑ i = 1 n c i 2 D [ X i ] + 2 ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n c i c j cov (X i , X j) {\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D+2\sum _{1\leqslant i, где c i ∈ R {\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} } ;
В частности, D [ X 1 + . . . + X n ] = D [ X 1 ] + . . . + D [ X n ] {\displaystyle D=D+...+D} для любых задана равенством f X (x) = { 1 , x ∈ [ 0 , 1 ] 0 , x ∉ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in \\0,&x\not \in .\end{matrix}}\right.}
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины
M [ X 2 ] = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 , {\displaystyle M\left=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},}
и математическое ожидание случайной величины
M [ X ] = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 | 0 1 = 1 2 . {\displaystyle M\left=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}
Тогда дисперсия случайной величины
D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = 1 3 − (1 2) 2 = 1 12 . {\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пример . Для рассмотренного выше примера находим.

Математическое ожидание случайной величины равно:

Возможные значения квадрата отклонения:

; ;

Дисперсия равна:

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ.

Вычисление дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания :

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание и квадрат математического ожидания – величины постоянные, можно записать:

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:

X
X 2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и вероятность непоявления события в каждом испытании :

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что

Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то

Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

По формуле дисперсии биноминального закона получаем:

;

Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно ; ; . Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор:

2) Отказал один из приборов.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу

так как М(Х) , 2 и
– постоянные величины. Таким образом,

4.2.2. Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.

Доказательство

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:

Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то

Доказательство . Обозначим
. Тогдаи.

Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин

Пример 4.5. Еслиa иb – постоянные, тоD(a Х+ b )= D (a Х)+ D (b )=
.

4.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ , то дисперсия имеет размерность
. Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса –средним квадратическим отклонением , которое равно корню квадратному из дисперсии

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний

Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимостиимеем

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)

и
(пример 4.4). Поэтому, по определению дисперсии:

где q =1- p .

В итоге имеем
,

Среднее квадратическое отклонение числа появлений события в n независимых опытах равно
.

4.3. Моменты случайных величин

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k Х (
) называется математическое ожиданиеk -й степени этой случайной величины.

Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

4.4. Примеры нахождения законов распределения

Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

Пример 4.7.

Составить закон распределения числа попаданий в цель при трех выстрелах по мишени, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную функцию F (х) для полученного распределения дискретной случайной величиныХ и начертить ее график. Найти математическое ожиданиеM (X ) , дисперсиюD (X ) и среднее квадратическое отклонение
(Х ) случайной величиныX .

Решение

1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:

Получим вероятности возможных значений Х :;

Составим искомый закон распределения случайной величины Х :

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).

2) Если х0, то F (х) =0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х 0 , пользуясь определениемF (х) , получим F (х) =P (X < x ) =0 (как вероятность невозможного события).

Если 0, тоF (X ) =0,216. Действительно, в этом случаеF (х) =P (X < x ) = =P (- < X0)+ P (0< X < x ) =0,216+0=0,216.

Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X <0,2) . Но вероятность событияХ <0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХ лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.

Если 1, то

Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.

Если 2, то рассуждая аналогично, получимF (х) =0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х =3. ТогдаF (3)=P (X <3) выражает вероятность событияX <3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF (х) .

Если x >3, тоF (х) =0,216+0,432+0,288+0,064=1. Действительно, событиеX
является достоверным и вероятность его равна единице, аX >3 – невозможным. Учитывая, что

F (х) =P (X < x ) =P (X3) + P (3< X < x ) , получим указанный результат.

Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:

F (x ) =

график которой изображен на рис. 4.2.

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:

М(Х) =0=1,2.

То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.

Дисперсию можно вычислить, исходя из определения дисперсии D (X )= M (X - M (X )) или воспользоваться формулойD (X )= M (X
, которая ведет к цели быстрее.

Напишем закон распределения случайной величины Х:

Найдем математическое ожидание для Х :

М(Х) = 04
= 2,16.

Вычислим искомую дисперсию:

D (X ) = M (X) – (M (X )) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

(X ) =
= 0,848.

Интервал (M - ; M + ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал наиболее вероятных значений случайной величиныХ , в него попадают значения 1 и 2.

Пример 4.8.

Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :

f (x ) =

1) Определить постоянный параметр a .

2) Найти интегральную функцию F (x ) .

3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .

4) Найти двумя способами вероятности Р(0,5< X1,5) иP (1,5< X <3,5) .

5). Найти математическое ожидание М(Х) , дисперсиюD (Х) и среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ .

Решение

1) Дифференциальная функция по свойству f (x ) должна удовлетворять условию
.

Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :

Подставляя этот результат в левую часть равенства, получим, что а =1. В условии дляf (x ) заменим параметра на 1:

2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой

Если х
, то
, следовательно,

Если 1
то

Если x>2, то

Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:

3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).

4) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (а, b ) вычисляется по формуле
, если известнафункция f (x ), и по формуле P (a < X < b ) = F (b ) – F (a ), если известна функция F (x ).

Найдем
по двум формулам и сравним результаты. По условиюа=0,5; b =1,5; функцияf (X ) задана в пункте 1). Следовательно, искомая вероятность по формуле равна:

Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:

Так какF (0,5)=0.

Аналогично находим

так как F (3,5)=1.

5) Для нахождения математического ожидания М(Х) воспользуемся формулой
Функцияf (x ) задана в решении пункта 1), она равна нулю вне интервала (1,2]: