Вычислим моменты инерции фигуры произвольной формы относительно осей, повернутых относительно заданных осей и
на угол(Рис.4.14)

Пусть моменты инерции относительно осей
и
известны. Выберем произвольную площадку
и выразим ее координаты в системе осей
и
через координаты в прежних осях
и
:

Найдем осевые и центробежный моменты инерции фигуры относительно повернутых осей
и
:

Принимая во внимание, что

;
и
,

Таким же образом установим:

Центробежный момент инерции принимает вид:

. (4.30)

Выразим осевые моменты через синус и косинус двойного угла. Для этого введем следующие функции:

. (4.31)

Подставляя (4.31) в формулы (4.27) и (4.28), получим:

Если сложить выражения для осевых моментов инерции (4.32) и (4.33), то получим:

Условие (4.34) представляет условие инвариантности суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, т.е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от величины угла поворота осей и является величиной постоянной. Ранее это условие было получено на том основании, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равнялась величине полярного момента инерции относительно точки пересечения этих осей.

Исследуем уравнение для момента инерции на экстремум и найдем такое значение угла, при котором момент инерции достигнет экстремальной величины. Для этого возьмем первую производную от момента инерциипо углу(выражение (4.32)) и результат приравняем нулю. При этом положим
.

(4.35)

Выражение в скобках представляет собой центробежный момент инерции относительно осей, наклоненных к оси
под углом. Относительно этих осей центробежный момент инерции равен нулю:

, (4.36)

а это означает, что новые оси являются главными осями.

Ранее было определено, что главными осями инерции являются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Сейчас это определение можно расширить – это оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения . Моменты инерции относительно этих осей называютсяглавными моментами инерции .

Найдем положение главных осей инерции. Из выражения (4.36) можно получить:

. (4.37)

Полученная формула дает для угла два значения:и
.

Следовательно, существуют две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения. Как уже отмечалось выше, такие оси называются главными осями инерции. Остается установить, относительно какой из осей момент инерции достигает максимального значения, а относительно какой – минимального значения. Решить эту задачу можно путем исследования второй производной от выражения (4.32) по углу . Подставив в выражение для второй производной значение углаили
и исследуя знак второй производной, можно судить о том, какой из углов соответствует максимальному моменту инерции, какой – минимальному. Ниже будут приведены формулы, которые дадут однозначное значение угла.

Найдем экстремальные значения для моментов инерции. Для этого преобразуем выражение (4.32) , вынося за скобку
:

Используем известную из тригонометрии функцию и подставим в нее выражение (4.37), получим:

. (4.39)

Подставляя в формулу (4.38) выражение (4.39) и производя необходимые вычисления, получаем два выражения для экстремальных моментов инерции, которые не включают в себя угол наклона осей :

; (4.40)

. (4.41)

Из формул (4.40) и (4.41) видно, что величины главных моментов инерции определяются непосредственно через моменты инерции относительно осей
и
. Поэтому их можно определять, не зная положения самих главных осей.

Зная экстремальные значения моментов инерции
и
можно помимо формулы (4.37) определять положение главных осей инерции.

Приведем без вывода формулы, позволяющие находить углы имежду осью
и главными осями:

;
(4.42)

Угол определяет положение оси, относительно которой момент инерции достигает максимальной величины (
), уголопределяет положение оси, относительно которой момент инерции достигает минимальной величины (
).

Введем еще одну геометрическую характеристику, которая называется радиусом инерции сечения. Обозначается эта характеристика буквой и может быть вычислена относительно осей
и
следующим образом:

;
(4.43)

Радиус инерции находит широкое применение в задачах сопротивления материалов и его применение будет рассмотрено в следующих разделах курса.

Рассмотрим несколько примеров расчетов конструкций с учетом поворота осей и с использованием радиуса инерции сечения.

Пример 4.7. Моменты инерции сечения прямоугольной формы относительно главных осей равны соответственно
см 4 ,
см 4 . При повороте на 45 0 моменты инерции относительно новых осей оказались одинаковыми. Чему равна их величина?

Для решения задачи воспользуемся выражением (4.28) с учетом того, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю:

Подставим в формулу (а) численные значения для моментов инерции и угла поворота осей:

Пример 4.8. У которой из фигур (Рис.4.15), имеющих одинаковую площадь, радиус инерции относительно оси , будет наибольшим? Определить наибольший радиус инерции сечения относительно оси .

1. Найдем площадь каждой из фигур и размеры сечений. Площадь фигур равняется для третьей фигуры см 2 .

Диаметр первого сечения найдем из выражения:

см.

Размер стороны квадрата:

Основание треугольника:

см.

2. Находим моменты и радиусы инерции каждого из сечений относительно центральной оси .

Для сечения круглой формы:

см 4 ;
см.

Для сечения квадратной формы:

см 4 ;
см.

Для сечения прямоугольной формы:

;

Для сечения треугольной формы:

см 4 ;
см.

Наибольший радиус инерции оказался у сечения прямоугольной формы и равен он
см.

Положим, что для произвольного сечения (рис. 1.13) моменты инерции относительно координатных осей z и y известны, а также известен центробежный момент инерции Izy. Требуется установить зависимости для моментов инерции относительно осей 11 zy, повернутых на угол по отношению к исходным осям z и y (рис. 1.13). Будем считать угол положительным, если поворот координатной системы происходит против хода часовой стрелки. Пусть для данного сечения IzI. yДля решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами площадки dA в исходных и повернутых осях. Из рис.1.13 следует: Из треугольника из треугольника С учетом этого получаем Аналогично для координаты y1 получаем Учитывая, что окончательно имеем 1Воспользовавшись полученными зависимостями (1.23), (1.24) и выражениями для моментов инерции сечения (1.8), (1.9) и (1.11), определяем момент инерции относительно новых (повернутых) осей z1 и y1: Аналогично Центробежный момент инерции I относительно повернутых осей определится зависимостью После раскрытия скобок получим Складывая, получаем Сумма моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте и равна полярному моменту инерции сечения. Вычитая (1.27) из (1.26) получаем Формула (1.30) может служить для вычисления центробежного момента инерции относительно осей z и y , по известным моментам инерции относительно осей z , y и z1, y1, а формула (1.29) – для проверки вычислений моментов инерции сложных сечений. 1.8. Главные оси и главные моменты инерции сечения С изменением угла (см. рис. 1.13) меняются и моменты инерции. При некоторых значениях угла 0 моменты инерции имеют экстремальные значения. Осевые моменты инерции, имеющие максимальные и минимальные значения называются главными осевыми моментами инерции сечения. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют максимальные и минимальные значения, являются главными осями инерции. С другой стороны, как уже отмечалось выше, главные оси, это оси относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю. Для определения положения главных осей для сечений произвольной формы возьмём первую производную по от I и приравняем ее нулю: Откуда Эта формула определяет положения двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой – минимален. Необходимо заметить, что формула (1.31) может быть получена из (1.28), приравняв ее нулю. Если подставить значения угла, определяемого из выражения (1.31), в (1.26) и (1.27), то после преобразования получим формулы, определяющие главные осевые моменты инерции сечения По своей структуре эта формула аналогична формуле (4.12), определяющей главные напряжения (см. разд. 4.3). Если IzI, yто, исходя из исследований второй производной, вытекает, что максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси z, а минимальный момент инерции – относительно другой главной оси, расположенной под углом 0 Если II, yто все меняется наоборот. Значения главных моментов инерции Imax и I могут быть вычислены и по зависимостям (1.26) и (1.27), если подставить в них вместо значения. При этом сам собой решается вопрос: относительно какой главной оси получается максимальный момент инерции и относительно какой оси – минимальный? Необходимо обратить внимание, что если для сечения главные центральные моменты инерции относительно осей z и y равны, то у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний треугольник и др.). Это легко устанавливается из зависимостей (1.26), (1.27) и (1.28). Действительно, предположим, что для какого-то сечения оси z и y ─ главные центральные оси и кроме того I. yТогда из формул (1.26) и (1.27) получим, что Izy , 1а из формулы (1.28) убедимся, что 11 е. любые оси являются главными центральными осями инерции такой фигуры. 1.9. Понятие о радиусе инерции Момент инерции сечения относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции площади сечения где iz ─ радиус инерции относительно оси z . Тогда из (1.33) следует: Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции: 1.10. Моменты сопротивления Различают осевые и полярные моменты сопротивления. 1. Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения от этой оси. Осевой момент сопротивления относительно оси z: а относительно оси y: max где ymax и zmax─ соответственно расстояния от главных центральных осей z и y до точек наиболее удаленных от них. При расчетах используются главные центральные оси инерции и главные центральные моменты, поэтому под Iz и Iy в формулах (1.36) и (1.37) будем понимать главные центральные моменты инерции сечения. Рассмотрим вычисление моментов сопротивления некоторых простых сечений. 1. Прямоугольник (см. рис. 1.2): 2. Круг (см. рис. 1.8): 3. Трубчатое сечение кольцевое (рис. 1.14): . Для прокатных профилей моменты сопротивления приводятся в таблицах сортамента и в их определении нет необходимости (см. прил. 24 – 27). 2. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения max 30 В качестве полюса обычно принимается центр тяжести сечения. Например, для круглого сплошного сечения (рис. 1.14): Для трубчатого круглого сечения. Осевые моменты сопротивления Wz и Wy характеризуют чисто с геометрической стороны сопротивляемость стержня (балки) деформации изгиба, а полярный момент сопротивления W сопротивляемость кручению.

Рассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осейx и y (не обязательно центральных). Требуется определитьJ u , J v , J uv - моменты инерции относительно осейu , v , повернутых на угола. Так проекцияОАВС равна проекции замыкающей:

u = y sin а + x cos a (1)

v=y cos a – x sin a (2)

Исключим u,vв выражениях моментов инерции:

J u = ∫v 2 dF ; J v = ∫u 2 dF ; J uv = ∫uvdF . Подставив в выражения (1) и (2) получим:

J u =J x cos 2 a – J xy sin 2a + J y sin 2 a

J v =J x sin 2 a + J xy sin 2a + J y cos 2 a (3)

J uv =J xy cos2a + sin 2a(J x -J y )/2

J u + J v = J x + J y = ∫ F (y 2 + x 2 ) dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно перпенд. Осей не зависит от углаа. Заметим, чтоx 2 + y 2 = p 2 . p - расстояние от начала координат до элементарной площадки. Т.о.J x + J y = J p .(4)

J p =∫ F p 2 dF – полярный момент, не зависит от поворотах,у

2)Т. Кастелиано.

Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

Рассмотрим стержень, нагруженный произвольной системой сил и закрепленный как показано на рис.

Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна U. Силе F n дадим приращение d F n . Тогда потенциальная энергия U получит приращение
и примет видU+
.(5.4)

Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сначала к упругому телу силу dPn. В точке приложения этой силы возникнет соответственно малое перемещение, проекция кото­рого на направление силы dPn равна. dδ n . Тогда работа силы dPn оказывается равной dPn· dδ n /2. Теперь приложим всю си­стему внешних сил. При отсутствии силы dPn потенциальная энергия системы снова приняла бы значение U . Но теперь эта энергия изменится на величину дополнительной работы dPn ·δ n которую совершит сила dPn на перемещении δ n , вызванном всей системой внешних сил. Величина δ n опять представля­ет собой проекцию полного перемещения на направление силы Рn.

В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде

(5.5)

Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение dPn· dδ n /2 как величину высшего порядка мало­сти, находим

(5.6)

Билет 23

Кому-то не повезло

Билет 24

1) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений). Кручение бруса прямоугольного сечения, напряжения в поперечном сечении

При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются – депланация поперечного сечения.

Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.

;
, Jk и Wk - условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. Wk=hb2,

Jk= hb3, Максимальные касательные напряженияmax будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны:=max, коэффициенты:,,приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2,=0,246;=0,229;=0,795.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, вовторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Рассмотрим плоскую фигуру с известными геометрическими характеристиками 1 Х , 1 у и 1 ху относительно осей х и у (рис. 3.3). Определим с их помощью значения аналогичных геометрических характеристик относительно осей и и v, которые составляют с начальной системой угол а.

Вычислим координаты центра тяжести бесконечно малого элемента площади dA в новой координатной системе и и v:

Рис. 3.3.

Момент инерции относительно повернутой оси Ои будет равен

Используя обозначения геометрических характеристик относительно исходных осей, получим

Для двух остальных геометрических характеристик формулы получаем аналогично:

Полученные формулы преобразуем с помощью тригонометрических формул

После преобразования формулы для вычисления осевых н центробежного моментов инерции при повороте осей приобретают вид

Главные оси и главные моменты инерции

Ранее было отмечено, что сумма осевых моментов является постоянной величиной. Легко убедиться в том, что это положение следует также и из формул (3.22):

Оси, относительно которых моменты инерции принимают максимальное и минимальное значения, называются главными осями главными моментами инерции.

При повороте осей величины осевых моментов изменяются, поэтому должна существовать пара взаимно перпендикулярных главных осей, относительно которых моменты инерции достигают минимального и максимального значений. Докажем это положение. Для этого исследуем на экстремум осевой момент инерции 1 и:

Поскольку выражение в скобках должно равняться нулю, получаем формулу, позволяющую определить положение одной из главных осей:

Угол а 0 , отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки, определяет положение главной оси относительно оси Ох. Докажем, что перпендикулярная этой оси ось также является главной. Подставим в выражение для

производной угол а 0 + -:

Таким образом, главные оси являются взаимно перпендикулярными осями.

Обратим внимание на то, что выражение в скобках согласно третьей формуле (3.22) соответствует центробежному моменту. Таким образом, мы доказали, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Воспользуемся этим результатом и выведем формулу для вычисления главных моментов инерций. Для этого вторую и третью формулы (3.22) перепишем в следующем виде:

Возводя в квадрат и складывая правые и левые части обоих уравнений, получаем

Отсюда следует формула для вычисления двух главных моментов инерции:

В формуле (3.25) знак «плюс» соответствует максимальному главному моменту инерции, а знак «минус» - минимальному его значению.

В отдельных частных случаях положение главных осей можно определить без расчетов. Так, если сечение симметричное, то ось симметрии является одной из главных осей, а второй осью является любая ось, ей перпендикулярная. Это положение непосредственно следует из равенства нулю центробежного момента инерции относительно осей, одна из которых является осью симметрии.

Среди всех пар главных осей можно выделить особую пару, обе оси которой проходят через центр тяжести сечения.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями , а моменты инерции относительно таких осей - главными центральными моментами инерции.

Как было уже отмечено, поворот системы координат вызывает изменение геометрических характеристик плоских фигур. Можно показать, что совокупность геометрических характеристик, принадлежащих данному сечению, описывается симметричным тензором, называемым тензором инерции сечения, который можно записать в виде матрицы:

Первый инвариант тензора инерции, представляющий собой сумму осевых моментов инерции, был нами получен ранее (см. формулу (3.23)). Второй инвариант тензора инерции имеет вид

Эта величина будет использована при получении общего решения для изгиба стержня.

Геометрические характеристики сложных составных поперечных сечений

Если поперечное сечение образовано совокупностью простейших, то в соответствии со свойствами определенных интегралов геометрическая характеристика такого сечения равна сумме соответствующих характеристик отдельных составных сечений (рис. 3.10).

Рис. 10.

Таким образом, для вычисления моментов инерции сложной фигуры необходимо разбить её на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур и затем просуммировать эти моменты инерции

Изменение моментов инерции при повороте осей

Найдем зависимость межу моментами инерции относительно осей и моментами инерции относительно осей, повернутых на угол (рис. 3.11). Пусть и положительный угол отсчитывается от оси против часовой стрелки.

Рис. 11. Поворот осей координат

Для решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами бесконечно малой площадки в исходных и повернутых осях

Теперь определим моменты инерции относительно осей

Аналогично

Для центробежного момента

Складывая (3.28) и (3.29), получаем

Вычитая (3.28) из (3.29), получаем

Формула (3.31) показывает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте.

Формула (3.32) может быть использована для вычисления центробежного момента инерции относительно осей по известным осевым моментам инерции относительно осей и.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

При изменении угла (рис. 3.10) моменты инерции (3.280 - (3.31) изменяются. Найдем значение угла, при котором и имеют экстремальное значение. Для этого возьмем от и первую производную по и приравниваем ее нулю:

Эта формула определяет положение двух осей, относительно которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (3.28) и (3.29, подставив в них из формулы (3.33), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов. После преобразования получим формулу для определения главных моментов инерции:

Покажем теперь, что относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, приравнивая по формуле (3.30) нулю, получаем

откуда для вновь получается формула (3.33)

Таким образом, главными осями называют оси, обладающие следующими свойствами:

Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения (относительно одной - максимум, относительно другой - минимум).

Главные оси, приходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Это следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.