Το μήκος κύματος ενός κβαντικού σωματιδίου είναι αντιστρόφως ανάλογο της ορμής του.
Ένα από τα γεγονότα του υποατομικού κόσμου είναι ότι τα αντικείμενά του - όπως τα ηλεκτρόνια ή τα φωτόνια - δεν μοιάζουν καθόλου με τα συνηθισμένα αντικείμενα του μακρόκοσμου. Συμπεριφέρονται όχι σαν σωματίδια και όχι σαν κύματα, αλλά σαν πολύ ειδικούς σχηματισμούς που παρουσιάζουν και κυματικές και σωματικές ιδιότητες, ανάλογα με τις περιστάσεις ( εκ.αρχή της συμπληρωματικότητας). Είναι άλλο πράγμα να δηλώνουμε, και εντελώς άλλο να συνδέουμε τις κυματικές και σωματικές πτυχές της συμπεριφοράς των κβαντικών σωματιδίων, περιγράφοντάς τα με μια ακριβή εξίσωση. Αυτό ακριβώς έγινε στην αναλογία de Broglie.
Ο Louis de Broglie δημοσίευσε τη σχέση που απέκτησε ως μέρος της διδακτορικής του διατριβής το 1924. Φαινομενικά στην αρχή μια τρελή ιδέα, η σχέση de Broglie άλλαξε ριζικά τις ιδέες των θεωρητικών φυσικών για τον μικρόκοσμο και έπαιξε κρίσιμο ρόλο στην ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής. Στο μέλλον, η καριέρα του de Broglie ήταν πολύ πεζή: μέχρι τη συνταξιοδότησή του, εργάστηκε ως καθηγητής φυσικής στο Παρίσι και δεν ανέβηκε ποτέ ξανά στα ιλιγγιώδη ύψη των επαναστατικών γνώσεων.
Τώρα ας περιγράψουμε εν συντομία τη φυσική έννοια της σχέσης de Broglie: ένα από τα φυσικά χαρακτηριστικά κάθε σωματιδίου είναι Ταχύτητα.Ταυτόχρονα, οι φυσικοί, για διάφορους θεωρητικούς και πρακτικούς λόγους, προτιμούν να μην μιλούν για την ταχύτητα του σωματιδίου καθαυτή, αλλά για την ορμή(ή ποσότητα κίνησης), το οποίο είναι ίσο με το γινόμενο της ταχύτητας του σωματιδίου και της μάζας του. Ένα κύμα περιγράφεται από εντελώς διαφορετικά θεμελιώδη χαρακτηριστικά - μήκος (η απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών κορυφών πλάτους του ίδιου σημείου) ή συχνότητα (τιμή αντιστρόφως ανάλογη με το μήκος κύματος, δηλαδή τον αριθμό των κορυφών που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο ανά μονάδα χρόνου ). Ο De Broglie, από την άλλη, κατάφερε να διατυπώσει μια σχέση που σχετίζεται με την ορμή ενός κβαντικού σωματιδίου Rμε μήκος κύματος λ που το περιγράφει:
Π = η/λ ή λ = η/Π
Αυτή η σχέση κυριολεκτικά έχει ως εξής: εάν είναι επιθυμητό, μπορεί κανείς να θεωρήσει ένα κβαντικό αντικείμενο ως ένα σωματίδιο με ορμή R; από την άλλη, μπορεί να θεωρηθεί και ως κύμα, το μήκος του οποίου είναι ίσο με λ και καθορίζεται από την προτεινόμενη εξίσωση. Με άλλα λόγια, οι κυματικές και σωματικές ιδιότητες ενός κβαντικού σωματιδίου είναι θεμελιωδώς αλληλένδετες.
Η σχέση de Broglie βοήθησε να εξηγηθεί ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια της αναδυόμενης κβαντικής μηχανικής. Όταν ο Niels Bohr πρότεινε το μοντέλο του ατόμου ( εκ.άτομο Bohr), περιλάμβανε την έννοια επιτρεπόμενες τροχιέςηλεκτρόνια γύρω από τον πυρήνα, κατά μήκος των οποίων μπορούσαν να περιστρέφονται για αυθαίρετα μεγάλο χρονικό διάστημα χωρίς απώλεια ενέργειας. Με τη σχέση de Broglie μπορούμε να επεξηγήσουμε αυτήν την έννοια. Αν θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο ως σωματίδιο, τότε για να παραμείνει ένα ηλεκτρόνιο στην τροχιά του, πρέπει να έχει την ίδια ταχύτητα (ή, μάλλον, ορμή) σε οποιαδήποτε απόσταση από τον πυρήνα.
Αν θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο ως κύμα, τότε για να χωρέσει σε τροχιά δεδομένης ακτίνας, είναι απαραίτητο η περιφέρεια αυτής της τροχιάς να είναι ίση με έναν ακέραιο αριθμό του μήκους κύματός του. Με άλλα λόγια, η περιφέρεια της τροχιάς ενός ηλεκτρονίου μπορεί να είναι μόνο ίση με ένα, δύο, τρία (και ούτω καθεξής) από τα μήκη κύματός του. Στην περίπτωση ενός μη ακέραιου αριθμού μηκών κύματος, το ηλεκτρόνιο απλά δεν θα μπει στην επιθυμητή τροχιά.
Η κύρια φυσική έννοια της σχέσης de Broglie είναι ότι μπορούμε πάντα να προσδιορίσουμε την επιτρεπόμενη ροπή (στη σωματιδιακή αναπαράσταση) ή τα μήκη κύματος (στην αναπαράσταση κύματος) των ηλεκτρονίων σε τροχιές. Για τις περισσότερες τροχιές, ωστόσο, η σχέση de Broglie δείχνει ότι ένα ηλεκτρόνιο (που θεωρείται σωματίδιο) με μια συγκεκριμένη ορμή δεν μπορεί να έχει κατάλληλο μήκος κύματος (σε αναπαράσταση κύματος) τέτοιο ώστε να ταιριάζει σε αυτήν την τροχιά. Αντίθετα, ένα ηλεκτρόνιο που θεωρείται ως κύμα ορισμένου μήκους δεν θα έχει πάντα την αντίστοιχη ορμή, η οποία θα επιτρέψει στο ηλεκτρόνιο να παραμείνει σε τροχιά (στη σωματιδιακή αναπαράσταση). Με άλλα λόγια, για τις περισσότερες τροχιές με συγκεκριμένη ακτίνα, είτε η περιγραφή του κύματος είτε του σωματιδίου θα δείξει ότι το ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να βρίσκεται σε αυτή την απόσταση από τον πυρήνα.
Ωστόσο, υπάρχει ένας μικρός αριθμός τροχιών στις οποίες συμπίπτουν οι κυματικές και σωματικές αναπαραστάσεις ενός ηλεκτρονίου. Για αυτές τις τροχιές, η ορμή που απαιτείται για να συνεχίσει το ηλεκτρόνιο σε τροχιά (περιγραφή σωματιδίου) είναι ακριβώς το μήκος κύματος που απαιτείται για να χωρέσει το ηλεκτρόνιο στον κύκλο (περιγραφή κύματος). Είναι αυτές οι τροχιές που αποδεικνύεται ότι είναι επιτρέπεταιστο μοντέλο Bohr του ατόμου, αφού μόνο σε αυτά οι σωματικές και κυματικές ιδιότητες των ηλεκτρονίων δεν συγκρούονται.
Μου αρέσει μια άλλη ερμηνεία αυτής της αρχής - φιλοσοφική: το μοντέλο του ατόμου του Bohr επιτρέπει μόνο εκείνες τις καταστάσεις και τροχιές ηλεκτρονίων στις οποίες δεν έχει σημασία ποια από τις δύο νοητικές κατηγορίες χρησιμοποιεί ένα άτομο για να τις περιγράψει. Δηλαδή, ο πραγματικός μικρόκοσμος είναι διατεταγμένος με τέτοιο τρόπο που δεν τον ενδιαφέρει σε ποιες κατηγορίες προσπαθούμε να τον κατανοήσουμε!
Δείτε επίσης:
1926 |
Στοιχεία κβαντικής μηχανικής
Διδυισμός σωματιδιακών κυμάτων των ιδιοτήτων των σωματιδίων της ύλης.
§1 Ο De Broglie κυματίζει
Το 1924 Ο Louis de Broglie (Γάλλος φυσικός) κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η δυαδικότητα του φωτός πρέπει να επεκταθεί στα σωματίδια ύλης - ηλεκτρόνια. Η υπόθεση του De Broglieήταν ότι το ηλεκτρόνιο, του οποίου οι σωματικές ιδιότητες (φορτίο, μάζα) έχουν μελετηθεί για μεγάλο χρονικό διάστημα, έχει επίσης κυματικές ιδιότητες,εκείνοι. συμπεριφέρεται σαν κύμα υπό ορισμένες συνθήκες.
Οι ποσοτικές σχέσεις που συνδέουν τις σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων είναι οι ίδιες με αυτές των φωτονίων.
Η ιδέα του De Broglie ήταν ότι αυτή η αναλογία έχει έναν καθολικό χαρακτήρα, που ισχύει για οποιεσδήποτε διεργασίες κυμάτων. Κάθε σωματίδιο με ορμή p αντιστοιχεί σε ένα κύμα, το μήκος του οποίου υπολογίζεται από τον τύπο de Broglie.
- κύμα de Broglie
Π = mvείναι η ορμή του σωματιδίου,ηείναι η σταθερά του Planck.
Waves de Broglie, που μερικές φορές ονομάζονται κύματα ηλεκτρονίων, δεν είναι ηλεκτρομαγνητικά.
Το 1927, ο Davisson και ο Germer (ένας Αμερικανός φυσικός) επιβεβαίωσαν την υπόθεση του de Broglie βρίσκοντας την περίθλαση ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο νικελίου. Τα μέγιστα περίθλασης αντιστοιχούσαν στον τύπο Wulff-Braggs 2
δσινι=
nμεγάλο , και το μήκος κύματος Bragg αποδείχθηκε ακριβώς ίσο με .
Περαιτέρω επιβεβαίωση της υπόθεσης de Broglie στα πειράματα του L.S. Tartakovsky και G. Thomson, οι οποίοι παρατήρησαν το σχέδιο περίθλασης κατά τη διέλευση μιας δέσμης γρήγορων ηλεκτρονίων ( μι » 50 keV) μέσα από ένα φύλλο από διάφορα μέταλλα. Στη συνέχεια ανακαλύφθηκε η περίθλαση νετρονίων, πρωτονίων, ατομικών δεσμών και μοριακών δεσμών. Εμφανίστηκαν νέες μέθοδοι για τη μελέτη της ύλης - περίθλαση νετρονίων και περίθλαση ηλεκτρονίων και εμφανίστηκαν οπτικά ηλεκτρονίων.
Τα μακροσώματα πρέπει επίσης να έχουν όλες τις ιδιότητες (Μ = 1 κιλό λοιπόν l = 6 . 6 2 1 0 - 3 1 m - δεν μπορεί να ανιχνευθεί με σύγχρονες μεθόδους - επομένως, τα μακροσώματα θεωρούνται μόνο ως σωματίδια).
§2 Ιδιότητες των κυμάτων de Broglie
- Αφήστε ένα σωματίδιο μάζαςΜκινείται με ταχύτηταv. Επειτα ταχύτητα φάσηςκυματίζει ο de Broglie
Επειδή ντο > v, έπειτα ταχύτητα φάσης κύματος de Broglie περισσότερο από την ταχύτητα του φωτόςστο κενό (vΗ f μπορεί να είναι μεγαλύτερη και μπορεί να είναι μικρότερη από c, σε αντίθεση με την ομάδα).
ταχύτητα ομάδας
- Συνεπώς, η ομαδική ταχύτητα των κυμάτων de Broglie είναι ίση με την ταχύτητα του σωματιδίου.
Για ένα φωτόνιο
εκείνοι. ομαδική ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του φωτός.
§3 Σχέση αβεβαιότητας Heisenberg
Τα μικροσωματίδια σε ορισμένες περιπτώσεις εκδηλώνονται ως κύματα, σε άλλες ως σωματίδια. Οι νόμοι της κλασικής σωματιδιακής και κυματικής φυσικής δεν ισχύουν για αυτούς. Στην κβαντική φυσική, αποδεικνύεται ότι η έννοια της τροχιάς δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα μικροσωματίδιο, αλλά μπορεί να ειπωθεί ότι το σωματίδιο βρίσκεται σε έναν δεδομένο όγκο χώρου με μια ορισμένη πιθανότητα R. Μειώνοντας τον όγκο, θα μειώσουμε την πιθανότητα ανίχνευσης σωματιδίου σε αυτόν. Η πιθανολογική περιγραφή της τροχιάς (ή της θέσης) ενός σωματιδίου οδηγεί στο γεγονός ότι η ορμή και, κατά συνέπεια, η ταχύτητα του σωματιδίου μπορούν να προσδιοριστούν με κάποια ακρίβεια.
Επιπλέον, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για το μήκος κύματος σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου, και ως εκ τούτου προκύπτει ότι αν θέσουμε ακριβώς τη συντεταγμένη Χ, τότε δεν μπορούμε να πούμε τίποτα για την ορμή του σωματιδίου, επειδή . Απλώς κοιτάζοντας τη μεγάλη έκτασηΔ Γ μπορούμε να προσδιορίσουμε την ορμή του σωματιδίου. Περισσότερο D C, ακριβέστερα D Rκαι το αντίστροφο, τόσο λιγότεροΔ Γ , τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα στην εύρεσηρε R.
Η σχέση αβεβαιότητας Heisenberg θέτει ένα όριο στον ταυτόχρονο προσδιορισμό της ακρίβειας κανονικά συζευγμένες ποσότητες,που περιλαμβάνουν θέση και ορμή, ενέργεια και χρόνο.
Σχέση αβεβαιότητας Heisenberg:το γινόμενο των αβεβαιοτήτων των τιμών δύο συζυγών μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τη σταθερά του Planck κατά σειρά μεγέθουςη
(μερικές φορές γραμμένο)
Με αυτόν τον τρόπο. για ένα μικροσωματίδιο, δεν υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες η συντεταγμένη και η ορμή του θα έχουν και τις δύο ακριβείς τιμές. Όσο μικρότερη είναι η αβεβαιότητα μιας ποσότητας, τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα της άλλης.
Η σχέση αβεβαιότητας είναι ένας κβαντικός περιορισμόςδυνατότητα εφαρμογής της κλασικής μηχανικής σε μικροαντικείμενα.
επομένως, τόσο περισσότεροΜ, τόσο λιγότερη αβεβαιότητα στον προσδιορισμό των συντεταγμένων και της ταχύτητας. ΣτοΜ\u003d 10 -12 kg,? = 10 -6 και Δ Χ= 1% ?, Δ v = 6,62 10 -14 m/s, δηλ. δεν θα επηρεάσει σε όλες τις ταχύτητες με τις οποίες μπορούν να κινηθούν τα σωματίδια σκόνης, δηλ. για τα μακροσώματα οι κυματικές τους ιδιότητες δεν παίζουν κανένα ρόλο.
Αφήστε ένα ηλεκτρόνιο να κινηθεί σε ένα άτομο υδρογόνου. Ας πούμε ΔΧ» 1 0 -10 m (της τάξης του μεγέθους ενός ατόμου, δηλαδή το ηλεκτρόνιο ανήκει σε ένα δεδομένο άτομο). Επειτα
Δ v= 7,27 1 0 6 Κυρία. Σύμφωνα με την κλασική μηχανική, όταν κινείται κατά μήκος μιας ακτίναςr » 0 . 5 1 0 - 1 0 μ v= 2,3 10 -6 m/s. Εκείνοι. η αβεβαιότητα της ταχύτητας είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από το μέγεθος της ταχύτητας, επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι νόμοι της κλασικής μηχανικής στον μικρόκοσμο.
Από τη σχέση προκύπτει ότι ένα σύστημα με διάρκεια ζωήςρε t, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί από συγκεκριμένη ενεργειακή τιμή. Η κατανομή ενέργειας αυξάνεται με τη μείωση της μέσης διάρκειας ζωής. Επομένως, η συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτονίου πρέπει επίσης να έχει μια αβεβαιότητα D n = D μι/ η, δηλ. Οι φασματικές γραμμές θα έχουν κάποιο πλάτος n±D μι/ η, θα είναι θολή. Μετρώντας το πλάτος της φασματικής γραμμής, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη χρονική σειρά για την ύπαρξη ενός ατόμου σε διεγερμένη κατάσταση.
§4 Κυματική συνάρτηση και η φυσική της σημασία
Το μοτίβο περίθλασης που παρατηρείται για τα μικροσωματίδια χαρακτηρίζεται από μια άνιση κατανομή των ροών μικροσωματιδίων σε διαφορετικές κατευθύνσεις - υπάρχουν ελάχιστα και μέγιστα σε άλλες κατευθύνσεις. Η παρουσία μεγίστων στο σχέδιο περίθλασης σημαίνει ότι τα κύματα de Broglie κατανέμονται σε αυτές τις κατευθύνσεις με την υψηλότερη ένταση. Και η ένταση θα είναι μέγιστη εάν ο μέγιστος αριθμός σωματιδίων διαδίδεται προς αυτή την κατεύθυνση. Εκείνοι. Το σχέδιο περίθλασης για τα μικροσωματίδια είναι μια εκδήλωση μιας στατιστικής (πιθανολογικής) κανονικότητας στην κατανομή των σωματιδίων: όπου η ένταση του κύματος de Broglie είναι μέγιστη, υπάρχουν περισσότερα σωματίδια.
Τα κύματα De Broglie στην κβαντομηχανική εξετάζονται σαν κύματα πιθανότητα,εκείνοι. η πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου σε διαφορετικά σημεία του χώρου ποικίλλει ανάλογα με τον νόμο των κυμάτων (δηλ.~ μι - iωt). Αλλά για ορισμένα σημεία στο διάστημα, αυτή η πιθανότητα θα είναι αρνητική (δηλαδή, το σωματίδιο δεν πέφτει σε αυτήν την περιοχή). Ο M. Born (Γερμανός φυσικός) πρότεινε ότι δεν είναι η ίδια η πιθανότητα που αλλάζει σύμφωνα με τον νόμο των κυμάτων, και το πλάτος πιθανότητας,που ονομάζεται και κυματοσυνάρτηση ή y -λειτουργία (psi - συνάρτηση).
Η κυματική συνάρτηση είναι συνάρτηση συντεταγμένων και χρόνου.
Το τετράγωνο του συντελεστή της συνάρτησης psi καθορίζει την πιθανότητα το σωματίδιο θα βρεθεί εντός του πεδίου εφαρμογής dV - Δεν είναι η ίδια η συνάρτηση psi που έχει φυσική σημασία, αλλά το τετράγωνο του συντελεστή της.
Ψ * - σύνθετη συζυγιακή συνάρτηση του Ψ
(z= ένα + ib, z * = ένα- ib, z * - σύνθετο συζυγές)
Αν το σωματίδιο είναι σε πεπερασμένο όγκοV, τότε η δυνατότητα ανίχνευσής του σε αυτόν τον τόμο είναι ίση με 1, (ορισμένο γεγονός)
R= 1 
Στην κβαντομηχανική, υποτίθεται ότιΨ και ΑΨ, όπου Α = συνθ, περιγράφουν την ίδια κατάσταση του σωματιδίου. Συνεπώς,
Συνθήκη κανονικοποίησης
αναπόσπαστο πάνω , σημαίνει ότι υπολογίζεται σε άπειρο όγκο (κενό).
y - η λειτουργία πρέπει να είναι
1) τελικό (γιατί Rδεν μπορεί να είναι περισσότερο από 1)
2) μονοσήμαντο (είναι αδύνατο να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο υπό αμετάβλητες συνθήκες με πιθανότητα 0,01 και 0,9, για παράδειγμα, αφού η πιθανότητα πρέπει να είναι σαφής).
- συνεχής (ακολουθεί από τη συνέχεια του χώρου. Υπάρχει πάντα η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε διαφορετικά σημεία του χώρου, αλλά για διαφορετικά σημεία θα είναι διαφορετικό),
- Η κυματική συνάρτηση ικανοποιεί αρχή υπερθέσεις: εάν το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετικές καταστάσεις που περιγράφονται από κυματοσυναρτήσεις y 1 , y 2 ... y n , τότε μπορεί να είναι στην κατάσταση y , που περιγράφεται από έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των συναρτήσεων:
Με n(n =1,2...) - οποιοιδήποτε αριθμοί.
Με τη βοήθεια της κυματικής συνάρτησης υπολογίζονται οι μέσες τιμές οποιασδήποτε φυσικής ποσότητας του σωματιδίου
§5 Εξίσωση Schrödinger
Η εξίσωση Schrödinger, όπως και άλλες βασικές εξισώσεις της φυσικής (εξισώσεις του Νεύτωνα, του Μάξγουελ), δεν προέρχεται, αλλά υποτίθεται. Θα πρέπει να θεωρηθεί ως η αρχική βασική υπόθεση, η εγκυρότητα της οποίας αποδεικνύεται από το γεγονός ότι όλες οι συνέπειες που προκύπτουν από αυτήν συμφωνούν ακριβώς με τα πειραματικά δεδομένα.
(1)
Εξίσωση χρόνου Schrödinger.
Χειριστής Nabla - Laplace
Δυνητική συνάρτηση ενός σωματιδίου σε πεδίο δύναμης,
Ψ(y , z , t ) - επιθυμητή λειτουργία
Εάν το πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται το σωματίδιο είναι ακίνητο (δηλαδή δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου), τότε η συνάρτησηUδεν εξαρτάται από το χρόνο και έχει την έννοια της δυνητικής ενέργειας. Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση της εξίσωσης Schrödinger (δηλαδή το Ψ είναι συνάρτηση) μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο παραγόντων - ο ένας εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες και ο άλλος μόνο από το χρόνο:
(2)
μιείναι η συνολική ενέργεια του σωματιδίου, η οποία είναι σταθερή στην περίπτωση ακίνητου πεδίου.
Αντικατάσταση (2) ® (1):
(3)
Εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις.
Διαθέσιμος άπειρα πολλάλύσεις. Με την επιβολή οριακών συνθηκών επιλέγονται λύσεις που έχουν φυσικό νόημα.
Συνοριακές συνθήκες:
Οι συναρτήσεις κυμάτων πρέπει να είναι τακτικός, δηλ.
1) τελικό?
2) μονοσήμαντο.
3) συνεχής.
Οι λύσεις που ικανοποιούν την εξίσωση Schrödinger ονομάζονται το δικόσυναρτήσεις και τις ενεργειακές τιμές που αντιστοιχούν σε αυτές - ενεργειακές ιδιοτιμές. Το σύνολο των ιδιοτιμών ονομάζεται φάσμαποσότητες. Αν ένα μι nπαίρνει διακριτές τιμές και μετά το φάσμα - διακεκριμένος, εάν είναι συνεχές - στερεά ή συνεχή.
§ 6 Κίνηση ενός ελεύθερου σωματιδίου
Ένα σωματίδιο λέγεται ελεύθερο αν δεν ενεργούν πάνω του πεδία δύναμης, δηλ.U= 0.
Η εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις σε αυτή την περίπτωση είναι:
Η λύση του: Ψ( Χ)=ΑΛΛΑμι ikx, όπου ΑΛΛΑ = συνθ, κ= συνθ
Και οι ενεργειακές ιδιοτιμές:
Επειδή κμπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, τότε, επομένως, το Ε παίρνει οποιαδήποτε τιμή, δηλ. ενέργεια το φάσμα θα είναι συνεχές.
Συνάρτηση χρονικού κύματος
(- εξίσωση κύματος)
εκείνοι. αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο μονόχρωμο κύμα de Broglie.
§7 Σωματίδιο σε «πηγάδι δυναμικού» ορθογώνιου σχήματος.
Κβαντοποίηση ενέργειας .
Ας βρούμε τις ιδιοτιμές ενέργειας και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις για ένα σωματίδιο που βρίσκεται σεατελείωτα βαθύ μονοδιάστατο πηγάδι δυναμικού. Ας υποθέσουμε ότι το σωματίδιο μπορεί να κινηθεί μόνο κατά μήκος του άξοναΧ . Αφήστε την κίνηση να περιορίζεται από τοιχώματα αδιαπέραστα για το σωματίδιοΧ= 0, και Χ=;. Δυναμική ενέργειαUμοιάζει με:
Εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις για μονοδιάστατο πρόβλημα
Το σωματίδιο δεν μπορεί να βγει έξω από το πηγάδι δυναμικού, επομένως η πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου έξω από το φρεάτιο είναι 0. Επομένως, το Ψ έξω από το φρεάτιο είναι επίσης 0. Από τις συνθήκες συνέχειας προκύπτει ότι Ψ = 0 και στα όρια του φρεατίου, δηλ.
Ψ(0) = Ψ(?) = 0
Μέσα στο λάκκο (0 £ Χ£ l) U= 0 και η εξίσωση Schrödinger.
μπαίνοντας παίρνουμε 
Κοινή απόφαση
προκύπτει από τις οριακές συνθήκες
y(0)=0,
Με αυτόν τον τρόπο
ΣΤΟ = 0
Συνεπώς,
Από την οριακή συνθήκη
Πρέπει
Þ
Επειτα
Ενέργεια μι nσωματίδια σε ένα «δυναμικό πηγάδι» με απείρως ψηλά τοιχώματα δέχονται μόνο ορισμένες διακριτές τιμές, δηλ. κβαντοποιείται. Κβαντισμένες Ενεργειακές Αξίες μι nπου ονομάζεται ενεργειακά επίπεδακαι τον αριθμόn, που καθορίζει τα ενεργειακά επίπεδα του σωματιδίου, ονομάζεται το κύριο κβάντο αριθμός.Εκείνοι. τα σωματίδια στο "δυνητικό πηγάδι" μπορούν να βρίσκονται μόνο σε ένα ορισμένο ενεργειακό επίπεδο μι n(ή βρίσκονται σε κβαντική κατάστασηn)
Δικές του Λειτουργίες:
ΑΛΛΑβρείτε από την προσπάθεια ομαλοποίησης
Πυκνότητα πιθανοτήτων. Από το σχ. Μπορεί να φανεί ότι η πυκνότητα πιθανότητας ποικίλλει ανάλογα μεn: στο n= 1 σωματίδιο είναι πιθανό να βρίσκεται στη μέση του φρέατος, αλλά όχι στις άκρες, ότανn= 2 - θα είναι είτε στο αριστερό είτε στο δεξί μισό, αλλά όχι στη μέση του λάκκου και όχι στις άκρες, κ.λπ. Δηλαδή, δεν μπορεί κανείς να μιλήσει για την τροχιά του σωματιδίου.
Ενεργειακό διάστημα μεταξύ γειτονικών ενεργειακών επιπέδων:
Στο n= 1 έχει τη χαμηλότερη μη μηδενική ενέργεια
Η παρουσία ενός ελάχιστου ενεργειακού στοιχείου προκύπτει από τη σχέση αβεβαιότητας, αφού,
Με ανάπτυξη nη απόσταση μεταξύ των επιπέδων μειώνεται και στοn® ¥ μι nσχεδόν συνεχής, δηλ. η διακριτικότητα εξομαλύνεται, δηλ. εκτελούνται Η αρχή αντιστοίχισης του Bohr:για μεγάλες τιμές κβαντικών αριθμών, οι νόμοι της κβαντικής μηχανικής μετατρέπονται σε νόμους της κλασικής φυσικής.
Μειονεκτήματα του μοντέλου Bohr. Το μοντέλο του ατόμου του Bohr εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σε πολλές περιπτώσεις. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ερμηνεύοντας τη διάταξη των στοιχείων στον περιοδικό πίνακα και τα μοτίβα μεταβολής της ενέργειας ιοντισμού των στοιχείων. Ωστόσο, το μοντέλο Bohr έχει μειονεκτήματα. 1. Αυτό το μοντέλο δεν επιτρέπει την εξήγηση ορισμένων χαρακτηριστικών στα φάσματα βαρύτερων στοιχείων από το υδρογόνο. 2. Δεν έχει επιβεβαιωθεί πειραματικά ότι τα ηλεκτρόνια στα άτομα περιστρέφονται γύρω από τον πυρήνα σε κυκλικές τροχιές με αυστηρά καθορισμένη γωνιακή ορμή.
Η διπλή φύση του ηλεκτρονίου. Είναι γνωστό ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία είναι ικανή να επιδεικνύει τόσο κυματικές όσο και σωματικές ιδιότητες (παρόμοιες με τις ιδιότητες των σωματιδίων). Στην τελευταία περίπτωση, συμπεριφέρεται σαν ένα ρεύμα σωματιδίων - φωτονίων. Η ενέργεια ενός φωτονίου σχετίζεται με το μήκος κύματός του λ ή τη συχνότητα υ από τη σχέση μι = ηυ = η γ/ λ ( Με = λ · υ),
όπου η– Η σταθερά του Planck είναι ίση με 6,62517∙10 -34 J∙s, ντοείναι η ταχύτητα του φωτός.
Ο Louis de Broglie πρότεινε με τόλμη ότι παρόμοιες κυματικές ιδιότητες θα μπορούσαν να αποδοθούν στο ηλεκτρόνιο. Συνδύασε τις εξισώσεις του Αϊνστάιν ( μι = Μγ 2) και Planck ( μι = ηυ) σε ένα:
ηυ = μ γ 2 η γ/ λ = μ γ 2 λ = η/μ γ.
λ = η/Μ · ѵ,
όπου - ѵ ταχύτητα ηλεκτρονίων. Αυτή η εξίσωση ( εξίσωση de Broglie) συσχετίζοντας το μήκος κύματος με την ορμή του ( Μ v), και αποτέλεσε τη βάση της κυματικής θεωρίας της ηλεκτρονικής δομής του ατόμου. Ο De Broglie πρότεινε να θεωρηθεί το ηλεκτρόνιο ως στάσιμο κύμα, το οποίο θα έπρεπε να χωράει στην ατομική τροχιά ακέραιο αριθμό φορές, που αντιστοιχεί στον αριθμό του ηλεκτρονικού επιπέδου. Έτσι, ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται στο πρώτο ηλεκτρονικό επίπεδο (n = 1) αντιστοιχεί σε ένα μήκος κύματος στο άτομο, στο δεύτερο (n = 2) - δύο, κ.λπ.
Η διπλή φύση του ηλεκτρονίου οδηγεί στο γεγονός ότι η κίνησή του δεν μπορεί να περιγραφεί από μια συγκεκριμένη τροχιά, η τροχιά είναι θολή και εμφανίζεται μια «ζώνη αβεβαιότητας», στην οποία βρίσκεται το ē. Όσο ακριβέστερα προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη θέση του ηλεκτρονίου, τόσο λιγότερη ακρίβεια θα γνωρίζουμε για την ταχύτητά του. Ο δεύτερος νόμος της κβαντικής μηχανικής ακούγεται ως εξής: "Είναι αδύνατο να προσδιοριστούν ταυτόχρονα οι συντεταγμένες και η ορμή (ταχύτητα) ενός κινούμενου ηλεκτρονίου με οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια" - αυτή είναι η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg. Αυτή η πιθανότητα εκτιμάται από την εξίσωση Schrödinger (η βασική εξίσωση της κβαντικής μηχανικής):
H · ψ = Ε · ψ,
όπου H είναι ο τελεστής Hamilton που υποδεικνύει μια ορισμένη ακολουθία πράξεων με τη συνάρτηση ψ. Επομένως E = H · ψ / ψ. Η εξίσωση έχει πολλές λύσεις. Η κυματική συνάρτηση που είναι η λύση της εξίσωσης Schrödinger είναι η ατομική τροχιάς.Ως μοντέλο της κατάστασης ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο, γίνεται αποδεκτή η έννοια ενός νέφους ηλεκτρονίων, η πυκνότητα των αντίστοιχων τμημάτων του οποίου είναι ανάλογη με την πιθανότητα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο εκεί.
Αν και είναι αδύνατο να προσδιοριστεί επακριβώς η θέση ενός ηλεκτρονίου, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η πιθανότητα ένα ηλεκτρόνιο να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη θέση ανά πάσα στιγμή. Υπάρχουν δύο σημαντικές συνέπειες της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg.
1. Η κίνηση ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο είναι κίνηση χωρίς τροχιά. Αντί για μια τροχιά στην κβαντική μηχανική, εισάγεται μια άλλη έννοια -πιθανότητα η παραμονή ενός ηλεκτρονίου σε ένα ορισμένο μέρος του όγκου ενός ατόμου, το οποίο συσχετίζεται με την πυκνότητα ηλεκτρονίων όταν ένα ηλεκτρόνιο θεωρείται ως νέφος ηλεκτρονίων.
2. Ένα ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να πέσει πάνω σε έναν πυρήνα. Η θεωρία του Bohr δεν εξήγησε αυτό το φαινόμενο. Η κβαντομηχανική έχει δώσει μια εξήγηση και για αυτό το φαινόμενο. Η αύξηση του βαθμού βεβαιότητας των συντεταγμένων ενός ηλεκτρονίου όταν πέφτει σε έναν πυρήνα θα προκαλούσε απότομη αύξηση της ενέργειας του ηλεκτρονίου έως και 10 11 kJ/mol και άνω. Ένα ηλεκτρόνιο με τέτοια ενέργεια, αντί να πέσει στον πυρήνα, θα πρέπει να φύγει από το άτομο. Επομένως, απαιτείται δύναμη όχι για να εμποδίσει το ηλεκτρόνιο να πέσει στον πυρήνα, αλλά για να «αναγκάσει» το ηλεκτρόνιο να βρίσκεται μέσα στο άτομο.
Το 1924 Ο Louis de Broglie (Γάλλος φυσικός) κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η δυαδικότητα του φωτός πρέπει να επεκταθεί στα σωματίδια ύλης - ηλεκτρόνια. Η υπόθεση του De Broglieήταν ότι το ηλεκτρόνιο, του οποίου οι σωματικές ιδιότητες (φορτίο, μάζα) έχουν μελετηθεί για μεγάλο χρονικό διάστημα, έχει επίσης κυματικές ιδιότητες,εκείνοι. συμπεριφέρεται σαν κύμα υπό ορισμένες συνθήκες.
Οι ποσοτικές σχέσεις που συνδέουν τις σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων είναι οι ίδιες με αυτές των φωτονίων.
Η ιδέα του De Broglie ήταν ότι αυτή η αναλογία έχει έναν καθολικό χαρακτήρα, που ισχύει για οποιεσδήποτε διεργασίες κυμάτων. Κάθε σωματίδιο με ορμή p αντιστοιχεί σε ένα κύμα, το μήκος του οποίου υπολογίζεται από τον τύπο de Broglie.
- κύμα de Broglie
p=mvείναι η ορμή του σωματιδίου, ηείναι η σταθερά του Planck.
Waves de Broglie, που μερικές φορές ονομάζονται κύματα ηλεκτρονίων, δεν είναι ηλεκτρομαγνητικά. 
Το 1927, ο Davisson και ο Germer (ένας Αμερικανός φυσικός) επιβεβαίωσαν την υπόθεση του de Broglie βρίσκοντας την περίθλαση ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο νικελίου. Τα μέγιστα περίθλασης αντιστοιχούσαν στον τύπο Wulff-Braggs 2dsin
n, και το μήκος κύματος Bragg αποδείχθηκε ακριβώς ίσο με . 
Περαιτέρω επιβεβαίωση της υπόθεσης de Broglie στα πειράματα του L.S. Tartakovsky και G. Thomson, οι οποίοι παρατήρησαν το σχέδιο περίθλασης κατά τη διέλευση μιας δέσμης γρήγορων ηλεκτρονίων ( μι 50 keV) μέσα από ένα φύλλο από διάφορα μέταλλα. Στη συνέχεια ανακαλύφθηκε η περίθλαση νετρονίων, πρωτονίων, ατομικών δεσμών και μοριακών δεσμών. Εμφανίστηκαν νέες μέθοδοι για τη μελέτη της ύλης - περίθλαση νετρονίων και περίθλαση ηλεκτρονίων και εμφανίστηκαν οπτικά ηλεκτρονίων.
Τα μακροσώματα πρέπει επίσης να έχουν όλες τις ιδιότητες ( m = 1 κιλό;
§2 Ιδιότητες των κυμάτων de Broglie
Αφήστε ένα σωματίδιο μάζας Μκινείται με ταχύτητα v. Επειτα ταχύτητα φάσηςκυματίζει ο de Broglie
Επειδή c > vέπειτα ταχύτητα φάσης κύματος de Broglie περισσότερο από την ταχύτητα του φωτόςστο κενό ( vΗ f μπορεί να είναι μεγαλύτερη και μπορεί να είναι μικρότερη από c, σε αντίθεση με την ομάδα).
ταχύτητα ομάδας
Συνεπώς, η ομαδική ταχύτητα των κυμάτων de Broglie είναι ίση με την ταχύτητα του σωματιδίου.
Για ένα φωτόνιο
εκείνοι. ομαδική ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του φωτός.
§3 Σχέση αβεβαιότητας Heisenberg
Τα μικροσωματίδια σε ορισμένες περιπτώσεις εκδηλώνονται ως κύματα, σε άλλες ως σωματίδια. Οι νόμοι της κλασικής σωματιδιακής και κυματικής φυσικής δεν ισχύουν για αυτούς. Στην κβαντική φυσική, αποδεικνύεται ότι η έννοια της τροχιάς δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα μικροσωματίδιο, αλλά μπορεί να ειπωθεί ότι το σωματίδιο βρίσκεται σε έναν δεδομένο όγκο χώρου με μια ορισμένη πιθανότητα R. Μειώνοντας τον όγκο, θα μειώσουμε την πιθανότητα ανίχνευσης σωματιδίου σε αυτόν. Η πιθανολογική περιγραφή της τροχιάς (ή της θέσης) ενός σωματιδίου οδηγεί στο γεγονός ότι η ορμή και, κατά συνέπεια, η ταχύτητα του σωματιδίου μπορούν να προσδιοριστούν με κάποια ακρίβεια.
Επιπλέον, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για το μήκος κύματος σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου, και ως εκ τούτου προκύπτει ότι αν θέσουμε ακριβώς τη συντεταγμένη Χ, τότε δεν μπορούμε να πούμε τίποτα για την ορμή του σωματιδίου, επειδή . Μόνο θεωρώντας ένα εκτεταμένο τμήμα μπορούμε να προσδιορίσουμε την ορμή του σωματιδίου. Όσο περισσότερο τόσο πιο ακριβές Rκαι αντίστροφα, όσο μικρότερο είναι το τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα στην εύρεση του R.
Η σχέση αβεβαιότητας Heisenberg θέτει ένα όριο στον ταυτόχρονο προσδιορισμό της ακρίβειας κανονικά συζευγμένες ποσότητες,που περιλαμβάνουν θέση και ορμή, ενέργεια και χρόνο.
Σχέση αβεβαιότητας Heisenberg:το γινόμενο των αβεβαιοτήτων των τιμών δύο συζυγών μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τη σταθερά του Planck κατά σειρά μεγέθους η
(μερικές φορές γραμμένο)
Με αυτόν τον τρόπο. για ένα μικροσωματίδιο, δεν υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες η συντεταγμένη και η ορμή του θα έχουν και τις δύο ακριβείς τιμές. Όσο μικρότερη είναι η αβεβαιότητα μιας ποσότητας, τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα της άλλης.
Η σχέση αβεβαιότητας είναι ένας κβαντικός περιορισμόςδυνατότητα εφαρμογής της κλασικής μηχανικής σε μικροαντικείμενα.
επομένως, τόσο περισσότερο Μ,τόσο λιγότερη αβεβαιότητα στον προσδιορισμό των συντεταγμένων και της ταχύτητας. Στο Μ\u003d 10 -12 kg,? = 10 -6 και Δ Χ= 1% ?, Δ v= 6,62 10 -14 m/s, δηλ. δεν θα επηρεάσει σε όλες τις ταχύτητες με τις οποίες μπορούν να κινηθούν τα σωματίδια σκόνης, δηλ. για τα μακροσώματα οι κυματικές τους ιδιότητες δεν παίζουν κανένα ρόλο.
Αφήστε ένα ηλεκτρόνιο να κινηθεί σε ένα άτομο υδρογόνου. Ας πούμε Δ Χ -10 m (περίπου το μέγεθος ενός ατόμου, δηλαδή το ηλεκτρόνιο ανήκει σε αυτό το άτομο). Επειτα
Δ v\u003d 7,27 m / s. Σύμφωνα με την κλασική μηχανική, όταν κινείται κατά μήκος μιας ακτίνας r . m v= 2,3 10 -6 m/s. Εκείνοι. η αβεβαιότητα της ταχύτητας είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από το μέγεθος της ταχύτητας, επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι νόμοι της κλασικής μηχανικής στον μικρόκοσμο.
Από τη σχέση προκύπτει ότι ένα σύστημα με διάρκεια ζωής t, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί από συγκεκριμένη ενεργειακή τιμή. Η κατανομή ενέργειας αυξάνεται με τη μείωση της μέσης διάρκειας ζωής. Επομένως, η συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτονίου πρέπει επίσης να έχει αβεβαιότητα = η, δηλ. Οι φασματικές γραμμές θα έχουν κάποιο πλάτος η, θα είναι θολή. Μετρώντας το πλάτος της φασματικής γραμμής, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη χρονική σειρά για την ύπαρξη ενός ατόμου σε διεγερμένη κατάσταση.
Ο Γάλλος επιστήμονας Louis de Broglie, συνειδητοποιώντας τη συμμετρία που υπάρχει στη φύση και αναπτύσσοντας ιδέες για τη φύση του φωτός με διπλό σωματικό κύμα, πρότεινε μια υπόθεση σχετικά με καθολικότητα της δυαδικότητας κύματος-σωματιδίου. Σύμφωνα με τον de Broglie, με κάθε μικροαντικείμενοσυνδεδεμένο, αφενός, αιμοσφαιρικόςχαρακτηριστικά - ενέργεια μικαι ορμή R, και από την άλλη, κύμαχαρακτηριστικά - συχνότητα nκαι μήκος κύματος μεγάλο. Οι ποσοτικές σχέσεις που συνδέουν τις σωματικές και κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων είναι οι ίδιες όπως και για τα φωτόνια:
Η τόλμη της υπόθεσης του de Broglie έγκειται ακριβώς στο γεγονός ότι η σχέση (1) υποβλήθηκε όχι μόνο για τα φωτόνια, αλλά και για άλλα μικροσωματίδια, ιδιαίτερα για εκείνα που έχουν μάζα ηρεμίας. Έτσι, κάθε σωματίδιο με ορμή συνδέεται με μια διαδικασία κύματος με μήκος κύματος που καθορίζεται από φόρμουλα de Broglie:
Αυτή η σχέση ισχύει για κάθε σωματίδιο με ορμή R.
Ας ορίσουμε μερικές βασικές ιδιότητες των κυμάτων de Broglie. Σκεφτείτε ένα ελεύθερα κινούμενο με ταχύτητα vένα σωματίδιο μάζας Μ. Ας υπολογίσουμε για αυτό τις ταχύτητες φάσης και ομάδας των κυμάτων de Broglie. Άρα η ταχύτητα φάσης είναι:
, (3)
όπου και , είναι ο αριθμός κύματος. Επειδή c>v, τότε η ταχύτητα φάσης των κυμάτων de Broglie είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός στο κενό.
Ταχύτητα ομάδας: 
.
Για ένα ελεύθερο σωματίδιο, σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, 
, έπειτα
.
Επομένως, η ομαδική ταχύτητα των κυμάτων de Broglie είναι ίση με την ταχύτητα του σωματιδίου.
Σύμφωνα με τη διπλή κυματική φύση των σωματιδίων ύλης, χρησιμοποιούνται είτε κυματικές είτε σωματιδιακές αναπαραστάσεις για την περιγραφή των μικροσωματιδίων. Επομένως, είναι αδύνατο να τους αποδοθούν όλες οι ιδιότητες των σωματιδίων και όλες οι ιδιότητες των κυμάτων. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να εισαχθούν ορισμένοι περιορισμοί στην εφαρμογή των εννοιών της κλασικής μηχανικής στα αντικείμενα του μικροκόσμου.
Ο V. Heisenberg, λαμβάνοντας υπόψη τις κυματικές ιδιότητες των μικροσωματιδίων και τους περιορισμούς στη συμπεριφορά τους που σχετίζονται με τις κυματικές ιδιότητες, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι είναι αδύνατο να χαρακτηριστεί ταυτόχρονα ένα αντικείμενο του μικροκόσμου με οποιαδήποτε προκαθορισμένη ακρίβεια τόσο με συντεταγμένες όσο και με ορμή. Σύμφωνα με η σχέση αβεβαιότητας Heisenberg, ένα μικροσωματίδιο (μικροαντικείμενο) δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα μια συγκεκριμένη συντεταγμένη ( x, y, z), και μια ορισμένη αντίστοιχη προβολή ορμής ( p x, p y, p z), και οι αβεβαιότητες αυτών των ποσοτήτων ικανοποιούν τις προϋποθέσεις
εκείνοι. το γινόμενο των αβεβαιοτήτων της συντεταγμένης και της αντίστοιχης προβολής ορμής δεν μπορεί να είναι μικρότερο από μια τιμή της τάξης η.
Από τη σχέση αβεβαιότητας (4) προκύπτει ότι, για παράδειγμα, εάν το μικροσωματίδιο βρίσκεται σε κατάσταση με την ακριβή τιμή της συντεταγμένης ( Dx=0), τότε σε αυτήν την κατάσταση ( Dp x®¥), και αντίστροφα. Έτσι, για ένα μικροσωματίδιο δεν υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες οι συντεταγμένες και η ορμή του θα έχουν και τις δύο ακριβείς τιμές. Αυτό συνεπάγεται την πραγματική αδυναμία μέτρησης της συντεταγμένης και της ορμής ενός μικροαντικειμένου με οποιαδήποτε προκαθορισμένη ακρίβεια. Εφόσον στην κλασική μηχανική θεωρείται ότι η μέτρηση της θέσης και της ορμής μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε ακρίβεια, τότε η σχέση αβεβαιότητας είναι, έτσι, κβαντικός περιορισμός της δυνατότητας εφαρμογής της κλασικής μηχανικής σε μικροαντικείμενα.
Στην κβαντική θεωρία, εξετάζεται επίσης η σχέση αβεβαιότητας για την ενέργεια μικαι του χρόνου t, δηλ. οι αβεβαιότητες αυτών των ποσοτήτων ικανοποιούν την προϋπόθεση
Το τονίζουμε αυτό DEείναι η αβεβαιότητα της ενέργειας κάποιας κατάστασης του συστήματος, Dt- το χρονικό διάστημα κατά το οποίο υπάρχει. Επομένως, ένα σύστημα με μέση διάρκεια ζωής Dt, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί από συγκεκριμένη ενεργειακή τιμή. η κατανομή ενέργειας αυξάνεται με τη μείωση της μέσης διάρκειας ζωής. Από την έκφραση (5) προκύπτει ότι η συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτονίου πρέπει επίσης να έχει αβεβαιότητα, δηλ. Οι γραμμές φάσματος πρέπει να χαρακτηρίζονται από συχνότητα ίση με . Η εμπειρία δείχνει πραγματικά ότι όλες οι φασματικές γραμμές είναι θολές. Μετρώντας το πλάτος της φασματικής γραμμής, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη χρονική σειρά για την ύπαρξη ενός ατόμου σε διεγερμένη κατάσταση.
2. Κυματική συνάρτηση και οι ιδιότητές της
Ετσι, κβαντική μηχανικήπεριγράφει τους νόμους της κίνησης και της αλληλεπίδρασης των μικροσωματιδίων, λαμβάνοντας υπόψη τις κυματικές τους ιδιότητες. Ωστόσο, σημειώνεται ότι τα κύματα de Broglie (μικροσωματίδια) δεν έχουν όλες τις ιδιότητες των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Για παράδειγμα, τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που διαδίδεται στο διάστημα. Η διάδοση των κυμάτων de Broglie δεν σχετίζεται με τη διάδοση οποιουδήποτε ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στο διάστημα. Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι τα ομοιόμορφα και ευθύγραμμα κινούμενα φορτισμένα σωματίδια δεν ακτινοβολούν ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
Από τα πειράματα για την περίθλαση ηλεκτρονίων, προκύπτει ότι αυτά τα πειράματα αποκαλύπτουν μια άνιση κατανομή των δεσμών ηλεκτρονίων που ανακλώνται ή σκεδάζονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις: σε ορισμένες κατευθύνσεις, παρατηρείται μεγαλύτερος αριθμός ηλεκτρονίων από ό,τι σε όλες τις άλλες. Από την άποψη των κυμάτων, η παρουσία μεγίστων στον αριθμό των ηλεκτρονίων σε ορισμένες κατευθύνσεις σημαίνει ότι αυτές οι κατευθύνσεις αντιστοιχούν στην υψηλότερη ένταση των κυμάτων de Broglie. Με άλλα λόγια, η ένταση των κυμάτων σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου καθορίζει την πυκνότητα πιθανότητας ηλεκτρονίων να χτυπήσουν αυτό το σημείο. Αυτό χρησίμευσε ως βάση για ένα είδος στατιστικής, πιθανολογικής ερμηνείας των κυμάτων de Broglie.
Η μόνη σωστή ερμηνεία των κυμάτων της ύλης, η οποία καθιστά δυνατή την εναρμόνιση των περιγραφόμενων γεγονότων μεταξύ τους, είναι στατιστική ερμηνεία: Η ένταση του κύματος είναι ανάλογη με την πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε μια δεδομένη θέση. Προκειμένου να περιγραφεί η κατανομή της πιθανότητας εύρεσης ενός σωματιδίου σε ένα δεδομένο χρονικό σημείο σε κάποιο σημείο του χώρου, εισάγεται μια συνάρτηση που ονομάζεται κυματική συνάρτηση(ή psfunction). Καθορίστηκε έτσι ώστε η πιθανότητα δ Wότι το σωματίδιο βρίσκεται στο στοιχείο όγκου δ V, ήταν ίσο με το γινόμενο και το στοιχείο όγκου d V:
Δεν είναι η ίδια η συνάρτηση Y που έχει φυσική σημασία, αλλά το τετράγωνο του συντελεστή της: , όπου Y * είναι η σύζευξη μιγαδικών συναρτήσεων του Y. Η τιμή έχει νόημα πυκνότητα πιθανότητας: , δηλ. καθορίζει την πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου σε μονάδα όγκου στη γειτονιά ενός σημείου με συντεταγμένες x, y, z. Δεδομένου ότι η παρουσία ενός σωματιδίου κάπου στο διάστημα είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός και η πιθανότητα του πρέπει να είναι ίση με ένα, αυτό σημαίνει ότι η κυματική συνάρτηση ικανοποιεί η συνθήκη ομαλοποίησης της πιθανότητας:
Έτσι, στην κβαντομηχανική, η κατάσταση των μικροσωματιδίων περιγράφεται με έναν ριζικά νέο τρόπο - με τη βοήθεια της κυματικής συνάρτησης, η οποία είναι ο κύριος φορέας πληροφοριώνσχετικά με τις σωματικές και κυματικές τους ιδιότητες. Αυτό επιβάλλει έναν αριθμό περιοριστικών προϋποθέσεων στη συνάρτηση κύματος. Η συνάρτηση Υ, η οποία χαρακτηρίζει την πιθανότητα ανίχνευσης της δράσης ενός μικροσωματιδίου σε ένα στοιχείο όγκου, θα πρέπει να είναι:
1. τελικός(η πιθανότητα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από μία).
2. ξεκάθαρος(η πιθανότητα δεν μπορεί να είναι διφορούμενη τιμή).
3. συνεχής(η πιθανότητα δεν μπορεί να αλλάξει απότομα).
Η κυματική συνάρτηση ικανοποιεί αρχή της υπέρθεσης: εάν το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετικές καταστάσεις που περιγράφονται από κυματοσυναρτήσεις , τότε μπορεί επίσης να βρίσκεται στην κατάσταση Y, που περιγράφεται από έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των συναρτήσεων:
όπου C n (n=1, 2,…) είναι αυθαίρετοι, γενικά μιλώντας, μιγαδικοί αριθμοί.
Πρόσθεση κυματικές συναρτήσεις(πλάτη πιθανότητας), όχι πιθανότητες(που καθορίζεται από τα τετράγωνα των συναρτήσεων των κυμάτων) διακρίνει θεμελιωδώς την κβαντική θεωρία από την κλασική στατιστική θεωρία, στην οποία ισχύουν τα ακόλουθα για ανεξάρτητα γεγονότα: θεώρημα πρόσθεσης.
Η κυματική συνάρτηση, που είναι το κύριο χαρακτηριστικό της κατάστασης των μικροαντικειμένων, επιτρέπει στην κβαντομηχανική να υπολογίσει τις μέσες τιμές των φυσικών μεγεθών που χαρακτηρίζουν ένα δεδομένο μικροαντικείμενο:
.
όπου η ολοκλήρωση πραγματοποιείται σε ολόκληρο τον άπειρο χώρο, όπως στην περίπτωση (7).
3. Εξίσωση Schrödinger.
Η στατιστική ερμηνεία των κυμάτων de Broglie και της σχέσης αβεβαιότητας Heisenberg οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση κίνησης στην κβαντομηχανική, η οποία περιγράφει την κίνηση των μικροσωματιδίων σε διάφορα πεδία δύναμης, θα πρέπει να είναι μια εξίσωση από την οποία οι πειραματικά παρατηρούμενες κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων θα ακολουθηστε. Η κύρια εξίσωση πρέπει να είναι μια εξίσωση για την κυματική συνάρτηση, αφού είναι αυτή, ή, ακριβέστερα, η ποσότητα, που καθορίζει την πιθανότητα το σωματίδιο να παραμείνει τη στιγμή του χρόνου tστον τόμο δ V, δηλ. στην περιοχή με συντεταγμένες Χκαι Χ+δ Χ, yκαι y+δ y, zκαι z+δ z. Εφόσον η επιθυμητή εξίσωση πρέπει να λάβει υπόψη τις κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων, πρέπει να είναι κύμαεξίσωση.
Η βασική εξίσωση της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής διατυπώθηκε το 1926 από τον E. Schrödinger. Η εξίσωση Schrödinger, όπως όλες οι βασικές εξισώσεις της φυσικής (για παράδειγμα, οι εξισώσεις του Νεύτωνα στην κλασική μηχανική και οι εξισώσεις του Maxwell για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο), δεν προέρχεται, αλλά υποτίθεται. Η ορθότητα αυτής της εξίσωσης επιβεβαιώνεται από τη συμφωνία με την εμπειρία των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται με τη βοήθειά της, η οποία, με τη σειρά της, της δίνει τον χαρακτήρα ενός νόμου της φύσης. εξίσωση Schrödingerμοιάζει με:
, (8)
όπου , Μείναι η μάζα των σωματιδίων, D είναι ο τελεστής Laplace 
, Εγώείναι η φανταστική μονάδα, είναι η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του σωματιδίου στο πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται, είναι η απαιτούμενη κυματική συνάρτηση του σωματιδίου.
Η εξίσωση (8) ισχύει για κάθε σωματίδιο που κινείται με χαμηλή (σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός) ταχύτητα, δηλ. v<
1) Η συνάρτηση Υ πρέπει να είναι τελικός, συνεχήςκαι ξεκάθαρος;
2) παράγωγα 
πρέπει να είναι συνεχής;
3) η συνάρτηση πρέπει να είναι ενσωματώσιμο, δηλ. αναπόσπαστο 
θα έπρεπε να είναι τελικός.
Η εξίσωση (8) είναι η γενική εξίσωση Schrödinger. Καλείται και αυτός χρόνος εξίσωση Schrödinger, αφού περιέχει την παράγωγο της συνάρτησης Υ ως προς το χρόνο. Ωστόσο, για την πλειονότητα των φυσικών φαινομένων που συμβαίνουν στον μικρόκοσμο, η εξίσωση (8) μπορεί να απλοποιηθεί εξαλείφοντας την εξάρτηση του Υ από το χρόνο, με άλλα λόγια, βρείτε την εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις - καταστάσεις με σταθερές ενεργειακές τιμές. Αυτό είναι δυνατό εάν το πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται το σωματίδιο είναι ακίνητο, δηλ. η συνάρτηση είναι ρητά ανεξάρτητη από το χρόνο και έχει την έννοια της δυναμικής ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή, η λύση της εξίσωσης Schrödinger μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, η μία από τις οποίες είναι συνάρτηση μόνο συντεταγμένων, η άλλη είναι μόνο συνάρτηση του χρόνου και η εξάρτηση από το χρόνο εκφράζεται με τον παράγοντα , έτσι ώστε
όπου μιείναι η συνολική ενέργεια του σωματιδίου, η οποία είναι σταθερή στην περίπτωση ακίνητου πεδίου. Αντικαθιστώντας αυτό σε (8), παίρνουμε
οπότε φτάνουμε στην εξίσωση που ορίζει τη συνάρτηση y:
. (9)
Καλείται η εξίσωση (9). Εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις. Αυτή η εξίσωση περιλαμβάνει τη συνολική ενέργεια ως παράμετρο μισωματίδια. Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αποδεικνύεται ότι τέτοιες εξισώσεις έχουν άπειρο αριθμό λύσεων, από τις οποίες επιλέγονται λύσεις που έχουν φυσική σημασία επιβάλλοντας οριακές συνθήκες. Για την εξίσωση Schrödinger, τέτοιες συνθήκες είναι οι παραπάνω συνθήκες για την κανονικότητα των κυματοσυναρτήσεων. Έτσι, μόνο οι λύσεις που εκφράζονται με κανονικές συναρτήσεις έχουν πραγματικό φυσικό νόημα y. Αλλά οι κανονικές λύσεις δεν λαμβάνουν χώρα για καμία τιμή της παραμέτρου μι, αλλά μόνο για ένα συγκεκριμένο σύνολο από αυτά, χαρακτηριστικό του δεδομένου προβλήματος. Αυτές οι ενεργειακές τιμές ονομάζονται το δικό. Λύσεις που ταιριάζουν το δικόονομάζονται ενεργειακές τιμές δικές του λειτουργίες. Ιδιοτιμές μιμπορεί να σχηματίσει τόσο συνεχείς όσο και διακριτές σειρές. Στην πρώτη περίπτωση, μιλάμε για συνεχής, ή συνεχής, φάσμα, στο δεύτερο σχετικά με το διακριτό φάσμα.
4. Πυρηνικό μοντέλο του ατόμου.
Το πυρηνικό (πλανητικό) μοντέλο του ατόμου που είναι γενικά αποδεκτό σήμερα προτάθηκε από τον E. Rutherford. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο, γύρω από έναν θετικό πυρήνα με φορτίο Ζε (Ζείναι ο τακτικός αριθμός του στοιχείου στο σύστημα Mendeleev, μι- στοιχειώδης χρέωση), μέγεθος 10 -15 -10 -14 Μκαι μάζα πρακτικά ίση με τη μάζα ενός ατόμου σε μια περιοχή με γραμμικές διαστάσεις της τάξης του 10 -10 ΜΤα ηλεκτρόνια κινούνται σε κλειστές τροχιές, σχηματίζοντας το ηλεκτρονιακό κέλυφος του ατόμου. Εφόσον τα άτομα είναι ουδέτερα, το φορτίο του πυρήνα είναι ίσο με το συνολικό φορτίο των ηλεκτρονίων, δηλ. περιστρέφεται γύρω από τον πυρήνα Ζηλεκτρόνια.
Οι προσπάθειες να κατασκευαστεί ένα μοντέλο του ατόμου στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής δεν ήταν επιτυχείς. Η υπέρβαση των δυσκολιών που προέκυψαν απαιτούσε τη δημιουργία ενός ποιοτικά νέου ποσοστό- η θεωρία του ατόμου. Η πρώτη προσπάθεια κατασκευής μιας τέτοιας θεωρίας έγινε από τον Niels Bohr. Ο Bohr στήριξε τη θεωρία του σε δύο αξιώματα.
Το πρώτο αξίωμα του Bohr (υπόθεση ακίνητης κατάστασης): σε ένα άτομο υπάρχουν στάσιμες (δεν αλλάζει με το χρόνο) καταστάσεις στις οποίες δεν εκπέμπει ενέργεια. Η στατική κατάσταση του ατόμου αντιστοιχεί στις σταθερές τροχιές κατά τις οποίες κινούνται τα ηλεκτρόνια. Η κίνηση των ηλεκτρονίων σε σταθερές τροχιές δεν συνοδεύεται από εκπομπή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Στη στατική κατάσταση ενός ατόμου, ένα ηλεκτρόνιο που κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής τροχιάς πρέπει να έχει διακριτές κβαντισμένες τιμές της γωνιακής ορμής που ικανοποιεί τη συνθήκη
όπου μουείναι η μάζα του ηλεκτρονίου, v- η ταχύτητά του nη τροχιά ακτίνας rn.
Το δεύτερο αξίωμα του Bohr (κανόνας συχνότητας): όταν ένα ηλεκτρόνιο μετακινείται από μια σταθερή τροχιά σε μια άλλη, ένα φωτόνιο εκπέμπεται (απορροφάται) με ενέργεια
ίση με την ενεργειακή διαφορά των αντίστοιχων στατικών καταστάσεων ( E nκαι E mείναι, αντίστοιχα, οι ενέργειες των στατικών καταστάσεων του ατόμου πριν και μετά την ακτινοβολία (απορρόφηση)). Στο E n<E mεκπέμπεται ένα φωτόνιο (η μετάβαση ενός ατόμου από μια κατάσταση με υψηλότερη ενέργεια σε μια κατάσταση με χαμηλότερη ενέργεια, δηλ. η μετάβαση ενός ηλεκτρονίου από μια τροχιά πιο μακριά από τον πυρήνα σε μια πιο κοντινή τροχιά), όταν E n>E m- η απορρόφησή του (η μετάβαση ενός ατόμου σε μια κατάσταση με υψηλότερη ενέργεια, δηλ. η μετάβαση ενός ηλεκτρονίου σε μια τροχιά πιο μακριά από τον πυρήνα). Σύνολο πιθανών διακριτών συχνοτήτων 
Οι κβαντικές μεταβάσεις καθορίζουν το φάσμα γραμμής του ατόμου.
Τα αξιώματα που προτάθηκαν από τον Bohr κατέστησαν δυνατό τον υπολογισμό του φάσματος του ατόμου του υδρογόνου και συστήματα που μοιάζουν με υδρογόνο– συστήματα που αποτελούνται από έναν πυρήνα με φορτίο Ζεκαι ένα ηλεκτρόνιο (για παράδειγμα, He +, Li 2+ ιόντα). Ακολουθώντας τον Bohr, ας εξετάσουμε την κίνηση ενός ηλεκτρονίου σε ένα τέτοιο σύστημα, περιοριζόμενοι σε κυκλικές σταθερές τροχιές. Λύνοντας μαζί την εξίσωση που προτείνει ο Ράδερφορντ και την εξίσωση (10), παίρνουμε μια έκφραση για την ακτίνα n-η ακίνητη τροχιά:
.
Από αυτό προκύπτει ότι οι ακτίνες των τροχιών αυξάνονται αναλογικά με τα τετράγωνα των ακεραίων. Για ένα άτομο υδρογόνου ( Ζ=1) η ακτίνα της πρώτης τροχιάς ηλεκτρονίου στο n=1, καλείται πρώτη ακτίνα Bohr (ένα), είναι ίσο με
,
που αντιστοιχεί σε υπολογισμούς που βασίζονται στην κινητική θεωρία των αερίων.
Επιπλέον, λαμβάνοντας υπόψη το κβαντισμένο για την ακτίνα nστη σταθερή τροχιά της τιμής, μπορεί να αποδειχθεί ότι η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου μπορεί να λάβει μόνο τις ακόλουθες επιτρεπόμενες διακριτές τιμές:
,
όπου το πρόσημο μείον σημαίνει ότι το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δεσμευμένη κατάσταση.
5. Άτομο υδρογόνου στην κβαντομηχανική.
Η λύση του προβλήματος των ενεργειακών επιπέδων ενός ηλεκτρονίου για ένα άτομο υδρογόνου (καθώς και συστήματα που μοιάζουν με υδρογόνο: ιόν ηλίου He + , διπλά ιονισμένο λίθιο Li ++ κ.λπ.) ανάγεται στο πρόβλημα της κίνησης των ηλεκτρονίων στο Πεδίο Κουλόμπ του πυρήνα.
Δυνητική ενέργεια αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου με πυρήνα με φορτίο Ζε(για άτομο υδρογόνου Ζ=1),
,
όπου rείναι η απόσταση μεταξύ του ηλεκτρονίου και του πυρήνα.
Η κατάσταση ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο υδρογόνου περιγράφεται από την κυματική συνάρτηση y, η οποία ικανοποιεί τη σταθερή εξίσωση Schrödinger (9), λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη τιμή της δυναμικής ενέργειας:
, (12)
όπου Μείναι η μάζα του ηλεκτρονίου, μιείναι η συνολική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο. Δεδομένου ότι το πεδίο στο οποίο κινείται το ηλεκτρόνιο είναι κεντρικά συμμετρικό, ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση της εξίσωσης (12): r, q, ι. Χωρίς να μπούμε στη μαθηματική λύση αυτού του προβλήματος, περιοριζόμαστε στην εξέταση των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που προκύπτουν από αυτό.
1. Ενέργεια. Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αποδεικνύεται ότι οι εξισώσεις του τύπου (27) έχουν λύσεις που ικανοποιούν τις απαιτήσεις της μοναδικότητας, του πεπερασμένου και της συνέχειας της κυματικής συνάρτησης. y, μόνο για ιδιοτιμές ενέργειας
, (13)
εκείνοι. για ένα διακριτό σύνολο τιμών αρνητικής ενέργειας. Το χαμηλότερο επίπεδο Ε 1, που αντιστοιχεί στην ελάχιστη δυνατή ενέργεια, - βασικός, άλλα ( E n >E 1, n=1, 2, 3, …) – ενθουσιασμένος. Στο μι<0 движение электрона является σχετίζεται με, και πότε μι>0 – Ελεύθερος; περιοχή συνεχούς μι>0 αγώνες ιονισμένο άτομο. Η έκφραση (13) συμπίπτει με τον τύπο που λαμβάνεται από τον Bohr για την ενέργεια του ατόμου του υδρογόνου. Ωστόσο, εάν ο Bohr έπρεπε να εισαγάγει πρόσθετες υποθέσεις (αξίες), τότε στην κβαντομηχανική οι διακριτές τιμές της ενέργειας, ως συνέπεια της ίδιας της θεωρίας, προκύπτουν απευθείας από τη λύση της εξίσωσης Schrödinger.
2. Κβαντικοί αριθμοί. Στην κβαντομηχανική, αποδεικνύεται ότι η εξίσωση Schrödinger (12) ικανοποιείται από ιδιοσυναρτήσεις που καθορίζονται από τρεις κβαντικούς αριθμούς: τον κύριο n, τροχιακό μεγάλοκαι μαγνητική m l.
Κύριος κβαντικός αριθμός n, σύμφωνα με το (13), καθορίζει επίπεδα ενέργειας ηλεκτρονίωνσε ένα άτομο και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή ξεκινώντας από ένα:
n=1, 2, 3, …
Από τη λύση της εξίσωσης Schrödinger προκύπτει ότι στροφορμή(μηχανική τροχιακή ροπή) το ηλεκτρόνιο κβαντοποιείται, δηλ. δεν μπορεί να είναι αυθαίρετο, αλλά παίρνει διακριτές τιμές που καθορίζονται από τον τύπο
όπου μεγάλο – τροχιακός κβαντικός αριθμός, που για δεδομένο nπαίρνει αξίες μεγάλο=0, 1, …, (n-1), δηλ. Σύνολο nαξίες και καθορίζει γωνιακή ορμή ενός ηλεκτρονίουστο άτομο.
Από τη λύση της εξίσωσης Schrödinger προκύπτει επίσης ότι το διάνυσμα l lΗ γωνιακή ορμή ενός ηλεκτρονίου μπορεί να έχει μόνο τέτοιους προσανατολισμούς στο χώρο στον οποίο η προβολή του Llzπρος την κατεύθυνση zΤο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο λαμβάνει κβαντισμένες τιμές που είναι πολλαπλάσιες από:
 Ρύζι. ένας |
όπου m l – μαγνητικός κβαντικός αριθμός, που για δεδομένο μεγάλομπορεί να πάρει αξίες m l=0, ±1, ±2, …, ± μεγάλο, δηλ. σύνολο 2 μεγάλο+1 τιμές. Με αυτόν τον τρόπο, μαγνητικός κβαντικός αριθμός m lορίζει προβολή της γωνιακής ορμής ενός ηλεκτρονίου σε μια δεδομένη κατεύθυνση, και το διάνυσμα ορμής ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο μπορεί να έχει στο χώρο 2 μεγάλοπροσανατολισμοί +1.
Η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου σε διαφορετικά μέρη ενός ατόμου είναι διαφορετική. Κατά τη διάρκεια της κίνησής του, το ηλεκτρόνιο, όπως λέγαμε, «αλείφεται» σε ολόκληρο τον όγκο, σχηματίζοντας ένα σύννεφο ηλεκτρονίων, η πυκνότητα (πυκνότητα) του οποίου χαρακτηρίζει την πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου σε διάφορα σημεία του όγκου του ατόμου. Οι κβαντικοί αριθμοί n και l χαρακτηρίζουν το μέγεθος και το σχήμα του νέφους ηλεκτρονίων και ο κβαντικός αριθμός m l χαρακτηρίζει τον προσανατολισμό του νέφους ηλεκτρονίων στο διάστημα.
3. Φάσμα. Τα φωτεινά αέρια παράγουν φάσματα εκπομπής γραμμής. Σύμφωνα με το νόμο Kirchhoff, τα φάσματα απορρόφησης των αερίων έχουν επίσης μια δομή γραμμής. Όλοι οι σειρικοί τύποι του φάσματος του υδρογόνου μπορούν να εκφραστούν με έναν μόνο τύπο που ονομάζεται με τον γενικευμένο τύπο Balmer:
, (16)
όπου R\u003d 3,293 × 10 15 s -1 - Σταθερά Rydberg, Μκαι nείναι ακέραιοι και για τη δεδομένη σειρά n=Μ+1, Μ+2, Μ+3 κλπ. Συνολικά, διακρίνονται έξι σειρές φασματικών γραμμών: η σειρά Lyman ( Μ=1), σειρά Balmer ( Μ=2), σειρά Paschen ( Μ=3), Σειρά βραχίονα ( Μ=4), σειρά Pfund ( Μ=5), σειρά Humphrey ( Μ=6) (Εικ. 1).
6. Σπιν ηλεκτρονίων. Αρχή Pauli. Αρχή της δυσδιάκρισης
πανομοιότυπα σωματίδια.
Το 1922, ανακαλύφθηκε ότι μια στενή δέσμη ατόμων υδρογόνου, που είναι γνωστό ότι βρίσκεται στην κατάσταση s, χωρίζεται σε δύο δέσμες σε ένα ανομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο. Σε αυτή την κατάσταση, η γωνιακή ορμή του ηλεκτρονίου είναι ίση με μηδέν (14). Η μαγνητική ροπή ενός ατόμου, που σχετίζεται με την τροχιακή κίνηση ενός ηλεκτρονίου, είναι ανάλογη με τη μηχανική ροπή, επομένως είναι ίση με μηδέν και το μαγνητικό πεδίο δεν πρέπει να επηρεάζει την κίνηση των ατόμων υδρογόνου στη θεμελιώδη κατάσταση, δηλ. η διάσπαση δεν πρέπει να είναι.
Για να εξηγηθεί αυτό το φαινόμενο, καθώς και μια σειρά από άλλες δυσκολίες στην ατομική φυσική, προτάθηκε ότι το ηλεκτρόνιο έχει δική άφθαρτη μηχανική ορμή, που δεν σχετίζεται με την κίνηση ενός ηλεκτρονίου στο διάστημα, - πίσω. Το σπιν ενός ηλεκτρονίου (και όλων των άλλων σωματιδίων) είναι μια κβαντική ποσότητα, δεν έχει κλασικό ανάλογο. είναι μια εγγενής εγγενής ιδιότητα του ηλεκτρονίου, παρόμοια με το φορτίο και τη μάζα του.
Εάν σε ένα ηλεκτρόνιο εκχωρηθεί η δική του μηχανική γωνιακή ορμή (σπιν) μεγάλο s , τότε αντιστοιχεί στη δική του μαγνητική ροπή. Σύμφωνα με τα γενικά συμπεράσματα της κβαντικής μηχανικής, Η περιστροφή κβαντίζεται σύμφωνα με το νόμο
,
όπου μικρό – spin κβαντικός αριθμός.
Κατ' αναλογία με την τροχιακή γωνιακή ορμή, η προβολή L szτο σπιν κβαντοποιείται έτσι ώστε το διάνυσμα μεγάλο s μπορεί να πάρει 2 μικρόπροσανατολισμοί +1. Δεδομένου ότι μόνο δύο προσανατολισμοί παρατηρήθηκαν στα πειράματα, τότε 2 μικρό+1=2, εξ ου και μικρό=1/2. Η προβολή του σπιν στην κατεύθυνση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, που είναι κβαντισμένη ποσότητα παρόμοια με το (15):
όπου Κυρία – κβαντικός αριθμός μαγνητικού σπιν; μπορεί να έχει μόνο δύο τιμές: .
Η κατανομή των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο υπακούει σε έναν κβαντομηχανικό νόμο που ονομάζεται Αρχή Pauliή αρχή του αποκλεισμού. Στην απλούστερη διατύπωσή του, λέει: «Σε κανένα άτομο, δεν μπορούν να υπάρχουν δύο ηλεκτρόνια που βρίσκονται σε δύο ίδιες σταθερές καταστάσεις, που καθορίζονται από ένα σύνολο τεσσάρων κβαντικών αριθμών: τον κύριο n, τροχιακό μεγάλο, μαγνητικό m lκαι γύρισμα Κυρία», δηλ. Z(n, l, m l , m s)=0 ή 1, όπου Z(n, l, m l , m s)είναι ο αριθμός των ηλεκτρονίων σε μια κβαντική κατάσταση που περιγράφεται από ένα σύνολο τεσσάρων κβαντικών αριθμών: n, l, m l , m s. Έτσι, η αρχή Pauli δηλώνει ότι δύο ηλεκτρόνια που συνδέονται στο ίδιο άτομο διαφέρουν στις τιμές τουλάχιστον ενός κβαντικού αριθμού.
Το σύνολο των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο πολλαπλών ηλεκτρονίων που έχουν τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό n, που ονομάζεται νέφος ηλεκτρονίων. Σε κάθε φλοιό, τα ηλεκτρόνια κατανέμονται κατά μήκος υποκελύφηπου αντιστοιχεί σε αυτό μεγάλο. Δεδομένου ότι ο τροχιακός κβαντικός αριθμός παίρνει τιμές από 0 έως n-1, ο αριθμός των υποκελυφών είναι ίσος με τον τακτικό αριθμό nκοχύλια. Ο αριθμός των ηλεκτρονίων σε ένα υποκέλυφος καθορίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς του μαγνητικού και του μαγνητικού σπιν: ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων σε ένα υποκέλυφος με δεδομένο μεγάλοισούται με 2 (2 μεγάλο+1).
Εάν περάσουμε από την εξέταση της κίνησης ενός μικροσωματιδίου (ενός ηλεκτρονίου) σε συστήματα πολλών στοιχείων, τότε εμφανίζονται ειδικές ιδιότητες που δεν έχουν ανάλογες στην κλασική φυσική. Αφήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα να αποτελείται από πανομοιότυπα σωματίδια, για παράδειγμα, ηλεκτρόνια. Όλα τα ηλεκτρόνια έχουν τις ίδιες φυσικές ιδιότητες - μάζα, ηλεκτρικό φορτίο, σπιν και άλλα εσωτερικά χαρακτηριστικά. Τέτοια σωματίδια ονομάζονται πανομοιότυπο.
Οι ασυνήθιστες ιδιότητες ενός συστήματος πανομοιότυπων πανομοιότυπων σωματιδίων εκδηλώνονται στο θεμελιώδηςαρχές της κβαντικής μηχανικής αρχή της μη διακριτότητας πανομοιότυπων σωματιδίων, σύμφωνα με την οποία είναι αδύνατο να διακριθούν πειραματικά πανομοιότυπα σωματίδια. Στην κλασική μηχανική, ακόμη και πανομοιότυπα σωματίδια μπορούν να διακριθούν από τη θέση τους στο χώρο και τη ροπή, δηλ. τα κλασικά σωματίδια έχουν ατομικότητα.
Στην κβαντομηχανική, η κατάσταση είναι διαφορετική. Από τη σχέση αβεβαιότητας προκύπτει ότι η έννοια της τροχιάς είναι γενικά ανεφάρμοστη στα μικροσωματίδια. η κατάσταση ενός μικροσωματιδίου περιγράφεται από μια κυματική συνάρτηση που επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει μόνο την πιθανότητα () να βρει ένα μικροσωματίδιο κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Εάν οι κυματικές συναρτήσεις δύο πανομοιότυπων σωματιδίων στο χώρο επικαλύπτονται, τότε το να μιλάμε για το ποιο σωματίδιο βρίσκεται σε μια δεδομένη περιοχή είναι γενικά χωρίς νόημα: μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για την πιθανότητα εύρεσης ενός από τα ίδια σωματίδια σε μια δεδομένη περιοχή. Έτσι, στην κβαντομηχανική, τα πανομοιότυπα σωματίδια χάνουν εντελώς την ατομικότητά τους και γίνονται δυσδιάκριτα.
7. Κβαντική στατιστική. εκφυλισμένο αέριο.
Το κύριο καθήκον της στατιστικής φυσικής στην κβαντική στατιστική είναι να βρει τη συνάρτηση κατανομής των σωματιδίων του συστήματος σύμφωνα με τη μία ή την άλλη παράμετρο - συντεταγμένες, ροπές, ενέργειες κ.λπ., καθώς και να βρει τις μέσες τιμές αυτών των παραμέτρων που χαρακτηρίζει τη μακροσκοπική κατάσταση ολόκληρου του συστήματος των σωματιδίων. Για συστήματα φερμιονίων και μποζονίων, αυτά τα προβλήματα επιλύονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά κάπως διαφορετικά λόγω του γεγονότος ότι τα μποζόνια δεν υπακούουν στην αρχή Pauli. Σύμφωνα με αυτό, διακρίνονται δύο κβαντικές στατιστικές: Fermi-Dirac και Bose-Einstein, εντός των οποίων καθορίζεται η μορφή της συνάρτησης κατανομής των σωματιδίων του συστήματος ως προς τις ενέργειες.
Θυμηθείτε ότι συνάρτηση διανομής ενέργειαςαντιπροσωπεύει το κλάσμα του συνολικού αριθμού των σωματιδίων που έχουν ενέργειες στην περιοχή από Wπριν W+dW:
,
όπου Νείναι ο συνολικός αριθμός των σωματιδίων, f(W)είναι η συνάρτηση διανομής ενέργειας.
Για ένα σύστημα από nμη αλληλεπιδρώντα φερμιόνια με ενέργεια W(ιδανικό αέριο Fermi) ή συστήματα από nμη αλληλεπιδρώντα μποζόνια με ενέργεια W(ιδανικό αέριο Bose) έχουν οριστεί παρόμοιες συναρτήσεις διανομής:
, (17)
όπου κείναι η σταθερά Boltzmann, Τείναι η θερμοδυναμική θερμοκρασία, Μ- χημικό δυναμικό, το οποίο είναι μια αλλαγή στην ενέργεια του συστήματος όταν ο αριθμός των σωματιδίων του συστήματος αλλάζει ανά μονάδα σε μια ισοχωρική ή ισεντροπική διεργασία. Στα πλαίσια των στατιστικών Fermi-Dirac, στο (32) λαμβάνεται το πρόσημο «+», δηλ. σε αυτήν την περίπτωση . Κατά συνέπεια, για το αέριο Bose - το σύμβολο "-" και .
Αέριοπου ονομάζεται εκφυλισμένος, εάν οι ιδιότητές του διαφέρουν από αυτές ενός κλασικού ιδανικού αερίου. Σε ένα εκφυλισμένο αέριο, υπάρχει μια αμοιβαία κβαντομηχανική επίδραση των σωματιδίων αερίου λόγω της δυσδιάκρισης των πανομοιότυπων σωματιδίων. Η συμπεριφορά των φερμιονίων και των μποζονίων είναι διαφορετική κατά τη διάρκεια του εκφυλισμού.
Για να χαρακτηρίσουμε τον βαθμό εκφυλισμού αερίων, εισάγουμε παράμετρος εκφυλισμού ΑΛΛΑ:
Η συνάρτηση κατανομής με τη βοήθεια της παραμέτρου εκφυλισμού και για τις δύο κβαντικές στατιστικές μπορεί να γραφτεί με τη μορφή:
.
Εάν η παράμετρος εκφυλισμού είναι μικρή Α<<1, то и функция распределения превращается в Συνάρτηση κατανομής Maxwell-Boltzmann, που αποτελεί τη βάση της κλασικής στατιστικής ενός μη εκφυλισμένου αερίου:
Θερμοκρασία εκφυλισμούονομάζεται η θερμοκρασία κάτω από την οποία εκδηλώνονται ξεκάθαρα οι κβαντικές ιδιότητες ενός ιδανικού αερίου, λόγω της ταυτότητας των σωματιδίων. Είναι συγκριτικά εύκολο να εκτιμηθεί χονδρικά το κριτήριο θερμοκρασίας για εκφυλισμό αερίων. Ο εκφυλισμός των συνηθισμένων αερίων γίνεται σε χαμηλές θερμοκρασίες. Αυτό δεν ισχύει για το φωτόνιο και το αέριο ηλεκτρονίων στα μέταλλα. Το αέριο ηλεκτρονίων στα μέταλλα είναι σχεδόν πάντα εκφυλισμένο. Μόνο σε θερμοκρασίες άνω των πολλών δεκάδων χιλιάδων βαθμών τα μεταλλικά ηλεκτρόνια θα υπάκουαν στις κλασικές στατιστικές Maxwell-Boltzmann. Όμως η ύπαρξη μετάλλων σε συμπυκνωμένη κατάσταση σε τέτοιες θερμοκρασίες είναι αδύνατη. Επομένως, η κλασική περιγραφή της συμπεριφοράς των ηλεκτρονίων στα μέταλλα οδηγεί στην ηλεκτροδυναμική σε πολλές περιπτώσεις σε νόμους που έρχονται σε πλήρη αντίθεση με την εμπειρία. Στους ημιαγωγούς, η συγκέντρωση του αερίου ηλεκτρονίων είναι πολύ χαμηλότερη από ότι στα μέταλλα. Υπό αυτές τις συνθήκες, η θερμοκρασία εκφυλισμού είναι της τάξης των 10 -4 Κ και το αέριο ηλεκτρονίων στους ημιαγωγούς είναι μη εκφυλισμένο και υπακούει στην κλασική στατιστική. Ένα παράδειγμα εκφυλισμένου αερίου είναι το αέριο φωτόνιο. Δεδομένου ότι η μάζα των φωτονίων είναι μηδέν, η θερμοκρασία εκφυλισμού τείνει στο άπειρο. Ένα φωτόνιο αέριο σε οποιαδήποτε θερμοκρασία είναι εκφυλισμένο. Τα ατομικά και μοριακά αέρια έχουν πολύ χαμηλές θερμοκρασίες εκφυλισμού. Για παράδειγμα, για το υδρογόνο, υπό κανονικές συνθήκες, η θερμοκρασία εκφυλισμού είναι περίπου 1 Κ. Για άλλα αέρια βαρύτερα από το υδρογόνο, είναι ακόμη χαμηλότερη. Τα αέρια υπό κανονικές συνθήκες δεν είναι εκφυλισμένα. Ο εκφυλισμός που σχετίζεται με τις κβαντικές ιδιότητες των αερίων εκδηλώνεται πολύ λιγότερο από την απόκλιση των αερίων από την ιδεατότητα που προκαλείται από διαμοριακές αλληλεπιδράσεις.
Η μέγιστη ενέργεια που μπορούν να έχουν τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας σε έναν κρύσταλλο στο 0 K ονομάζεται Ενέργεια Fermiκαι συμβολίζεται Ε Φ. Το υψηλότερο επίπεδο ενέργειας που καταλαμβάνεται από ηλεκτρόνια ονομάζεται Επίπεδο Fermi. Το επίπεδο Fermi αντιστοιχεί στην ενέργεια Fermi που έχουν τα ηλεκτρόνια σε αυτό το επίπεδο. Το επίπεδο Fermi θα είναι προφανώς όσο υψηλότερο, τόσο μεγαλύτερη είναι η πυκνότητα του αερίου ηλεκτρονίου. Η συνάρτηση εργασίας ενός ηλεκτρονίου από ένα μέταλλο πρέπει να μετρηθεί από το επίπεδο Fermi, δηλ. από την κορυφή των ενεργειακών επιπέδων που καταλαμβάνονται από ηλεκτρόνια.
8. Η έννοια της θεωρίας ζωνών των στερεών.
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Schrödinger, καταρχήν, μπορεί κανείς να εξετάσει το πρόβλημα ενός κρυστάλλου, για παράδειγμα, να βρει τις πιθανές τιμές της ενέργειάς του, καθώς και τις αντίστοιχες ενεργειακές καταστάσεις. Ωστόσο, τόσο στην κλασική όσο και στην κβαντική μηχανική δεν υπάρχουν μέθοδοι για την ακριβή λύση ενός τέτοιου προβλήματος για την περίπτωση πολλών σωματιδίων. Επομένως, αυτό το πρόβλημα λύνεται κατά προσέγγιση με την αναγωγή του προβλήματος πολλών σωματιδίων στο πρόβλημα ενός ηλεκτρονίου ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε ένα δεδομένο εξωτερικό πεδίο. Ένα τέτοιο μονοπάτι οδηγεί σε θεωρία ζωνών στερεών.
 Ρύζι. 2 |
Εφόσον τα άτομα είναι απομονωμένα, δηλ. που βρίσκονται σε μακροσκοπικές αποστάσεις μεταξύ τους, έχουν συμπίπτοντα σχήματα ενεργειακών επιπέδων. Κατά το σχηματισμό κρυσταλλικού πλέγματος, δηλ. όταν τα άτομα πλησιάζουν τις αποστάσεις του διατομικού πλέγματος, η αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων οδηγεί στο γεγονός ότι τα επίπεδα ενέργειας των ατόμων μετατοπίζονται, χωρίζονται και επεκτείνονται σε ζώνες, σχηματίζοντας ενεργειακό φάσμα της ζώνης. Στο σχ. 2 δείχνει τη διάσπαση των ενεργειακών επιπέδων ανάλογα με την απόσταση μεταξύ των ατόμων. Μπορεί να φανεί ότι μόνο τα επίπεδα των εξωτερικών ηλεκτρονίων σθένους, τα οποία είναι πιο ασθενώς συνδεδεμένα με τον πυρήνα και έχουν την υψηλότερη ενέργεια, καθώς και τα υψηλότερα επίπεδα, τα οποία στη θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου δεν καταλαμβάνονται καθόλου από ηλεκτρόνια. χωρίζουν και επεκτείνονται. Τα επίπεδα των εσωτερικών ηλεκτρονίων είτε δεν διασπώνται καθόλου, είτε διασπώνται μόνο ασθενώς. Έτσι, στα στερεά, τα εσωτερικά ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο όπως στα μεμονωμένα άτομα, ενώ τα ηλεκτρόνια σθένους «συλλεκτικοποιούνται» - ανήκουν σε ολόκληρο το στερεό.
Η ενέργεια των εξωτερικών ηλεκτρονίων μπορεί να λάβει τιμές εντός των ορίων που σκιάζονται στο Σχ. Καλούνται 2 περιοχές επιτρεπόμενα επίπεδα ενέργειας. Κάθε επιτρεπόμενη ζώνη «φιλοξενεί» τόσα κοντινά διακριτά επίπεδα όσα άτομα υπάρχουν στον κρύσταλλο: όσο περισσότερα άτομα στον κρύσταλλο, τόσο πιο κοντά βρίσκονται τα επίπεδα στη ζώνη. Η απόσταση μεταξύ γειτονικών επιπέδων ενέργειας είναι τόσο αμελητέα (της τάξης των 10 -22 eV) που οι ζώνες μπορούν να θεωρηθούν πρακτικά συνεχείς, αλλά το γεγονός ότι ο αριθμός των επιπέδων στη ζώνη είναι πεπερασμένος παίζει σημαντικό ρόλο στην κατανομή των ηλεκτρονίων πάνω από τα κράτη. Οι επιτρεπόμενες ενεργειακές ζώνες χωρίζονται από ζώνες απαγορευμένων ενεργειακών τιμών, που ονομάζονται απαγορευμένες ενεργειακές ζώνες. Δεν μπορούν να περιέχουν ηλεκτρόνια. Το πλάτος των ταινιών (επιτρεπόμενο και απαγορευμένο) δεν εξαρτάται από το μέγεθος του κρυστάλλου. Οι επιτρεπόμενες ζώνες είναι όσο ευρύτερες, τόσο πιο αδύναμος είναι ο δεσμός μεταξύ ηλεκτρονίων σθένους και ατόμων.
Η θεωρία ζωνών των στερεών κατέστησε δυνατή την ερμηνεία της ύπαρξης μετάλλων, διηλεκτρικών και ημιαγωγών από μια ενιαία σκοπιά, εξηγώντας τη διαφορά στις ηλεκτρικές τους ιδιότητες, πρώτον, από την άνιση πλήρωση των επιτρεπόμενων ζωνών με ηλεκτρόνια και, δεύτερον, από το πλάτος των απαγορευμένων ζωνών. Ο βαθμός κατάληψης των ενεργειακών επιπέδων στη ζώνη από ηλεκτρόνια καθορίζεται από την κατάληψη των αντίστοιχων ατομικών επιπέδων. Σε γενικές γραμμές, μπορεί κανείς να μιλήσει για ζώνη σθένους, το οποίο είναι πλήρως γεμάτο με ηλεκτρόνια και σχηματίζεται από τα ενεργειακά επίπεδα των εσωτερικών ηλεκτρονίων των ελεύθερων ατόμων, και o ζώνη αγωγιμότητας (ελεύθερη ζώνη), το οποίο είτε είναι μερικώς γεμάτο με ηλεκτρόνια, είτε είναι ελεύθερο και σχηματίζεται από τα ενεργειακά επίπεδα των εξωτερικών «συλλεκτικοποιημένων» ηλεκτρονίων μεμονωμένων ατόμων. Ανάλογα με το βαθμό πλήρωσης των ζωνών με ηλεκτρόνια και το διάκενο ζώνης, είναι δυνατές τέσσερις περιπτώσεις (Εικ. 3).
Στο σχ. 3, έναΗ ανώτατη ζώνη που περιέχει ηλεκτρόνια είναι μόνο εν μέρει γεμάτη. έχει κενά επίπεδα. Στην περίπτωση αυτή, το ηλεκτρόνιο, έχοντας λάβει ένα αυθαίρετα μικρής ενέργειας «πρόσθετο» (για παράδειγμα, λόγω θερμικής κίνησης ή ηλεκτρικού πεδίου), θα μπορεί να μετακινηθεί σε υψηλότερο ενεργειακό επίπεδο της ίδιας ζώνης,
