Αξίωμα πληρότητας πραγματικών αριθμών. Θεμέλιο της ανάλυσης. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ορισμός ένθετων τμημάτων

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 5

✪ Αξιωματικά πραγματικών αριθμών

✪ Εισαγωγή. Πραγματικοί αριθμοί | matan #001 | Μπόρις Τρούσιν +

✪ Η αρχή των ένθετων τμημάτων | matan #003 | Μπόρις Τρούσιν!

✪ Διάφορες αρχές συνέχειας | matan #004 | Μπόρις Τρούσιν!

✪ Αξίωμα συνέχειας. Η αρχή του Cantor των ένθετων περικοπών

Υπότιτλοι

Αξίωμα συνέχειας

Η ακόλουθη πρόταση είναι ίσως η απλούστερη και πιο βολική για εφαρμογές διατύπωση της ιδιότητας συνέχειας των πραγματικών αριθμών. Στην αξιωματική κατασκευή της θεωρίας του πραγματικού αριθμού, αυτή η δήλωση, ή ισοδύναμη με αυτήν, περιλαμβάνεται ασφαλώς στον αριθμό των αξιωμάτων του πραγματικού αριθμού.

Αξίωμα συνέχειας (πληρότητα). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) )και B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) )και η ανισότητα ικανοποιείται, υπάρχει ένας τέτοιος πραγματικός αριθμός ξ (\displaystyle \xi )αυτό για όλους a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)υπάρχει σχέση

Γεωμετρικά, αν αντιμετωπίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς ως σημεία σε ευθεία γραμμή, αυτή η δήλωση φαίνεται προφανής. Αν δύο σετ A (\displaystyle A)και B (\displaystyle B)είναι τέτοια ώστε στην αριθμητική γραμμή όλα τα στοιχεία ενός από αυτά βρίσκονται αριστερά από όλα τα στοιχεία του δεύτερου, τότε υπάρχει ένας αριθμός ξ (\displaystyle \xi ), χωρίζονταςαυτά τα δύο σύνολα, δηλαδή, που βρίσκονται στα δεξιά όλων των στοιχείων A (\displaystyle A)(εκτός ίσως από το ξ (\displaystyle \xi )) και στα αριστερά όλων των στοιχείων B (\displaystyle B)(ίδια ρήτρα).

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι παρά την «προφανή» αυτής της ιδιότητας, για τους ρητούς αριθμούς δεν ικανοποιείται πάντα. Για παράδειγμα, εξετάστε δύο σύνολα:

A = ( x ∈ Q: x > 0 , x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A=\(x\in \mathbb (Q) :x>0,\;x^(2)<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2\))

Είναι εύκολο να το δει κανείς για οποιοδήποτε στοιχείο a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)την ανισότητα ένα< b {\displaystyle a. Ωστόσο λογικόςαριθμοί ξ (\displaystyle \xi ), που χωρίζει αυτά τα δύο σύνολα, δεν υπάρχει. Πράγματι, αυτός ο αριθμός μπορεί μόνο να είναι 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), αλλά δεν είναι λογικό.

Ο ρόλος του αξιώματος της συνέχειας στην κατασκευή της μαθηματικής ανάλυσης

Η σημασία του αξιώματος της συνέχειας είναι τέτοια που χωρίς αυτό είναι αδύνατη μια αυστηρή κατασκευή μαθηματικής ανάλυσης. Για να το δείξουμε, παρουσιάζουμε αρκετές θεμελιώδεις δηλώσεις ανάλυσης, η απόδειξη των οποίων βασίζεται στη συνέχεια των πραγματικών αριθμών:

• (Θεώρημα του Weierstrass).Κάθε οριοθετημένη μονότονα αυξανόμενη ακολουθία συγκλίνει
• (Θεώρημα Bolzano - Cauchy).Μια συνεχής συνάρτηση σε ένα τμήμα που παίρνει τιμές διαφορετικών σημάτων στα άκρα του εξαφανίζεται σε κάποιο εσωτερικό σημείο του τμήματος
• (Ύπαρξη ισχύος, εκθετικής, λογαριθμικής και όλων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ολόκληρο το "φυσικό" πεδίο ορισμού).Για παράδειγμα, αποδεικνύεται ότι για κάθε a > 0 (\displaystyle a>0)και ολόκληρο n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1)υπάρχει a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), δηλαδή τη λύση της εξίσωσης x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Αυτό σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την τιμή της έκφρασης για όλα τα ορθολογικά x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

Τέλος, και πάλι λόγω της συνέχειας της αριθμητικής γραμμής, μπορεί κανείς να προσδιορίσει την τιμή της παράστασης a x (\displaystyle a^(x))ήδη για αυθαίρετα x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Ομοίως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συνέχειας, αποδεικνύουμε την ύπαρξη του αριθμού log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b))για κάθε a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Για μια μακρά ιστορική περίοδο, οι μαθηματικοί απέδειξαν θεωρήματα από αναλύσεις, σε «λεπτές θέσεις» αναφερόμενες στη γεωμετρική αιτιολόγηση, και πιο συχνά παρακάμπτοντάς τα εντελώς, αφού ήταν προφανές. Η βασική έννοια της συνέχειας χρησιμοποιήθηκε χωρίς σαφή ορισμό. Μόνο στο τελευταίο τρίτο του 19ου αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass παρήγαγε την αριθμητική ανάλυση της ανάλυσης, κατασκευάζοντας την πρώτη αυστηρή θεωρία των πραγματικών αριθμών ως άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Πρότεινε τον κλασικό ορισμό του ορίου στη γλώσσα ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), απέδειξε μια σειρά από δηλώσεις που θεωρήθηκαν «προφανείς» ενώπιον του, και έτσι ολοκλήρωσε την κατασκευή του θεμελίου της μαθηματικής ανάλυσης.

Αργότερα, προτάθηκαν άλλες προσεγγίσεις για τον ορισμό ενός πραγματικού αριθμού. Στην αξιωματική προσέγγιση, η συνέχεια των πραγματικών αριθμών ξεχωρίζει ρητά ως ξεχωριστό αξίωμα. Σε εποικοδομητικές προσεγγίσεις στη θεωρία ενός πραγματικού αριθμού, για παράδειγμα, κατά την κατασκευή πραγματικών αριθμών με χρήση τμημάτων Dedekind, η ιδιότητα της συνέχειας (σε μια διατύπωση ή την άλλη) αποδεικνύεται ως θεώρημα.

Άλλες Δηλώσεις Ιδιότητας Συνέχειας και Ισοδύναμες Προτάσεις

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προτάσεις που εκφράζουν την ιδιότητα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών. Κάθε μία από αυτές τις αρχές μπορεί να ληφθεί ως βάση για την κατασκευή της θεωρίας του πραγματικού αριθμού ως αξίωμα της συνέχειας και όλες οι άλλες μπορούν να προκύψουν από αυτήν. Αυτό το θέμα συζητείται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Συνέχεια κατά τον Dedekind

Το ζήτημα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών ο Dedekind εξετάζει στο έργο του "Συνέχεια και παράλογοι αριθμοί". Σε αυτό, συγκρίνει ρητούς αριθμούς με σημεία σε ευθεία γραμμή. Όπως γνωρίζετε, μεταξύ ορθολογικών αριθμών και σημείων μιας ευθείας γραμμής, μπορείτε να δημιουργήσετε μια αντιστοιχία όταν το σημείο εκκίνησης και η μονάδα μέτρησης των τμημάτων επιλέγονται στην ευθεία γραμμή. Με τη βοήθεια του τελευταίου, για κάθε ρητό αριθμό a (\displaystyle a)κατασκευάστε το αντίστοιχο τμήμα και βάζοντάς το στην άκρη δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με το αν υπάρχει a (\displaystyle a)θετικός ή αρνητικός αριθμός, πάρε σημείο p (\displaystyle p)που αντιστοιχεί στον αριθμό a (\displaystyle a). Άρα κάθε ρητός αριθμός a (\displaystyle a)ταιριάζει με έναν και μόνο βαθμό p (\displaystyle p)σε ευθεία γραμμή.

Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία στην ευθεία που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, ένα σημείο που προκύπτει σχεδιάζοντας το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου που είναι χτισμένο σε ένα μοναδιαίο τμήμα. Έτσι, το βασίλειο των ρητών αριθμών δεν το έχει αυτό πληρότητα, ή συνέχεια, που είναι εγγενές σε μια ευθεία γραμμή.

Για να μάθετε σε τι συνίσταται αυτή η συνέχεια, ο Dedekind κάνει την εξής παρατήρηση. Αν ένα p (\displaystyle p)είναι ένα ορισμένο σημείο της ευθείας, τότε όλα τα σημεία της ευθείας εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες: σημεία που βρίσκονται στα αριστερά p (\displaystyle p)και δείχνει προς τα δεξιά p (\displaystyle p). Το ίδιο το σημείο p (\displaystyle p)μπορεί να ανατεθεί αυθαίρετα είτε στην κατώτερη είτε στην ανώτερη τάξη. Ο Dedekind βλέπει την ουσία της συνέχειας στην αντίστροφη αρχή:

Γεωμετρικά, αυτή η αρχή φαίνεται προφανής, αλλά δεν είμαστε σε θέση να το αποδείξουμε. Ο Dedekind τονίζει ότι, στην ουσία, αυτή η αρχή είναι ένα αξίωμα, το οποίο εκφράζει την ουσία αυτής της ιδιότητας που αποδίδεται στην ευθεία γραμμή, την οποία ονομάζουμε συνέχεια.

Για να κατανοήσετε καλύτερα την ουσία της συνέχειας της αριθμητικής γραμμής με την έννοια του Dedekind, εξετάστε ένα αυθαίρετο τμήμα του συνόλου των πραγματικών αριθμών, δηλαδή τη διαίρεση όλων των πραγματικών αριθμών σε δύο μη κενές τάξεις, έτσι ώστε όλοι οι αριθμοί μια κλάση βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή στα αριστερά όλων των αριθμών της δεύτερης. Αυτές οι τάξεις ονομάζονται αντίστοιχα πιο χαμηλακαι ανώτερες τάξειςενότητες. Θεωρητικά, υπάρχουν 4 πιθανότητες:

1. Η κατώτερη τάξη έχει μέγιστο στοιχείο, η ανώτερη δεν έχει ελάχιστο
2. Η κάτω κατηγορία δεν έχει μέγιστο στοιχείο, ενώ η ανώτερη κατηγορία έχει ένα ελάχιστο
3. Η κάτω κατηγορία έχει ένα μέγιστο στοιχείο και η ανώτερη κατηγορία έχει ένα ελάχιστο στοιχείο.
4. Η κατώτερη τάξη δεν έχει μέγιστο και η κορυφαία δεν έχει ελάχιστο.

Στην πρώτη και στη δεύτερη περίπτωση, το μέγιστο στοιχείο του κάτω ή το ελάχιστο στοιχείο του άνω, αντίστοιχα, παράγει αυτό το τμήμα. Στην τρίτη περίπτωση έχουμε άλμα, και στο τέταρτο χώρος. Έτσι, η συνέχεια της αριθμητικής γραμμής σημαίνει ότι δεν υπάρχουν άλματα ή κενά στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, μεταφορικά μιλώντας, δεν υπάρχουν κενά.

Αυτή η πρόταση είναι επίσης ισοδύναμη με την αρχή της συνέχειας του Dedekind. Επιπλέον, μπορεί να αποδειχθεί ότι η δήλωση του infimum θεωρήματος απορρέει άμεσα από τον ισχυρισμό του supremum θεωρήματος και αντίστροφα (βλ. παρακάτω).

Πεπερασμένο λήμμα καλύμματος (αρχή Heine-Borel)

Πεπερασμένο Λήμμα Εξωφύλλου (Heine - Borel). Σε οποιοδήποτε σύστημα διαστημάτων που καλύπτει ένα τμήμα, υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύστημα που καλύπτει αυτό το τμήμα.

Λήμμα οριακού σημείου (αρχή Bolzano-Weierstrass)

Λήμμα οριακού σημείου (Μπολτσάνο - Βάιερστρας). Κάθε σύνολο άπειρων οριοθετημένων αριθμών έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο.. Η δεύτερη ομάδα εκφράζει το γεγονός ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι , και η σχέση τάξης είναι συνεπής με τις βασικές πράξεις του πεδίου. Έτσι, η πρώτη και η δεύτερη ομάδα αξιωμάτων σημαίνουν ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο πεδίο. Η τρίτη ομάδα αξιωμάτων αποτελείται από ένα αξίωμα - το αξίωμα της συνέχειας (ή της πληρότητας).

Για να δείξουμε την ισοδυναμία διαφόρων διατυπώσεων της συνέχειας των πραγματικών αριθμών, πρέπει να αποδειχθεί ότι εάν μία από αυτές τις προτάσεις ισχύει για ένα διατεταγμένο πεδίο, τότε όλες οι άλλες είναι αληθείς.

Θεώρημα. Έστω ένα αυθαίρετο γραμμικό-διατεταγμένο-σύνολο . Οι παρακάτω δηλώσεις είναι ισοδύναμες:

1. Όποια κι αν είναι τα μη κενά θέτει και B ⊂ R (\displaystyle B\υποσύνολο (\mathsf (R))), έτσι ώστε για οποιαδήποτε δύο στοιχεία a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)την ανισότητα a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), υπάρχει ένα τέτοιο στοιχείο ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R)))αυτό για όλους a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)υπάρχει σχέση a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. Για οποιοδήποτε τμήμα σε R (\displaystyle (\mathsf (R)))υπάρχει ένα στοιχείο που παράγει αυτό το τμήμα
3. Κάθε μη κενό σύνολο περιορίζεται παραπάνω A ⊂ R (\displaystyle A\υποσύνολο (\mathsf (R)))έχει υπέρτατο
4. Κάθε μη κενό σύνολο περιορίζεται παρακάτω A ⊂ R (\displaystyle A\υποσύνολο (\mathsf (R)))έχει ένα infimum

Όπως φαίνεται από αυτό το θεώρημα, αυτές οι τέσσερις προτάσεις χρησιμοποιούν μόνο αυτό που υπάρχει R (\displaystyle (\mathsf (R)))εισήγαγε μια σχέση γραμμικής τάξης και μην χρησιμοποιείτε τη δομή πεδίου. Έτσι, το καθένα από αυτά εκφράζει την ιδιότητα R (\displaystyle (\mathsf (R)))ως γραμμικά διατεταγμένο σύνολο. Αυτή η ιδιότητα (ενός αυθαίρετου γραμμικά διατεταγμένου συνόλου, όχι απαραίτητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών) ονομάζεται συνέχεια, ή πληρότητα, σύμφωνα με τον Dedekind.

Η απόδειξη της ισοδυναμίας άλλων προτάσεων απαιτεί ήδη μια δομή πεδίου.

Θεώρημα. Αφήνω R (\displaystyle (\mathsf (R)))- ένα αυθαίρετο διατεταγμένο πεδίο. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

Σχόλιο. Όπως φαίνεται από το θεώρημα, η αρχή των ένθετων τμημάτων από μόνη της δεν είναι ισοδύναμοΗ αρχή της συνέχειας του Dedekind. Η αρχή των ένθετων τμημάτων απορρέει από την αρχή της συνέχειας του Dedekind, αλλά για το αντίστροφο απαιτείται επιπλέον να απαιτείται το διατεταγμένο πεδίο .

Ορισμός ένθετων τμημάτων. Απόδειξη του λήμματος Cauchy-Cantor σε ένθετα τμήματα.

Περιεχόμενο

Ορισμός ένθετων τμημάτων

Έστω a και b δύο πραγματικοί αριθμοί (). Αστο να πάει . Το σύνολο των αριθμών x που ικανοποιεί τις ανισώσεις ονομάζεται τμήμα με άκρα α και β. Το τμήμα επισημαίνεται ως εξής:

Ακολουθία αριθμητικών τμημάτων

ονομάζεται η ακολουθία ένθετα τμήματα, εάν κάθε επόμενο τμήμα περιέχεται στο προηγούμενο:
.
Δηλαδή, τα άκρα των τμημάτων συνδέονται με ανισότητες:
.

Λήμμα σε ένθετα τμήματα (αρχή Cauchy-Cantor)

Για οποιαδήποτε ακολουθία ένθετων τμημάτων, υπάρχει ένα σημείο που ανήκει σε όλα αυτά τα τμήματα.
Εάν τα μήκη των τμημάτων τείνουν στο μηδέν:
,
τότε υπάρχει μόνο ένα τέτοιο σημείο.

Αυτό το λήμμα λέγεται επίσης θεώρημα ένθετου τμήματοςή Αρχή Cauchy-Cantor.

Απόδειξη

Για απόδειξη το πρώτο μέρος του λήμματος, χρησιμοποιούμε το αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών.

Αξίωμα πληρότητας πραγματικών αριθμώνείναι όπως ακολουθεί. Έστω τα σύνολα Α και Β δύο υποσύνολα πραγματικών αριθμών έτσι ώστε να ισχύει η ανισότητα για οποιαδήποτε δύο στοιχεία και αυτά τα σύνολα. Τότε υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός c τέτοιος ώστε για όλα και οι ανισότητες να ισχύουν:
.

Ας εφαρμόσουμε αυτό το αξίωμα. Έστω το σύνολο Α το σύνολο των αριστερών άκρων των τμημάτων και το σύνολο Β το σύνολο των δεξιών άκρων. Τότε ισχύει η ανισότητα μεταξύ οποιωνδήποτε δύο στοιχείων αυτών των συνόλων. Στη συνέχεια, από το αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών προκύπτει ότι υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός c που για όλα τα n ισχύουν οι ακόλουθες ανισώσεις:
.
Σημαίνει ότι το σημείο c ανήκει σε όλα τα τμήματα.

Ας αποδείξουμε το δεύτερο μέρος του λήμματος.

Αφήστε . Σύμφωνα με τον ορισμό του ορίου μιας ακολουθίας, αυτό σημαίνει ότι για κάθε θετικό αριθμό υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N που εξαρτάται από το ε έτσι ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς n > N η ανίσωση
(1) .

Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Έστω δύο διακριτά σημεία γ 1 και γ 2 , γ 1 ≠ γ2που ανήκουν σε όλα τα τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι οι ακόλουθες ανισότητες ισχύουν για όλα τα n:
;
.
Από εδώ
.
Εφαρμόζοντας το (1) έχουμε:
.
Αυτή η ανισότητα πρέπει να ισχύει για τυχόν θετικές τιμές του ε. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι
ντο 1 = c2.

Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Σχόλιο

Η ύπαρξη σημείου που ανήκει σε όλα τα τμήματα προκύπτει από το αξίωμα της πληρότητας, το οποίο ισχύει για πραγματικούς αριθμούς. Αυτό το αξίωμα δεν ισχύει για ρητούς αριθμούς. Επομένως, το λήμμα στα ένθετα τμήματα δεν ισχύει επίσης για το σύνολο των ρητών αριθμών.

Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε τα τμήματα έτσι ώστε τόσο το αριστερό όσο και το δεξί άκρο να συγκλίνουν σε έναν παράλογο αριθμό. Τότε οποιοσδήποτε ρητός αριθμός, με αύξηση στο n, θα έπεφτε πάντα έξω από το σύστημα των τμημάτων. Ο μόνος αριθμός που ανήκει σε όλο το τμήμα είναι ένας παράλογος αριθμός.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
O.V. Δαίμονες. Διαλέξεις για τη μαθηματική ανάλυση. Μέρος 1. Μόσχα, 2004.

Αξίωμα συνέχειας (πληρότητα). $Έ\nu \alpha \; \backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; \backslash mathbb(R)$και $B\; \backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; \backslash mathbb(R)$ $\alpha \backslash \sigma \tau o\; {\rm A}$και $\beta \; \backslash \; \sigma \tau o\; {\rm B}$την ανισότητα $a\; \backslash leqslant\; \beta$, υπάρχει πραγματικός αριθμός $\backslash xi$αυτό για όλους $\alpha \backslash \sigma \tau o\; {\rm A}$και $\beta \; \backslash \; \sigma \tau o\; {\rm B}$υπάρχει σχέση

$a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; \beta$

Γεωμετρικά, αν αντιμετωπίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς ως σημεία σε μια ευθεία, αυτή η δήλωση φαίνεται προφανής. Αν δύο σετ ${\rm E}{\rm N}{\rm A}$και $\sigma \iota$είναι τέτοια ώστε στην αριθμητική γραμμή όλα τα στοιχεία ενός από αυτά βρίσκονται αριστερά από όλα τα στοιχεία του δεύτερου, τότε υπάρχει ένας αριθμός $\backslash xi$, χωρίζονταςαυτά τα δύο σύνολα, δηλαδή, που βρίσκονται στα δεξιά όλων των στοιχείων ${\rm E}{\rm N}{\rm A}$(εκτός ίσως από το $\backslash xi$) και στα αριστερά όλων των στοιχείων $\sigma \iota$(ίδια ρήτρα).

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι παρά την «προφανή» αυτής της ιδιότητας, για τους ρητούς αριθμούς δεν ικανοποιείται πάντα. Για παράδειγμα, εξετάστε δύο σύνολα:

A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)

Είναι εύκολο να το δει κανείς για οποιοδήποτε στοιχείο $\alpha \backslash \sigma \tau o\; {\rm A}$και $\beta \; \backslash \; \sigma \tau o\; {\rm B}$την ανισότητα . Ωστόσο λογικόςαριθμοί $\backslash xi$, που χωρίζει αυτά τα δύο σύνολα, δεν υπάρχει. Πράγματι, αυτός ο αριθμός μπορεί μόνο να είναι $\backslash sqrt(2)$, αλλά δεν είναι λογικό .

Ο ρόλος του αξιώματος της συνέχειας στην κατασκευή της μαθηματικής ανάλυσης

Η σημασία του αξιώματος της συνέχειας είναι τέτοια που χωρίς αυτό είναι αδύνατη μια αυστηρή κατασκευή μαθηματικής ανάλυσης. Για να το δείξουμε, παρουσιάζουμε αρκετές θεμελιώδεις δηλώσεις ανάλυσης, η απόδειξη των οποίων βασίζεται στη συνέχεια των πραγματικών αριθμών:

• (θεώρημα Weierstrass).Κάθε οριοθετημένη μονότονα αυξανόμενη ακολουθία συγκλίνει
• (Θεώρημα Bolzano-Cauchy).Μια συνεχής συνάρτηση σε ένα τμήμα που παίρνει τιμές διαφορετικών σημάτων στα άκρα του εξαφανίζεται σε κάποιο εσωτερικό σημείο του τμήματος
• (Ύπαρξη ισχύος, εκθετικής, λογαριθμικής και όλων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε όλο το «φυσικό» πεδίο ορισμού).Για παράδειγμα, αποδεικνύεται ότι για κάθε $\alpha \; >\; 0$και ολόκληρο $n\; \backslash geqslant\; 1$υπάρχει $\backslash sqrt[n](a)$, δηλαδή τη λύση της εξίσωσης $x^n=a,\; x>0$. Αυτό σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την τιμή της έκφρασης $\alpha ^\chi$για όλα τα λογικά ${\rm X}$:

$a^(m/n)\; =\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά(\backslash sqrt[n](a)\backslash right)^m$

Τέλος, και πάλι λόγω της συνέχειας της αριθμητικής γραμμής, μπορεί κανείς να προσδιορίσει την τιμή της παράστασης $\alpha ^\chi$ήδη για αυθαίρετα $x\; \backslash \sigma \epsilon \; \backslash R$. Ομοίως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συνέχειας, αποδεικνύουμε την ύπαρξη του αριθμού $\backslash log\_(\alpha )(\beta )$για κάθε $a,b\; >0,\; a\backslash neq\; 1$.

Για μια μακρά ιστορική περίοδο, οι μαθηματικοί απέδειξαν θεωρήματα από αναλύσεις, σε «λεπτές θέσεις» αναφερόμενες στη γεωμετρική αιτιολόγηση, και πιο συχνά παρακάμπτοντάς τα εντελώς, αφού ήταν προφανές. Η βασική έννοια της συνέχειας χρησιμοποιήθηκε χωρίς σαφή ορισμό. Μόνο στο τελευταίο τρίτο του 19ου αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass παρήγαγε την αριθμητική ανάλυση της ανάλυσης, κατασκευάζοντας την πρώτη αυστηρή θεωρία των πραγματικών αριθμών ως άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Πρότεινε τον κλασικό ορισμό του ορίου στη γλώσσα $\backslash varepsilon\; -\; \backslash \delta έ\lambda \tau \alpha$, απέδειξε μια σειρά από δηλώσεις που θεωρήθηκαν «προφανείς» ενώπιον του, και έτσι ολοκλήρωσε την κατασκευή του θεμελίου της μαθηματικής ανάλυσης.

Αργότερα, προτάθηκαν άλλες προσεγγίσεις για τον ορισμό ενός πραγματικού αριθμού. Στην αξιωματική προσέγγιση, η συνέχεια των πραγματικών αριθμών ξεχωρίζει ρητά ως ξεχωριστό αξίωμα. Σε εποικοδομητικές προσεγγίσεις στη θεωρία πραγματικών αριθμών, όπως κατά την κατασκευή πραγματικών αριθμών με χρήση τμημάτων Dedekind, η ιδιότητα της συνέχειας (σε μια διατύπωση ή την άλλη) αποδεικνύεται ως θεώρημα.

Άλλες Δηλώσεις Ιδιότητας Συνέχειας και Ισοδύναμες Προτάσεις

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προτάσεις που εκφράζουν την ιδιότητα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών. Κάθε μία από αυτές τις αρχές μπορεί να ληφθεί ως βάση για την κατασκευή της θεωρίας του πραγματικού αριθμού ως αξίωμα της συνέχειας και όλες οι άλλες μπορούν να προκύψουν από αυτήν. Αυτό το θέμα συζητείται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Συνέχεια κατά τον Dedekind

Το ζήτημα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών ο Dedekind εξετάζει στο έργο του "Συνέχεια και παράλογοι αριθμοί". Σε αυτό συγκρίνει τους ρητούς αριθμούς με τα σημεία μιας ευθείας γραμμής. Όπως γνωρίζετε, μεταξύ ορθολογικών αριθμών και σημείων μιας ευθείας γραμμής, μπορείτε να δημιουργήσετε μια αντιστοιχία όταν το σημείο εκκίνησης και η μονάδα μέτρησης των τμημάτων επιλέγονται στην ευθεία γραμμή. Με τη βοήθεια του τελευταίου, για κάθε ρητό αριθμό $έ\nu \alpha$κατασκευάστε το αντίστοιχο τμήμα και βάζοντάς το στην άκρη δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με το αν υπάρχει $έ\nu \alpha$θετικός ή αρνητικός αριθμός, πάρε σημείο $\Pi$που αντιστοιχεί στον αριθμό $έ\nu \alpha$. Άρα κάθε ρητός αριθμός $έ\nu \alpha$ταιριάζει με έναν και μόνο βαθμό $\Pi$σε ευθεία γραμμή.

Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία στην ευθεία που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, ένα σημείο που προκύπτει σχεδιάζοντας το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου που είναι χτισμένο σε ένα μοναδιαίο τμήμα. Έτσι, το βασίλειο των ρητών αριθμών δεν το έχει αυτό πληρότητα, ή συνέχεια, που είναι εγγενές σε μια ευθεία γραμμή.

Για να μάθετε σε τι συνίσταται αυτή η συνέχεια, ο Dedekind κάνει την εξής παρατήρηση. Αν ένα $\Pi$είναι ένα ορισμένο σημείο της ευθείας, τότε όλα τα σημεία της ευθείας εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες: σημεία που βρίσκονται στα αριστερά $\Pi$και δείχνει προς τα δεξιά $\Pi$. Το ίδιο το σημείο $\Pi$μπορεί να ανατεθεί αυθαίρετα είτε στην κατώτερη είτε στην ανώτερη τάξη. Ο Dedekind βλέπει την ουσία της συνέχειας στην αντίστροφη αρχή:

Γεωμετρικά, αυτή η αρχή φαίνεται προφανής, αλλά δεν είμαστε σε θέση να το αποδείξουμε. Ο Dedekind τονίζει ότι, στην ουσία, αυτή η αρχή είναι ένα αξίωμα, το οποίο εκφράζει την ουσία αυτής της ιδιότητας που αποδίδεται στην ευθεία γραμμή, την οποία ονομάζουμε συνέχεια.

Αυτή η πρόταση είναι επίσης ισοδύναμη με την αρχή της συνέχειας του Dedekind. Επιπλέον, μπορεί να αποδειχθεί ότι η δήλωση του infimum θεωρήματος απορρέει άμεσα από τον ισχυρισμό του supremum θεωρήματος και αντίστροφα (βλ. παρακάτω).

Πεπερασμένο λήμμα καλύμματος (αρχή Heine-Borel)

Πεπερασμένο Λήμμα Εξωφύλλου (Heine - Borel). Σε οποιοδήποτε σύστημα διαστημάτων που καλύπτει ένα τμήμα, υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύστημα που καλύπτει αυτό το τμήμα.

Λήμμα οριακού σημείου (αρχή Bolzano-Weierstrass)

Λήμμα οριακού σημείου (Μπολτσάνο - Βάιερστρας). Κάθε σύνολο άπειρων οριοθετημένων αριθμών έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο.

Ισοδυναμία προτάσεων που εκφράζουν τη συνέχεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών

Ας κάνουμε μερικές προκαταρκτικές παρατηρήσεις. Σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό του πραγματικού αριθμού, η συλλογή των πραγματικών αριθμών ικανοποιεί τρεις ομάδες αξιωμάτων. Η πρώτη ομάδα είναι τα αξιώματα πεδίου. Η δεύτερη ομάδα εκφράζει το γεγονός ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα γραμμικά διατεταγμένο σύνολο και η σχέση τάξης είναι συνεπής με τις βασικές πράξεις του πεδίου. Έτσι, η πρώτη και η δεύτερη ομάδα αξιωμάτων σημαίνουν ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο πεδίο. Η τρίτη ομάδα αξιωμάτων αποτελείται από ένα αξίωμα - το αξίωμα της συνέχειας (ή της πληρότητας).

Για να δείξουμε την ισοδυναμία διαφόρων διατυπώσεων της συνέχειας των πραγματικών αριθμών, πρέπει να αποδειχθεί ότι εάν μία από αυτές τις προτάσεις ισχύει για ένα διατεταγμένο πεδίο, τότε όλες οι άλλες είναι αληθείς.

Θεώρημα. Αφήνω $\backslash mathsf(R)$- ένα αυθαίρετο γραμμικά διατεταγμένο σύνολο . Οι παρακάτω δηλώσεις είναι ισοδύναμες:

1. Όποια κι αν είναι τα μη κενά σετ $Έ\nu \alpha \; \backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; \backslash mathsf(R)$και $B\; \backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; \backslash mathsf(R)$, έτσι ώστε για οποιαδήποτε δύο στοιχεία $\alpha \backslash \sigma \tau o\; {\rm A}$και $\beta \; \backslash \; \sigma \tau o\; {\rm B}$την ανισότητα $a\; \backslash leqslant\; \beta$, υπάρχει ένα τέτοιο στοιχείο $\backslash xi\; \backslash \sigma \epsilon \; \backslash mathsf(R)$αυτό για όλους $\alpha \backslash \sigma \tau o\; {\rm A}$και $\beta \; \backslash \; \sigma \tau o\; {\rm B}$υπάρχει σχέση $a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; \beta$
2. Για οποιοδήποτε τμήμα σε $\backslash mathsf(R)$υπάρχει ένα στοιχείο που παράγει αυτό το τμήμα
3. Κάθε μη κενό σύνολο περιορίζεται παραπάνω $Έ\nu \alpha \; \backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; \backslash mathsf(R)$έχει υπέρτατο
4. Κάθε μη κενό σύνολο περιορίζεται παρακάτω $Έ\nu \alpha \; \backslash \upsilon \pi o\sigma ύ\nu o\lambda o\; \backslash mathsf(R)$έχει ένα infimum

Όπως φαίνεται από αυτό το θεώρημα, αυτές οι τέσσερις προτάσεις χρησιμοποιούν μόνο αυτό που υπάρχει $\backslash mathsf(R)$εισήγαγε μια σχέση γραμμικής τάξης και μην χρησιμοποιείτε τη δομή πεδίου. Έτσι, το καθένα από αυτά εκφράζει την ιδιότητα $\backslash mathsf(R)$ως γραμμικά διατεταγμένο σύνολο. Αυτή η ιδιότητα (ενός αυθαίρετου γραμμικά διατεταγμένου συνόλου, όχι απαραίτητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών) ονομάζεται συνέχεια, ή πληρότητα, σύμφωνα με τον Dedekind.

Η απόδειξη της ισοδυναμίας άλλων προτάσεων απαιτεί ήδη μια δομή πεδίου.

Θεώρημα. Αφήνω $\backslash mathsf(R)$- ένα αυθαίρετο διατεταγμένο πεδίο. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

1. $\backslash mathsf(R)$(ως γραμμικά διατεταγμένο σύνολο) είναι το Dedekind πλήρες
2. Για $\backslash mathsf(R)$εκπλήρωσε την αρχή του Αρχιμήδηκαι αρχή των ένθετων τμημάτων
3. Για $\backslash mathsf(R)$εκπληρώνεται η αρχή Heine-Borel
4. Για $\backslash mathsf(R)$εκπληρώνεται η αρχή Bolzano-Weierstrass

Σχόλιο. Όπως φαίνεται από το θεώρημα, η αρχή των ένθετων τμημάτων από μόνη της δεν είναι ισοδύναμοΗ αρχή της συνέχειας του Dedekind. Η αρχή των ένθετων τμημάτων απορρέει από την αρχή της συνέχειας Dedekind, αλλά για το αντίστροφο απαιτείται επιπλέον να απαιτείται το διατεταγμένο πεδίο $\backslash mathsf(R)$ικανοποίησε το αξίωμα του Αρχιμήδη

Η απόδειξη των παραπάνω θεωρημάτων βρίσκεται στα βιβλία από τη βιβλιογραφία που δίνεται παρακάτω.

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Συνέχεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών"

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Kudryavtsev, L. D.Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. - 5η έκδ. - Μ .: «Δρόφα», 2003. - Τ. 1. - 704 σελ. - ISBN 5-7107-4119-1.
• Fikhtengolts, G. M.Βασικές αρχές μαθηματικής ανάλυσης. - 7η έκδ. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
• Dedekind, R.= Stetigkeit und irationale Zahlen. - 4η αναθεωρημένη έκδοση. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.
• Zorich, V. A.Μαθηματική ανάλυση. Μέρος Ι. - Εκδ. 4ο, διορθώθηκε .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
• Συνέχεια συναρτήσεων και αριθμητικά πεδία: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3η έκδ. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 σελ.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη Συνέχεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών

- Γι' αυτό λοιπόν λυπάμαι - την ανθρώπινη αξιοπρέπεια, την ψυχική ηρεμία, την αγνότητα, και όχι την πλάτη και το μέτωπό τους, που όσο και να μαστιγώσεις, όσο και να ξυριστείς, όλα θα μείνουν ίδια πλάτη και μέτωπα.
«Όχι, όχι, και χίλιες φορές όχι, δεν θα συμφωνήσω ποτέ μαζί σου», είπε ο Πιέρ.

Το βράδυ, ο πρίγκιπας Αντρέι και ο Πιέρ μπήκαν σε μια άμαξα και οδήγησαν στα Φαλακρά Όρη. Ο πρίγκιπας Αντρέι, κοιτάζοντας τον Πιέρ, διέκοπτε περιστασιακά τη σιωπή με ομιλίες που αποδείκνυαν ότι ήταν σε καλή διάθεση.
Του είπε, δείχνοντας τα χωράφια, για τις οικονομικές του βελτιώσεις.
Ο Πιέρ ήταν σκυθρωπός σιωπηλός, απαντούσε με μονοσύλλαβα και φαινόταν βυθισμένος στις δικές του σκέψεις.
Ο Πιέρ σκέφτηκε ότι ο Πρίγκιπας Αντρέι ήταν δυστυχισμένος, ότι έκανε λάθος, ότι δεν γνώριζε το αληθινό φως και ότι ο Πιέρ έπρεπε να τον βοηθήσει, να τον διαφωτίσει και να τον μεγαλώσει. Αλλά μόλις ο Pierre κατάλαβε πώς και τι θα έλεγε, είχε προαισθανθεί ότι ο πρίγκιπας Αντρέι θα άφηνε τα πάντα στις διδασκαλίες του με μια λέξη, με ένα επιχείρημα, και φοβόταν να ξεκινήσει, φοβούμενος να εκθέσει το αγαπημένο του ιερό στο πιθανότητα γελοιοποίησης.
«Όχι, γιατί νομίζεις», άρχισε ξαφνικά ο Πιερ, χαμηλώνοντας το κεφάλι του και παίρνοντας τη μορφή ενός ταύρου που χτυπάει, γιατί νομίζεις έτσι; Δεν πρέπει να σκέφτεσαι έτσι.
– Τι σκέφτομαι; ρώτησε ο πρίγκιπας Άντριου με έκπληξη.
- Για τη ζωή, για τον σκοπό ενός ανθρώπου. Δεν μπορεί να είναι. Αυτό σκέφτηκα και με έσωσε, ξέρεις τι; ελευθεροτεκτονισμός. Όχι, δεν χαμογελάς. Ο Τεκτονισμός δεν είναι θρησκευτική, ούτε τελετουργική αίρεση, όπως νόμιζα, αλλά ο Τεκτονισμός είναι η καλύτερη, η μόνη έκφραση των καλύτερων, αιώνιων πτυχών της ανθρωπότητας. - Και άρχισε να εξηγεί στον πρίγκιπα Αντρέι τον Τεκτονισμό, όπως το κατάλαβε.
Είπε ότι ο Τεκτονισμός είναι η διδασκαλία του Χριστιανισμού, απαλλαγμένος από κρατικούς και θρησκευτικούς δεσμούς. το δόγμα της ισότητας, της αδελφοσύνης και της αγάπης.
– Μόνο η αγία μας αδελφότητα έχει πραγματικό νόημα στη ζωή. όλα τα άλλα είναι ένα όνειρο», είπε ο Πιερ. - Καταλαβαίνεις, φίλε μου, ότι έξω από αυτή την ένωση όλα είναι γεμάτα ψέματα και αναλήθειες, και συμφωνώ μαζί σου ότι δεν μένει τίποτα για έναν έξυπνο και ευγενικό άνθρωπο, μόλις, όπως εσύ, ζήσει τη ζωή του, προσπαθώντας μόνο για να μην παρεμβαίνει στους άλλους. Αλλά αφομοιώστε τις βασικές μας πεποιθήσεις για τον εαυτό σας, γίνετε μέλος της αδελφότητάς μας, αφήστε τον εαυτό σας, αφήστε τον εαυτό σας να οδηγηθεί, και τώρα θα νιώσετε, όπως ένιωσα, ένα μέρος αυτής της τεράστιας, αόρατης αλυσίδας, της οποίας η αρχή είναι κρυμμένη στον ουρανό, - είπε ο Πιέρ.
Ο πρίγκιπας Αντρέι, σιωπηλά, κοιτάζοντας μπροστά του, άκουσε την ομιλία του Πιέρ. Πολλές φορές, μη ακούγοντας τον θόρυβο της άμαξας, ζήτησε από τον Πιέρ λόγια ανήκουστα. Από την ιδιαίτερη λάμψη που φώτιζε στα μάτια του πρίγκιπα Αντρέι και από τη σιωπή του, ο Πιέρ είδε ότι τα λόγια του δεν ήταν μάταια, ότι ο πρίγκιπας Αντρέι δεν θα τον διέκοπτε και δεν θα γελούσε με τα λόγια του.
Οδήγησαν σε ένα πλημμυρισμένο ποτάμι, το οποίο έπρεπε να διασχίσουν με το φέρι. Ενώ τοποθετούνταν η άμαξα και τα άλογα, πήγαν στο πλοίο.
Ο πρίγκιπας Αντρέι, ακουμπισμένος στο κιγκλίδωμα, κοίταξε σιωπηλά την πλημμύρα που έλαμπε από τη δύση του ηλίου.
- Λοιπόν, τι πιστεύεις για αυτό; - ρώτησε ο Πιέρ, - γιατί σιωπάς;
- Τι νομίζω? σε άκουσα. Όλα αυτά είναι έτσι, - είπε ο πρίγκιπας Αντρέι. - Μα εσύ λες: μπες στην αδελφότητά μας, και θα σου δείξουμε τον σκοπό της ζωής και τον σκοπό του ανθρώπου, και τους νόμους που διέπουν τον κόσμο. Αλλά ποιοι είμαστε εμείς οι άνθρωποι; Γιατί τα ξέρεις όλα; Γιατί είμαι ο μόνος που δεν βλέπω αυτό που βλέπετε; Εσείς βλέπετε το βασίλειο της καλοσύνης και της αλήθειας στη γη, αλλά εγώ δεν το βλέπω.
Ο Πιερ τον διέκοψε. Πιστεύεις σε μια μελλοντική ζωή; - ρώτησε.
- Στην επόμενη ζωή; - επανέλαβε ο πρίγκιπας Αντρέι, αλλά ο Πιέρ δεν του έδωσε χρόνο να απαντήσει και πήρε αυτή την επανάληψη ως άρνηση, ειδικά επειδή γνώριζε τις πρώην αθεϊστικές πεποιθήσεις του Πρίγκιπα Αντρέι.
– Λέτε ότι δεν μπορείτε να δείτε το βασίλειο της καλοσύνης και της αλήθειας στη γη. Και δεν τον είδα, και δεν μπορείτε να τον δείτε αν δείτε τη ζωή μας ως το τέλος των πάντων. Στη γη, ακριβώς σε αυτή τη γη (ο Πιερ έδειξε το χωράφι), δεν υπάρχει αλήθεια - όλα είναι ψέματα και κακά. αλλά στον κόσμο, σε ολόκληρο τον κόσμο, υπάρχει ένα βασίλειο της αλήθειας, και είμαστε τώρα τα παιδιά της γης, και για πάντα τα παιδιά όλου του κόσμου. Δεν νιώθω στην ψυχή μου ότι είμαι μέρος αυτού του αχανούς, αρμονικού συνόλου. Δεν νιώθω ότι βρίσκομαι σε αυτόν τον τεράστιο, αναρίθμητο αριθμό όντων στα οποία εκδηλώνεται το Θείο - η υψηλότερη δύναμη, όπως θέλετε - ότι είμαι ένας κρίκος, ένα βήμα από τα κατώτερα όντα στα ανώτερα; Αν βλέπω, βλέπω καθαρά αυτή τη σκάλα που οδηγεί από το φυτό στον άνθρωπο, τότε γιατί να υποθέσω ότι αυτή η σκάλα διακόπτεται μαζί μου και δεν οδηγεί όλο και πιο μακριά. Νιώθω ότι όχι μόνο δεν μπορώ να εξαφανιστώ, όπως δεν εξαφανίζεται τίποτα στον κόσμο, αλλά ότι θα είμαι και θα είμαι πάντα. Νιώθω ότι εκτός από εμένα ζουν πνεύματα από πάνω μου και ότι υπάρχει αλήθεια σε αυτόν τον κόσμο.
«Ναι, αυτή είναι η διδασκαλία του Χέρντερ», είπε ο πρίγκιπας Αντρέι, «αλλά όχι αυτό, ψυχή μου, θα με πείσει, αλλά η ζωή και ο θάνατος, αυτό είναι που πείθει. Είναι πειστικό ότι βλέπεις ένα αγαπημένο σου πλάσμα, που είναι συνδεδεμένο μαζί σου, ενώπιον του οποίου ήσουν ένοχος και ήλπισες να δικαιολογηθείς (ο πρίγκιπας Αντρέι έτρεμε στη φωνή του και γύρισε μακριά) και ξαφνικά αυτό το πλάσμα υποφέρει, υποφέρει και παύει να είναι ... Γιατί? Δεν μπορεί να μην υπάρχει απάντηση! Και πιστεύω ότι είναι... Αυτό πείθει, αυτό με έπεισε, - είπε ο πρίγκιπας Αντρέι.
«Λοιπόν, ναι, ναι», είπε ο Πιέρ, «δεν λέω κι εγώ αυτό!»
- Δεν. Λέω μόνο ότι δεν είναι επιχειρήματα που σε πείθουν για την ανάγκη για μια μελλοντική ζωή, αλλά όταν περπατάς στη ζωή χέρι-χέρι με ένα άτομο, και ξαφνικά αυτό το άτομο εξαφανίζεται στο πουθενά, και εσύ ο ίδιος σταματάς μπροστά σε αυτή την άβυσσο και κοιτάξτε το. Και κοίταξα...
- Λοιπόν, τι! Ξέρεις τι υπάρχει και τι είναι κάποιος; Υπάρχει μια μελλοντική ζωή. Κάποιος είναι Θεός.
Ο πρίγκιπας Άντριου δεν απάντησε. Η άμαξα και τα άλογα είχαν από καιρό μεταφερθεί στην άλλη πλευρά και είχαν ήδη ξαπλώσει, και ο ήλιος είχε ήδη χαθεί στο μισό, και η βραδινή παγωνιά σκέπασε τις λακκούβες κοντά στο πλοίο με αστέρια, και ο Πιέρ και ο Αντρέι, προς έκπληξη από τους λακέδες, αμαξάδες και μεταφορείς, στέκονταν ακόμα στο πλοίο και μιλούσαν.
- Αν υπάρχει Θεός και υπάρχει μελλοντική ζωή, τότε υπάρχει αλήθεια, υπάρχει αρετή. και η ύψιστη ευτυχία του ανθρώπου είναι να προσπαθεί να τα πετύχει. Πρέπει να ζούμε, πρέπει να αγαπάμε, πρέπει να πιστεύουμε, - είπε ο Πιέρ, - ότι δεν ζούμε τώρα μόνο σε αυτό το κομμάτι γης, αλλά ζήσαμε και θα ζήσουμε για πάντα εκεί σε όλα (έδειξε τον ουρανό). Ο πρίγκιπας Αντρέι στάθηκε ακουμπισμένος στο κιγκλίδωμα του πορθμείου και, ακούγοντας τον Πιέρ, χωρίς να βγάλει τα μάτια του, κοίταξε την κόκκινη αντανάκλαση του ήλιου πάνω από τη μπλε πλημμύρα. Ο Πιερ σιωπά. Ήταν εντελώς ήσυχο. Το πλοίο είχε προσγειωθεί εδώ και πολύ καιρό, και μόνο τα κύματα του ρεύματος με έναν αχνό ήχο χτύπησαν τον πάτο του πλοίου. Φάνηκε στον πρίγκιπα Αντρέι ότι αυτό το ξέπλυμα των κυμάτων έλεγε στα λόγια του Πιέρ: «Αλήθεια, πίστεψε αυτό».
Ο πρίγκιπας Αντρέι αναστέναξε και με ένα λαμπερό, παιδικό, τρυφερό βλέμμα κοίταξε τον κατακόκκινο, ενθουσιώδη, αλλά και πάλι δειλό του Πιέρ μπροστά στον ανώτερο φίλο του.
«Ναι, αν ήταν έτσι!» - αυτός είπε. «Ωστόσο, ας πάμε να καθίσουμε», πρόσθεσε ο πρίγκιπας Αντρέι, και βγαίνοντας από το πλοίο, κοίταξε τον ουρανό, τον οποίο του έδειξε ο Πιέρ, και για πρώτη φορά, μετά τον Άουστερλιτς, είδε εκείνον τον ψηλό, αιώνιο ουρανό που είδε ξαπλωμένο στο χωράφι του Άουστερλιτς, και κάτι πολύ κοιμισμένο, κάτι το καλύτερο που είχε μέσα του, ξύπνησε ξαφνικά χαρούμενα και νεανικά στην ψυχή του. Αυτό το συναίσθημα εξαφανίστηκε μόλις ο Πρίγκιπας Αντρέι μπήκε ξανά στις συνήθεις συνθήκες ζωής, αλλά ήξερε ότι αυτό το συναίσθημα, που δεν ήξερε πώς να αναπτύξει, ζούσε μέσα του. Μια συνάντηση με τον Πιέρ ήταν για τον Πρίγκιπα Αντρέι μια εποχή από την οποία, αν και στην εμφάνιση ήταν η ίδια, αλλά στον εσωτερικό κόσμο, ξεκίνησε η νέα του ζωή.

Είχε ήδη αρχίσει να νυχτώνει όταν ο πρίγκιπας Αντρέι και ο Πιέρ οδήγησαν στην κύρια είσοδο του σπιτιού Λυσογόρσκι. Ενώ ανέβαιναν με το αυτοκίνητο, ο πρίγκιπας Αντρέι με ένα χαμόγελο τράβηξε την προσοχή του Pierre στην αναταραχή που είχε συμβεί στην πίσω βεράντα. Μια σκυμμένη ηλικιωμένη γυναίκα με ένα σακίδιο στην πλάτη της και ένας κοντός άνδρας με μαύρη ρόμπα και με μακριά μαλλιά, βλέποντας μια άμαξα να μπαίνει μέσα, όρμησε να τρέξει πίσω από την πύλη. Δύο γυναίκες έτρεξαν πίσω τους, και οι τέσσερις, κοιτάζοντας πίσω στην άμαξα, έτρεξαν τρομαγμένες στην πίσω βεράντα.
«Αυτές είναι οι Μηχανές του Θεού», είπε ο πρίγκιπας Αντρέι. Μας πήραν για πατέρα τους. Και αυτό είναι το μόνο πράγμα στο οποίο δεν τον υπακούει: διατάζει να οδηγήσει αυτούς τους περιπλανώμενους και εκείνη τους δέχεται.
- Τι είναι οι άνθρωποι του Θεού; ρώτησε ο Πιέρ.
Ο πρίγκιπας Αντρέι δεν πρόλαβε να του απαντήσει. Οι υπηρέτες βγήκαν έξω να τον συναντήσουν, και ρώτησε πού ήταν ο γέρος πρίγκιπας και πόσο σύντομα τον περίμεναν.
Ο γέρος πρίγκιπας ήταν ακόμα στην πόλη, και τον περίμεναν κάθε λεπτό.
Ο πρίγκιπας Αντρέι οδήγησε τον Πιέρ στο σπίτι του, που τον περίμενε πάντα με τέλεια τάξη στο σπίτι του πατέρα του, και ο ίδιος πήγε στο νηπιαγωγείο.
«Ας πάμε στην αδερφή μου», είπε ο πρίγκιπας Αντρέι, επιστρέφοντας στον Πιέρ. - Δεν την έχω δει ακόμα, τώρα κρύβεται και κάθεται με τον θεό της λαό. Υπηρέτησε το δίκιο της, θα ντροπιαστεί, και θα δεις τον λαό του Θεού. C "est curieux, ma parole. [Αυτό είναι περίεργο, ειλικρινά.]
- Qu "est ce que c" est que [Τι είναι] ο λαός του Θεού; ρώτησε ο Πιέρ.
-Μα θα δεις.
Η πριγκίπισσα Μαρία ήταν πραγματικά αμήχανη και κοκκίνισε στα σημεία όταν μπήκαν μέσα της. Στο φιλόξενο δωμάτιό της με τα λυχνάρια μπροστά στις εικονοθήκες, στον καναπέ, στο σαμοβάρι, καθόταν δίπλα της ένα νεαρό αγόρι με μακριά μύτη και μακριά μαλλιά, και με ένα μοναστηριακό ράσο.
Σε μια πολυθρόνα, δίπλα του, καθόταν μια ζαρωμένη, αδύνατη ηλικιωμένη γυναίκα με μια ήπια έκφραση παιδικού προσώπου.
- Andre, pourquoi ne pas m "avoir prevenu; [Andrey, γιατί δεν με προειδοποίησαν;] - είπε με πραό μομφή, στεκόμενη μπροστά στους περιπλανώμενους της, σαν κότα μπροστά στα κοτόπουλα.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Χαίρομαι πολύ που σε βλέπω. Χαίρομαι πολύ που σε βλέπω», είπε στον Πιέρ, ενώ εκείνος της φιλούσε το χέρι. Τον ήξερε από παιδί και τώρα η φιλία του με τον Αντρέι, η ατυχία του με τη γυναίκα του και το πιο σημαντικό, το ευγενικό, απλό πρόσωπό του, του την έκαναν αγαπητή. Τον κοίταξε με τα όμορφα, λαμπερά μάτια της και φαινόταν να λέει: «Σ’ αγαπώ πολύ, αλλά σε παρακαλώ μη γελάς με τα δικά μου». Αφού αντάλλαξαν τις πρώτες φράσεις χαιρετισμού, κάθισαν.
«Α, και ο Ivanushka είναι εδώ», είπε ο πρίγκιπας Αντρέι, δείχνοντας με ένα χαμόγελο τον νεαρό περιπλανώμενο.
– Ανδρέα! είπε παρακλητικά η πριγκίπισσα Μαίρη.
- Il faut que vous sachiez que c "est une femme, [Να ξέρεις ότι αυτή είναι γυναίκα] - είπε ο Αντρέι στον Πιέρ.
Andre, au nom de Dieu! [Andrey, για όνομα του Θεού!] - επανέλαβε η πριγκίπισσα Marya.
Ήταν προφανές ότι η σκωπτική στάση του πρίγκιπα Αντρέι προς τους περιπλανώμενους και η άχρηστη μεσολάβηση της πριγκίπισσας Μαρίας γι' αυτούς ήταν συνήθεις, καθιέρωσαν σχέσεις μεταξύ τους.
- Mais, ma bonne amie, - είπε ο πρίγκιπας Αντρέι, - vous devriez au contraire m "etre reconaissante de ce que j" explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme ... [Αλλά, φίλε μου, θα πρέπει να μου είσαι ευγνώμων ότι εξηγώ στον Πιέρ την εγγύτητα σου με αυτόν τον νεαρό.]
– Vrayment; [Αλήθεια;] - είπε ο Πιέρ με περιέργεια και σοβαρότητα (για το οποίο η πριγκίπισσα Μαρία τον ευγνωμονούσε ιδιαίτερα), κοιτάζοντας μέσα από γυαλιά το πρόσωπο του Ivanushka, ο οποίος, συνειδητοποιώντας ότι ήταν γι 'αυτόν, κοίταξε γύρω του όλους με πονηρά μάτια.
Η πριγκίπισσα Μαρία ντρεπόταν άσκοπα για τους δικούς της ανθρώπους. Δεν δίστασαν καθόλου. Η ηλικιωμένη γυναίκα, χαμηλώνοντας τα μάτια της, αλλά κοιτάζοντας στραβά τους νεοφερμένους, χτυπώντας το φλιτζάνι της ανάποδα σε ένα πιατάκι και βάζοντας ένα δαγκωμένο κομμάτι ζάχαρη δίπλα της, κάθισε ήρεμα και ακίνητη στην καρέκλα της, περιμένοντας να της προσφέρουν κι άλλο τσάι. Ο Ιβανούσκα, πίνοντας από ένα πιατάκι, κοίταξε τους νέους με πονηρά, θηλυκά μάτια κάτω από τα φρύδια του.
- Πού, στο Κίεβο ήταν; ρώτησε ο πρίγκιπας Αντρέι τη γριά.
- Υπήρχε, πάτερ, - απάντησε ειρωνικά η γριά, - τα ίδια τα Χριστούγεννα την τιμούσαν με τους αγίους, ουράνια μυστικά από τους αγίους. Και τώρα από τον Kolyazin, πατέρα, άνοιξε η μεγάλη χάρη ...
- Λοιπόν, είναι ο Ivanushka μαζί σου;
«Περπατάω μόνος μου, τροφός», είπε ο Ιβανούσκα, προσπαθώντας να μιλήσει με μπάσα φωνή. - Μόνο στο Yukhnov συμφώνησαν με τον Pelageyushka ...
Η Πελαγειούσκα διέκοψε τον σύντροφό της. Έμοιαζε να θέλει να πει αυτό που είδε.
- Στο Κολιάζιν, πάτερ, άνοιξε η μεγάλη χάρη.
- Λοιπόν, νέα λείψανα; ρώτησε ο πρίγκιπας Άντριου.
«Αρκετά, Αντρέι», είπε η πριγκίπισσα Μαρία. - Μη μου λες, Πελαγεούσκα.
- Όχι ... τι είσαι, μάνα, γιατί να μην πεις; Τον αγαπώ. Είναι καλός, απαιτητικός από τον Θεό, μου έδωσε, ευεργέτης, ρούβλια, θυμάμαι. Καθώς ήμουν στο Κίεβο, μου λέει ο Kiryusha ο άγιος ανόητος - πραγματικά άνθρωπος του Θεού, περπατάει ξυπόλητος χειμώνα καλοκαίρι. Γιατί περπατάς, λέει, έξω από τη θέση σου, πήγαινε στο Κολιάζην, εκεί μια θαυματουργή εικόνα, άνοιξε η Μητέρα Παναγία. Με αυτά τα λόγια αποχαιρέτησα τους αγίους και πήγα…
Όλοι ήταν σιωπηλοί, ένας περιπλανώμενος μίλησε με μετρημένη φωνή, τραβώντας αέρα.
- Πατέρα μου, ήρθε ο κόσμος σε μένα και λέει: άνοιξε η χάρη μεγάλη, στο Μητέρα η Παναγία πέφτει από το μάγουλό της…
«Λοιπόν, καλά, καλά, θα μου πεις αργότερα», είπε η πριγκίπισσα Μαρία κοκκινίζοντας.
«Να τη ρωτήσω», είπε ο Πιέρ. - Το είδες μόνος σου; - ρώτησε.
- Πώς, πάτερ, τιμήθηκε και η ίδια. Η λάμψη στο πρόσωπό της είναι σαν το φως του ουρανού, και από το μάγουλο της μητέρας στάζει και στάζει…
«Αλλά αυτό είναι μια εξαπάτηση», είπε αφελώς ο Πιέρ, ακούγοντας προσεκτικά τον περιπλανώμενο.
«Αχ, πατέρα, τι λες!» - είπε ο Pelageyushka με τρόμο, γυρίζοντας στην πριγκίπισσα Marya για προστασία.
«Παπατούν τον κόσμο», επανέλαβε.
- Κύριε Ιησού Χριστέ! – σταυρώθηκε είπε ο άγνωστος. «Ω, μη μιλάς, πατέρα. Έτσι ένας αναράλι δεν πίστεψε, είπε: «Οι μοναχοί απατούν», αλλά όπως είπε, τυφλώθηκε. Και ονειρευόταν ότι η μητέρα Pecherskaya ήρθε σε αυτόν και είπε: "Εμπιστέψου με, θα σε γιατρέψω". Άρχισε λοιπόν να ρωτάει: πάρε με και πάρε με κοντά της. Αλήθεια σου λέω, το είδα μόνος μου. Τον έφεραν τυφλό κατευθείαν κοντά της, ανέβηκαν, έπεσαν κάτω, είπαν: «Γιάτρεψε! Θα σου το δώσω, λέει, σε ότι παραπονέθηκε ο βασιλιάς. Το είδα μόνος μου, πατέρα, το αστέρι είναι ενσωματωμένο μέσα του έτσι. Λοιπόν, ξημέρωσε! Είναι λάθος να το λέμε αυτό. Ο Θεός θα τιμωρήσει», απευθύνθηκε στον Πιέρ διδακτικά.
- Πώς βρέθηκε το αστέρι στην εικόνα; ρώτησε ο Πιέρ.
- Έκανες τη μητέρα σου στρατηγό; - είπε ο πρίγκιπας Αντρέι χαμογελώντας.
Η Πελαγεούσκα ξαφνικά χλόμιασε και έσφιξε τα χέρια της.
«Πατέρα, πατέρα, αμαρτία σε σένα, έχεις γιο!» μίλησε, ξαφνικά μετατράπηκε από ωχρότητα σε έντονο χρώμα.
- Πατέρα, τι είπες, ο Θεός να σε συγχωρέσει. - Σταυρώθηκε. «Θεέ μου, συγχώρεσέ τον. Μητέρα, τι είναι αυτό; ... - στράφηκε στην πριγκίπισσα Μαρία. Σηκώθηκε και σχεδόν κλαίει άρχισε να μαζεύει την τσάντα της. Ήταν προφανώς και φοβισμένη και ντρεπόμενη που απολάμβανε τις ευλογίες στο σπίτι όπου μπορούσαν να το πουν αυτό, και ήταν κρίμα που έπρεπε τώρα να στερηθεί τις ευλογίες αυτού του σπιτιού.
- Λοιπόν, τι ψάχνεις; - είπε η πριγκίπισσα Μαρία. Γιατί ήρθες σε μένα;...
«Όχι, αστειεύομαι, Pelageushka», είπε ο Pierre. - Πριγκίπισσα, ma parole, je n "ai pas voulu l" προσφορά, [Πριγκίπισσα, πραγματικά δεν ήθελα να την προσβάλω,] μόλις το έκανα. Μη νομίζεις, αστειεύτηκα, - είπε χαμογελώντας δειλά και θέλοντας να επανορθώσει τις ενοχές του. - Άλλωστε, είμαι εγώ, και απλά αστειευόταν.
Η Pelageyushka σταμάτησε δύσπιστα, αλλά υπήρχε τέτοια ειλικρίνεια μετάνοιας στο πρόσωπο του Pierre, και ο πρίγκιπας Andrei κοίταξε τόσο πειθήνια την Pelageyushka και μετά τον Pierre που σταδιακά ηρέμησε.

Ο περιπλανώμενος ηρέμησε και, επανήλθε στη συζήτηση, μετά μίλησε για πολλή ώρα για τον πατέρα Αμφιλόχιο, ο οποίος ήταν τόσο ιερός που το χέρι του μύριζε από το χέρι του, και πώς οι μοναχοί που γνώριζε στο τελευταίο της ταξίδι στο Κίεβο της έδωσαν το κλειδιά των σπηλαίων, και πώς, παίρνοντας κροτίδες μαζί της, πέρασε δύο μέρες σε σπηλιές με αγίους. «Θα προσευχηθώ σε έναν, θα διαβάσω, θα πάω σε έναν άλλον. Πεύκο, θα πάω να φιλήσω ξανά. και τέτοια, μητέρα, σιωπή, τέτοια χάρη που δεν θέλεις ούτε να βγεις στο φως του Θεού.
Ο Πιέρ την άκουσε με προσοχή και σοβαρότητα. Ο πρίγκιπας Αντρέι βγήκε από το δωμάτιο. Και μετά από αυτόν, αφήνοντας τον λαό του Θεού να τελειώσει το τσάι του, η πριγκίπισσα Μαρία οδήγησε τον Πιέρ στο σαλόνι.
«Είσαι πολύ ευγενικός», του είπε.
«Α, πραγματικά δεν σκέφτηκα να την προσβάλω, καθώς καταλαβαίνω και εκτιμώ ιδιαίτερα αυτά τα συναισθήματα!
Η πριγκίπισσα Μαίρη τον κοίταξε σιωπηλά και χαμογέλασε τρυφερά. «Σε τελική ανάλυση, σε ξέρω πολύ καιρό και σε αγαπώ σαν αδερφό», είπε. Πώς βρήκες τον Ανδρέα; ρώτησε βιαστικά, χωρίς να του δώσει χρόνο να πει τίποτα ως απάντηση στα καλά της λόγια. «Με ανησυχεί πολύ. Η υγεία του είναι καλύτερη τον χειμώνα, αλλά την περασμένη άνοιξη η πληγή άνοιξε και ο γιατρός είπε ότι πρέπει να πάει για θεραπεία. Και ηθικά τον φοβάμαι πολύ. Δεν είναι χαρακτήρας σαν εμάς τις γυναίκες για να υποφέρει και να φωνάζει τη θλίψη του. Το κουβαλάει μέσα του. Σήμερα είναι χαρούμενος και ζωηρός. αλλά ήταν η άφιξή σου που είχε τέτοια επίδραση πάνω του: σπάνια είναι έτσι. Αν μπορούσες να τον πείσεις να πάει στο εξωτερικό! Χρειάζεται δραστηριότητα και αυτή η ομαλή, ήσυχη ζωή τον καταστρέφει. Άλλοι δεν το προσέχουν, αλλά εγώ βλέπω.
Στις 10 οι σερβιτόροι όρμησαν στη βεράντα, ακούγοντας τα κουδούνια της άμαξας του γέρου πρίγκιπα να πλησιάζουν. Ο πρίγκιπας Αντρέι και ο Πιέρ βγήκαν επίσης στη βεράντα.
- Ποιος είναι αυτός? ρώτησε ο γέρος πρίγκιπας, βγαίνοντας από την άμαξα και μαντεύοντας τον Πιέρ.
– Το AI είναι πολύ χαρούμενο! φιλί, - είπε, έχοντας μάθει ποιος ήταν ο άγνωστος νεαρός.
Ο γέρος πρίγκιπας ήταν σε καλό πνεύμα και φέρθηκε ευγενικά στον Πιέρ.
Πριν από το δείπνο, ο πρίγκιπας Αντρέι, επιστρέφοντας στο γραφείο του πατέρα του, βρήκε τον γέρο πρίγκιπα σε μια έντονη διαμάχη με τον Πιέρ.
Ο Πιερ υποστήριξε ότι θα ερχόταν η στιγμή που δεν θα υπήρχε άλλος πόλεμος. Ο γέρος πρίγκιπας, πειράζοντας, αλλά όχι θυμωμένος, τον προκάλεσε.
- Αφήστε το αίμα από τις φλέβες, ρίξτε νερό, τότε δεν θα γίνει πόλεμος. Γυναικεία ανοησία, γυναικεία ανοησία», είπε, αλλά παρόλα αυτά χτύπησε με στοργή τον Πιέρ στον ώμο και ανέβηκε στο τραπέζι στο οποίο ο πρίγκιπας Αντρέι, προφανώς δεν ήθελε να συζητήσει, ξεχώριζε τα χαρτιά που έφερε ο πρίγκιπας από το πόλη. Ο γέρος πρίγκιπας τον πλησίασε και άρχισε να μιλάει για δουλειές.
- Ο αρχηγός, ο κόμης Ροστόφ, δεν παρέδωσε το μισό λαό. Ήρθε στην πόλη, αποφάσισε να καλέσει για δείπνο, - του ζήτησα ένα τέτοιο δείπνο ... Αλλά κοίτα αυτό ... Λοιπόν, αδελφέ, - ο πρίγκιπας Νικολάι Αντρέεβιτς γύρισε στον γιο του, χτυπώντας τον Πιέρ στον ώμο, - μπράβο φίλε σου τον ερωτεύτηκα! με πυροδοτεί. Ο άλλος λέει έξυπνα λόγια, αλλά δεν θέλω να ακούσω, αλλά λέει ψέματα και με εξοργίζει, γέρο. Λοιπόν, πήγαινε, πήγαινε, - είπε, - ίσως έρθω, θα κάτσω στο δείπνο σου. Πάλι στοίχημα. Αγαπήστε την ανόητη μου, πριγκίπισσα Μαρία», φώναξε στον Πιέρ από την πόρτα.
Ο Πιερ μόνο τώρα, κατά την επίσκεψή του στα Φαλακρά Όρη, εκτίμησε την πλήρη δύναμη και τη γοητεία της φιλίας του με τον Πρίγκιπα Αντρέι. Αυτή η γοητεία εκφράστηκε όχι τόσο στις σχέσεις του με τον εαυτό του, αλλά στις σχέσεις με όλους τους συγγενείς και το νοικοκυριό. Ο Πιέρ, με τον γέρο, αυστηρό πρίγκιπα και με την πράη και συνεσταλμένη πριγκίπισσα Μαρία, παρά το γεγονός ότι σχεδόν δεν τους γνώριζε, ένιωσε αμέσως σαν παλιός φίλος. Όλοι τον αγαπούσαν ήδη. Όχι μόνο η πριγκίπισσα Μαρία, δωροδοκημένη από την πράη στάση του απέναντι στους περιπλανώμενους, τον κοίταξε με τα πιο λαμπερά μάτια. αλλά ο μικρός, ενός έτους πρίγκιπας Νικολάι, όπως τον αποκαλούσε ο παππούς του, χαμογέλασε στον Πιέρ και πήγε στην αγκαλιά του. Ο Mikhail Ivanovich, m lle Bourienne τον κοίταξε με χαρούμενα χαμόγελα όταν μιλούσε με τον γέρο πρίγκιπα.

Οι μαθηματικές θεωρίες, κατά κανόνα, βρίσκουν τη διέξοδό τους στο γεγονός ότι επιτρέπουν την επεξεργασία ενός συνόλου αριθμών (αρχικών δεδομένων) σε ένα άλλο σύνολο αριθμών, το οποίο αποτελεί έναν ενδιάμεσο ή τελικό στόχο υπολογισμών. Για το λόγο αυτό οι αριθμητικές συναρτήσεις κατέχουν ιδιαίτερη θέση στα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους. Αυτές (ακριβέστερα, οι λεγόμενες διαφοροποιήσιμες αριθμητικές συναρτήσεις) αποτελούν το κύριο αντικείμενο μελέτης της κλασικής ανάλυσης. Αλλά οποιαδήποτε περιγραφή των ιδιοτήτων αυτών των συναρτήσεων, η οποία είναι πλήρης από την άποψη των σύγχρονων μαθηματικών, όπως θα μπορούσατε ήδη να αισθανθείτε στο σχολείο και όπως θα δείτε σύντομα, είναι αδύνατη χωρίς έναν ακριβή ορισμό του συνόλου των πραγματικών αριθμών στο οποίο αυτές οι λειτουργίες δρουν.

Ένας αριθμός στα μαθηματικά, όπως ο χρόνος στη φυσική, είναι γνωστός σε όλους, αλλά είναι ακατανόητος μόνο για τους ειδικούς. Αυτή είναι μια από τις κύριες μαθηματικές αφαιρέσεις, η οποία, προφανώς, δεν έχει ακόμη υποστεί σημαντική εξέλιξη και η ιστορία της οποίας μπορεί να αφιερωθεί σε ένα ανεξάρτητο εντατικό μάθημα. Εδώ εννοούμε μόνο να συγκεντρώσουμε όσα βασικά γνωρίζει ο αναγνώστης για τους πραγματικούς αριθμούς από το γυμνάσιο, τονίζοντας με τη μορφή αξιωμάτων τις θεμελιώδεις και ανεξάρτητες ιδιότητες των αριθμών. Ταυτόχρονα, στόχος μας είναι να δώσουμε έναν ακριβή ορισμό των πραγματικών αριθμών που είναι κατάλληλοι για μετέπειτα μαθηματική χρήση και να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην ιδιότητά τους της πληρότητας ή της συνέχειας, που είναι το μικρόβιο της μετάβασης στο όριο - το κύριο μη αριθμητικό λειτουργία της ανάλυσης.

§ 1. Αξιωματικά και μερικές γενικές ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών

1. Ορισμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών

Ορισμός 1. Το σύνολο Ε ονομάζεται το σύνολο των πραγματικών (πραγματικών) αριθμών και τα στοιχεία του ονομάζονται πραγματικοί (πραγματικοί)

αριθμοί εάν το ακόλουθο σύνολο συνθηκών, που ονομάζεται αξιωματική των πραγματικών αριθμών, ικανοποιείται:

(Ι) Αξιώματα πρόσθεσης

Ορίστηκε χαρτογράφηση (λειτουργία προσθήκης)

εκχωρώντας σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων από το Ε κάποιο στοιχείο που ονομάζεται άθροισμα των x και y. Στην περίπτωση αυτή πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο 0 (που ονομάζεται μηδέν στην περίπτωση πρόσθεσης) τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε

Για οποιοδήποτε στοιχείο υπάρχει ένα στοιχείο που ονομάζεται αντίθετο με τέτοιο ώστε

Η λειτουργία 4 είναι συσχετιστική, δηλ. για οποιαδήποτε στοιχεία από

Η λειτουργία 4 είναι ανταλλακτική, δηλ. για οποιαδήποτε στοιχεία του Ε,

Εάν οριστεί μια πράξη σε κάποιο σύνολο που ικανοποιεί τα αξιώματα, τότε λέγεται ότι δίνεται η δομή μιας ομάδας ή ότι υπάρχει μια ομάδα. Εάν η πράξη ονομάζεται πρόσθεση, τότε η ομάδα ονομάζεται πρόσθετη. Εάν, επιπλέον, είναι γνωστό ότι η πράξη είναι ανταλλακτική, δηλ. ικανοποιείται η συνθήκη, τότε η ομάδα ονομάζεται ανταλλακτική ή αβελιανή. Έτσι τα αξιώματα λένε ότι το Ε είναι μια προσθετική αβελιανή ομάδα.

(II) Αξιώματα πολλαπλασιασμού

Καθορισμός χαρτογράφησης (λειτουργία πολλαπλασιασμού)

εκχωρώντας σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων από το E κάποιο στοιχείο, που ονομάζεται γινόμενο των x και y, και με τέτοιο τρόπο ώστε να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:

1. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο στην περίπτωση πολλαπλασιασμού επί ένα) τέτοιο ώστε

2. Για κάθε στοιχείο υπάρχει ένα στοιχείο που ονομάζεται αντίστροφο, τέτοιο ώστε

3. Η πράξη είναι συνειρμική, δηλαδή οποιοδήποτε από τα Ε

4. Η πράξη είναι ανταλλακτική, δηλαδή για οποιαδήποτε

Σημειώστε ότι, όσον αφορά τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού, το σύνολο μπορεί να επαληθευτεί ότι είναι μια (πολλαπλασιαστική) ομάδα.

(I, II) Σχέση μεταξύ πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού

Ο πολλαπλασιασμός είναι κατανεμητικός ως προς την πρόσθεση, δηλ.

Σημειώστε ότι, ενόψει της ανταλλαξιμότητας του πολλαπλασιασμού, η τελευταία ισότητα διατηρείται εάν αντιστραφεί η σειρά των παραγόντων και στα δύο μέρη της.

Εάν σε κάποιο σύνολο υπάρχουν δύο πράξεις που ικανοποιούν όλα τα αναφερόμενα αξιώματα, τότε ονομάζεται αλγεβρικό πεδίο ή απλώς πεδίο.

(III) Αξιώματα τάξης

Υπάρχει σχέση μεταξύ των στοιχείων του Ε, δηλ. για στοιχεία από το Ε διαπιστώνεται αν εκπληρώνεται ή όχι. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Η σχέση ονομάζεται σχέση ανισότητας.

Ένα σύνολο, μεταξύ ορισμένων στοιχείων του οποίου υπάρχει μια σχέση που ικανοποιεί τα αξιώματα 0, 1, 2, είναι γνωστό ότι ονομάζεται μερικώς διατεταγμένο και εάν, επιπλέον, ικανοποιείται το αξίωμα 3, δηλ. οποιαδήποτε δύο στοιχεία του συνόλου είναι συγκρίσιμα , τότε το σύνολο ονομάζεται γραμμικά διατεταγμένο.

Έτσι, το σύνολο των πραγματικών αριθμών ταξινομείται γραμμικά από τη σχέση ανισότητας μεταξύ των στοιχείων του.

(I, III) Σχέση μεταξύ πρόσθεσης και τάξης στο R

Αν το x είναι στοιχεία του R, τότε

(II, III) Σχέση πολλαπλασιασμού και τάξης στο R

Αν είναι στοιχεία του R, τότε

(IV) Αξίωμα πληρότητας (συνέχεια)

Αν τα X και Y είναι μη κενά υποσύνολα του E που έχουν την ιδιότητα ότι για οποιαδήποτε στοιχεία, τότε υπάρχει τέτοια ώστε για οποιαδήποτε στοιχεία .

Αυτό συμπληρώνει τη λίστα των αξιωμάτων των οποίων η εκπλήρωση σε οποιοδήποτε σύνολο Ε καθιστά δυνατό να θεωρηθεί αυτό το σύνολο ως συγκεκριμένη υλοποίηση ή, όπως λένε, μοντέλο πραγματικών αριθμών.

Αυτός ο ορισμός τυπικά δεν προϋποθέτει καμία προκαταρκτική πληροφορία για τους αριθμούς, και από αυτόν, "συμπεριλαμβανομένης της μαθηματικής σκέψης", και πάλι, τυπικά, πρέπει ήδη να λάβουμε τις υπόλοιπες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών ως θεωρήματα. Θα θέλαμε να κάνουμε μερικές ανεπίσημες παρατηρήσεις σχετικά με αυτόν τον αξιωματικό φορμαλισμό.

Φανταστείτε ότι δεν έχετε περάσει από την προσθήκη μήλων, κύβων ή άλλων ονομαστικών ποσοτήτων στην προσθήκη αφηρημένων φυσικών αριθμών. ότι δεν μετρήσατε τμήματα και δεν καταλήξατε σε ορθολογικούς αριθμούς. ότι δεν ξέρετε τη μεγάλη ανακάλυψη των αρχαίων ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ασύγκριτη με την πλευρά του και επομένως το μήκος του δεν μπορεί να είναι ρητός αριθμός, δηλαδή χρειάζονται παράλογοι αριθμοί? ότι δεν έχετε την έννοια του "περισσότερο" που προκύπτει στη διαδικασία μέτρησης, ότι δεν απεικονίζετε την τάξη στον εαυτό σας, για παράδειγμα, με την εικόνα μιας αριθμητικής γραμμής. Αν όλα αυτά δεν είχαν συμβεί εκ των προτέρων, τότε το απαριθμημένο σύνολο αξιωμάτων όχι μόνο δεν θα γινόταν αντιληπτό ως οριστικό αποτέλεσμα πνευματικής ανάπτυξης, αλλά μάλλον θα φαινόταν τουλάχιστον παράξενο και σε κάθε περίπτωση ένα αυθαίρετο αποκύημα φαντασίας.

Σε σχέση με οποιοδήποτε αφηρημένο σύστημα αξιωμάτων, προκύπτουν αμέσως τουλάχιστον δύο ερωτήματα.

Πρώτον, είναι συμβατά αυτά τα αξιώματα, δηλ. υπάρχει κάποιο σύνολο που να ικανοποιεί όλες τις παραπάνω προϋποθέσεις; Αυτό είναι το ζήτημα της συνέπειας της αξιωματικής.

Δεύτερον, το δεδομένο σύστημα αξιωμάτων καθορίζει μοναδικά το μαθηματικό αντικείμενο, δηλαδή, όπως θα έλεγαν οι λογικοί, το σύστημα των αξιωμάτων είναι κατηγορικό.

Η αμφισημία εδώ πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής. Εάν τα άτομα Α και Β, ανεξάρτητα, έχουν κατασκευάσει τα δικά τους μοντέλα, για παράδειγμα, αριθμητικών συστημάτων που ικανοποιούν την αξιωματική, τότε μπορεί να δημιουργηθεί μια διπλή αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων, ακόμα κι αν διατηρεί τις αριθμητικές πράξεις και τη σχέση τάξης, δηλ.

Από μαθηματική άποψη, σε αυτήν την περίπτωση, είναι απλώς διαφορετικές (εντελώς ίσες) υλοποιήσεις (μοντέλα) πραγματικών αριθμών (για παράδειγμα, άπειρα δεκαδικά κλάσματα και - σημεία στην αριθμητική γραμμή). Τέτοιες πραγματοποιήσεις ονομάζονται ισομορφικές και η χαρτογράφηση ονομάζεται ισομορφισμός. Τα αποτελέσματα της μαθηματικής δραστηριότητας, λοιπόν, δεν αναφέρονται σε μια μεμονωμένη υλοποίηση, αλλά σε κάθε μοντέλο από την κατηγορία των ισομορφικών μοντέλων μιας δεδομένης αξιωματικής.

Δεν θα συζητήσουμε εδώ τις παραπάνω ερωτήσεις και θα περιοριστούμε σε κατατοπιστικές απαντήσεις σε αυτές.

Μια θετική απάντηση στο ερώτημα σχετικά με τη συνέπεια των αξιωματικών είναι πάντα υπό όρους. Όσον αφορά τους αριθμούς, μοιάζει με αυτό: με βάση την αξιωματική της θεωρίας συνόλων που υιοθετήσαμε (βλ. Κεφ. I, § 4, στοιχείο 2), μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο φυσικών αριθμών, στη συνέχεια ένα σύνολο ρητικών, και , τέλος, ένα σύνολο Ε όλων των πραγματικών αριθμών που ικανοποιεί όλες τις παραπάνω ιδιότητες.