Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο online. Πώς να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο και τη μέθοδο Simpson; Πώς να υπολογίσετε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson

Είναι πρακτικά δύσκολο να βρεις μια τέτοια τιμή με, στο οποίο (β-α)στ(γ)θα ήταν ακριβώς ίσο με . Για να αποκτήσετε μια πιο ακριβή τιμή, η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς χωρίζεται σε nορθογώνια των οποίων τα ύψη είναι ίσα y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1και θεμέλια.

Εάν συνοψίσουμε τις περιοχές των ορθογωνίων που καλύπτουν την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς με ένα μειονέκτημα, η συνάρτηση δεν μειώνεται, τότε αντί για τον τύπο, χρησιμοποιείται ο τύπος

Αν υπερβαίνει, τότε

Οι αξίες βρίσκονται από τις ισότητες. Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύπους ορθογωνίουκαι να δώσει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα. Με την αύξηση nτο αποτέλεσμα γίνεται πιο ακριβές.

Παράδειγμα 1 . Υπολογίστε από τον τύπο των ορθογωνίων

Χωρίζουμε το διάστημα της ολοκλήρωσης σε 5 μέρη. Τότε . Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή έναν πίνακα, βρίσκουμε τις τιμές του ολοκληρώματος (με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων):

Σύμφωνα με τον τύπο των ορθογωνίων (με ένα μειονέκτημα)

Από την άλλη, σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz

Ας βρούμε το σχετικό σφάλμα υπολογισμού χρησιμοποιώντας τον τύπο των ορθογωνίων:

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τραπεζοειδείς τύπους. Εκτίμηση σφάλματος:

Η γεωμετρική έννοια της ακόλουθης μεθόδου για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των ολοκληρωμάτων είναι η εύρεση του εμβαδού ενός περίπου ίσου μεγέθους "ευθύγραμμου" τραπεζοειδούς.

Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το εμβαδόν Ένα 1 AmBB 1καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, που εκφράζεται με τον τύπο .

Ας αντικαταστήσουμε το τόξο AmBχορδή ΑΒκαι αντί για την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς Ένα 1 AmBB 1υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς A 1 ABB 1: , που ΑΑ 1και ΒΒ 1 - η βάση του τραπεζοειδούς και A 1 V 1 είναι το ύψος του.

Σημαίνω f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.τραπεζοειδές ύψος A 1 B 1 \u003d b-a,τετράγωνο . Επομένως, ή

Αυτό το λεγόμενο μικρό τραπεζοειδές τύπο.

Παράδειγμα 2. Πλάτος ποταμού 26 μ, μετρήσεις βάθους στη διατομή του ποταμού κάθε 2 μέδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα.

Γυμνάσια.

5.1 Υπολογίστε με τον τύπο τετραγωνισμού των ορθογωνίων με n= 3 ολοκλήρωμα και συγκρίνετε με την ακριβή τιμή του ολοκληρώματος:

ένα) , Εγώ= 1; β) , Εγώ= ln 2;

σε) , Εγώ= ; Ζ), Εγώ= 0,75.

5.2 Υπολογίστε με τον τύπο τετραγωνισμού των ορθογωνίων όταν n= 5 ολοκλήρωμα και αξιολογήστε το σφάλμα ολοκλήρωσης:

5.3 Προσδιορίστε τον αριθμό των κόμβων n, το οποίο πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο των ορθογωνίων με ακρίβεια 0,01:

ένα) ; β) ; σε) ; Ζ) .

5.4 Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνισμού των ορθογωνίων με ακρίβεια 0,01:

Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα Εγώ(6) και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση του ολοκληρώματος (Εικ. 17). Ας χωρίσουμε το διάστημα της ολοκλήρωσης σε nίσα τμήματα με σημεία , όπου (Εικ. 17).

Το μήκος κάθε τμήματος του διαμερίσματος . Σε αυτήν την περίπτωση, είναι προφανές ότι για τα σημεία κατάτμησης η σχέση θα ισχύει:

και Χ 0 = ένακαι x n = σι.

Συνδέστε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τις συντεταγμένες κατά τμήματα. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια διακεκομμένη γραμμή, η οποία είναι ένα γράφημα μιας τμηματικής γραμμικής συνάρτησης (Εικ. 17). Σε κάθε τμήμα του διαμερίσματος, η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο

Σε σημεία, παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση:

εκείνοι. η συνάρτηση εκτελεί τμηματικά γραμμική παρεμβολή της συνάρτησης στο τμήμα (Εικ. 17).

Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα:

Αυτό το αποτέλεσμα έχει μια απλή γεωμετρική σημασία: ένα σχήμα που οριοθετείται από κάτω από ένα τμήμα άξονα Ω, από πάνω από ένα τμήμα της συνάρτησης (13), από τις πλευρές από κάθετες ευθείες γραμμές και , είναι ένα τραπεζοειδές με βάσεις μήκους και ύψους η, το εμβαδόν του οποίου προσδιορίζεται από τον τύπο (14) (Εικ. 17).

Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης σε ολόκληρο το τμήμα είναι το άθροισμα των ολοκληρωμάτων (14):

Τετραγωνικός τύπος

δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος Εγώ:

πού είναι ο υπόλοιπος όρος (ειδική σημειογραφία). Στον τύπο τετραγωνισμού (16), που ονομάζεται τραπεζοειδής τύπος τετραγωνισμού , οι κόμβοι είναι τα σημεία, οι συντελεστές βάρους όλοι εκτός από δύο στο και είναι ίδιοι και ίσοι με , και οι συντελεστές βάρους στο και είναι ίσοι με . Ο τύπος (16) εκφράζει την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, που αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα Εγώ, μέσω του αθροίσματος των εμβαδών των τραπεζοειδών (14) (Εικ. 17).

Ο τύπος (7) ή (7ʹ) για την τιμή κατασκευάστηκε ως αναπόσπαστο άθροισμα. Κατά την εξαγωγή του τύπου (15) για το , η έννοια του ακέραιου αθροίσματος δεν χρησιμοποιήθηκε, αλλά μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως ακέραιο άθροισμα. Επομένως, εάν η συνάρτηση μπορεί να ολοκληρωθεί στο , τότε με τον ορισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος

εκείνοι. Οι συνθήκες σύγκλισης για τον τύπο τραπεζοειδούς τετραγωνισμού (16) ικανοποιούνται σε αυτήν την περίπτωση.

Οι οριακές σχέσεις (17) αποδεικνύουν τη θεμελιώδη δυνατότητα υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος μιας αυθαίρετης ολοκληρωμένης συνάρτησης με την τραπεζοειδή μέθοδο με οποιαδήποτε ακρίβεια ε επιλέγοντας έναν αριθμό nσημεία διάσπασης του τμήματος και το αντίστοιχο βήμα η.

Ας εξετάσουμε το κύριο ερώτημα που σχετίζεται με την οργάνωση μιας πραγματικής υπολογιστικής διαδικασίας: πώς να το κάνουμε nπροκειμένου να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια κατά τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος (6) ε . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί ο υπολειπόμενος όρος (σφάλμα) . Από αυτή την άποψη, το integrand δεν πρέπει μόνο να είναι ολοκληρωμένο, αλλά και δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμο στο διάστημα. Εάν πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις που περιγράφονται παραπάνω, τότε η ακόλουθη εκτίμηση ισχύει για την υπόλοιπη περίοδο

που Μείναι ένας θετικός αριθμός που ικανοποιεί συνθήκη (11).

Για δεδομένη ακρίβεια ε Η συνθήκη (18) μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τον αριθμό των κόμβων n, το οποίο πρέπει να χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος (6). Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε την αναλογία

Παράδειγμα 1Υπολογίστε με τον τύπο τετραγωνισμού των τραπεζοειδών με n= 3 αναπόσπαστο

Συγκρίνετε με την ακριβή τιμή του ολοκληρώματος.

Απόφαση.

Οπως και n= 3, μετά βήμα

Και με δεδομένο ότι και:

Ως εκ τούτου, από τον τύπο (15) έχουμε

Ως εκ τούτου, .

Ας συγκρίνουμε την κατά προσέγγιση τιμή που προκύπτει με την ακριβή τιμή του ολοκληρώματος

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 2Προσδιορίστε τον αριθμό των κόμβων n, το οποίο πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο

με ακρίβεια 0,01.

Απόφαση.

Για τον καθορισμό n, χρησιμοποιούμε τη σχέση (19)

Σύμφωνα με την εργασία και ε = 0,01. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ολοκλήρωμα και η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός του είναι αντίστοιχα ίσα με και , τότε στο τμήμα ολοκλήρωσης έχουμε = . Που σημαίνει Μ= 1. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τη σχέση

Από το οποίο καθορίζουμε n:

Α, τότε ας πάρουμε n = 6.

Επομένως, προκειμένου να επιτευχθεί η ακρίβεια ε = 0,01, πρέπει να πάρετε 7 κόμβους.

Απάντηση:n = 6.

Παράδειγμα 3Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο τετράγωνου τραπεζοειδούς

με ακρίβεια 0,01.

Απόφαση.

Ας προσδιορίσουμε πρώτα τον αριθμό των κόμβων n, το οποίο πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος. Σύμφωνα με την αποστολή, ε = 0,01 και . Οπως και

και για τρέξιμο

τότε Μ= 2. Αντικατάσταση των τιμών ένα, σι, ε και Μστον τύπο (12) παίρνουμε τη σχέση:

Από την οποία βρίσκουμε n.

Α, τότε ας πάρουμε n = 5.

Οπως και n= 5, μετά βήμα

Ας βρούμε τις τιμές χρησιμοποιώντας την αναλογία

Και με δεδομένο αυτό, και σι :

Τώρα ας υπολογίσουμε τις τιμές του ολοκληρωτή στα σημεία , :

Ως εκ τούτου, από τον τύπο (15) έχουμε

Ως εκ τούτου, .

Απάντηση:με ακρίβεια 0,01.

Σήμερα θα γνωρίσουμε μια άλλη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης, την τραπεζοειδή μέθοδο. Με τη βοήθειά του, θα υπολογίσουμε οριστικά ολοκληρώματα με δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Στο άρθρο, θα περιγράψουμε την ουσία της μεθόδου τραπεζοειδούς, θα αναλύσουμε πώς προκύπτει ο τύπος, θα συγκρίνουμε τη μέθοδο του τραπεζοειδούς με τη μέθοδο του ορθογωνίου και θα γράψουμε την εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος της μεθόδου. Θα επεξηγήσουμε κάθε μια από τις ενότητες με παραδείγματα για μια βαθύτερη κατανόηση του υλικού.

Ας υποθέσουμε ότι χρειάζεται να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ a b f (x) d x, του οποίου το ολοκλήρωμα y = f (x) είναι συνεχές στο τμήμα [ a ; β] . Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το τμήμα [ a ; b ] σε πολλά ίσα διαστήματα μήκους h με σημεία a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Ας βρούμε το βήμα κατάτμησης: h = b - a n . Ορίζουμε κόμβους από την ισότητα x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Σε στοιχειώδη διαστήματα, θεωρήστε το ολοκλήρωμα x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

Με μια άπειρη αύξηση στο n, ανάγουμε όλες τις περιπτώσεις στις τέσσερις απλούστερες επιλογές:

Επιλέξτε τμήματα x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Ας αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση y = f (x) σε καθεμία από τις γραφικές παραστάσεις με ένα ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες x i - 1 . f x i - 1 και x i ; f x i . Τα σημειώνουμε στις φιγούρες με μπλε χρώμα.

Ας πάρουμε την παράσταση f (x i - 1) + f (x i) 2 h ως κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος ∫ x i - 1 x εάν (x) d x . Εκείνοι. πάρτε ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Ας δούμε γιατί η μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης που μελετάμε ονομάζεται τραπεζοειδής μέθοδος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρούμε τι σημαίνει η γραπτή κατά προσέγγιση ισότητα από την άποψη της γεωμετρίας.

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς, πολλαπλασιάστε τα μισά αθροίσματα των βάσεων του με το ύψος. Στην πρώτη περίπτωση, το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι περίπου ίσο με ένα τραπεζοειδές με βάσεις f (x i - 1) , f (x i) ύψος h . Στην τέταρτη από τις περιπτώσεις που εξετάζουμε, το δεδομένο ολοκλήρωμα ∫ x i - 1 x f (x) d x είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς με βάσεις - f (x i - 1) , - f (x i) και ύψος h, το οποίο πρέπει να ληφθεί με το σύμβολο "-". Για να υπολογίσουμε την κατά προσέγγιση τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος ∫ x i - 1 x i f (x) d x στη δεύτερη και τρίτη από τις εξεταζόμενες περιπτώσεις, πρέπει να βρούμε τη διαφορά μεταξύ των περιοχών της κόκκινης και της μπλε περιοχής, την οποία σημειώσαμε με εκκόλαψη στο παρακάτω σχήμα.

Ας συνοψίσουμε. Η ουσία της τραπεζοειδούς μεθόδου είναι η εξής: μπορούμε να αναπαραστήσουμε το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ a b f (x) d x ως άθροισμα ολοκληρωμάτων της μορφής ∫ x i - 1 x i f (x) d x σε κάθε στοιχειώδες τμήμα και στην επόμενη κατά προσέγγιση αλλαγή ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

Τραπεζοειδής τύπος

Θυμηθείτε την πέμπτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Για να λάβετε τον τύπο της τραπεζοειδούς μεθόδου, αντί για τα ολοκληρώματα ∫ x i - 1 x i f (x) d x, αντικαταστήστε τις κατά προσέγγιση τιμές τους: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ορισμός 1

Τραπεζοειδής τύπος:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος της τραπεζοειδούς μεθόδου

Ας υπολογίσουμε το απόλυτο σφάλμα της τραπεζοειδούς μεθόδου ως εξής:

Ορισμός 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Μια γραφική απεικόνιση της τραπεζοειδούς μεθόδου φαίνεται στο σχήμα:

Παραδείγματα υπολογισμού

Ας αναλύσουμε παραδείγματα χρήσης της μεθόδου τραπεζοειδούς για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων. Θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή σε δύο τύπους εργασιών:

• Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την τραπεζοειδή μέθοδο για δεδομένο αριθμό διαμερισμάτων του τμήματος n.
• εύρεση μιας κατά προσέγγιση τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος με καθορισμένη ακρίβεια.

Για ένα δεδομένο n, όλοι οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί πρέπει να εκτελούνται με αρκετά υψηλό βαθμό ακρίβειας. Η ακρίβεια των υπολογισμών θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερο n .

Εάν έχουμε μια δεδομένη ακρίβεια για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, τότε όλοι οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί πρέπει να εκτελούνται δύο ή περισσότερες τάξεις μεγέθους με μεγαλύτερη ακρίβεια. Για παράδειγμα, εάν η ακρίβεια έχει οριστεί στο 0 . 01 , τότε εκτελούμε ενδιάμεσους υπολογισμούς με ακρίβεια 0 . 0001 ή 0 . 00001 . Για μεγάλα n, οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί πρέπει να γίνονται με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια.

Ας πάρουμε ως παράδειγμα τον παραπάνω κανόνα. Για να γίνει αυτό, συγκρίνουμε τις τιμές ενός ορισμένου ολοκληρώματος που υπολογίζεται με τον τύπο Newton-Leibniz και λαμβάνεται με τη μέθοδο του τραπεζοειδούς.

Άρα, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Παράδειγμα 1

Χρησιμοποιώντας την τραπεζοειδή μέθοδο, υπολογίζουμε το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x για n ίσο με 10 .

Απόφαση

Ο τύπος για την τραπεζοειδή μέθοδο είναι ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Για να εφαρμόσουμε τον τύπο, πρέπει να υπολογίσουμε το βήμα h χρησιμοποιώντας τον τύπο h = b - a n , να προσδιορίσουμε τους κόμβους x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , υπολογίστε τις τιμές του ολοκληρώματος f (x) = 7 x 2 + 1 .

Το βήμα κατάτμησης υπολογίζεται ως εξής: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα στους κόμβους x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n θα πάρουμε τέσσερα δεκαδικά ψηφία:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Ας εισάγουμε τα αποτελέσματα των υπολογισμών στον πίνακα:

Αντικαταστήστε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο της τραπεζοειδούς μεθόδου: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 3294 + 0 6, 2

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματά μας με τα αποτελέσματα που υπολογίζονται με τον τύπο Newton-Leibniz. Οι λαμβανόμενες τιμές συμπίπτουν έως και εκατοστά.

Απάντηση:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Παράδειγμα 2

Με τη μέθοδο του τραπεζοειδούς υπολογίζουμε την τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x με ακρίβεια 0 , 01 .

Απόφαση

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .

Βρείτε το n , το οποίο είναι ίσο με τον αριθμό των σημείων διαίρεσης του τμήματος ολοκλήρωσης, χρησιμοποιώντας την ανισότητα για την εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Θα το κάνουμε με τον εξής τρόπο: θα βρούμε τις τιμές n για τις οποίες η ανισότητα m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Δεδομένου n, ο τραπεζοειδής τύπος θα μας δώσει μια κατά προσέγγιση τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος με δεδομένη ακρίβεια.

Αρχικά, ας βρούμε τη μεγαλύτερη τιμή του συντελεστή μέτρησης της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης στο διάστημα [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f """ (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Η δεύτερη παράγωγη συνάρτηση είναι μια τετραγωνική παραβολή f "" (x) = x 2 . Γνωρίζουμε από τις ιδιότητές του ότι είναι θετικό και αυξάνεται στο τμήμα [1; 2]. Από αυτή την άποψη, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f """ (2) = 2 2 = 4 .

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η διαδικασία εύρεσης m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) αποδείχθηκε μάλλον απλό. Σε πολύπλοκες περιπτώσεις, για υπολογισμούς, μπορείτε να ανατρέξετε στις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης. Αφού εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα, παρουσιάζουμε μια εναλλακτική μέθοδο για την εύρεση m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Ας αντικαταστήσουμε την λαμβανόμενη τιμή με την ανισότητα m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735

Ο αριθμός των στοιχειωδών διαστημάτων στα οποία διαιρείται το τμήμα ολοκλήρωσης n είναι ένας φυσικός αριθμός. Για τη συμπεριφορά υπολογισμού, ας πάρουμε το n ίσο με έξι. Μια τέτοια τιμή του n θα μας επιτρέψει να επιτύχουμε την καθορισμένη ακρίβεια της τραπεζοειδούς μεθόδου με ελάχιστους υπολογισμούς.

Ας υπολογίσουμε το βήμα: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Βρείτε τους κόμβους x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , προσδιορίζουμε τις τιμές του ολοκληρωτή σε αυτούς τους κόμβους:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 983

Τα αποτελέσματα των υπολογισμών τα γράφουμε με τη μορφή πίνακα:

Αντικαθιστούμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται με τον τραπεζοειδή τύπο:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Για να συγκρίνουμε, υπολογίζουμε το αρχικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε επιτύχει την ληφθείσα ακρίβεια των υπολογισμών.

Απάντηση: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Για μιγαδικά ολοκληρώματα, η εύρεση του αριθμού n από την ανισότητα για την εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος δεν είναι πάντα εύκολη. Σε αυτή την περίπτωση, η ακόλουθη μέθοδος θα ήταν κατάλληλη.

Ας υποδηλώσουμε την κατά προσέγγιση τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος, που προέκυψε με την τραπεζοειδή μέθοδο για n κόμβους, όπως I n . Ας επιλέξουμε έναν αυθαίρετο αριθμό n . Χρησιμοποιώντας τον τύπο της τραπεζοειδούς μεθόδου, υπολογίζουμε το αρχικό ολοκλήρωμα για έναν απλό (n = 10) και διπλό (n = 20) αριθμό κόμβων και βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των δύο λαμβανόμενων κατά προσέγγιση τιμών I 20 - εγώ 10 .

Εάν η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των δύο λαμβανόμενων κατά προσέγγιση τιμών είναι μικρότερη από την απαιτούμενη ακρίβεια I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Εάν η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των δύο λαμβανόμενων κατά προσέγγιση τιμών είναι μεγαλύτερη από την απαιτούμενη ακρίβεια, τότε είναι απαραίτητο να επαναλάβετε τα βήματα με διπλάσιο αριθμό κόμβων (n = 40).

Αυτή η μέθοδος απαιτεί πολλούς υπολογισμούς, επομένως είναι συνετό να χρησιμοποιείτε τεχνολογία υπολογιστών για εξοικονόμηση χρόνου.

Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο. Για να εξοικονομήσουμε χρόνο, παραλείπουμε τους ενδιάμεσους υπολογισμούς με τη μέθοδο του τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ 0 2 x e x d x χρησιμοποιώντας την τραπεζοειδή μέθοδο με ακρίβεια 0 , 001 .

Απόφαση

Ας πάρουμε το n ίσο με 10 και 20 . Σύμφωνα με τον τραπεζοειδή τύπο, παίρνουμε I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, κάτι που απαιτεί περαιτέρω υπολογισμούς.

Ας πάρουμε το n ίσο με 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, το οποίο απαιτεί επίσης περαιτέρω υπολογισμούς.

Ας πάρουμε το n ίσο με 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, που απαιτεί άλλον διπλασιασμό του αριθμού των κόμβων.

Ας πάρουμε το n ίσο με 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Μπορείτε να πάρετε μια κατά προσέγγιση τιμή του αρχικού ολοκληρώματος στρογγυλοποιώντας το I 160 = 8 , 3893317 στα χιλιοστά: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Για σύγκριση, υπολογίζουμε το αρχικό οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Έχει επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.

Απάντηση: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Σφάλματα

Οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί για τον προσδιορισμό της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος πραγματοποιούνται, ως επί το πλείστον, κατά προσέγγιση. Αυτό σημαίνει ότι καθώς το n αυξάνεται, το υπολογιστικό σφάλμα αρχίζει να συσσωρεύεται.

Ας συγκρίνουμε τις εκτιμήσεις των απόλυτων σφαλμάτων της τραπεζοειδούς μεθόδου και της μεθόδου των μέσων ορθογωνίων:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Η μέθοδος των ορθογωνίων για ένα δεδομένο n με την ίδια ποσότητα υπολογιστικής εργασίας δίνει το μισό σφάλμα. Αυτό καθιστά τη μέθοδο πιο προτιμότερη σε περιπτώσεις όπου οι τιμές της συνάρτησης είναι γνωστές στα μεσαία τμήματα των στοιχειωδών τμημάτων.

Σε εκείνες τις περιπτώσεις που οι ενσωματώσιμες συναρτήσεις προσδιορίζονται όχι αναλυτικά, αλλά ως σύνολο τιμών στους κόμβους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τραπεζοειδή μέθοδο.

Αν συγκρίνουμε την ακρίβεια της τραπεζοειδούς μεθόδου και της μεθόδου των δεξιών και αριστερών ορθογωνίων, τότε η πρώτη μέθοδος ξεπερνά τη δεύτερη στην ακρίβεια του αποτελέσματος.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter