Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода , сопротивление воздуха
и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть расходуется на работу против сил трения. В конечном итоге на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.
Рассматривая , мы имели дело с идеальными, строго периодическими собственными колебаниями. Описывая при помощи такой модели реальные колебания, мы сознательно допускаем неточность в описании. Однако подобное упрощение является пригодным в силу того, что у многих колебательных систем затухания колебаний, вызванные трением, действительно малы: система успевает совершить много колебаний прежде, чем их уменьшится заметным образом.
Графики затухающих колебаний
При наличии затухания собственное колебание (рис.1) перестает быть гармоническим. Более того, затухающее колебание перестает быть периодическим процессом — трение влияет не только на амплитуду колебаний (то есть является причиной затухания), но и на продолжительность размахов. С увеличением трения время, необходимое системе для совершения одного полного колебания, увеличивается. График затухающих колебаний представлен на рис. 2.
Рис.1. График свободных гармонических колебаний
Рис.2. График затухающих колебаний
Характерной чертой колебательных систем является то, что небольшое трение влияет на период колебаний в гораздо меньшей степени, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Первые часы с построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часовых механизмов. Ход часов с маятником мало чувствителен к изменениям, обусловленным трением, которые в общем случае зависят от многих факторов, в то время как скорость хода предшествующих безмаятниковых часов очень сильно зависела от трения.
На практике возникает потребность как в уменьшении, так и в увеличении затухания колебаний. К примеру, при конструировании часовых механизмов стремятся уменьшить затухание колебаний балансира часов. Для этого ось балансира снабжают острыми наконечниками, которые упираются в хорошо отполированные конические подпятники, выполненные из твердого камня (агата или рубина). Наоборот, во многих измерительных приборах очень желательно, чтобы подвижная часть устройства устанавливалась в процессе измерений быстро, но совершая большого числа колебаний. Для увеличения затухания в этом случае применяют различные демпферы – устройства, увеличивающие трение и, в общем случае, потерю энергии.
В реальной действительности свободные колебания происходят в условиях действия сил сопротивления. Диссипативные силы ведут к уменьшению амплитуды колебаний. Колебания, амплитуда которых с течением времени становится меньше в результате потерь энергии, называются затухающими.
Затухающие механические колебания
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Физическую величину, которая характеризует скорость затухания колебаний, называют коэффициентом затухания . Коэффициент затухания могут обозначать по-разному: и т.д. При условии пропорциональности сил трения скорости движения тела:
где — является обобщенным коэффициентом трения, коэффициент затухания считают равным:
где — масса тела, совершающего колебания.
Дифференциальное уравнение колебаний при наличии затухания будет иметь вид:
— циклическая частота свободных колебаний системы при отсутствии трения.Уравнение затухающих колебаний:
где 
— частота затухающих колебаний, — амплитуда затухающих колебаний. — постоянная величина, которая зависит от выбора начала отсчета времени.
Коэффициент затухания можно определить как величину обратную времени () за которое амплитуд (A) уменьшается в e раз:
где — время релаксации. То есть можно записать:
Период затухающих колебаний равен:
при несущественном сопротивлении среды, если выполняется неравенство: период колебаний можно вычислять при помощи формулы:
При увеличении коэффициента затухания период колебаний растет. Надо заметить, что понятие период затухающих колебаний не совпадает с понятием незатухающих колебаний, так как система при наличии затухания никогда не возвращается в исходное состояние. Период затухающих колебаний — это минимальный промежуток времени в течение которого, система два раза проходит положение равновесия в одном направлении.
С увеличением коэффициента затухания колебаний частота колебаний уменьшается. Если , то частота затухающих колебаний станет равна нулю, при этом период увеличивается до бесконечности. Такие колебания теряют периодичность и называются апериодическими. При равенстве коэффициента затухания собственной частоте колебаний параметры системы называют критическими.
Коэффициент затухания колебаний связан с логарифмическим декрементом затухания () выражением:
Затухающие электрические колебания
Любой электрический контур, существующий в реальной действительности, имеет активное сопротивление, следовательно, энергия, запасённая в нем с течением времени расходуется на этом сопротивлении, так как происходит его нагревание.
При этом коэффициент затухания для электрического контура вычисляют как:
где R — сопротивление, L- индуктивность контура.
Частота в электромагнитном контуре представлена формулой:
Для RLC контура критическим сопротивлением () при котором колебания становятся апериодическими является сопротивление, равное:
Единицы измерения коэффициента затухания колебаний
Основной единицей измерения коэффициента затухания в системе СИ является:
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Каков коэффициент затухания, если амплитуда колебаний маятника за время t=10 c. уменьшается в 4 раза? |
| Решение | Запишем уравнение затухающих колебаний маятника:
По одному из определений коэффициента затухания: Проведем вычисления:
|
| Ответ |  |
ПРИМЕР 2
| Задание | Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L, конденсатора C и сопротивления R (рис.1). Через какое число полных колебаний (N) амплитуда тока в контуре уменьшится в e -раз?
|
| Решение | Введем следующие обозначения: — начальное значение амплитуды силы тока, — амплитуда силы тока через N колебаний, тогда можно записать:
|
Затухающие колебания
Затухающие колебания пружинного маятника
Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.
В акустике: затухание - уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
Затухающие колебания пружинного маятника
Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m . Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).
Корни которого вычисляются по следующей формуле
Решения
В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.
- Апериодичность
Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:
В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.
- Граница апериодичности
Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:
В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом - экспоненциальное затухание.
- Слабое затухание
Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня
Тогда решением исходного дифференциального уравнения является
Где - собственная частота затухающих колебаний.
Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий:
См. также
- Декремент затухания
Литература
Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Затухающие колебания" в других словарях:
Затухающие колебания - Затухающие колебания. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, амплитуда которых A уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии: превращения энергии колебаний в тепло в результате трения в механических системах (например, в точке подвеса… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp (?t) (? показатель затухания из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Большой Энциклопедический словарь
Колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается, напр. колебания маятника, испытывающего сопротивление воздуха и трение в подвесе. Все свободные колебания, происходящие в природе, являются в большей или меньшей мере З. К. Электрические З. К.… … Морской словарь
затухающие колебания - Механические колебания с уменьшающимися во времени значениями размаха обобщенной координаты или ее производной по времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … Справочник технического переводчика
Затухающие колебания - (ВИБРАЦИЯ) колебания (вибрация) с уменьшающимися значениями размаха … Российская энциклопедия по охране труда
Собственные колебания системы, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = А0ехр(?α t) (α показатель затухания) из–за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Энциклопедический словарь
Затухающие колебания - 31. Затухающие колебания Колебания с уменьшающимися значениями размаха Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Собственные колебания системы, амплитуда А к рых убывает со временем t по закону экспоненты A(t) = = Аоехр(at) (a показатель затухания) из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механич. 3. к. и омическому сопротивлению для эл … Естествознание. Энциклопедический словарь
затухающие колебания - silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas
затухающие колебания - slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; dying oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas
§6 Затухающие колебания
Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.
Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.
Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими .
Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения
где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F C направлена в сторону противоположную скорости.
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона
где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.
- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Уравнение затухающих колебаний.
ω - частота затухающих колебаний:
Период затухающих колебаний:
Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово-рить, когда β мало.
Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно
рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
В уравнении (1) А 0 и φ 0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания
Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз
τ - время релаксации.
Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень-шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
§7 Вынужденные колебания.
Резонанс
В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.
Пусть
Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.
По второму закону Ньютона:
(1)
Дифференциальное уравнение вынуж-денных колебаний.
Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.
Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(2)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде:
Тогда
Подставим в (2):
т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,
Это комплексное число удобно представить в виде
где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид
Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:
где
(3)
(4)
Слагаемое Х о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи-ческой системы, называется резонансом .
Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).
Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой . Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то
ω рез = ω 0 .
При ω→0 все кривые приходят к значению - статическое отклонение.
Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.
Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. §59 т.1 Савельев И.В.
