Vom analiza trei exemple în acest articol:
1. Exemple cu paranteze (operații de adunare și scădere)
2. Exemple cu paranteze (adunare, scădere, înmulțire, împărțire)
3. Exemple cu o mulțime de acțiuni
1 Exemple cu paranteze (operații de adunare și scădere)
Să ne uităm la trei exemple. În fiecare dintre ele, procedura este indicată prin numere roșii:
Vedem că ordinea acțiunilor în fiecare exemplu va fi diferită, deși numerele și semnele sunt aceleași. Acest lucru se datorează faptului că al doilea și al treilea exemplu au paranteze.
*Această regulă este pentru exemple fără înmulțire și împărțire. Reguli pentru exemple cu paranteze, inclusiv operațiile de înmulțire și împărțire, le vom lua în considerare în a doua parte a acestui articol.
Pentru a nu te confunda în exemplul cu paranteze, îl poți transforma într-un exemplu obișnuit, fără paranteze. Pentru a face acest lucru, scriem rezultatul obținut între paranteze deasupra parantezelor, apoi rescriem întregul exemplu, scriind acest rezultat în loc de paranteze, apoi efectuăm toate acțiunile în ordine, de la stânga la dreapta:
În exemple simple, toate aceste operații pot fi efectuate în minte. Principalul lucru este să efectuați mai întâi acțiunea dintre paranteze și să vă amintiți rezultatul, apoi să numărați în ordine, de la stânga la dreapta.
Și acum - antrenori!
1) Exemple cu paranteze până la 20. Simulator online.
2) Exemple cu paranteze până la 100. Simulator online.
3) Exemple cu paranteze. Antrenorul #2
4) Introduceți numărul lipsă - exemple cu paranteze. Aparat de antrenament
2 Exemple cu paranteze (adunare, scădere, înmulțire, împărțire)
Acum luați în considerare exemple în care, pe lângă adunare și scădere, există și înmulțire și împărțire.
Să ne uităm mai întâi la exemple fără paranteze:
Există un truc, cum să nu te încurci când rezolvi exemple pentru ordinea acțiunilor. Dacă nu există paranteze, atunci efectuăm operațiile de înmulțire și împărțire, apoi rescriem exemplul, notând rezultatele obținute în locul acestor acțiuni. Apoi facem adunarea și scăderea în ordine:
Dacă exemplul conține paranteze, atunci mai întâi trebuie să scăpați de paranteze: rescrieți exemplul, scriind rezultatul obținut în ele în loc de paranteze. Apoi, trebuie să evidențiați mental părțile exemplului, separate prin semnele „+” și „-”, și să numărați fiecare parte separat. Apoi faceți adunarea și scăderea în ordine:
3 Exemple cu multă acțiune
Dacă în exemplu există multe acțiuni, atunci va fi mai convenabil să nu aranjați ordinea acțiunilor în întregul exemplu, ci să selectați blocuri și să rezolvați fiecare bloc separat. Pentru a face acest lucru, găsim semnele libere „+” și „-” (liber înseamnă că nu este între paranteze, afișate prin săgeți în figură).
Aceste semne vor împărți exemplul nostru în blocuri:
Efectuând acțiunile din fiecare bloc, nu uitați de procedura prezentată mai sus în articol. După rezolvarea fiecărui bloc, efectuăm operații de adunare și scădere în ordine.
Și acum fixăm soluția exemplelor în ordinea acțiunilor pe simulatoare!
Când lucrăm cu diverse expresii, inclusiv numere, litere și variabile, trebuie să efectuăm un număr mare de operații aritmetice. Când facem o transformare sau calculăm o valoare, este foarte important să urmărim ordinea corectă a acestor acțiuni. Cu alte cuvinte, operațiile aritmetice au propria lor ordine specială de execuție.
Yandex.RTB R-A-339285-1
În acest articol, vă vom spune ce acțiuni trebuie făcute mai întâi și care după. Mai întâi, să ne uităm la câteva expresii simple care conțin doar variabile sau valori numerice, precum și semne de împărțire, înmulțire, scădere și adunare. Apoi vom lua exemple cu paranteze și vom lua în considerare în ce ordine ar trebui evaluate. În a treia parte, vom oferi ordinea corectă a transformărilor și calculelor în acele exemple care includ semnele rădăcinilor, puterilor și altor funcții.
Definiția 1În cazul expresiilor fără paranteze, ordinea acțiunilor este determinată fără ambiguitate:
- Toate acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta.
- În primul rând, facem împărțirea și înmulțirea, iar în al doilea rând, scăderea și adunarea.
Semnificația acestor reguli este ușor de înțeles. Ordinea tradițională de scriere de la stânga la dreapta determină succesiunea de bază a calculelor, iar necesitatea de a înmulți sau împărți mai întâi este explicată prin însăși esența acestor operații.
Să luăm câteva sarcini pentru claritate. Am folosit doar cele mai simple expresii numerice, astfel încât toate calculele să poată fi făcute mental. Astfel, vă puteți aminti rapid ordinea dorită și puteți verifica rapid rezultatele.
Exemplul 1
Condiție: calcula cat 7 − 3 + 6 .
Soluţie
Nu există paranteze în expresia noastră, înmulțirea și împărțirea sunt, de asemenea, absente, așa că efectuăm toate acțiunile în ordinea specificată. Mai întâi, scădeți trei din șapte, apoi adăugați șase la restul și, ca rezultat, obținem zece. Iată o înregistrare a întregii soluții:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Răspuns: 7 − 3 + 6 = 10 .
Exemplul 2
Condiție:în ce ordine trebuie efectuate calculele în expresie 6:2 8:3?
Soluţie
Pentru a răspunde la această întrebare, recitim regula pentru expresii fără paranteze, pe care am formulat-o mai devreme. Avem aici doar înmulțirea și împărțirea, ceea ce înseamnă că păstrăm ordinea scrisă a calculelor și numărăm secvențial de la stânga la dreapta.
Răspuns: mai întâi, împărțim șase la doi, înmulțim rezultatul cu opt și împărțim numărul rezultat la trei.
Exemplul 3
Condiție: calculați cât va fi 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.
Soluţie
Mai întâi, să determinăm ordinea corectă a operațiilor, deoarece avem aici toate tipurile de bază de operații aritmetice - adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să împărțim și să înmulțim. Aceste acțiuni nu au prioritate una față de alta, așa că le executăm în ordinea scrisă de la dreapta la stânga. Adică, 5 trebuie înmulțit cu 6 și obțineți 30, apoi 30 împărțit la 3 și obțineți 10. După aceea împărțim 4 la 2, adică 2. Înlocuiți valorile găsite în expresia originală:
17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2
Nu există nicio împărțire sau înmulțire aici, așa că facem calculele rămase în ordine și obținem răspunsul:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Răspuns:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.
Până când ordinea efectuării acțiunilor este învățată ferm, puteți pune numere peste semnele operațiilor aritmetice, indicând ordinea de calcul. De exemplu, pentru problema de mai sus, am putea scrie astfel:
Dacă avem expresii literale, atunci facem același lucru cu ele: mai întâi înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem.
Care sunt pașii unu și doi
Uneori, în cărțile de referință, toate operațiile aritmetice sunt împărțite în operații din prima și a doua etapă. Să formulăm definiția necesară.
Operațiile primei etape includ scăderea și adunarea, a doua - înmulțirea și împărțirea.
Cunoscând aceste nume, putem scrie regula dată mai devreme cu privire la ordinea acțiunilor astfel:
Definiția 2
Într-o expresie care nu conține paranteze, executați mai întâi acțiunile pasului al doilea în direcția de la stânga la dreapta, apoi acțiunile primului pas (în aceeași direcție).
Ordinea evaluării în expresii cu paranteze
Parantezele în sine sunt un semn care ne spune ordinea dorită în care să efectuăm acțiunile. În acest caz, regula dorită poate fi scrisă după cum urmează:
Definiția 3
Dacă există paranteze în expresie, atunci acțiunea din ele este efectuată mai întâi, după care înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem în direcția de la stânga la dreapta.
În ceea ce privește expresia între paranteze în sine, aceasta poate fi considerată o componentă a expresiei principale. La calcularea valorii expresiei dintre paranteze, păstrăm aceeași procedură cunoscută nouă. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu.
Exemplul 4
Condiție: calcula cat 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.
Soluţie
Această expresie are paranteze, așa că să începem cu ele. Mai întâi de toate, să calculăm cât va fi 7 − 2 · 3. Aici trebuie să înmulțim 2 cu 3 și să scădem rezultatul din 7:
7 − 2 3 = 7 − 6 = 1
Considerăm rezultatul în a doua paranteză. Acolo avem o singură acțiune: 6 − 4 = 2 .
Acum trebuie să înlocuim valorile rezultate în expresia originală:
5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Să începem cu înmulțirea și împărțirea, apoi scădem și obținem:
5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6
Aceasta completează calculele.
Răspuns: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Nu vă alarmați dacă afecțiunea conține o expresie în care unele paranteze includ altele. Trebuie doar să aplicăm regula de mai sus în mod consecvent tuturor expresiilor între paranteze. Să luăm această sarcină.
Exemplul 5
Condiție: calcula cat 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Soluţie
Avem paranteze între paranteze. Începem cu 3 + 1 + 4 (2 + 3) și anume 2 + 3 . Va fi 5. Valoarea va trebui înlocuită în expresie și calculați că 3 + 1 + 4 5 . Ne amintim că trebuie mai întâi să înmulțim, apoi să adăugăm: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Înlocuind valorile găsite în expresia originală, calculăm răspunsul: 4 + 24 = 28 .
Răspuns: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.
Cu alte cuvinte, atunci când evaluăm valoarea unei expresii care implică paranteze în paranteze, începem cu parantezele interioare și ne îndreptăm spre cele exterioare.
Să presupunem că trebuie să aflăm cât va fi (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Începem cu expresia din parantezele interioare. Deoarece 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , expresia originală poate fi scrisă ca (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Ne întoarcem din nou la parantezele interioare: 4 + 1 = 5 . Am ajuns la expresie (4 + 5 − 1) − 1 . Noi credem 4 + 5 − 1 = 8 și ca rezultat obținem diferența 8 - 1, al cărei rezultat va fi 7.
Ordinea de calcul în expresii cu puteri, rădăcini, logaritmi și alte funcții
Dacă avem o expresie în condiția cu un grad, rădăcină, logaritm sau funcție trigonometrică (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sau alte funcții, atunci în primul rând calculăm valoarea funcției. După aceea, acționăm conform regulilor specificate în paragrafele precedente. Cu alte cuvinte, funcțiile sunt egale ca importanță cu expresia cuprinsă între paranteze.
Să ne uităm la un exemplu de astfel de calcul.
Exemplul 6
Condiție: afla cât va fi (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .
Soluţie
Avem o expresie cu grad, a cărei valoare trebuie găsită mai întâi. Considerăm: 6 2 \u003d 36. Acum înlocuim rezultatul în expresie, după care va lua forma (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13
Răspuns: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.
Într-un articol separat dedicat calculării valorilor expresiilor, oferim alte exemple mai complexe de calcule în cazul expresiilor cu rădăcini, grade etc. Vă recomandăm să vă familiarizați cu el.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Și atunci când calculați valorile expresiilor, acțiunile sunt efectuate într-o anumită ordine, cu alte cuvinte, trebuie să observați ordinea acțiunilor.
În acest articol, ne vom da seama ce acțiuni ar trebui efectuate mai întâi și care după ele. Să începem cu cele mai simple cazuri, când expresia conține doar numere sau variabile legate prin plus, minus, înmulțire și împărțire. În continuare, vom explica ce ordine de execuție a acțiunilor trebuie urmată în expresiile cu paranteze. În cele din urmă, luați în considerare succesiunea în care acțiunile sunt efectuate în expresii care conțin puteri, rădăcini și alte funcții.
Navigare în pagină.
Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea
Școala oferă următoarele o regulă care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze:
- acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta,
- unde se fac mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.
Regula enunțată este percepută destul de firesc. Efectuarea acțiunilor în ordine de la stânga la dreapta se explică prin faptul că se obișnuiește să ținem înregistrări de la stânga la dreapta. Iar faptul că înmulțirea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere se explică prin semnificația pe care o poartă aceste acțiuni în sine.
Să ne uităm la câteva exemple de aplicare a acestei reguli. De exemplu, vom lua cele mai simple expresii numerice pentru a nu fi distras de calcule, ci pentru a ne concentra pe ordinea în care sunt efectuate acțiunile.
Exemplu.
Urmați pașii 7−3+6 .
Soluţie.
Expresia originală nu conține paranteze și nici înmulțirea și împărțirea. Prin urmare, ar trebui să efectuăm toate acțiunile în ordine de la stânga la dreapta, adică mai întâi scădem 3 din 7, obținem 4, după care adăugăm 6 la diferența rezultată 4, obținem 10.
Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: 7−3+6=4+6=10 .
Răspuns:
7−3+6=10 .
Exemplu.
Indicați ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresia 6:2·8:3.
Soluţie.
Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să ne întoarcem la regula care indică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze. Expresia originală conține doar operațiile de înmulțire și împărțire, iar conform regulii, acestea trebuie efectuate în ordine de la stânga la dreapta.
Răspuns:
Primul 6 împărțit la 2, acest coeficient este înmulțit cu 8, în cele din urmă, rezultatul este împărțit la 3.
Exemplu.
Calculați valoarea expresiei 17−5·6:3−2+4:2 .
Soluţie.
Mai întâi, să stabilim în ce ordine ar trebui efectuate acțiunile din expresia originală. Include atât înmulțirea și împărțirea, cât și adunarea și scăderea. În primul rând, de la stânga la dreapta, trebuie să efectuați înmulțirea și împărțirea. Deci înmulțim 5 cu 6, obținem 30, împărțim acest număr la 3, obținem 10. Acum împărțim 4 la 2 și obținem 2. Inlocuim valoarea gasita 10 in loc de 5 6:3 in expresia originala, iar valoarea 2 in loc de 4:2, avem 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Nu există înmulțire și împărțire în expresia rezultată, așa că rămâne să efectuați acțiunile rămase în ordine de la stânga la dreapta: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Răspuns:
17−5 6:3−2+4:2=7 .
La început, pentru a nu confunda ordinea efectuării acțiunilor la calcularea valorii unei expresii, este convenabil să plasați numere deasupra semnelor acțiunilor corespunzătoare ordinii în care sunt efectuate. Pentru exemplul anterior, ar arăta astfel: .
Aceeași ordine a operațiilor - mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea - ar trebui urmată atunci când se lucrează cu expresii literale.
Pașii 1 și 2
În unele manuale de matematică, există o împărțire a operațiilor aritmetice în operații din primul și al doilea pas. Să ne ocupăm de asta.
Definiție.
Acțiuni de prim pas se numesc adunare și scădere, iar înmulțirea și împărțirea acțiuni de pasul al doilea.
În acești termeni, regula din paragraful anterior, care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile, se va scrie astfel: dacă expresia nu conține paranteze, atunci în ordine de la stânga la dreapta, acțiunile etapei a doua ( înmulțirea și împărțirea) se execută mai întâi, apoi acțiunile primei etape (adunarea și scăderea).
Ordinea de execuție a operațiilor aritmetice în expresii cu paranteze
Expresiile conțin adesea paranteze pentru a indica ordinea în care urmează să fie efectuate acțiunile. În acest caz o regulă care specifică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii cu paranteze, se formulează astfel: mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, în timp ce înmulțirea și împărțirea se fac tot în ordine de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea.
Deci, expresiile dintre paranteze sunt considerate componente ale expresiei originale, iar ordinea acțiunilor deja cunoscută nouă este păstrată în ele. Luați în considerare soluțiile exemplelor pentru o mai mare claritate.
Exemplu.
Efectuați pașii dați 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Soluţie.
Expresia conține paranteze, așa că să efectuăm mai întâi operațiunile din expresiile incluse în aceste paranteze. Să începem cu expresia 7−2 3 . În ea, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea, iar abia apoi scăderea, avem 7−2 3=7−6=1 . Trecem la a doua expresie din paranteze 6−4 . Există o singură acțiune aici - scăderea, o executăm 6−4=2 .
Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. În expresia rezultată, mai întâi efectuăm înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scăderea, obținem 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Pe aceasta, toate acțiunile sunt finalizate, am respectat următoarea ordine de execuție a acestora: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Să scriem o scurtă soluție: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Răspuns:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 .
Se întâmplă ca o expresie să conțină paranteze între paranteze. Nu ar trebui să vă fie frică de acest lucru, trebuie doar să aplicați în mod consecvent regula vocală pentru a efectua acțiuni în expresii cu paranteze. Să arătăm un exemplu de soluție.
Exemplu.
Efectuați acțiunile din expresia 4+(3+1+4·(2+3)) .
Soluţie.
Aceasta este o expresie cu paranteze, ceea ce înseamnă că execuția acțiunilor trebuie să înceapă cu expresia dintre paranteze, adică cu 3+1+4 (2+3) . Această expresie conține și paranteze, așa că mai întâi trebuie să efectuați acțiuni în ele. Să facem asta: 2+3=5 . Înlocuind valoarea găsită, obținem 3+1+4 5 . În această expresie, facem mai întâi înmulțirea, apoi adunarea, avem 3+1+4 5=3+1+20=24 . Valoarea inițială, după înlocuirea acestei valori, ia forma 4+24 , și rămâne doar de finalizat acțiunile: 4+24=28 .
Răspuns:
4+(3+1+4 (2+3))=28.
În general, când parantezele dintre paranteze sunt prezente într-o expresie, este adesea convenabil să începeți cu parantezele interioare și să vă îndreptați spre cele exterioare.
De exemplu, să presupunem că trebuie să efectuăm operații în expresia (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Mai întâi, efectuăm acțiuni între paranteze interne, deoarece 4−6:2=4−3=1 , apoi expresia originală va lua forma (4+(4+1)−1)−1 . Din nou, efectuăm acțiunea în parantezele interioare, deoarece 4+1=5 , apoi ajungem la următoarea expresie (4+5−1)−1 . Din nou, efectuăm acțiunile dintre paranteze: 4+5−1=8 , în timp ce ajungem la diferența 8−1 , care este egală cu 7 .
Școala primară se apropie de sfârșit, în curând copilul va păși în lumea aprofundată a matematicii. Dar deja în această perioadă, studentul se confruntă cu dificultățile științei. Efectuând o sarcină simplă, copilul devine confuz, pierdut, ceea ce, ca urmare, duce la o notă negativă pentru munca prestată. Pentru a evita astfel de probleme, atunci când rezolvați exemple, trebuie să puteți naviga în ordinea în care trebuie să rezolvați exemplul. Distribuind incorect acțiunile, copilul nu îndeplinește corect sarcina. Articolul dezvăluie regulile de bază pentru rezolvarea exemplelor care conțin întreaga gamă de calcule matematice, inclusiv paranteze. Ordinea acțiunilor la matematică clasa a 4-a reguli și exemple.
Înainte de a finaliza sarcina, cereți-i copilului să numere acțiunile pe care urmează să le efectueze. Dacă aveți dificultăți, vă rugăm să ajutați.
Câteva reguli de urmat atunci când rezolvați exemple fără paranteze:
Dacă o sarcină trebuie să efectueze o serie de acțiuni, mai întâi trebuie să efectuați împărțirea sau înmulțirea, apoi. Toate acțiunile sunt efectuate în timpul scrierii. În caz contrar, rezultatul soluției nu va fi corect.
Dacă în exemplu se cere să se execute, executăm în ordine, de la stânga la dreapta.
27-5+15=37 (la rezolvarea exemplului ne ghidam dupa regula. Mai intai facem scaderea, apoi suma).
Învață-ți copilul să planifice și să numere întotdeauna acțiunile care trebuie efectuate.
Răspunsurile la fiecare acțiune rezolvată sunt scrise deasupra exemplului. Așa că îi va fi mult mai ușor pentru copil să navigheze prin acțiuni.
Luați în considerare o altă opțiune în care este necesar să distribuiți acțiunile în ordine:
După cum puteți vedea, atunci când rezolvați, se respectă regula, mai întâi căutăm produsul, după aceea - diferența.
Acestea sunt exemple simple care necesită atenție pentru a le rezolva. Mulți copii cad în stupoare la vederea unei sarcini în care nu există doar înmulțirea și împărțirea, ci și paranteze. Un elev care nu cunoaște ordinea efectuării acțiunilor are întrebări care îl împiedică să îndeplinească sarcina.
După cum se precizează în regulă, mai întâi găsim o lucrare sau un anume, și apoi totul. Dar apoi sunt paranteze! Cum se procedează în acest caz?
Rezolvarea exemplelor cu paranteze
Să luăm un exemplu concret:
- Când efectuați această sarcină, găsiți mai întâi valoarea expresiei cuprinse între paranteze.
- Începeți cu înmulțirea, apoi adăugați.
- După ce expresia dintre paranteze este rezolvată, trecem la acțiunile din afara acestora.
- După ordinea operațiilor, următorul pas este înmulțirea.
- Pasul final va fi.
După cum puteți vedea în exemplul ilustrativ, toate acțiunile sunt numerotate. Pentru a consolida subiectul, invitați copilul să rezolve singur câteva exemple:
Ordinea în care trebuie evaluată valoarea expresiei este deja setată. Copilul va trebui doar să execute direct decizia.
Să complicăm sarcina. Lăsați copilul să găsească singur sensul expresiilor.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Învață-ți copilul să rezolve toate sarcinile într-o versiune nefinalizată. În acest caz, elevul va avea posibilitatea de a corecta decizia greșită sau blots. Nu sunt permise corecții în registrul de lucru. Când fac sarcini pe cont propriu, copiii își văd greșelile.
Părinții, la rândul lor, ar trebui să fie atenți la greșeli, să ajute copilul să le înțeleagă și să le corecteze. Nu încărcați creierul elevului cu volume mari de sarcini. Prin astfel de acțiuni, veți învinge dorința de cunoaștere a copilului. Trebuie să existe un simț al proporției în toate.
Ia o pauză. Copilul ar trebui să fie distras și să se odihnească de la cursuri. Principalul lucru de reținut este că nu toată lumea are o mentalitate matematică. Poate copilul tău va crește și va deveni un filosof celebru.
Alfa denotă un număr real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate după cum urmează:
Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și se stabilesc noi oaspeți în ele, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori durează o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod prostesc, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.
Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, există un alt hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.
Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura știe să numere perfect, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.
Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:
Am notat operațiile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, enumerând în detaliu elementele mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă același.
Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:
Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă la o mulțime infinită se adaugă o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.
Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.
Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme matematice, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).
Duminică, 4 august 2019
Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:
Citim: „... baza teoretică bogată a matematicii babiloniene nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.
Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:
Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.
Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Ne vedem în curând.
Sâmbătă, 3 august 2019
Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.
Să avem multe DAR format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului DAR pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum setul de „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.
După înmulțire, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect a aplicat matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.
În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.
După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria seturilor să devină un lucru din trecut. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.
În cele din urmă, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.
luni, 7 ianuarie 2019
În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limba lui Zeno, arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare se odihnește în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite în timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii realizate din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
miercuri, 4 iulie 2018
Ți-am spus deja asta, cu ajutorul căruia șamanii încearcă să sorteze „” realitățile. Cum o fac? Cum are loc de fapt formarea setului?
Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre cele două fraze: „conceput ca întreg” și „conceput ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, mulțimea. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea setului. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente separate („întreg”) din care apoi se va forma o multitudine („un singur întreg”). În același timp, factorul care vă permite să combinați „întregul” într-un „unic întreg” este atent monitorizat, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte exact ce set vor să ne demonstreze.
Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.
Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem mult „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.
Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea s-a desfășurat în funcție de patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (într-un cucui), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.
Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unitățile de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evident”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.
Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să spargi unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.
Sâmbătă, 30 iunie 2018
Dacă matematicienii nu pot reduce un concept la alte concepte, atunci ei nu înțeleg nimic în matematică. Răspund: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Răspunsul este foarte simplu: numere și unități de măsură.
Astăzi tot ceea ce nu luăm aparține unui anumit set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă de seturi căreia îi aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca matematicienii-șamanii să le despartă în seturile lor.
Cu mult timp în urmă, când nimeni nu auzise încă de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice de seturi cutreiera câmpurile fizice (la urma urmei, șamanii nu inventaseră încă câmpurile matematice). Arătau așa.
Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele setului sunt cel mai asemănătoare cu aricii de mare - dintr-un punct, cum ar fi acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca un mănunchi de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această operă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.
Ce unități de măsură formează un element al mulțimii? Oricare care descrie acest element din diferite puncte de vedere. Acestea sunt vechile unități de măsură folosite de strămoșii noștri și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.
Ne-am dat seama de geometrie - modelul propus al elementelor mulțimii are o reprezentare geometrică clară. Și cum rămâne cu fizica? Unități de măsură - aceasta este legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina o adevărată știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor, am vorbit despre ea ca fiind Epoca de Piatră.
Dar să trecem la cel mai interesant - la algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al multimii este un produs (rezultat al inmultirii) a unor marimi diferite.Arata asa.
În mod deliberat, nu am folosit convențiile adoptate în teoria mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi într-un habitat natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o valoare separată, constând din numărul indicat de litera " n" și unități de măsură, indicate prin litera " A". Indexurile de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al setului poate consta dintr-un număr infinit de valori (atâta timp cât noi și descendenții noștri avem suficientă imaginație). Fiecare bracket este reprezentat geometric printr-un segment separat.În exemplul cu arici de mare, un bracket este un ac.
Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic la matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic prin care formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului; dacă nu există un astfel de ac, acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele mentale și un singur întreg.
După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unei varietăți de seturi. În continuare, vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamaniste. După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie, plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când va dovedi că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici, matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
