Metoda substituției în rezolvarea sistemelor de ecuații. Exemple de sisteme de ecuații liniare: metoda soluției Cum se rezolvă un sistem de ecuații prin metoda substituției

Să analizăm două tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului folosind metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii prin metoda substitutiei trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Express. Din orice ecuație exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim valoarea rezultata intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate.
3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen trebuie sa:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face coeficienți identici.
2. Adunăm sau scădem ecuații, rezultând o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvați ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului o reprezintă punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, ceea ce înseamnă că este mai ușor să exprimăm variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2.După ce am exprimat-o, înlocuim 3+10y în prima ecuație în loc de variabila x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (deschideți parantezele)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații sunt punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul punct în care l-am exprimat înlocuim y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm folosind metoda adunării (scăderii) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Alegem o variabilă, să presupunem că alegem x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Scădeți a doua din prima ecuație pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fara gluma.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Metoda substituției vă permite să rezolvați cu ușurință sisteme de ecuații liniare de orice complexitate. Esența metodei este că, folosind prima expresie a sistemului, exprimăm „y”, apoi substituim expresia rezultată în a doua ecuație a sistemului în loc de „y”. Deoarece ecuația conține deja nu două necunoscute, ci doar una, putem găsi cu ușurință valoarea acestei variabile și apoi o folosim pentru a determina valoarea celei de-a doua.

Să presupunem că ni se oferă un sistem de ecuații liniare de următoarea formă:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Să exprimăm \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Să substituim expresia rezultată în ecuația 2:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

Să găsim valoarea \

Să simplificăm și să rezolvăm ecuația deschizând paranteze și ținând cont de regulile de transfer de termeni:

Acum știm valoarea \ Să folosim aceasta pentru a găsi valoarea \

Răspuns: \[(4;2).\]

Unde pot rezolva un sistem de ecuații online folosind metoda substituției?

Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte.

Să ne dăm seama Cum se rezolvă sisteme de ecuații folosind metoda substituției?

1) Exprimați necunoscuta din prima sau a doua ecuație a sistemului X sau la(orice este mai convenabil pentru noi);

2) Înlocuiți într-o altă ecuație (în cea din care nu a fost exprimat necunoscutul) în locul necunoscutului X sau la(dacă este exprimat X, înlocuiți în schimb X; dacă este exprimată la, înlocuiți în schimb la) expresia rezultată;

3) Rezolvați ecuația pe care am primit-o. Găsim X sau y;

4) Înlocuiți valoarea rezultată a necunoscutului și găsiți a doua necunoscută.

Regula este scrisă. Acum să încercăm să o aplicăm pentru a rezolva un sistem de ecuații.

Exemplul 1.

Să aruncăm o privire atentă asupra sistemului de ecuații. Observăm că din prima ecuație este mai ușor de exprimat la.

Ne exprimăm la:

–2у = 11 – 3х

y = (11 – 3x)/(–2)

y = –5,5 + 1,5x

Acum, să înlocuim cu atenție în a doua ecuație la expresie –5,5 + 1,5x.

Se obține: 4x – 5(–5,5 + 1,5x) = 3

Să rezolvăm această ecuație:

4x + 27,5 – 7,5x = 3

–3,5x = 3 – 27,5

–3,5x = –24,5

x = –24,5/(–3,5)

În schimb, înlocuim y = – 5,5 + 1,5x în expresie X valoarea pe care am găsit-o. Primim:

y = – 5,5+ 1,5 7 = –5,5 + 10,5 = 5.

Răspuns: (7; 5)

Este interesant, dar dacă exprimăm din prima ecuație nu la, A X, se va schimba răspunsul?

Să încercăm să ne exprimăm X din prima ecuație.

x = (11 + 2y)/3

Să înlocuim în schimb Xîn a doua ecuație expresia (11 +2у)/3, obținem o ecuație cu o necunoscută și o rezolvăm.

4(11 + 2у)/3 – 5у = 3, înmulțim ambele părți ale ecuației cu 3, obținem

4(11 + 2y) – 15y=9

44 + 8у – 15у = 9

–7у = 9 – 44

y = –35/(–7)

Găsim variabila x substituind 5 în expresia x = (11 +2y)/3.

x = (11 +2 5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7

Răspuns: (7; 5)

După cum puteți vedea, raspunsul a fost acelasi. Dacă ești atent și atent, atunci indiferent de variabila pe care o exprimi - X sau la, vei primi răspunsul corect.

Destul de des elevii întreabă: „ Există și alte modalități de a rezolva sisteme în afară de adunare și înlocuire?»

Există unele modificări ale metodei de substituție - mod de a compara necunoscute .

1) Este necesar să se exprimă aceeași necunoscută din fiecare ecuație a sistemului până la a doua.

2) Se compară necunoscutele rezultate și se obține o ecuație cu o necunoscută.

3) Aflați valoarea unei necunoscute.

4) Înlocuiți valoarea rezultată a necunoscutului și găsiți a doua necunoscută.

Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații

Din două ecuații exprimăm variabila X prin la.

Din prima ecuație obținem x = (13 – 6y) / 5, iar din a doua ecuație x = (–1 – 18y) / 7.

Comparând aceste expresii, obținem o ecuație cu o necunoscută și o rezolvăm:

(13 – 6y) / 5 = (–1 – 18y) / 7

7 (13 – 6y) = 5 (–1 – 18y)

91 – 42у = –5 – 90у

–42у + 90у = –5 – 91

y = – 96 / 48

Necunoscut X să găsim prin înlocuirea valorii laîntr-una din expresiile pentru X.

(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5

Răspuns: (5; –2).

Cred că și tu vei reuși. Dacă aveți întrebări, veniți la lecțiile mele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

De obicei, ecuațiile sistemului sunt scrise într-o coloană una sub alta și combinate cu o acoladă.

Un sistem de ecuații de acest tip, unde a, b, c- numere și X y- se numesc variabile sistem de ecuații liniare.

La rezolvarea unui sistem de ecuații se folosesc proprietăți valabile pentru rezolvarea ecuațiilor.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției

Să ne uităm la un exemplu

1) Exprimați variabila într-una dintre ecuații. De exemplu, să ne exprimăm yîn prima ecuație, obținem sistemul:

2) Înlocuiți în a doua ecuație a sistemului în loc de y expresie 3x-7:

3) Rezolvați a doua ecuație rezultată:

4) Înlocuim soluția rezultată în prima ecuație a sistemului:

Un sistem de ecuații are o soluție unică: o pereche de numere x=1, y=-4. Răspuns: (1; -4) , scrisă între paranteze, în prima poziţie valoarea X, Pe a doua - y.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin adunare

Să rezolvăm sistemul de ecuații din exemplul anterior metoda de adăugare.

1) Transformați sistemul astfel încât coeficienții uneia dintre variabile să devină opuși. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu „3”.

2) Adăugați ecuațiile sistemului termen cu termen. Rescriem a doua ecuație a sistemului (orice) fără modificări.

3) Înlocuim soluția rezultată în prima ecuație a sistemului:

Rezolvarea grafică a unui sistem de ecuații liniare

Rezolvarea grafică a unui sistem de ecuații cu două variabile se rezumă la găsirea coordonatelor punctelor comune ale graficelor ecuațiilor.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Două drepte dintr-un plan se pot intersecta într-un punct, pot fi paralele sau pot coincide. În consecință, un sistem de ecuații poate: a) avea o soluție unică; b) nu au soluții; c) au un număr infinit de soluții.

2) Soluția sistemului de ecuații este punctul (dacă ecuațiile sunt liniare) de intersecție a graficelor.

Soluția grafică a sistemului