În termenul „ecuație pătratică”, cuvântul cheie este „pătratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același x) pătrat și nu ar trebui să existe x la cea de-a treia putere (sau mai mare).
Rezolvarea multor ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.
Să învățăm să determinăm că aceasta este o ecuație pătratică și nu o altă ecuație.
Exemplul 1.
Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen al ecuației cu
Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui X
Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!
Exemplul 2.
Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:
Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătratică!
Exemplul 3.
Să înmulțim totul cu:
Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:
Exemplul 4.
Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:
Vezi, este redusă - și acum este o simplă ecuație liniară!
Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:
Exemple:
Raspunsuri:
- pătrat;
- pătrat;
- nu pătrat;
- nu pătrat;
- nu pătrat;
- pătrat;
- nu pătrat;
- pătrat.
În mod convențional, matematicienii împart toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:
- Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)
- Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:
Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat!!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.
De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire este determinată de metodele de soluție. Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete
Mai întâi, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!
Există tipuri de ecuații pătratice incomplete:
- , în această ecuație coeficientul este egal.
- , în această ecuație termenul liber este egal cu.
- , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.
1. i. Deoarece știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație
Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau a două numere pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.
Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.
Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.
Exemplul 5:
Rezolvați ecuația
Acum tot ce rămâne este să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcini?
Răspuns:
Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!
Exemplul 6:
Rezolvați ecuația
Răspuns:
Exemplul 7:
Rezolvați ecuația
Oh! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația
fara radacini!
Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:
Răspuns:
Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:
Rezolvați ecuația
Să scoatem factorul comun din paranteze:
Prin urmare,
Această ecuație are două rădăcini.
Răspuns:
Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:
Ne vom dispensa de exemple aici.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete
Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a formei ecuației în care
Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.
Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.
Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai rapid, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.
1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.
Dacă, atunci ecuația are o rădăcină, trebuie să acordați o atenție deosebită pasului. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.
- Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
- Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.
Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.
Exemplul 9:
Rezolvați ecuația
Pasul 1 sărim.
Pasul 2.
Găsim discriminantul:
Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.
Pasul 3.
Răspuns:
Exemplul 10:
Rezolvați ecuația
Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.
Pasul 2.
Găsim discriminantul:
Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.
Răspuns:
Exemplul 11:
Rezolvați ecuația
Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.
Pasul 2.
Găsim discriminantul:
Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.
Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.
Răspuns: fara radacini
2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.
Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):
Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:
Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.
Exemplul 12:
Rezolvați ecuația
Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .
Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:
Și produsul este egal cu:
Să compunem și să rezolvăm sistemul:
- Și. Suma este egală cu;
- Și. Suma este egală cu;
- Și. Suma este egală.
și sunt soluția pentru sistem:
Răspuns: ; .
Exemplul 13:
Rezolvați ecuația
Răspuns:
Exemplul 14:
Rezolvați ecuația
Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:
Răspuns:
ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU
Ce este o ecuație pătratică?
Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.
Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru gratuit.
De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.
În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.
Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice
Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:
În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.
Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:
I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.
II. , în această ecuație coeficientul este egal.
III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.
Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.
Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:
Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțim două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:
dacă, atunci ecuația nu are soluții;
dacă avem două rădăcini
Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.
Exemple:
Solutii:
Răspuns:
Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!
Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația
fara radacini.
Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.
Răspuns:
Deci, această ecuație are două rădăcini: și.
Răspuns:
Să scoatem factorul comun din paranteze:
Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:
Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.
Exemplu:
Rezolvați ecuația.
Soluţie:
Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:
Răspuns:
Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:
1. Discriminant
Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.
Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.
- Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
- Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:
Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.
- Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.
De ce este posibil un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:
Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, . Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.
În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.
Exemple:
Solutii:
Răspuns:
Răspuns: .
Răspuns:
Asta înseamnă că nu există soluții.
Răspuns: .
2. Teorema lui Vieta
Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.
Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().
Să ne uităm la câteva exemple:
Exemplul #1:
Rezolvați ecuația.
Soluţie:
Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .
Suma rădăcinilor ecuației este:
Și produsul este egal cu:
Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:
- Și. Suma este egală cu;
- Și. Suma este egală cu;
- Și. Suma este egală.
și sunt soluția pentru sistem:
Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.
Răspuns: ; .
Exemplul #2:
Soluţie:
Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:
si: dau in total.
si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.
Răspuns:
Exemplul #3:
Soluţie:
Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.
Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:
și: diferența lor este egală - nu se potrivește;
și: - nu este adecvat;
și: - nu este adecvat;
și: - potrivite. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:
Răspuns:
Exemplul #4:
Rezolvați ecuația.
Soluţie:
Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:
Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.
Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:
Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:
Răspuns:
Exemplul #5:
Rezolvați ecuația.
Soluţie:
Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:
Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.
Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:
Evident, rădăcinile sunt numerele și.
Răspuns:
De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.
Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a beneficia de folosirea lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta:
Soluții la sarcini pentru munca independentă:
Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Conform teoremei lui Vieta:
Ca de obicei, începem selecția cu piesa:
Nu este potrivit pentru că suma;
: suma este exact ceea ce ai nevoie.
Răspuns: ; .
Sarcina 2.
Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.
Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).
Răspuns: ; .
Sarcina 3.
Hmm... Unde este asta?
Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:
Suma rădăcinilor este egală cu produsul.
Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație. Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:
Grozav. Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.
Este la fel de ușor ca o plăcintă să alegi aici: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).
Răspuns: ; .
Sarcina 4.
Membrul liber este negativ. Ce e special la asta? Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.
Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.
Răspuns: ; .
Sarcina 5.
Ce ar trebui să faci mai întâi? Așa este, dați ecuația:
Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:
Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.
Răspuns: ; .
Lasă-mă să rezum:
- Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
- Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
- Dacă ecuația nu este dată sau nu se găsește o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).
3. Metoda de selectare a unui pătrat complet
Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tipul.
De exemplu:
Exemplul 1:
Rezolvați ecuația: .
Soluţie:
Răspuns:
Exemplul 2:
Rezolvați ecuația: .
Soluţie:
Răspuns:
În general, transformarea va arăta astfel:
Asta implică: .
Nu-ți aduce aminte de nimic? Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.
ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Ecuație cuadratică este o ecuație de formă, unde este necunoscutul, este coeficienții ecuației pătratice și este termenul liber.
Ecuația pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.
Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .
Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:
- dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
- dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
- dacă și, ecuația arată astfel: .
1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete
1.1. Ecuație pătratică incompletă de forma, unde:
1) Să exprimăm necunoscutul: ,
2) Verificați semnul expresiei:
- dacă, atunci ecuația nu are soluții,
- dacă, atunci ecuația are două rădăcini.
1.2. Ecuație pătratică incompletă de forma, unde:
1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,
2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:
1.3. Ecuație pătratică incompletă de formă, unde:
Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .
2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde
2.1. Soluție folosind discriminant
1) Să aducem ecuația la forma standard: ,
2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:
3) Aflați rădăcinile ecuației:
- dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
- dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
- dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.
2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta
Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei în care) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.
2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet
Dacă o ecuație pătratică de formă are rădăcini, atunci se poate scrie sub forma: .
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.
Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.
Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.
Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.
Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.
„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați-le!
Analiza sarcinii nr. 4 pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor de diferite tipuri”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Manual interactiv „Reguli și exerciții de algebră” pentru clasa a 9-a
Manual multimedia pentru clasa a 9-a „Algebră în 10 minute”
Sarcina nr. 4 necesită abilitatea de a rezolva ecuații de diferite tipuri. Băieți, ar trebui să cunoașteți bine metodele de rezolvare corectă a ecuațiilor pătratice, a ecuațiilor raționale fracționale și a ecuațiilor liniare obișnuite. De asemenea, ar trebui să fiți bun la efectuarea operațiilor cu polinoame: înmulțirea și împărțirea unui polinom cu un polinom. Aveți nevoie de capacitatea de a selecta rădăcinile unei ecuații care sunt incluse în zona de soluție și de a determina care rădăcini ar trebui aruncate și nu trebuie luate în considerare?
Lecții care vă vor ajuta în pregătirea acestei sarcini:
1.Definiții de bază și exemple de soluții ale funcțiilor liniare.2. Conceptul și forma standard a unui monom.
3. Polinom, formă standard, reducere, transformare.
4. Exemple de expresii numerice. Expresii algebrice cu variabile și operații cu acestea.
5. Ecuații, exemple de rezolvare a ecuațiilor.
6. Ecuații cuadratice. Lecția în desfășurare.
7. Ecuații raționale fracționale. Lecția în desfășurare.
8. Rădăcină pătrată. Lecția în desfășurare.
Să trecem la analizarea exemplelor de soluții.
Exemplul 1.
Aflați rădăcinile ecuației: $16x^2-1=0$.
Soluţie.
Rețineți că ni se oferă o ecuație pătratică, dar nu una completă. Coeficientul lui x este zero. Apoi ne vom ghida după regula: „vom lăsa acele expresii în care există x pătrat în stânga și vom muta toate numerele la dreapta”.
Să ne transformăm expresia: $16x^2=1$.
Să împărțim ambele părți ale ecuației la coeficientul lui x pătrat: $x^2=\frac(1)(16)$.
Pentru a rezolva această ecuație, avem nevoie de cunoștințe despre rădăcina pătrată. Sa extragem radacina, fara a uita ca trebuie sa tinem cont si de numarul negativ: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0.25$.
Răspuns: $x=±0,25$.
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația: $x^2=18-7x$.
Soluţie.
Să mutăm toate expresiile în partea stângă a ecuației: $x^2+7x-18=0$.
Putem rezolva ecuația pătratică obișnuită în două moduri:
1. „head-on”, calculul discriminantului;
2. folosind teorema lui Viette.
1 cale.
Să notăm toți coeficienții pentru ecuația pătratică: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.
Să găsim discriminantul: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Am constatat că ecuația are 2 rădăcini.
Trebuie doar să găsim aceste rădăcini:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.
Metoda 2.
Să folosim teorema lui Viette. Teorema lui Viette simplifică adesea soluția ecuațiilor pătratice de multe ori, mai ales când coeficientul $a=1$. În acest caz, produsul rădăcinilor ecuației este egal cu coeficientul $c$, iar suma rădăcinilor ecuației este egală cu minus coeficientul $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.
În exemplul nostru, $с=-18$ și $b=7$. Începem să sortăm perechi de numere al căror produs este egal cu minus optsprezece. Primele numere care îmi vin în minte sunt nouă și doi. După ce am efectuat câteva înmulțiri și adunări simple, putem verifica că rădăcinile $x=-9$ și $x=2$ ne sunt potrivite.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Răspuns: $x=-9$, $x=2$.
Exemplul 3.
Rezolvați ecuația: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.
Soluţie.
Ni se oferă o ecuație liniară obișnuită cu coeficienți fracționali. Pentru a rezolva această ecuație trebuie să lucrați corect cu fracții obișnuite.
Primul pas este transformarea părții stângi a ecuației, simplificând-o: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x) )(7)$.
Obținem ecuația: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Să împărțim partea dreaptă a ecuației la coeficientul lui x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.
Să luăm în considerare împărțirea separat: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac( 15 )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=2,5$.
Am primit: $x=2,5$.
Răspuns: $x=2,5$.
Exemplul 4.
Rezolvați ecuația: $(x+2)^2=(x-4)^2$.
Soluţie.
Metoda 1.
Să folosim formula pentru pătratul sumei: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Am primit: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Să simplificăm ecuația:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
12$x=12$.
$x=1$.
Metoda 2.
Pentru a rezolva această ecuație, putem folosi formula diferenței de pătrate. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Răspuns: $x=1$.
Exemplul 5.
Rezolvați ecuația: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.
Soluţie.
Ni se prezintă o ecuație rațională fracțională. Când rezolvați aceste ecuații, merită să vă amintiți că nu puteți împărți la zero. Prin urmare, rădăcinile ecuației trebuie întotdeauna verificate prin înlocuirea lor în numitorul ecuației inițiale.
Să folosim regula înmulțirii încrucișate: $9(x-9)=14(x-14)$.
Avem o ecuație liniară:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
După ce ne-am verificat rădăcina, suntem convinși că numitorii fracțiilor ecuației inițiale nu dispar.
Răspuns: $x=23$.
Exemplul 6.
Găsiți soluții care satisfac sistemul: $\begin (cases) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (cases)$.
Soluţie.
Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică folosind teorema lui Viette. Produsul rădăcinilor noastre este $22$, iar suma este $-9$.
Să selectăm rădăcinile:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Avem două rădăcini: $x_1=-11$ și $x_2=2$. Dintre aceste rădăcini, inegalitatea $x≤1$ este satisfăcută de prima rădăcină și acesta va fi răspunsul.
Răspuns: $x=-11$.
Exemplul 7.
Rezolvați ecuația: $23x-60-x^2=0$.
În răspunsul dvs., indicați modulul diferenței rădăcinilor.
Soluţie.
Să înmulțim ecuația inițială cu $-1$: $x^2-23x+60=0$.
În această formă, ecuația pare mult mai familiară.
Să folosim teorema lui Viette și să prezentăm ecuația noastră ca un produs de binoame:
$(x-20)(x-3)=0$.
Avem două rădăcini $x_1=20$ și $x_2=3$.
Să găsim modulul diferenței: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Raspuns: 17.
Exemplul 8.
Câte rădăcini are ecuația $x^6-x^2=0?$
Soluţie.
Să scoatem cel mai mic grad din paranteze: $x^2(x^4-1)=0$.
Acum să folosim formula diferenței de pătrate:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
Și să folosim din nou aceeași formulă:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Această ecuație este echivalentă cu un set de ecuații: Am constatat că această ecuație are trei rădăcini.
Raspuns: 3.
Exemplul 9.
Rezolvați ecuația: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Dacă ecuația are mai multe rădăcini, notează-l pe cea mai mare ca răspuns.
Soluţie.
Ecuația inițială este echivalentă cu următoarea mulțime: 
Să rezolvăm fiecare ecuație: Deoarece numitorul fracției nu poate fi egal cu zero, o soluție este eliminată. Avem o rădăcină a ecuației $x=-0,5$.
Răspuns: -0,5.
Alexander Shabalin
! De la teorie la practică;
! De la simplu la complex
MAOU „Școala Gimnazială Platoshin”,
profesor de matematică, Melekhina G.V.
Forma generală a unei ecuații liniare: topor + b = 0 ,
Unde AȘi b– numere (coeficienți).
- Dacă a = 0Și b = 0, Acea 0x + 0 = 0 – infinit de rădăcini;
- Dacă a = 0Și b ≠ 0, Acea 0x + b = 0– fără soluții;
- Dacă a ≠ 0Și b = 0 , Acea topor + 0 = 0 – o rădăcină, x = 0;
- Dacă a ≠ 0Și b ≠ 0 , Acea topor + b = 0 – o rădăcină,
! Dacă X este la prima putere și nu este la numitor, atunci este o ecuație liniară
! Și dacă ecuația liniară este complex :
! Termenii cu X merg la stânga, fără X - la dreapta.
! Aceste ecuații sunt de asemenea liniară .
! Principala proprietate a proporției (în cruce).
! Deschideți parantezele, cu X la stânga, fără X la dreapta.
- dacă coeficientul a = 1, atunci ecuația se numește dat :
- dacă coeficientul b = 0 sau și c = 0, atunci ecuația se numește incomplet :
! Formule de bază
! Mai multe formule
Ecuație biquadratică- numită ecuație a formei topor 4 +bx 2 + c = 0 .
Ecuația biquadratică se reduce la ecuație pătratică folosind substituția, atunci
Obținem o ecuație pătratică:
Să găsim rădăcinile și să revenim la înlocuitor:
Exemplul 1:
Rezolvați ecuația x 4 + 5x 2 – 36 = 0.
Soluţie:
Înlocuire: x 2 = t.
t 2 + 5t – 36 = 0. Rădăcinile ecuației sunt t 1 = -9 și t 2 = 4.
x 2 = -9 sau x 2 = 4.
Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, dar în a doua: x = ±2.
Exemplul 2:
Rezolvați ecuația (2x – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.
Soluţie:
Înlocuire: (2x – 1) 2 = t.
t 2 – 25t + 144 = 0. Rădăcinile ecuației sunt t 1 = 9 și t 2 = 16.
(2x – 1) 2 = 9 sau (2x – 1) 2 = 16.
2x – 1 = ±3 sau 2x – 1 = ±4.
Prima ecuație are două rădăcini: x = 2 și x = -1, a doua are și două rădăcini: x = 2,5 și x = -1,5.
Răspuns: -1,5; -1; 2; 2.5.
1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;
1) X 4 + x 2 - 2 = 0;
2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.
Rezolvați ecuațiile selectând din partea stângă pătrat plin :
1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.
! Amintiți-vă de pătratul sumei și pătratul diferenței
Exprimarea rațională este o expresie algebrică formată din numere și o variabilă X folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu un exponent natural.
Dacă r(x) este o expresie rațională, apoi ecuația r(x)=0 numită ecuație rațională.
Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale:
1. Mută toți termenii ecuației într-o singură parte.
2. Convertiți această parte a ecuației într-o fracție algebrică p(x)/q(x)
3. Rezolvați ecuația p(x)=0
4. Pentru fiecare rădăcină a ecuației p(x)=0 verifica daca indeplineste conditia q(x)≠0 sau nu. Dacă da, atunci aceasta este rădăcina ecuației date; dacă nu, atunci este o rădăcină străină și nu ar trebui inclusă în răspuns.
! Să ne amintim soluția ecuației raționale fracționale:
! Pentru a rezolva ecuații, este util să amintim formulele de înmulțire abreviate:
Dacă o ecuație conține o variabilă sub semnul rădăcinii pătrate, atunci ecuația este numită iraţional .
Metoda de a pune la pătrat ambele părți ale unei ecuații- metoda principală de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale.
După ce am rezolvat ecuația rațională rezultată, este necesar Verifica , îndepărtând eventualele rădăcini străine.
Răspuns: 5; 4
Alt exemplu:
Examinare:
Expresia nu are sens.
Răspuns: fara solutii.
Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.
O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.
Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:
- Nu au rădăcini;
- Au exact o rădăcină;
- Au două rădăcini diferite.
Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.
Discriminant
Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.
Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:
- Daca D< 0, корней нет;
- Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
- Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.
Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:
Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.
Vă rugăm să rețineți că coeficienții au fost notați pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.
Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va trebui să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.
Rădăcinile unei ecuații pătratice
Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:
Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:
A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:
După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Iată, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.
Ecuații patratice incomplete
Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:
Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.
Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.
Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:
Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens numai pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:
- Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
- Dacă (−c /a)< 0, корней нет.
După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.
Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:
Scoaterea factorului comun din parantezeProdusul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:
Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Toylonov Argymai și Toylonov Erkei
Educația matematică primită într-o școală cuprinzătoare este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară omul modern este într-un fel legat de matematică. Iar progresele recente în fizică, inginerie și tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se rezumă la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații pe care trebuie să înveți cum să le rezolvi.
Și din 2013, certificarea în matematică la sfârșitul școlii de bază se realizează sub forma OGE. La fel ca și examenul de stat unificat, examenul de stat unificat este conceput pentru a realiza certificarea nu numai în algebră, ci și în întregul curs de matematică al școlii de bază.
Cea mai mare parte a sarcinilor, într-un fel sau altul, se rezumă la elaborarea ecuațiilor și a soluțiilor acestora. Pentru a trece la studiul acestui subiect, a trebuit să răspundem la întrebările: „Ce tipuri de ecuații se găsesc în sarcinile OGE? ” și „Ce modalități există pentru a rezolva aceste ecuații?”
Astfel, este necesar să se studieze toate tipurile de ecuații care se găsesc în sarcinile OGE. Toate cele de mai sus determină
Scop Lucrarea este de a completa toate tipurile de ecuații găsite în sarcinile OGE după tip și de a analiza principalele metode de rezolvare a acestor ecuații.
Pentru a atinge acest obiectiv, am stabilit următoarele sarcini:
1) Explorați principalele resurse pentru pregătirea pentru examenele de stat principale.
2) Completați toate ecuațiile după tip.
3) Analizați metode de rezolvare a acestor ecuații.
4) Alcătuiește o colecție cu toate tipurile de ecuații și metode de rezolvare a acestora.
Obiectul de studiu: ecuații
Subiect de studiu: ecuații în sarcinile OGE.
Descarca:
Previzualizare:
Instituție de învățământ bugetar municipal
„Școala secundară Chibitskaya”
PROIECT DE FORMARE:
„ECUAȚII ÎN SARCINI OGE”
Toylonov Erkei
elevi de clasa a VIII-a
îndrumător: Nadejda Vladimirovna Toilonova, profesor de matematică.
Termen de implementare a proiectului:
de la 13.12.2017 la 13.02. 2018
Introducere………………………………………………………………………………….. | |
Referință istorică ……………………………………………………… | |
Capitolul 1 Rezolvarea ecuațiilor …………………………………………… | |
1.1 Rezolvarea ecuațiilor liniare…………………………………………… | |
1.2 Ecuații pătratice…………………………………………… | |
1.2.1 Ecuații patratice incomplete……………………………… | 9-11 |
1.2.2 Ecuații patratice complete…………………………………………… | 11-14 |
1.2.3 Metode particulare de rezolvare a ecuaţiilor pătratice……………. | 14-15 |
1.3 Ecuații raționale……………………………………………. | 15-17 |
Capitolul 2 Ecuații complexe…………………………………………. | 18-24 |
Concluzii …………………………………………………………………… | |
Lista de referinte …………………………………………………… | |
Anexa 1 „Ecuații liniare” …………………………………………. | 26-27 |
Anexa 2 „Ecuații patratice incomplete” ………………… | 28-30 |
Anexa 3 „Ecuații patratice complete” …………………… | 31-33 |
Anexa 4 „Ecuații raționale” …………………………. | 34-35 |
Anexa 5 „Ecuații complexe” ………………………………………….. | 36-40 |
INTRODUCERE
Educația matematică primită într-o școală cuprinzătoare este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară omul modern este într-un fel legat de matematică. Iar progresele recente în fizică, inginerie și tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se rezumă la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații pe care trebuie să înveți cum să le rezolvi.
Și din 2013, certificarea în matematică la sfârșitul școlii de bază se realizează sub forma OGE. La fel ca și examenul de stat unificat, examenul de stat unificat este conceput pentru a realiza certificarea nu numai în algebră, ci și în întregul curs de matematică al școlii de bază.
Cea mai mare parte a sarcinilor, într-un fel sau altul, se rezumă la compunerea ecuațiilor și a soluțiilor acestora. Pentru a trece la studiul acestui subiect, a trebuit să răspundem la întrebările: „Ce tipuri de ecuații se găsesc în sarcinile OGE? ” și „Ce modalități există pentru a rezolva aceste ecuații?”
Astfel, este nevoie de a studia toate tipurile de ecuații care se găsesc în sarcinile OGE. Toate cele de mai sus determinărelevanţa problemei muncii prestate.
Scop Lucrarea este de a completa toate tipurile de ecuații găsite în sarcinile OGE după tip și de a analiza principalele metode de rezolvare a acestor ecuații.
Pentru a atinge acest obiectiv, am stabilit următoarele sarcini:
1) Explorați principalele resurse pentru pregătirea pentru examenele de stat principale.
2) Completați toate ecuațiile după tip.
3) Analizați metode de rezolvare a acestor ecuații.
4) Alcătuiește o colecție cu toate tipurile de ecuații și metode de rezolvare a acestora.
Obiectul de studiu: ecuații
Subiect de studiu:ecuații în sarcinile OGE.
Planul de lucru al proiectului:
- Formularea temei proiectului.
- Selectarea materialului din surse oficiale pe o anumită temă.
- Prelucrarea și sistematizarea informațiilor.
- Implementarea proiectului.
- Proiectare proiect.
- Protecția proiectului.
Problemă : aprofundați-vă înțelegerea ecuațiilor. Arătați principalele metode de rezolvare a ecuațiilor prezentate în sarcinile OGE din prima și a doua parte.
Această lucrare este o încercare de generalizare și sistematizare a materialului studiat și de a învăța altele noi. Proiectul include: ecuații liniare cu transferul de termeni dintr-o parte a ecuației în alta și folosind proprietățile ecuațiilor, precum și probleme rezolvate prin ecuație, toate tipurile de ecuații pătratice și metode de rezolvare a ecuațiilor raționale.
Matematica... dezvăluie ordinea, simetria și certitudinea,
iar acestea sunt cele mai importante tipuri de frumusețe.
Aristotel.
Referință istorică
În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau monede sau portofele. Au existat însă grămezi, precum și oale și coșuri, care erau perfecte pentru rolul cache-urilor de depozitare care puteau ține un număr necunoscut de articole. „Căutăm o grămadă care, împreună cu două treimi, jumătate și o șapte, să facă 37...”, a învățat scribul egiptean Ahmes în mileniul II î.Hr. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă și totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Cărturarii, funcționarii și preoții inițiați în cunoștințele secrete, bine pregătiți în știința conturilor, au făcut față cu succes unor astfel de sarcini.
Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici aveau câteva tehnici generale pentru rezolvarea problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici o tabletă de papirus sau lut nu conține o descriere a acestor tehnici. Autorii și-au furnizat doar ocazional calculele numerice cu comentarii sumbre, cum ar fi: „Uite!”, „Fă asta!”, „Ai găsit-o pe cea potrivită”. În acest sens, excepția este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru alcătuirea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora.
Cu toate acestea, primul manual pentru rezolvarea problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă a fost lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” din denumirea arabă a acestui tratat - „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Cartea restaurării și a opoziției”) - s-a transformat de-a lungul timpului în binecunoscutul cuvânt „algebră”, iar al- Lucrarea lui Khwarizmi în sine a servit punctul de plecare în dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor.
Deci care este ecuația?
Există o ecuație a drepturilor, o ecuație a timpului (traducerea timpului solar adevărat în timp solar mediu, acceptată în societate și în știință; astr.), etc.
În matematică este o egalitate matematică care conține una sau mai multe mărimi necunoscute și care își păstrează valabilitatea numai pentru anumite valori ale acestor mărimi necunoscute.
În ecuațiile cu o variabilă, necunoscutul este de obicei notat cu litera " X ". Valoarea lui "x" „, îndeplinind aceste condiții, se numește rădăcina ecuației.
Există ecuații diferite specie:
ax + b = 0. - Ecuație liniară.
ax 2 + bx + c = 0. - Ecuație pătratică.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Ecuație biquadratică.
– Ecuație rațională.
–
Ecuație irațională.
Există așa cevamodalități de rezolvare a ecuațiilor Cum: algebric, aritmetic și geometric. Să luăm în considerare metoda algebrică.
Rezolvați ecuația- aceasta este pentru a găsi astfel de valori ale lui X care, atunci când sunt substituite în expresia originală, ne vor oferi egalitatea corectă sau vor demonstra că nu există soluții. Rezolvarea ecuațiilor, deși dificilă, este incitantă. La urma urmei, este cu adevărat surprinzător când un întreg flux de numere depinde de un număr necunoscut.
În ecuații pentru a găsi necunoscutul, trebuie să transformați și să simplificați expresia originală. Și în așa fel încât atunci când aparența se schimbă, esența expresiei să nu se schimbe. Astfel de transformări se numesc identice sau echivalente.
Capitolul 1 Rezolvarea ecuațiilor
1.1 Rezolvarea ecuațiilor liniare.
Acum ne vom uita la soluțiile ecuațiilor liniare. Amintiți-vă că o ecuație de formăse numește ecuație liniară sau ecuație de gradul întâi deoarece cu variabila " X » gradul superior este de gradul I.
Soluția ecuației liniare este foarte simplă:
Exemplul 1: Rezolvați ecuația 3 x +3=5 x
O ecuație liniară este rezolvată prin transferarea termenilor care conțin necunoscute în partea stângă a semnului egal, coeficienți liberi în partea dreaptă a semnului egal:
3 x – 5 x = – 3
2 x=-3
x =1,5
Se numește valoarea variabilei care transformă ecuația într-o egalitate adevărată rădăcina ecuației.
Dupa verificare obtinem:
Deci 1,5 este rădăcina ecuației.
Răspuns: 1.5.
Rezolvarea ecuațiilor prin metoda transferului de termeni dintr-o parte a ecuației în alta, în care semnul termenilor se schimbă în opus și este folosit proprietăți ecuații - ambele părți ale unei ecuații pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr sau expresie diferită de zero, pot fi luate în considerare la rezolvarea următoarelor ecuații.
Exemplul 2. Rezolvați ecuațiile:
a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.
Soluţie.
a) Utilizând metoda de transfer rezolvăm
6 x + 4 x = ─1;
10 x=─ 1;
x=─ 1:10;
x=─ 0,1.
Examinare:
Răspuns: –0,1
b) Similar cu exemplul anterior, rezolvăm folosind metoda de transfer:
Raspuns: 2.
c) În această ecuație, este necesară deschiderea parantezelor, aplicând proprietatea distributivă a înmulțirii față de operația de adunare.
Răspuns: 6,75.
1.2 Ecuații pătratice
Ecuația formei numită ecuație pătratică, unde A - coeficientul senior, b – coeficient mediu, с – termen liber.
În funcție de șanse a, b și c – ecuația poate fi completă sau incompletă, dată sau nu.
1.2.1 Ecuații patratice incomplete
Să luăm în considerare modalități de a rezolva ecuații patratice incomplete:
1) Să începem să înțelegem soluția primului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0 . Ecuații patratice incomplete de formă a x 2 +b x=0 vă permite să decidețimetoda factorizării. În special, metoda de bracketing.
Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun din paranteze X . Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma: x·(a·x+b)=0.
Și această ecuație este echivalentă cu combinația a două ecuații x=0 sau a·x+b=0 , dintre care ultimul este liniar și are rădăcină x=− .
a x 2 +b x=0 are două rădăcini
x=0 și x=− .
2) Acum să ne uităm la modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b este zero și c≠0 , adică ecuații de formă a x 2 +c=0 . Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero, dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0 :
- transfer de la în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c ,
- și împărțiți ambele părți la a, primim.
Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale.
Dacă numărul – este negativ, atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ.
Dacă este un număr pozitiv, atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, trebuie să vă amintiți că există o rădăcină a ecuației, este un număr. Rădăcina ecuației se calculează conform următoarei scheme:
Se știe că înlocuirea în ecuație în loc de X rădăcinile sale transformă ecuația într-o egalitate adevărată.
Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuație pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația, care
3) Rezolvari de ecuatii patratice incomplete in care coeficientii b și c sunt egale cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0 . Ecuația a x 2 =0 urmează x 2 =0 , care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero A . Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0 . Această ecuație nu are alte rădăcini.
Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.
Exemplul 3. Rezolvați ecuațiile: a) x 2 =5x, dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci indicați-o pe cea mai mică dintre ele în răspunsul dvs;
b), dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci indicați cea mai mare dintre ele în răspunsul dvs;
c) x 2 −9=0, dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci indicați-l pe cea mai mică dintre ele în răspunsul dvs.
Soluţie.
Am obținut o ecuație pătratică incompletă pentru care nu există termen liber. Rezolvăm folosind metoda bracketing.
U Ecuația se poate face cu două rădăcini, dintre care cea mai mică este 0.
Raspuns: 0.
b) . Similar cu exemplul anterior, folosim metoda bracketing
Răspunsul trebuie să indice cea mai mare dintre rădăcini. Acesta este numărul 2.
Raspuns: 2.
V) . Această ecuație este o ecuație pătratică incompletă care nu are un coeficient mediu.
Cea mai mică dintre aceste rădăcini este numărul – 3.
Răspuns: -3.
1.2.2 Ecuații patratice complete.
1. Formula de bază discriminantă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Există o formulă de rădăcină.
Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice pas cu pas:
1) D=b 2 −4 a c - așa-zisul.
a) dacă D
b) dacă D>0, atunci ecuațianu are o singură rădăcină:
c) dacă D nu are două rădăcini:
Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor
În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.
Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară vorbim de obicei nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.
Raționamentul de mai sus ne permite să scriemalgoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 +b x+c=0 , aveți nevoie de:
- conform formulei discriminante D=b 2 −4 a c calculați valoarea acestuia;
- concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
- calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
- găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.
2. Discriminant, a doua formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice (cu un al doilea coeficient par).
Pentru a rezolva ecuații pătratice de forma, cu un coeficient uniform b=2k exista o alta formula.
Să înregistrăm unul nou formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice la:
1) D’=k 2 −a c - așa-zisuldiscriminant al unei ecuații pătratice.
a) dacă D’ nu are rădăcini reale;
b) dacă D’>0, atunci ecuațianu are o singură rădăcină:
c) dacă D' nu are două rădăcini:
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 2x 2 −3x+1=0.. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
Soluţie. În primul caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=2 , b=-3 și c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Din moment ce 1>0
Avem Avem două rădăcini, dintre care cea mai mare este numărul 1.
Raspunsul 1.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația x 2 −21=4x.
Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
Soluţie. Prin analogie cu exemplul anterior, mutăm 4h în partea stângă a semnului egal și obținem:
În acest caz avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1 , k=-2 și c=−21 . Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Numărul 25>0 , adică discriminantul este mai mare decât zero, atunci ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină
Raspuns: 7.
1.2.3 Metode particulare de rezolvare a ecuaţiilor pătratice.
1) Relația dintre rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. teorema lui Vieta.
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.
Cea mai cunoscută și aplicabilă formulă se numește Teorema lui Vieta.
Teorema: Fie - rădăcinile ecuației pătratice date. Atunci produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, iar suma rădăcinilor este egală cu valoarea opusă a celui de-al doilea coeficient:
Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice în termeni de coeficienți.
Exemplul 6. a) Rezolvați ecuația x 2
b) Rezolvați ecuația x 2
c) Rezolvați ecuația x 2
Soluţie.
a) Rezolvați ecuația x 2 −6x+5=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
Alegerea celei mai mici dintre rădăcini
Raspunsul 1
b) Rezolvați ecuația x 2 +7x+10=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
Aplicând teorema lui Vieta, scriem formule pentru rădăcini
Raționând logic, tragem concluzia că. Alegerea celei mai mari dintre rădăcini
Răspuns: ─2.
c) Rezolvați ecuația x 2 ─5x─14=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
Aplicând teorema lui Vieta, scriem formule pentru rădăcini
Raționând logic, tragem concluzia că. Alegerea celei mai mici dintre rădăcini
Răspuns: ─2.
1.3 Ecuații raționale
Dacă vi se oferă o ecuație cu fracții de formăcu o variabilă în numărător sau numitor, atunci o astfel de expresie se numește ecuație rațională. O ecuație rațională este orice ecuație care include cel puțin o expresie rațională. Ecuațiile raționale se rezolvă în același mod ca orice ecuație: se efectuează aceleași operații pe ambele părți ale ecuației până când variabila este izolată pe o parte a ecuației. Cu toate acestea, există 2 metode de rezolvare a ecuațiilor raționale.
1) Înmulțirea încrucișată.Dacă este necesar, rescrie ecuația care ți-a fost dată astfel încât să existe câte o fracție (o expresie rațională) pe fiecare parte; numai atunci poți folosi metoda înmulțirii încrucișate.
Înmulțiți numărătorul fracției din stânga cu numitorul fracției din dreapta. Repetați acest lucru cu numărătorul fracției din dreapta și numitorul fracției din stânga.
- Înmulțirea încrucișată se bazează pe principii algebrice de bază. În expresiile raționale și alte fracții, puteți scăpa de numărător înmulțind în mod corespunzător numărătorii și numitorii celor două fracții.
- Echivalează expresiile rezultate și simplifică-le.
- Rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Dacă „x” este de ambele părți ale ecuației, izolați-l pe o parte a ecuației.
2) Cel mai mic numitor comun (LCD) este folosit pentru a simplifica această ecuație.Această metodă este utilizată atunci când nu puteți scrie o ecuație dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda de înmulțire încrucișată). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, este mai bine să utilizați înmulțirea încrucișată).
- Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun).NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.
- Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOC la numitorul corespunzător al fiecărei fracții.
- Găsiți x. Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu numitorul comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.
Exemplul 7. Rezolvați ecuațiile: a); b) c) .
Soluţie.
A) . Folosim metoda înmulțirii încrucișate.
Deschidem parantezele și prezentăm termeni similari.
a obținut o ecuație liniară cu o necunoscută
Răspuns: ─10.
b) , la fel ca exemplul anterior, aplicăm metoda înmulțirii încrucișate.
Răspuns: ─1.9.
V) , folosim metoda celui mai mic numitor comun (LCD).
În acest exemplu, numitorul comun ar fi 12.
Raspuns: 5.
Capitolul 2 Ecuații complexe
Ecuațiile aparținând categoriei de ecuații complexe pot combina diverse metode și tehnici de rezolvare. Dar, într-un fel sau altul, toate ecuațiile prin metoda raționamentului logic și acțiunilor echivalente conduc la ecuații care au fost studiate anterior.
Exemplul 7. Rezolvați ecuația ( x +3) 2 =(x +8) 2 .
Soluţie. Folosind formulele de înmulțire abreviate, vom deschide parantezele:
Transferăm toți termenii dincolo de semnul egal și aducem pe alții similari,
Răspuns: 5.5.
Exemplul 8. Rezolvați ecuațiile: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.
Soluţie.
a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Să deschidem parantezele și să prezentăm termeni similari
am obținut o ecuație pătratică completă, pe care o vom rezolva prin prima formulă discriminantă
ecuația are două rădăcini
Răspuns: 0,6 și 6.
b) (x +2)(− x +6)=0, pentru această ecuație vom face raționament logic (produsul este egal cu zero când unul dintre factori este egal cu zero). Mijloace
Răspuns: ─2 și 6.
Exemplul 9. Rezolvați ecuațiile:, b).
Soluţie. Să găsim cel mai mic numitor comun
Să scriem în ordinea descrescătoare a gradelor variabilei
; a obţinut o ecuaţie pătratică completă cu un al doilea coeficient par
Ecuația are două rădăcini reale
Răspuns: .
b) . Raționamentul este similar cu a). Găsirea unui NPD
Deschidem parantezele și prezentăm termeni similari
rezolvați ecuația pătratică completă prin formula generală
Răspuns: .
Exemplul 10. Rezolvați ecuațiile:
Soluţie.
A) , Observăm că în partea stângă, expresia dintre paranteze reprezintă formula de înmulțire prescurtată, mai precis pătratul sumei a două expresii. Să-l transformăm
; mutați termenii acestei ecuații într-o parte
hai să-l scoatem din paranteze
Produsul este zero atunci când unul dintre factori este zero. Mijloace,
Răspuns: ─2, ─1 și 1.
b) Raționăm în același mod ca de exemplu a)
, prin teorema lui Vieta
Răspuns:
Exemplul 11. Rezolvați ecuațiile a)
Soluţie.
A) ; [pe partea stângă și dreaptă a ecuației puteți folosi metoda de a scoate paranteze, iar în partea stângă vom scoate, iar în partea dreaptă punem numărul 16.]
[să mutam totul într-o parte și să aplicăm din nou metoda de bracketing. Vom elimina factorul comun]
[produsul este zero când unul dintre factori este zero.]
Răspuns:
b) . [Această ecuație este similară cu ecuația a). Prin urmare, în acest caz, aplicăm metoda de grupare]
Răspuns:
Exemplul 12. Rezolvați ecuația=0.
Soluţie.
0 [ecuație biquadratică. Rezolvată prin schimbarea metodei variabilei].
0; [Aplicând teorema lui Vieta obținem rădăcinile]
. [întoarceți la variabilele anterioare]
Răspuns:
Exemplul 13. Rezolvați ecuația
Soluţie. [ecuație biquadratică, scăpăm de puterile par folosind semne de modul.]
[am primit două ecuații pătratice, pe care le rezolvăm folosind formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice]
nicio ecuație a rădăcinilor reale nu are două rădăcini
Răspuns:
Exemplul 14. Rezolvați ecuația
Soluţie.
ODZ:
[transferă toți termenii ecuației în partea stângă și aduceți termeni similari]
[am obținut ecuația pătratică redusă, care se rezolvă ușor folosind teorema lui Vieta]
Numărul – 1 nu satisface ODZ a ecuației date, deci nu poate fi rădăcina acestei ecuații. Aceasta înseamnă că doar numărul 7 este rădăcina.
Raspuns: 7.
Exemplul 15. Rezolvați ecuația
Soluţie.
Suma pătratelor a două expresii poate fi egală cu zero numai dacă expresiile sunt egale cu zero în același timp. Și anume
[Rezolvăm fiecare ecuație separat]
Prin teorema lui Vieta
Coincidența rădăcinilor egală cu –5 va fi rădăcina ecuației.
Răspuns: - 5.
CONCLUZIE
Rezumând rezultatele muncii depuse, putem concluziona: ecuațiile joacă un rol imens în dezvoltarea matematicii. Am sistematizat cunoștințele acumulate și am rezumat materialul acoperit. Aceste cunoștințe ne pot pregăti pentru examenele viitoare.
Munca noastră face posibil să aruncăm o privire diferită asupra sarcinilor pe care ni le pune matematica.
- la finalul proiectului, am sistematizat și generalizat metodele de rezolvare a ecuațiilor studiate anterior;
- sa familiarizat cu noi moduri de rezolvare a ecuatiilor si proprietati ale ecuatiilor;
- Am analizat toate tipurile de ecuații care sunt în sarcinile OGE atât în prima parte, cât și în a doua parte.
- Am creat o colecție metodologică „Ecuații în sarcini OGE”.
Credem că ne-am atins scopul stabilit pentru noi - să luăm în considerare toate tipurile de ecuații în sarcinile examenului principal de stat la matematică.
Lista literaturii folosite:
1. B.V. Gnedenko „Matematica în lumea modernă”. „Iluminismul” de la Moscova 1980
2. Da.I. Perelman „Algebră distractivă”. Moscova „Știință” 1978
6. http://tutorial.math.lamar.edu
Anexa 1
Ecuatii lineare
1. Găsiți rădăcina ecuației
2. Găsiți rădăcina ecuației
3. Găsiți rădăcina ecuației
Anexa 2
Ecuații patratice incomplete
1. Rezolvați ecuația x 2 =5x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
2. Rezolvați ecuația 2x 2 =8x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
3. Rezolvați ecuația 3x 2 =9x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
4. Rezolvați ecuația 4x 2 =20x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
5. Rezolvați ecuația 5x 2 =35x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
6. Rezolvați ecuația 6x 2 =36x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
7. Rezolvați ecuația 7x 2 =42x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
8. Rezolvați ecuația 8x 2 =72x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
9. Rezolvați ecuația 9x 2 =54x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
10. Rezolvați ecuația 10x2 =80x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
11. Rezolvați ecuația 5x2 −10x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
12. Rezolvați ecuația 3x2 −9x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
13. Rezolvați ecuația 4x2 −16x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
14. Rezolvați ecuația 5x2 +15x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
15. Rezolvați ecuația 3x2 +18x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
16. Rezolvați ecuația 6x2 +24x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
17. Rezolvați ecuația 4x2 −20x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
18. Rezolvați ecuația 5x2 +20x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
19. Rezolvați ecuația 7x2 −14x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
20. Rezolvați ecuația 3x2 +12x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
21. Rezolvați ecuația x2 −9=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
22. Rezolvați ecuația x2 −121=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
23. Rezolvați ecuația x2 −16=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
24. Rezolvați ecuația x2 −25=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
25. Rezolvați ecuația x2 −49=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
26. Rezolvați ecuația x2 −81=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
27. Rezolvați ecuația x2 −4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
28. Rezolvați ecuația x2 −64=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
29. Rezolvați ecuația x2 −36=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
30. Rezolvați ecuația x2 −144=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
31. Rezolvați ecuația x2 −9=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
32. Rezolvați ecuația x2 −121=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
33. Rezolvați ecuația x2 −16=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
34. Rezolvați ecuația x2 −25=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
35. Rezolvați ecuația x2 −49=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
36. Rezolvați ecuația x2 −81=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
37. Rezolvați ecuația x2 −4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
38. Rezolvați ecuația x2 −64=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
39. Rezolvați ecuația x2 −36=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
40. Rezolvați ecuația x2 −144=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
Anexa 3
Completează ecuațiile pătratice
1. Rezolvați ecuația x2 +3x=10. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
2. Rezolvați ecuația x2 +7x=18. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
3. Rezolvați ecuația x2 +2x=15. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
4. Rezolvați ecuația x2 −6x=16. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
5. Rezolvați ecuația x2 −3x=18. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
6. Rezolvați ecuația x2 −18=7x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
7. Rezolvați ecuația x2 +4x=21. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
8. Rezolvați ecuația x2 −21=4x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
9. Rezolvați ecuația x2 −15=2x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
10. Rezolvați ecuația x2 −5x=14. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
11. Rezolvați ecuația x2 +6=5x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
12. Rezolvați ecuația x2 +4=5x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
13. Rezolvați ecuația x2 −x=12. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
14. Rezolvați ecuația x2 +4x=5. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
15. Rezolvați ecuația x2 −7x=8. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
16. Rezolvați ecuația x2 +7=8x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
17. Rezolvați ecuația x2 +18=9x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
18. Rezolvați ecuația x2 +10=7x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
19. Rezolvați ecuația x2 −20=x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
20. Rezolvați ecuația x2 −35=2x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
21. Rezolvați ecuația 2x2 −3x+1=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
22. Rezolvați ecuația 5x2 +4x−1=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
23. Rezolvați ecuația 2x2 +5x−7=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
24. Rezolvați ecuația 5x2 −12x+7=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
25. Rezolvați ecuația 5x2 −9x+4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
26. Rezolvați ecuația 8x2 −12x+4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
27. Rezolvați ecuația 8x2 −10x+2=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
28. Rezolvați ecuația 6x2 −9x+3=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
29. Rezolvați ecuația 5x2 +9x+4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
30. Rezolvați ecuația 5x2 +8x+3=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
31. Rezolvați ecuația x2 −6x+5=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
32. Rezolvați ecuația x2 −7x+10=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
33. Rezolvați ecuația x2 −9x+18=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
34. Rezolvați ecuația x2 −10x+24=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
35. Rezolvați ecuația x2 −11x+30=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
36. Rezolvați ecuația x2 −8x+12=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
37. Rezolvați ecuația x2 −10x+21=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
38. Rezolvați ecuația x2 −9x+8=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
39. Rezolvați ecuația x2 −11x+18=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
40. Rezolvați ecuația x2 −12x+20=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
Anexa 4.
Ecuații raționale.
1. Găsiți rădăcina ecuației
2. Găsiți rădăcina ecuației
3. Găsiți rădăcina ecuației
4. Găsiți rădăcina ecuației
5. Găsiți rădăcina ecuației
6. Găsiți rădăcina ecuației.
7. Găsiți rădăcina ecuației
8. Găsiți rădăcina ecuației
9. Găsiți rădăcina ecuației.
10. Găsiți rădăcina ecuației
11. Găsiți rădăcina ecuației.
12. Găsiți rădăcina ecuației
13. Aflați rădăcina ecuației
14. Găsiți rădăcina ecuației
15. Aflați rădăcina ecuației
16. Găsiți rădăcina ecuației
17. Aflați rădăcina ecuației
18. Aflați rădăcina ecuației
19. Găsiți rădăcina ecuației
20. Aflați rădăcina ecuației
21. Aflați rădăcina ecuației
22. Aflați rădăcina ecuației
23. Aflați rădăcina ecuației
Anexa 5
Ecuații complexe.
1. Găsiți rădăcina ecuației (x+3)2 =(x+8)2 .
2. Găsiți rădăcina ecuației (x−5)2 =(x+10)2 .
3. Găsiți rădăcina ecuației (x+9)2 =(x+6)2 .
4. Găsiți rădăcina ecuației (x+10)2 =(x−9)2 .
5. Găsiți rădăcina ecuației (x−5)2 =(x−8)2 .
6. Găsiți rădăcina ecuației.
7.Găsiți rădăcina ecuației.
8. Găsiți rădăcina ecuației.
9. Găsiți rădăcina ecuației.
10. Găsiți rădăcina ecuației.
11. Rezolvați ecuația (x+2)(− x+6)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
12. Rezolvați ecuația (x+3)(− x−2)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
13. Rezolvați ecuația (x−11)(− x+9)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
14. Rezolvați ecuația (x−1)(− x−4)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
15. Rezolvați ecuația (x−2)(− x−1)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
16. Rezolvați ecuația (x+20)(− x+10)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
17. Rezolvați ecuația (x−2)(− x−3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
18. Rezolvați ecuația (x−7)(− x+2)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
19. Rezolvați ecuația (x−5)(− x−10)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
20. Rezolvați ecuația (x+10)(− x−8)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
21. Rezolvați ecuația (− 5x+3)(− x+6)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
22. Rezolvați ecuația (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
23. Rezolvați ecuația (− x−4)(3x+3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
24. Rezolvați ecuația (x−6)(4x−6)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
25. Rezolvați ecuația (− 5x−3)(2x−1)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
26. Rezolvați ecuația (x−2)(− 2x−3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
27. Rezolvați ecuația (5x+2)(− x−4)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
28. Rezolvați ecuația (x−6)(− 5x−9)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
29. Rezolvați ecuația (6x−3)(− x+3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.
30. Rezolvați ecuația (5x−2)(− x+3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.
31. Rezolvați ecuația
32. Rezolvați ecuația
33. Rezolvați ecuația
34. Rezolvați ecuația
35. Rezolvați ecuația
36. Rezolvați ecuația
37. Rezolvați ecuația
38. Rezolvați ecuația
39. Rezolvați ecuația
40 Rezolvați ecuația
41. Rezolvați ecuația x(x2 +2x+1)=2(x+1).
42. Rezolvați ecuația (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).
43. Rezolvați ecuația x(x2 +6x+9)=4(x+3).
44. Rezolvați ecuația (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).
45. Rezolvați ecuația x(x2 +2x+1)=6(x+1).
46. Rezolvați ecuația (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).
47. Rezolvați ecuația (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).
48. Rezolvați ecuația x(x2 +4x+4)=3(x+2).
49. Rezolvați ecuația (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).
50. Rezolvați ecuația (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).
51. Rezolvați ecuația (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.
52. Rezolvați ecuația (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.
53. Rezolvați ecuația (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.
54. Rezolvați ecuația (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.
55. Rezolvați ecuația (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.
56. Rezolvați ecuația (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.
57. Rezolvați ecuația (x+4)4
−6(x+4)2
−7=0.
58. Rezolvați ecuația (x−4)4
−4(x−4)2
−21=0.
59. Rezolvați ecuația (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.
60. Rezolvați ecuația (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.
61. Rezolvați ecuația x3 +3x2 =16x+48.
62. Rezolvați ecuația x3 +4x2 =4x+16.
63. Rezolvați ecuația x3 +6x2 =4x+24.
64. Rezolvați ecuația x3 +6x2 =9x+54.
65. Rezolvați ecuația x3 +3x2 =4x+12.
66. Rezolvați ecuația x3 +2x2 =9x+18.
67. Rezolvați ecuația x3 +7x2 =4x+28.
68. Rezolvați ecuația x3 +4x2 =9x+36.
69. Rezolvați ecuația x3 +5x2 =4x+20.
70. Rezolvați ecuația x3 +5x2 =9x+45.
71. Rezolvați ecuația x3 +3x2 −x−3=0.
72. Rezolvați ecuația x3 +4x2 −4x−16=0.
73. Rezolvați ecuația x3 +5x2 −x−5=0.
74. Rezolvați ecuația x3 +2x2 −x−2=0.
75. Rezolvați ecuația x3 +3x2 −4x−12=0.
76. Rezolvați ecuația x3 +2x2 −9x−18=0.
77. Rezolvați ecuația x3 +4x2 −x−4=0.
78. Rezolvați ecuația x3 +4x2 −9x−36=0.
79. Rezolvați ecuația x3
+5x2
−4x−20=0.
80. Rezolvați ecuația x3
+5x2
−9x−45=0.
81. Rezolvați ecuația x4 =(x−20)2 .
82. Rezolvați ecuația x4 =(2x−15)2 .
83. Rezolvați ecuația x4 =(3x−10)2 .
84. Rezolvați ecuația x4 =(4x−5)2 .
85. Rezolvați ecuația x4 =(x−12)2 .
86. Rezolvați ecuația x4 =(2x−8)2 .
87. Rezolvați ecuația x4 =(3x−4)2 .
88. Rezolvați ecuația x4 =(x−6)2 .
89. Rezolvați ecuația x4 =(2x−3)2 .
90. Rezolvați ecuația x4 =(x−2)2 .
91. Rezolvați ecuația
92. Rezolvați ecuația
93. Rezolvați ecuația
94. Rezolvați ecuația
95. Rezolvați ecuația
96. Rezolvați ecuația
97. Rezolvați ecuația
98. Rezolvați ecuația
99. Rezolvați ecuația
100. Rezolvați ecuația
101. Rezolvați ecuația.
102. Rezolvați ecuația
103. Rezolvați ecuația
104. Rezolvați ecuația
105. Rezolvați ecuația
106. Rezolvați ecuația
107. Rezolvați ecuația
108. Rezolvați ecuația
109. Rezolvați ecuația
110. Rezolvați ecuația
