Punct de intersecție
Să ni se dea două drepte, definite de coeficienții lor și . Trebuie să găsiți punctul lor de intersecție sau să aflați că liniile sunt paralele.
Soluţie
Dacă două drepte nu sunt paralele, atunci se intersectează. Pentru a găsi punctul de intersecție, este suficient să creați un sistem de două ecuații drepte și să-l rezolvați:
Folosind formula lui Cramer, găsim imediat o soluție la sistem, care va fi cea dorită punct de intersecție:
Dacă numitorul este zero, i.e.
atunci sistemul nu are soluții (direct paralelși nu coincid) sau are infinit de multe (direct Meci). Dacă este necesar să se facă distincția între aceste două cazuri, este necesar să se verifice dacă coeficienții liniilor sunt proporționale cu același coeficient de proporționalitate ca și coeficienții și , pentru care este suficient să se calculeze cei doi determinanți; egal cu zero, atunci liniile coincid:
Implementarea
struct pt(dublu x, y;); linie struct (dublu a, b, c;); constdouble EPS =1e-9; dublu det (dublu a, dublu b, dublu c, dublu d)(întoarce a * d - b * c;) bool intersect (linia m, linia n, pt & res)(double zn = det (m.a, m.b, n.a) , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}
Lecția din seria „ Algoritmi geometrici»
Bună dragă cititoare.
Sfat 1: Cum să găsiți coordonatele punctului de intersecție a două drepte
Să mai scriem trei funcții noi.
Funcția LinesCross() va determina dacă se intersectează fie că doi segment. În ea, poziția relativă a segmentelor este determinată folosind produse vectoriale. Pentru a calcula produsele vectoriale, vom scrie o funcție – VektorMulti().
Funcția RealLess() va fi folosită pentru a implementa operația de comparare „<” (строго меньше) для вещественных чисел.
Sarcina 1. Două segmente sunt date de coordonatele lor. Scrieți un program care determină se intersectează aceste segmente? fără a găsi punctul de intersecție.
Soluţie
. Al doilea este dat de puncte.
Luați în considerare segmentul și punctele și .
Punctul se află în stânga dreptei, pentru care este produsul vectorial 
> 0, deoarece vectorii sunt orientați pozitiv.
Punctul este situat în dreapta dreptei, pentru care este produsul vectorial 
< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.
Pentru ca punctele și să se afle pe laturile opuse ale dreptei, este suficient ca condiția să fie îndeplinită< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).
Raționament similar poate fi efectuat pentru segment și puncte și .
Astfel, dacă 
, apoi segmentele se intersectează.
Pentru a verifica această condiție se folosește funcția LinesCross(), iar pentru calcularea produselor vectoriale se folosește funcția VektorMulti().
ax, ay – coordonatele primului vector,
bx, prin – coordonatele celui de-al doilea vector.
Program geometr4; (Se intersectează 2 segmente?) Const _Eps: Real=1e-4; (acuratețea calculului) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;funcție RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Strict mai puțin) begin RealLess:= b-a> _Eps end; (RealLess)funcție VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - a coordonate bx,by - b coordonate) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; final;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (Se intersectează segmentele?) begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); dacă RealLess(v1*v2,0) și RealLess(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.
Rezultatele executiei programului:
Introduceți coordonatele segmentelor: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Da.
Am scris un program care determină dacă segmentele specificate de coordonatele lor se intersectează.
În lecția următoare vom crea un algoritm care poate fi folosit pentru a determina dacă un punct se află în interiorul unui triunghi.
Draga cititorule.
Ați făcut deja cunoștință cu câteva lecții din seria Algoritmi geometrici. Este totul scris într-un mod accesibil? Vă voi fi foarte recunoscător dacă lăsați feedback despre aceste lecții. Poate că ceva mai trebuie îmbunătățit.
Cu stimă, Vera Gospodarets.
Să fie date două segmente. Primul este dat de puncte P 1 (x 1 ;y 1)Și P 2 (x 2 ;y 2). Al doilea este dat de puncte P 3 (x 3 ;y 3)Și P 4 (x 4 ;y 4).
Poziția relativă a segmentelor poate fi verificată folosind produse vectoriale: 
Luați în considerare segmentul P 3 P 4și puncte P 1Și P2.
Punct P 1 se află în stânga liniei P 3 P 4, pentru ea produsul vectorial v 1 > 0, deoarece vectorii sunt orientați pozitiv.
Punct P2 situat în dreapta liniei, pentru aceasta produsul vectorial v 2< 0
, deoarece vectorii sunt orientați negativ.
Pentru a face ideea P 1Și P2 așezați pe părțile opuse ale unei linii drepte P 3 P 4, este suficient ca condiția să fie îndeplinită v 1 v 2< 0 (produsele vectoriale aveau semne opuse).
Raționament similar poate fi efectuat pentru segment P 1 P 2și puncte P 3Și P 4.
Astfel, dacă v 1 v 2< 0 Și v 3 v 4< 0 , apoi segmentele se intersectează.
Produsul încrucișat a doi vectori se calculează folosind formula:
Unde:
topor, Ay— coordonatele primului vector,
bx, de— coordonatele celui de-al doilea vector.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.
Să fie date două puncte necoincidente pe o linie dreaptă: P 1 cu coordonate ( x 1 ;y 1)Și P2 cu coordonate (x 2 ; y 2).
Intersecția liniilor
În consecință, un vector cu originea în punct P 1și se termină într-un punct P2 are coordonate (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe o dreaptă, apoi coordonatele vectorului P 1 P egal (x - x 1, y - y 1).
Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor P 1 PȘi P 1 P 2 se poate scrie asa:
|P1P,P1P2 |=0, adică (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
sau
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0
Ultima ecuație este rescrisă după cum urmează:
ax + by + c = 0, (1)
Unde
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)
Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).
Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor?
Soluția evidentă este rezolvarea sistemului de ecuații cu linii:
ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)
Introduceți simboluri:
Aici D este determinantul sistemului și Dx,Dy— determinanți rezultați din înlocuirea coloanei de coeficienți cu necunoscuta corespunzătoare cu o coloană de termeni liberi. Dacă D ≠ 0, atunci sistemul (2) este definit, adică are o soluție unică. Această soluție poate fi găsită folosind următoarele formule: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, care se numesc formulele lui Cramer. O reamintire rapidă a modului în care este calculat determinantul de ordinul doi. Determinantul distinge două diagonale: principală și secundară. Diagonala principală este formată din elemente luate în direcția de la colțul din stânga sus al determinantului până la colțul din dreapta jos. Diagonala laterală - din dreapta sus la stânga jos. Determinantul de ordinul doi este egal cu produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor diagonalei secundare.
Să fie date două segmente. Primul este dat de puncte P 1 (x 1 ;y 1)Și P 2 (x 2 ;y 2). Al doilea este dat de puncte P 3 (x 3 ;y 3)Și P 4 (x 4 ;y 4).
Poziția relativă a segmentelor poate fi verificată folosind produse vectoriale: 
Luați în considerare segmentul P 3 P 4și puncte P 1Și P2.
Punct P 1 se află în stânga liniei P 3 P 4, pentru ea produsul vectorial v 1 > 0, deoarece vectorii sunt orientați pozitiv.
Punct P2 situat în dreapta liniei, pentru aceasta produsul vectorial v 2< 0
, deoarece vectorii sunt orientați negativ.
Pentru a face ideea P 1Și P2 așezați pe părțile opuse ale unei linii drepte P 3 P 4, este suficient ca condiția să fie îndeplinită v 1 v 2< 0 (produsele vectoriale aveau semne opuse).
Raționament similar poate fi efectuat pentru segment P 1 P 2și puncte P 3Și P 4.
Astfel, dacă v 1 v 2< 0 Și v 3 v 4< 0 , apoi segmentele se intersectează.
Produsul încrucișat a doi vectori se calculează folosind formula:
Unde:
topor, Ay- coordonatele primului vector,
bx, de- coordonatele celui de-al doilea vector.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.
Să fie date două puncte necoincidente pe o linie dreaptă: P 1 cu coordonate ( x 1 ;y 1)Și P2 cu coordonate (x 2 ; y 2). În consecință, un vector cu originea în punct P 1și se termină într-un punct P2 are coordonate (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe o dreaptă, apoi coordonatele vectorului P 1 P egal (x - x 1, y – y 1).
Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor P 1 PȘi P 1 P 2 se poate scrie asa:
|P1P,P1P2 |=0, adică (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
sau
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0
Ultima ecuație este rescrisă după cum urmează:
ax + by + c = 0, (1)
Unde
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)
Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).
Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor?
Soluția evidentă este rezolvarea sistemului de ecuații cu linii:
ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)
Introduceți simboluri:
Aici D este determinantul sistemului și Dx,Dy- determinanți rezultați din înlocuirea coloanei de coeficienți cu necunoscuta corespunzătoare cu o coloană de termeni liberi. Dacă D ≠ 0, atunci sistemul (2) este definit, adică are o soluție unică. Această soluție poate fi găsită folosind următoarele formule: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, care se numesc formulele lui Cramer. O reamintire rapidă a modului în care este calculat determinantul de ordinul doi. Determinantul distinge două diagonale: principală și secundară. Diagonala principală este formată din elemente luate în direcția de la colțul din stânga sus al determinantului până la colțul din dreapta jos. Diagonala laterală - din dreapta sus la stânga jos. Determinantul de ordinul doi este egal cu produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor diagonalei secundare.
