În secțiunea „Cinematică” s-a stabilit că viteza oricărui punct de pe un corp rigid este din punct de vedere geometric suma vitezei punctului luat ca pol și a vitezei obținute de punct în timpul mișcării sferice a corpului în jurul polului. În dinamică, polul este întotdeauna considerat centrul de masă al corpului. Viteza oricărui punct de pe corp este determinată de formulă

- viteza centrului de masă al corpului;

– vectorul vitezei unghiulare instantanee a corpului;

– vector rază relativ la centrul de masă al corpului.

Pentru puterea de forță aplicată unui corp absolut rigid, obținem:

De un interes deosebit este mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. În acest caz special important, puterea forței poate fi calculată folosind formula:

unde este unghiul dintre vectorii forță și viteză ai centrului de masă al corpului.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Note de curs scurt de mecanică teoretică despre mecanica teoretică

Instituția de învățământ bugetar de stat federal de învățământ profesional superior.. Universitatea de stat de inginerie civilă din Moscova..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:

Tweet

Toate subiectele din această secțiune:

Legile fundamentale ale mecanicii
Mecanica teoretică este una dintre așa-numitele științe axiomatice. Se bazează pe un sistem de puncte de plecare - axiome, acceptate fără dovezi, dar verificate nu numai prin direct

Axioma 3
Două puncte de material interacționează cu forțe egale ca mărime și îndreptate de-a lungul unei linii drepte în direcții opuse (Fig.!.2). Axioma 4 (principiul

Viteza punctului
Viteza de mișcare a unui punct este caracterizată de viteza acestuia, la definiția căreia trecem acum mai departe. Lasă la un moment dat

Accelerație punctuală
Viteza de schimbare a vectorului viteză este caracterizată de accelerația punctului. Lasă în momentul de față punctul

Axioma 3
Un sistem de două forțe aplicate unui corp absolut rigid este echilibrat (echivalent cu zero) dacă și numai dacă aceste forțe sunt egale ca mărime și acționează într-o linie dreaptă în direcții opuse.

Moment de forță în jurul unui punct
Fie dată forța aplicată într-un punct

Moment de forță în jurul axei
Momentul de forță relativ la o axă este proiecția pe axa a momentului de forță calculat față de orice punct de pe această axă:

Câteva forțe
O pereche de forțe este un sistem de două forțe care sunt egale ca mărime și acționează de-a lungul liniilor paralele în direcții opuse. Avion, în

Ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic
Să luăm în considerare un sistem mecanic format din puncte materiale. Pentru fiecare punct al sistemului din cadrul inerțial aproximativ

Proprietățile de bază ale forțelor interne
Luați în considerare oricare două puncte ale sistemului mecanic și

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic
Să adunăm toate egalitățile (3.1) termen cu termen: Ținând cont de prima relație de bază

Teorema privind modificarea momentului unghiular
Să înmulțim vectorial fiecare dintre ecuațiile (3.1) din stânga cu vectorul rază a punctului corespunzător și să adăugăm

Condiții de echilibru
Să ne oprim asupra problemelor echilibrului corpurilor materiale, care formează o parte esențială a secțiunii „Statică” a cursului de mecanică teoretică. Sub echilibru în mecanică în mod tradițional

Echilibrul unui sistem de forțe ale cărui linii de acțiune se află în același plan
În multe cazuri practic interesante, un corp este în echilibru sub acțiunea unui sistem de forțe, ale cărui linii de acțiune sunt situate în același plan. Să luăm acest plan ca plan de coordonate

Calcul truss
Un loc special printre problemele statice îl ocupă calculul fermelor. O ferme este o structură rigidă formată din tije drepte (Fig. 3.3). Dacă toate tijele fermei și tot ce este atașat de ea

Echilibrul unui corp în prezența frecării
După cum se știe, atunci când un corp alunecă de-a lungul unei suprafețe de susținere, apare o rezistență care încetinește alunecarea. Acest fenomen este luat în considerare prin introducerea în considerare a forței de frecare.

Centrul Forțelor Paralele
Acest concept este introdus pentru un sistem de forțe paralele care au o rezultantă, iar punctele de aplicare a forțelor sistemului sunt punctele

Centrul de greutate al corpului
Să luăm în considerare un corp material situat lângă suprafața Pământului (în câmpul gravitațional). Să presupunem mai întâi că corpul este format dintr-un număr finit de puncte materiale, cu alte cuvinte, particule,

Centrul de masă al unui sistem mecanic. Teorema asupra mișcării centrului de masă
Proprietățile inerțiale ale unui corp material sunt determinate nu numai de masa sa, ci și de natura distribuției acestei mase în corp. Poziția centrului joacă un rol semnificativ în descrierea unei astfel de distribuții

PRELEZA 5
5.1. Mișcarea unui corp absolut rigid Una dintre cele mai importante sarcini ale mecanicii este descrierea mișcării unui corp absolut rigid. În general, puncte diferite

Mișcarea de translație a unui corp rigid
Translația este mișcarea unui corp rigid în care orice linie dreaptă trasată în corp rămâne paralelă cu poziția inițială pe toată durata mișcării.

Cinematica mișcării de rotație a unui corp rigid
În timpul mișcării de rotație într-un corp există o singură linie dreaptă, din care toate punctele

Viteza corpului
În cele din urmă obținem: (5.4) Formula (5.4) se numește formula lui Euler. În Fig.5.

Ecuația diferențială a mișcării de rotație a unui corp rigid
Rotirea unui corp rigid, ca orice altă mișcare, are loc ca urmare a influenței forțelor externe. Pentru a descrie mișcarea de rotație folosim teorema despre modificarea momentului cinetic relativ la

Cinematica mișcării plan-paralele a unui corp rigid
Mișcarea unui corp se numește plan-paralel dacă distanța de la orice punct al corpului până la un plan fix (principal) rămâne neschimbată pe toată durata mișcării.

Ecuații diferențiale ale mișcării plan-paralele a unui corp rigid
Când se studiază cinematica mișcării plan-paralele a unui corp rigid, orice punct al corpului poate fi luat drept pol. Când se rezolvă probleme de dinamică, centrul de masă al corpului este întotdeauna luat drept pol, iar centrul de masă este luat ca pol.

Sistemul Koenig. Prima teoremă a lui König
(Studiați pe cont propriu) Lăsați sistemul de referință să fie staționar (inerțial). Sistem

Munca și puterea forței. Energie potențială
Jumătate din produsul dintre masa unui punct și pătratul vitezei acestuia se numește energia cinetică a punctului material. Energia cinetică a unui sistem mecanic se numește

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic
Teorema privind modificările energiei cinetice este una dintre teoremele generale ale dinamicii, împreună cu teoremele demonstrate anterior asupra modificărilor momentului și modificărilor momentului unghiular.

Lucrul forțelor interne ale unui sistem mecanic neschimbabil din punct de vedere geometric
Rețineți că, spre deosebire de teorema privind modificarea impulsului și teorema privind modificarea momentului cinetic, teorema privind modificarea energiei cinetice în cazul general include forțe interne.

Calculul energiei cinetice a unui corp complet rigid
Să obținem formule pentru calcularea energiei cinetice a unui corp absolut rigid în timpul unora dintre mișcările sale. 1. În timpul mișcării de translație în orice moment, viteza tuturor punctelor corpului este una

Munca gravitatiei
Când calculăm munca gravitației, vom presupune că luăm în considerare o regiune limitată a spațiului în apropierea suprafeței Pământului, ale cărei dimensiuni sunt mici în comparație cu dimensiunile Pământului.

Lucru de forță elastică
Conceptul de forță elastică este de obicei asociat cu răspunsul unui arc elastic liniar. Să direcționăm axa de-a lungul

Lucru la cuplu
Să fie aplicată o forță într-un punct al unui corp care are o axă de rotație. Corpul se rotește cu viteză unghiulară

Viteze posibile și posibile mișcări
Introducem mai întâi conceptele de viteză posibilă și deplasare posibilă pentru un punct material asupra căruia este impusă o constrângere nestaționară de limitare holonomică. Posibilă viteză mate

Conexiuni ideale
Constrângerile impuse unui sistem mecanic sunt numite ideale dacă suma muncii tuturor reacțiilor constrângerilor asupra oricărei posibile mișcări a sistemului este egală cu zero:

Principiul mișcărilor posibile
Principiul deplasărilor posibile stabilește condițiile de echilibru a sistemelor mecanice. Echilibrul unui sistem mecanic este înțeles în mod tradițional ca starea de repaus în raport cu inerțiale alese.

Ecuația generală a dinamicii
Să considerăm un sistem mecanic format din puncte materiale pe care se suprapun condiții ideale

Să considerăm două puncte arbitrare ale unui corp rigid M 1 și M 2, care fac parte dintr-un sistem mecanic. Să realizăm construcția (vezi Fig. 14.13).

Forțele interioare PJ 1, PJ 2 , care acționează de la un punct la altul, pe baza legii egalității de acțiune și reacție, sunt egale ca mărime și direcționate opus P J 1 = - P J 2 .

Fie la un moment dat vitezele punctelor să fie egale cu u 1 și, respectiv, u 2, iar pe o perioadă de timp incrementele de-a lungul vectorilor sunt ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Deoarece, pe baza primului corolar al teoremei privind vitezele punctelor unei figuri plane, proiecțiile vectorilor viteză pe direcția segmentului M 1 M 2 sunt egale, atunci proiecțiile deplasărilor elementare ale acestor puncte vor fi egal.

Prin urmare, calculând suma lucrărilor elementare a 2 forțe interne asupra deplasării luate în considerare și ținând cont de egalitatea și direcția opusă a acestora, obținem

P J 1 ds 1 cos(P J1,u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J2,u 2)= P J 1 * M 1 M’ 1 - P J 1 * M 2 M’ 2 = 0.

Deoarece fiecărei forțe interne îi corespunde alteia, egale ca mărime și direcționate opus, suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor interne este zero.

Mișcarea finală este un set de mișcări elementare și, prin urmare

A j = 0,

acestea. suma muncii efectuate de forțele interne ale unui corp rigid în timpul oricărei mișcări este zero.

Mișcarea de translație a unui corp rigid.

În timpul mișcării de translație a unui corp rigid, traiectoriile tuturor punctelor sale sunt identice și paralele. Prin urmare, vectorii deplasărilor elementare sunt egali geometric.

Munca elementară de forță P E i

d A E i =P E i d r.

Va fi putere pentru toată lumea

d A=Sd A E i = SP E i d r= d r SP E = d r R E .

Prin urmare,

d A=d r R E . (14-46)

Lucrul elementar al forțelor aplicat unui corp rigid care se mișcă translațional este egal cu munca elementară a vectorului principal de forțe.

A= . (14-47)

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe față de axa de rotație și creșterea unghiului de rotație.

Lucrați la mișcarea finală

SA i = , (14-48)

unde este momentul principal al forțelor externe raportat la axa de rotație.

Dacă momentul principal este constant, atunci

SA i = Ez = Ez (j2-j1).(14-49)

În acest caz, suma muncii asupra deplasării finale este egală cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe și modificarea finală a unghiului de rotație al corpului.

Apoi putere

N= =M E z dj/dt= M E z w.(14-50)

În cazul general al mișcării, lucrul elementar al forțelor exterioare aplicate unui corp rigid liber este egal cu

dA= SdA i =R E d r O + M E W da,(14-51)

Unde M E W- momentul principal al fortelor exterioare fata de axa instantanee; da- unghi elementar de rotaţie faţă de axa instantanee.

14.10. Rezistență la rostogolire.

O rolă cilindrice aflată în repaus pe un plan orizontal (Fig. 14.14a) este acționată de două forțe de echilibrare reciprocă: greutatea rolei G și reacția plană normală N = -G .

Dacă se află sub influența forței orizontale R, aplicat în centrul rolei C, se rostogolește de-a lungul planului fără alunecare, apoi forța G, N formează câteva forțe care împiedică rostogolirea (Fig. 14.14, b).

Apariția acestei perechi de forțe se datorează deformării suprafețelor de contact ale rolei și planului. Linia de acțiune de reacție N se dovedește a fi deplasat cu o anumită distanță d față de linia de acțiune a forței G.

Moment de câteva forțe G, N numit momentul rezistenţei la rulare. Valoarea acestuia este determinată de produs

M rezist = Nd. (14-52)

Coeficientul de rulare este exprimat în unități liniare, adică [d]= vezi. De exemplu, bandă de oțel pe șină de oțel d= 0,005 cm; lemn pe oțel d= 0,03-0,04 cm.

Să determinăm cea mai mică forță orizontală R , aplicat pe centrul patinoarului.

Pentru ca rola să înceapă să ruleze, momentul cuplului de forțe, compus din forța P și forța de aderență F sc, trebuie să devină mai mare decât momentul de rezistență, adică.

PR>Nd.

Unde P>Nd/R.

Deoarece aici N=G, atunci

Lucrul elementar al unei forțe asupra deplasării (Fig. 3.22) este produsul scalar al unei forțe și deplasarea elementară a punctului de aplicare a acesteia:

unde a este unghiul dintre direcțiile vectorilor și

Deoarece atunci putem scrie o altă expresie pentru munca elementară:

Pentru munca elementară, puteți scrie mai multe expresii:

Din formulele de lucru elementar rezultă că această mărime poate fi pozitivă (unghiul a este acut), negativă (unghiul a este obtuz) sau egală cu zero (unghiul a este drept).

Munca deplină a forțelor. Pentru a determina munca totală efectuată de o forță la deplasarea dintr-un punct M 0 la M Să împărțim această mișcare în n deplasări, fiecare dintre ele în limită devine elementară. Apoi munca de forță A:

Unde dA k- lucrează pentru k-a-a mișcare elementară.

Suma scrisă este integrală și poate fi înlocuită cu o integrală de linie luată de-a lungul curbei la deplasare M 0 M. Apoi

sau

unde este momentul în timp t=0 corespunde unui punct M 0 și momentul în timp t– punct M.

Din definiția lucrării elementare și complete rezultă:

1) lucrul forței rezultante asupra oricărei deplasări este egal cu suma algebrică a muncii forțelor componente asupra acestei deplasări;

2) munca efectuată de forțe asupra unei deplasări complete este egală cu suma muncii efectuate de aceeași forță asupra deplasărilor componente în care se împarte în vreun fel întregul deplasare.

Puterea forței. Puterea unei forțe este munca efectuată pe unitatea de timp:

sau având în vedere că

Putere de putere este o mărime egală cu produsul scalar al forței și viteza punctului de aplicare a acesteia.

Astfel, la putere constantă, o creștere a vitezei duce la o scădere a forței și invers. Unitatea de putere este Watt: 1W=1 J/s.

Dacă se aplică o forță unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe, atunci puterea sa este egală cu

Puterea unei perechi de forțe este determinată în mod similar.

3.3.4.3. Exemple de calcul al muncii forței

Munca totala a fortei -

Unde h– înălțimea la care a coborât punctul.

Astfel, munca efectuată de gravitație este pozitivă când un punct coboară și negativ când un punct se ridică. Lucrul efectuat de gravitație nu depinde de forma traiectoriei dintre puncte M 0 și M 1 .

Lucru de forță elastică liniară. Forța elastică liniară este forța care acționează conform legii lui Hooke (Fig. 3.24):

unde este vectorul rază trasat de la punctul de echilibru, unde forța este zero, până la punctul în cauză M; Cu– coeficient de rigiditate constant.

Lucru efectuat de o forță asupra deplasării dintr-un punct M 0 la punct M 1 este determinat de formula

Efectuând integrarea, obținem

(3.27)

Orez. 3.25

Folosind formula (3.27), lucrul forței elastice liniare a arcurilor se calculează atunci când se deplasează pe orice cale de la punctul M 0, în care deformarea sa inițială este egală cu exact M 1, unde deformarea este, respectiv, egală cu În noua notație, formula (3.27) ia forma

Lucru efectuat de o forță aplicată unui corp rigid în rotație. Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, viteza punctului M poate fi calculat folosind formula lui Euler, vezi fig. 3.25:

Apoi determinăm munca elementară a forței prin formula

Folosind proprietatea produsului încrucișat mixt
primim

Deoarece – momentul de forță relativ la un punct DESPRE. Având în vedere că – momentul de forta fata de axa de rotatie Ozși ω dt=dφ, obținem în sfârșit:

dA=M z dφ.

Lucrul elementar al unei forțe aplicate oricărui punct al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul forței raportat la axa de rotație și diferența dintre unghiul de rotație al corpului.

Munca completa:

În cazul special când , lucrul este determinat de formula

unde j este unghiul de rotație al corpului la care se calculează munca forței.

Orez. 3.26

Lucrul forțelor interne ale unui corp rigid. Să demonstrăm că munca efectuată de forțele interne ale unui corp rigid este nulă pentru orice mișcare. Este suficient să demonstrăm că suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor interne este egală cu zero. Luați în considerare oricare două puncte ale corpului M 1 și M 2 (Fig. 3.26). Deoarece forțele interne sunt forțe de interacțiune între punctele corpului, atunci:

Să introducem un vector unitar direcționat de-a lungul forței.Atunci

Suma lucrărilor elementare ale forțelor și este egală cu

Extinderea produselor scalare ale vectorilor din paranteze, obținem

Deoarece s-a dovedit în cinematică că proiecțiile vitezelor oricăror două puncte ale unui corp rigid pe direcția dreptei care leagă aceste puncte sunt egale între ele pentru orice mișcare a corpului rigid, atunci în expresia rezultată: diferența de valori identice este între paranteze, adică valoare egală cu zero.

3.3.4.4. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct

Pentru un punct material cu masă m, deplasându-se sub influența unei forțe, legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Înmulțind ambele părți ale acestei relații scalar cu diferența vectorului rază a punctului pe care îl avem

sau

Având în vedere că - munca de forta elementara,

(3.28)

Formula (3.28) exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice pentru un punct în formă diferențială.

Diferența energiei cinetice a unui punct este egală cu munca elementară a forței care acționează asupra punctului.

Dacă ambele părți ale egalității (3.28) sunt integrate din punct M 0 la punct M(vezi Fig. 3.22), obținem o teoremă despre modificarea energiei cinetice a unui punct în forma finală:

Modificarea energiei cinetice a unui punct la orice deplasare este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

3.4.4.5. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem

Pentru fiecare punct al sistemului, teorema privind modificarea energiei cinetice poate fi exprimată sub forma:

Însumând părțile din dreapta și din stânga acestor relații peste toate punctele sistemului și deplasând semnul diferențial dincolo de semnul sumei, obținem:

sau

Unde – energia cinetică a sistemului; – munca elementară a forțelor externe, respectiv interne.

Formula (3.29) exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a sistemului în formă diferențială.

Diferența față de energia cinetică a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor externe și interne care acționează asupra sistemului.

Dacă ambele părți ale (3.29) sunt integrate între două poziții ale sistemului - inițială și finală, în care energia cinetică este egală cu T 0 și T, apoi, schimbând ordinea însumării și integrării, avem:

sau

Unde – munca forței exterioare pentru un punct din sistem Mk când se deplasează din poziţia iniţială în poziţia finală Mk; – munca forței interne care acționează asupra unui punct Mk.

Formula (3.30) exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a sistemului în formă finită sau integrală.

Modificarea energiei cinetice a unui sistem atunci când acesta se deplasează dintr-o poziție în alta este egală cu suma muncii efectuate de toate forțele externe și interne care acționează asupra sistemului asupra mișcărilor corespunzătoare ale punctelor sistemului în timpul aceleiași mișcări de sistemul.

naalitate (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Aceasta arată că coeficientul de inerție al obiectului depinde

sita de la alegerea coordonatei generalizate si poate fi recalculata.

FE al unui sistem holonomic nestaționar de un grad are o structură

rotunda polinomului pătratic în raport cu viteza generalizată q & , coeficient

ale căror valori depind în general de q și t:

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , cu a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

Dimensiunea coeficienților a , a 0 , a 1 se determină după principiul lui L. Euler: toți termenii din expresii trebuie să aibă aceeași dimensiune.

5.3. Putere de putere

Se numește regiunea spațiului în care o forță este aplicată unui obiect material câmp de forță vectorială. Această zonă poate fi tridimensională (de exemplu, sferică) sau bidimensională sau poate reprezenta un segment al unei linii drepte sau curbe. De obicei, se crede că forța depinde numai de coordonatele (x, y, z) ale punctului de aplicare al forței, sau de una sau două coordonate, sau este constantă ca mărime și direcție. Sunt permise și cazuri când forțele depind atât de viteza punctului, cât și de timp, adică. forța este specificată în zona spațiului de coordonate, viteze și timp. Sunt cazuri în care

unde forta depinde de acceleratie.

la instanta t din cadrul de referinta se numeste Oxyz

Putere de putere F

scalar egal cu produsul scalar al forței

aplicat vitezei punctului

forța v în acest sistem:

m/s=W)

Fv cos(F ,v )

Zz, (N

Conform acestei definiții, puterea unei forțe este un scalar pozitiv dacă unghiul dintre forță și viteză este acut (în acest caz, forța favorizează mișcarea, o creștere a energiei cinetice) și negativă dacă unghiul este obtuz (când forța încetinește mișcarea). Puterea forței este zero dacă forța este perpendiculară pe viteza punctului de aplicare al forței sau dacă punctul de aplicare al forței nu are viteză.

Puterile din cele două sisteme de referință sunt diferite dacă sistemele se mișcă unul față de celălalt, deci trebuie indicat sistemul de referință în care este calculată puterea forțelor.

Puterea forțelor de frecare, precum și a altor forțe disipative îndreptate împotriva mișcării, este negativă.

Puterea forței de aderență dintre roată și drum (dacă nu există alunecare a roții) este zero, deoarece punctul de aplicare al forței nu are viteză.

Să luăm în considerare cazul când forțele depind numai de poziția punctului de

U (x, y, z) este o funcție a poziției punctului de aplicare a forței, adică. – funcţia coordonatelor carteziene (sau generalizate). În acest caz, forța F (x, y, z) se numește potențial, iar „funcția de forță” U cu semnul opus se numește

energie potențială: P (x, y, z) = − U (x, y, z). Regiunea spațiului în care

pe care o forță potențială acționează asupra unui corp se numește câmp de forță potențial. Sub semnul derivatei, puteți adăuga orice constantă, astfel încât funcția de forță și energia potențială sunt determinate până la o constantă care determină nivelul de referință. În general, energia potenţială poate fi definită ca o funcţie P (q 1,..., q n) obţinută

prin transformarea puterii la forma: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , unde q s este un generalizat

coordonate noi.

Lăsați corpul să se miște arbitrar în spațiu, de exemplu. se deplasează împreună cu polul O cu viteza v O și se rotește cu viteza unghiulară ω.

Puterea unei perechi de forțe aplicate unui corp rigid nu depinde de viteza stâlpului. Este egal cu produsul scalar dintre momentul unei perechi de forțe și viteza unghiulară.

P = M			M ω cos(M ,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z ,

unde M este momentul unei perechi de forțe, ω este viteza unghiulară a unui corp rigid, care, după cum se știe, nu depinde de alegerea polului. Puterea perechilor de forțe disipative este negativă. Puterea unei perechi de forțe nu depinde de locul în care este aplicată corpului. Puterea unei perechi de forțe de frecare în rulment este negativă, deoarece cuplul de frecare și viteza unghiulară de rotație sunt în direcții opuse.

Puterea unui sistem de forțe aplicată unui corp rigid este egală cu produsul scalar al vectorului principal R al sistemului și viteza oricărui pol al corpului, adăugat cu produsul scalar al momentului principal M 0 al forțelor relative. la acest pol și viteza unghiulară a corpului:

vO+M

Oω

pentru R = ∑ F i , M O = ∑ r i × F i .

5.4. Munca și energia potențială

Lucrul elementar al unei forțe în sistemul de coordonate selectat Oxyz (fix sau în mișcare) este o mărime infinitezimală egală cu produsul scalar al forței și deplasarea elementară a punctului de aplicare a forței în acest sistem:

d′A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | d r | cos(F ,d r ), (N m=J)

Aici d ΄A desemnează munca infinitezimală efectuată de o forță într-un interval de timp infinitezimal, d r este deplasarea elementară co-direcționată cu viteza punctului. Primul indică faptul că d ΄A nu este întotdeauna o diferenţială completă a unei anumite funcţii.

Evident, produsul Pdt este egal cu munca elementară d ΄A:

Puterea înmulțită cu un interval de timp mic ∆t este o valoare aproximativă a muncii ∆A a forței în acest interval, puterea este aproximativ egală cu munca forței în 1 secundă. Lucrul efectuat de o forță într-un interval de timp finit se numește integrală definită a puterii în timp:

A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt pentru v = r & = dr / dt .

Pentru a calcula munca folosind această formulă generală, este necesar să cunoaștem puterea în funcție de timp sau forța și viteza ca funcții numai de timpul t. Dar în unele cazuri speciale (cazul forței potențiale, cazul forței de frecare constantă cu o direcție constantă de mișcare), este posibil să se calculeze lucrul fără a utiliza ecuațiile cinematice ale mișcării punctului de aplicare a forței; este suficient să se cunoască doar poziţia iniţială şi finală a punctului.

Să considerăm mișcarea punctului de aplicare a forței în raport cu două sisteme de referință care se mișcă unul față de celălalt. Viteza punctului în cele două sisteme este diferită, prin urmare puterea forței va fi diferită. Astfel, conceptele de putere și muncă sunt formulate în raport cu un sistem de referință specific, în principal în raport cu ISO sau PSO (sisteme de referință inerțiale sau translaționale).

Definiție Forța F se numește potențial, iar câmpul său de forță este

câmp de forță potențial, dacă sunt îndeplinite două condiții:

1) Forța îndeplinește una dintre următoarele condiții: forța este constantă ca mărime și direcție F = const sau depinde numai de coordonatele punctului (toate trei sau parțial) de aplicare a acesteia, adică. F = F(x, y, z).

2) Lucrul elementar d ′ A a unei forțe este diferența totală a unei funcții de coordonate, sau puterea forței în orice moment este egală cu derivata în timp totală a unei funcții Π (x, y, z)

Funcția P(x,y,z), obținută prin transformarea expresiei muncii elementare, sau din expresia puterii, se numește

energia potențială a câmpului de forță potențial în punctul M(x, y, z).

Astfel, câmpul de forță vectorial al forței F (x, y, z) este asociat

un câmp mai simplu din punct de vedere matematic al unei funcții scalare a trei variabile P(x, y, z), fie o funcție a două variabile P(x,y), fie o funcție a unei variabile P(x)

Energia potențială poate fi reprezentată nu numai în sistemul de coordonate carteziene, ci și în sistemele de coordonate cilindrice, sferice; în general, este o funcție a unor coordonate generalizate.

nat P(q 1, q 2, q 3).

Suprafețele definite de ecuația P(q 1, q 2, q 3) = C, unde C este un parametru constant atribuit arbitrar, sunt numite suprafete echipotentiale.

Rețineți că sub semnul diferențial puteți adăuga sau scădea oricând orice constantă, astfel încât funcția Π din formula (5.18) să fie determinată până la o constantă. Constanta este atribuită în mod arbitrar, de exemplu, setată egală cu zero, alegând astfel nivelul de referință al familiei de suprafețe echipotențiale.

Puterea forței potențiale este egală cu produsul luat cu semnul minus

apa in timp din energia potentiala P = −Π & . Să substituim această expresie în integrala definită (5.17). Obținem o expresie pentru munca forței potențiale asupra deplasării finale a punctului de aplicare a forței, efectuată pe o perioadă finită de timp:

A 12 = P(x 1, y 1, z 1) – P(x 2, y 2, z 2) = P1 – P2.

Astfel, munca unei forțe potențiale atunci când se mișcă în spatele unui in-

intervalul de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) până la punctul M 2 (x 2, y 2, z 2) de-a lungul oricărei traiectorii este egal cu pierderea energiei potențiale în timpul acestei mișcări, adică. egal cu diferit

legături ale energiilor potențiale la primul și al doilea punct al câmpului potențial. Munca efectuată de o forță potențială nu depinde de forma traiectoriei care leagă două puncte. În special, lucrul unei forțe potențiale pe orice traiectorie închisă este egal cu zero, iar lucrul când punctul de aplicare al forței se deplasează de la suprafața echipotențială P=C1 la suprafața P=C2 este egal cu

constante sti: A12 = C1 - C2.

Caz special Ca punct inițial M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) luăm orice punct M (x , y , z ) al câmpului potențial și ca M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) avem luați un astfel de câmp punctual M (x O , y O , z O ), în care energia potențială este luată egală cu

Obținem următoarea interpretare fizică. Energia potențială în orice punct M al câmpului potențial este egală cu munca forței aplicate atunci când se deplasează punctul său de aplicare din poziția M de-a lungul oricărei traiectorii netede sau nenetede până la o poziție în care energia potențială este luată egală cu zero. , și este, de asemenea, egală cu munca forței luate cu semnul minus asupra deplasării în poziția M (x,y,z) din poziția „zero”, în care energia potențială este luată egală cu zero.

Exemplul 1 Să aflăm energia potențială a gravitației G = − Gk, pro-

direcționat opus cu vectorul unitar k al axei verticale Oz a sistemului Oxyz. Folosind metoda elementară obținem:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

Folosind metoda puterii pe care o obținem

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Astfel, energia potențială a gravitației este egală cu produsul dintre greutatea punctului material și înălțimea locației punctului M deasupra planului Oxy, îndeplinind condiția z = 0. Aici i se atribuie planului Oxy.

planul echipotenţial zero. Energia potențială gravitațională este negativă în punctele situate sub planul Oxy, la z< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh la h = |z 1 –z 2 |.

Această muncă este proporțională cu diferența (pierderea) nivelurilor; este negativă dacă primul nivel este mai mic decât al doilea.

Notă. Dacă axa Oz este îndreptată în jos, obținem o formulă cu semnul opus: P = –Gz.

Exemplul 2. Energia potențială a forței elastice a unui arc. Câmpul de forță al unui arc orizontal are forma unei axe orizontale Ox. Originea axei este compatibilă cu capătul liber al arcului neformat, x este deformarea de tracțiune a arcului la x > 0 sau deformarea de compresie a arcului la x< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Să ne imaginăm că arcul este întins foarte încet de o forță externă,

crescând încet de la zero la valoarea F in = cxi. Presupunem că în fiecare moment forța elastică a arcului echilibrează forța externă.

Valoarea medie a forței F ext pe interval este egală cu: F cр = cx / 2.

Forța elastică a arcului, în timp ce face o muncă negativă pentru a rezista întinderii, stochează potențialul pozitiv în primăvară

energie egală cu Π = F x = cx 2 / 2.
Lucrul forței elastice la deformare				X 2 − x 1 este egal cu A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2.
Evident A 12< 0 при x1 < x2 и A 12 >0 pentru x1 > x2
	3. Gravitația Pământului			conform legii inversului pătratului:
F = γ m m / r2 ,			= − γ m m r / r 3 , unde r este vectorul rază a punctului material din

sistem de referință geocentric, γ = 6,672 10–11 (m3 /(kg s2) - gravitație constantă

goteny, r / r = e - ort al vectorului razei corpului (punctul material) desenat din centrul Pământului, m 1 = 6 1024 (kg) - masa Pământului, m - masa corpului, γm 1 =

3986·1011 (m3/s2) - constantă gravitațională geocentrică. Luand in considerare

identități r r = r 2 ,

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

d A = −

r dr = −

dr = d (−

Π(r) = −

Rețineți că P(r)→0 ca r →∞, prin urmare, energia potențială

la infinit se ia egal cu zero.

"

Teorema: munca gravitațională nu depinde de tipul de traiectorie și este egală cu produsul dintre modulul de forță și deplasarea verticală a punctului de aplicare a acesteia .

Lasă materialul să arate M se deplasează sub influența gravitației G iar pe o anumită perioadă de timp se mută de la poziție M 1 a pozitiona M 2 , după ce a parcurs poteca s (Fig. 4).
Pe traiectoria unui punct M selectați o zonă infinitezimală ds , care poate fi considerat drept rectiliniu, iar din capetele sale trasăm linii drepte paralele cu axele de coordonate, dintre care una verticală, iar cealaltă orizontală.
Din triunghiul umbrit obținem asta

dy = ds cos α.

Munca elementară de forță G pe un drum ds este egal cu:

dW = F ds cos α.

Munca totală efectuată de gravitație G pe un drum s egal cu

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Deci, munca efectuată de gravitație este egală cu produsul forței și deplasarea verticală a punctului de aplicare:

Teorema a fost demonstrată.

Un exemplu de rezolvare a problemei determinării muncii gravitației

Sarcină: Matrice dreptunghiulară omogenă ABCD masa m = 4080 kg are dimensiunile indicate pe orez. 5.
Determinați munca necesară pentru a înclina matricea în jurul unei margini D .

Soluţie.
În mod evident, munca necesară va fi egală cu munca de rezistență efectuată de forța de gravitație a matricei, în timp ce deplasarea verticală a centrului de greutate al matricei la răsturnarea unei muchii. D este calea care determină cantitatea de muncă efectuată de gravitație.

Mai întâi, să determinăm gravitația matricei: G = mg = 4080×9,81 = 40.000 N = 40 kN.

Pentru a determina mișcarea verticală h centrul de greutate al unui tablou omogen dreptunghiular (este situat în punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului), folosim teorema lui Pitagora, pe baza căreia:

KO 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 m.

Pe baza teoremei asupra muncii gravitației, determinăm munca necesară pentru răsturnarea masivului:

W = G×KO 1 = 40.000×1 = 40.000 J = 40 kJ.

Problema este rezolvată.

Lucru efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație

Să ne imaginăm un disc care se rotește în jurul unei axe fixe sub influența unei forțe constante F (Fig. 6), al cărui punct de aplicare se mișcă cu discul. Să dărâmăm puterea F în trei componente reciproc perpendiculare: F 1 - forta circumferentiala, F 2 - forta axiala, F 3 – forța radială.

La rotirea discului printr-un unghi infinitezimal dφ forta F va efectua muncă elementară, care, pe baza teoremei muncii rezultate, va fi egală cu suma muncii componentelor.

Este evident că munca componentelor F 2 Și F 3 va fi egal cu zero, deoarece vectorii acestor forțe sunt perpendiculari pe deplasarea infinitezimală ds puncte de aplicare M , deci opera elementară a forţei F egală cu munca componentei sale F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Când rotiți discul la unghiul final φ munca de forta F egal cu

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

unde este unghiul φ exprimată în radiani.

Din momentele componentelor F 2 Și F 3 raportat la axa z sunt egale cu zero, atunci, pe baza teoremei lui Varignon, momentul forței F raportat la axa z egal cu:

Mz (F) = F1R.

Momentul de forță aplicat discului în raport cu axa de rotație se numește cuplu și, conform standardului ISO, notat cu litera T :

T = M z (F), prin urmare, W = Tφ .

Lucrul efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație este egal cu produsul cuplului și deplasarea unghiulară.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcină: un muncitor rotește cu forță mânerul troliului F = 200 N, perpendicular pe raza de rotație.
Găsiți de lucru petrecut în timp t = 25 de secunde, dacă lungimea mânerului r = 0,4 m, și viteza sa unghiulară ω = π/3 rad/s.

Soluţie.
În primul rând, să determinăm deplasarea unghiulară φ manere de troliu pentru 25 de secunde:

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Putere

Munca făcută de orice forță poate fi făcută pe perioade diferite de timp, adică la viteze diferite. Pentru a caracteriza cât de repede se lucrează, în mecanică există un concept putere , care este de obicei notat cu litera P .