Sisteme vectoriale ortogonale. Estimarea orientării spațiale sau Cum să nu vă fie frică de filtrele Mahoney și Majwick02/04/2019 Sistem vectorial ortogonal

Despre ce vorbim?

Apariția unei postări pe Habré despre filtrul Majvik a fost în felul său un eveniment simbolic. Aparent, fascinația generală pentru drone a reînviat interesul pentru problema estimării orientării corpului din măsurători inerțiale. În același timp, metodele tradiționale bazate pe filtrul Kalman au încetat să satisfacă publicul, fie din cauza cerințelor de calcul ridicate care sunt inacceptabile pentru drone, fie din cauza setărilor complexe și neintuitive ale parametrilor.

Postarea a fost însoțită de o implementare foarte compactă și eficientă a filtrului în C. Cu toate acestea, judecând după comentarii, semnificația fizică a acestui cod, precum și întregul articol, au rămas vagi pentru unii. Ei bine, să recunoaștem: filtrul Majwick este cel mai sofisticat dintr-un grup de filtre bazate pe principii în general foarte simple și elegante. Voi discuta aceste principii în postarea mea. Nu va exista niciun cod aici. Postarea mea nu este o poveste despre vreo implementare specifică a unui algoritm de estimare a orientării, ci mai degrabă o invitație de a-ți inventa propriile variații pe o anumită temă, dintre care pot fi multe.

Vedere de orientare

Să ne amintim elementele de bază. Pentru a evalua orientarea unui corp în spațiu, trebuie mai întâi să selectați câțiva parametri care împreună determină în mod unic această orientare, adică. în esență, orientarea sistemului de coordonate asociat față de un sistem fix condiționat - de exemplu, sistemul geografic NED (North, East, Down). Apoi trebuie să creați ecuații cinematice, de exemplu. exprima viteza de modificare a acestor parametri prin viteza unghiulara de la giroscoape. În cele din urmă, măsurătorile vectoriale de la accelerometre, magnetometre etc. trebuie luate în considerare în calcul. Iată cele mai comune moduri de a reprezenta orientarea:

Unghiurile lui Euler- rostogolire (rulare, ), pitch (pitch, ), heading (direct, ). Acesta este cel mai vizual și mai concis set de parametri de orientare: numărul de parametri este exact egal cu numărul de grade de libertate de rotație. Pentru aceste unghiuri putem scrie Ecuațiile cinematice ale lui Euler. Sunt foarte populare în mecanica teoretică, dar sunt de puțin folos în problemele de navigație. În primul rând, cunoașterea unghiurilor nu vă permite să convertiți direct componentele oricărui vector dintr-unul înrudit într-un sistem de coordonate geografice sau invers. În al doilea rând, la un pas de ±90 de grade, ecuațiile cinematice degenerează, ruliu și direcția devin incerte.

Matrice de rotație- o matrice 3x3 prin care orice vector din sistemul de coordonate asociat trebuie înmulțit pentru a obține același vector în sistemul geografic: . Matricea este întotdeauna ortogonală, adică . Ecuația cinematică a acesteia are forma .
Iată o matrice a componentelor vitezei unghiulare măsurate de giroscoape într-un sistem de coordonate cuplat:

Matricea de rotație este puțin mai puțin vizuală decât unghiurile Euler, dar spre deosebire de acestea, vă permite să transformați direct vectori și nu devine lipsită de sens în orice poziție unghiulară. Din punct de vedere computațional, principalul său dezavantaj este redundanța: de dragul a trei grade de libertate, nouă parametri sunt introduși simultan și toți trebuie actualizați conform ecuației cinematice. Problema poate fi ușor simplificată profitând de ortogonalitatea matricei.

Cuaternion de rotație- un remediu radical, dar foarte neintuitiv împotriva redundanței și degenerării. Este un obiect cu patru componente - nu un număr, nu un vector, nu o matrice. Puteți privi un cuaternion din două unghiuri. În primul rând, ca sumă formală a unui scalar și a unui vector, unde sunt vectorii unitari ai axelor (ceea ce, desigur, sună absurd). În al doilea rând, ca o generalizare a numerelor complexe, unde acum se folosesc nu unul, ci trei diferit unități imaginare (ceea ce sună nu mai puțin absurd). Cum este legat un cuaternion cu rotația? Prin teorema lui Euler: un corp poate fi întotdeauna transferat de la o orientare dată la alta printr-o rotație finală printr-un anumit unghi în jurul unei anumite axe cu un vector de direcție. Aceste unghiuri și axe pot fi combinate într-un cuaternion: . Ca o matrice, un cuaternion poate fi folosit pentru a transforma direct orice vector dintr-un sistem de coordonate în altul: . După cum puteți vedea, reprezentarea cuaterniilor a orientării suferă și ea de redundanță, dar mult mai puțin decât reprezentarea matriceală: există un singur parametru suplimentar. O revizuire detaliată a cuaterniilor a fost deja publicată pe Habré. S-a vorbit despre geometrie și grafică 3D. Ne interesează și cinematica, deoarece viteza de schimbare a cuaternionului trebuie să fie legată de viteza unghiulară măsurată. Ecuația cinematică corespunzătoare are forma , unde vectorul este considerat și un cuaternion cu o parte scalară zero.

Circuite de filtrare

Cea mai naivă abordare a calculării orientării este să ne înarmam cu o ecuație cinematică și să actualizăm orice set de parametri care ne place în conformitate cu aceasta. De exemplu, dacă alegem o matrice de rotație, am putea scrie o buclă cu ceva de genul C += C * Omega * dt . Rezultatul va fi dezamăgitor. Giroscoapele, în special MEMS, au decalaje de zero mari și instabile - ca urmare, chiar și în repaus complet, orientarea calculată va avea o eroare care se acumulează la nesfârșit (deriva). Toate trucurile inventate de Mahoney, Majwick și mulți alții, inclusiv eu, aveau ca scop compensarea acestei derive prin implicarea măsurătorilor de la accelerometre, magnetometre, receptoare GNSS, loguri etc. Așa s-a născut o întreagă familie de filtre de orientare, bazate pe un principiu de bază simplu.

Principiu de bază. Pentru a compensa deviația de orientare, este necesar să adăugați la viteza unghiulară măsurată de giroscoape o viteză unghiulară de control suplimentară, construită pe baza măsurătorilor vectoriale ale altor senzori. Vectorul viteză unghiulară de control trebuie să se străduiască să combine direcțiile vectorilor măsurați cu direcțiile reale cunoscute ale acestora.

Aceasta implică o abordare complet diferită de construcția termenului de corecție al filtrului Kalman. Principala diferență este că viteza unghiulară de control este nu un termen, ci un multiplicator la valoarea estimată (matrice sau cuaternion). Acest lucru duce la avantaje importante:

Filtrul de estimare poate fi construit pentru orientarea propriu-zisă, și nu pentru mici abateri ale orientării față de cea dată de giroscoape. În acest caz, cantitățile estimate vor satisface automat toate cerințele impuse de problemă: matricea va fi ortogonală, cuaternionul va fi normalizat.
Semnificația fizică a vitezei unghiulare de control este mult mai clară decât termenul de corecție din filtrul Kalman. Toate manipulările se fac cu vectori și matrice în spațiul fizic tridimensional obișnuit, și nu în spațiul de stare multidimensional abstract. Acest lucru simplifică semnificativ rafinarea și configurarea filtrului și, ca bonus, vă permite să scăpați de matricele cu dimensiuni mari și bibliotecile de matrice grele.

Acum să vedem cum este implementată această idee în anumite opțiuni de filtrare.

filtru mahoney. Toată matematica uluitoare din lucrarea originală a lui Mahoney a fost scrisă pentru a justifica ecuații simple (32). Să le rescriem în notația noastră. Dacă ignorăm estimarea deplasărilor zero ale giroscopului, atunci rămân două ecuații cheie - ecuația cinematică reală pentru matricea de rotație (cu viteza unghiulară de control sub forma unei matrice) și legea de formare a acestei viteze în forma a unui vector. Să presupunem, pentru simplitate, că nu există accelerații sau interferențe magnetice și, datorită acestui lucru, avem acces la măsurători ale accelerației gravitației de la accelerometre și a intensității câmpului magnetic al Pământului de la magnetometre. Ambii vectori sunt măsurați de senzori într-un sistem de coordonate înrudit, iar în sistemul geografic este cunoscută poziția lor: îndreptată în sus, spre nordul magnetic. Apoi, ecuațiile filtrului Mahoney vor arăta astfel:

Să ne uităm îndeaproape la a doua ecuație. Primul termen din partea dreaptă este produsul încrucișat. Primul factor este accelerația măsurată a gravitației, al doilea este cel adevărat. Deoarece multiplicatorii trebuie să fie în același sistem de coordonate, al doilea multiplicator este convertit într-un sistem înrudit prin înmulțirea cu . Viteza unghiulară, construită ca produs încrucișat, este perpendiculară pe planul vectorilor factori. Vă permite să rotiți poziția calculată a sistemului de coordonate asociat până când vectorii multiplicatori coincid în direcție - apoi produsul vectorial va fi resetat la zero și rotația se va opri. Coeficientul specifică severitatea unui astfel de feedback. Al doilea termen efectuează o operație similară cu vectorul magnetic. În esență, filtrul Mahoney întruchipează o teză binecunoscută: cunoașterea a doi vectori necoliniari în două sisteme de coordonate diferite permite restabilirea fără ambiguitate a orientării reciproce a acestor sisteme. Dacă există mai mult de doi vectori, aceasta va oferi o redundanță utilă de măsurare. Dacă există un singur vector, atunci un grad de libertate de rotație (mișcarea în jurul acestui vector) nu poate fi fixat. De exemplu, dacă este dat doar vectorul, atunci se poate corecta deriva de ruliu și de tanare, dar nu și derama de direcție.

Desigur, nu este necesar să folosiți o matrice de rotație în filtrul Mahoney. Există și variante de cuaternioane non-canonice.

Platforma giroscopică virtuală.În filtrul Mahoney, am aplicat o viteză unghiulară de control sistemului de coordonate asociat. Dar îl puteți aplica și la poziția calculată a sistemului de coordonate geografice. Ecuația cinematică va lua apoi forma

Se pare că această abordare deschide calea către analogii fizice foarte fructuoase. Este suficient să ne amintim de unde a început tehnologia giroscopică - sisteme de navigație cu direcție și inerție bazate pe o platformă girostabilizată într-un cardan.

www.theairlinepilots.com

Sarcina platformei de acolo era să materializeze sistemul de coordonate geografice. Orientarea suportului a fost măsurată în raport cu această platformă prin senzori de unghi de pe cadrele cardanelor. Dacă giroscoapele s-au deplasat, atunci platforma s-a deplasat împreună cu ele, iar erorile s-au acumulat în citirile senzorilor de unghi. Pentru a elimina aceste erori, a fost introdus feedback de la accelerometrele instalate pe platformă. De exemplu, abaterea platformei de la orizont în jurul axei de nord a fost percepută de accelerometrul axei de est. Acest semnal a făcut posibilă setarea vitezei unghiulare de control, returnând platforma la orizont.

Putem folosi aceleași concepte vizuale în sarcina noastră. Ecuația cinematică scrisă ar trebui apoi citită după cum urmează: rata de schimbare a orientării este diferența dintre două mișcări de rotație - mișcarea absolută a purtătorului (primul termen) și mișcarea absolută a giroplatformei virtuale (al doilea termen). Analogia poate fi extinsă la legea de formare a vitezei unghiulare de control. Vectorul reprezintă citirile accelerometrelor care se presupune că se află pe platforma giroscopică. Apoi din considerente fizice putem scrie:

S-ar putea ajunge la exact același rezultat într-un mod formal făcând multiplicarea vectorială în spiritul filtrului Mahony, dar acum nu într-un sistem de coordonate conectat, ci într-un sistem de coordonate geografice. Este chiar necesar acest lucru?

Primul indiciu al unei analogii utile între platformă și navigația inerțială strapdown pare să apară într-un vechi brevet Boeing. Apoi această idee a fost dezvoltată în mod activ de către Salychev, și mai recent și de mine. Avantajele evidente ale acestei abordări:

Viteza unghiulară de control poate fi formată pe baza unor principii fizice ușor de înțeles.
Desigur, canalele orizontale și cele de direcție sunt separate, foarte diferite în proprietăți și metode de corecție. În filtrul Mahoney se amestecă.
Este convenabil să se compenseze impactul accelerațiilor prin utilizarea datelor GNSS, care sunt furnizate precis în axele geografice, mai degrabă decât înrudite.
Este ușor de generalizat algoritmul în cazul navigației inerțiale de înaltă precizie, unde trebuie luate în considerare forma și rotația Pământului. Nu am idee cum să fac asta în schema lui Mahoney.

filtru Majwick. Majwick a ales calea dificilă. Dacă Mahoney, aparent, a ajuns intuitiv la decizia sa și apoi a justificat-o matematic, atunci Majwick s-a arătat a fi un formalist încă de la început. El a preluat problema de optimizare. El a raționat așa. Să setăm orientarea după cuaternionul de rotație. Într-un caz ideal, direcția calculată a unui vector măsurat (să-l avem) coincide cu cea adevărată. Atunci va fi. În realitate, acest lucru nu este întotdeauna realizabil (mai ales dacă există mai mult de doi vectori), dar puteți încerca să minimizați abaterea de la egalitatea exactă. Pentru a face acest lucru, introducem un criteriu de minimizare

Minimizarea necesită coborârea gradientului - mișcarea în pași mici în direcția opusă gradientului, de exemplu. opus creșterii celei mai rapide a funcției. Apropo, Majvik face o greșeală: în toate lucrările sale nu intră deloc și scrie cu insistență în loc de , deși de fapt calculează exact .

Coborârea gradientului duce în cele din urmă la următoarea condiție: pentru a compensa deviația de orientare, trebuie să adăugați un nou termen negativ proporțional cu rata de schimbare a cuaternionului din ecuația cinematică:

Aici Majwick se abate puțin de la „principiul nostru de bază”: el adaugă un termen de corecție nu la viteza unghiulară, ci la viteza de schimbare a cuaternionului și acesta nu este exact același lucru. Ca urmare, se poate dovedi că cuaternionul actualizat nu va mai fi o unitate și, în consecință, își va pierde capacitatea de a reprezenta orientarea. Prin urmare, pentru filtrul Majwick, normalizarea artificială a cuaternionului este o operație vitală, în timp ce pentru alte filtre este de dorit, nu opțional.

Impactul accelerațiilor

Până acum, se presupunea că nu există accelerații adevărate, iar accelerometrele măsoară doar accelerația datorată gravitației. Acest lucru a făcut posibilă obținerea unei referințe verticale și utilizarea acesteia pentru a compensa deplasarea ruliului și a pasului. Cu toate acestea, în general, accelerometrele, indiferent de principiul lor de funcționare, măsoară accelerație aparentă- diferența vectorială între accelerația adevărată și accelerația în cădere liberă. Direcția accelerației aparente nu coincide cu verticala, iar erorile cauzate de accelerații apar în estimările de ruliu și de tanare.

Acest lucru poate fi ușor ilustrat folosind analogia unui giroscop virtual. Sistemul său de corecție este conceput astfel încât platforma să se oprească în poziția unghiulară în care sunt resetate semnalele accelerometrelor presupus instalate pe ea, adică. când vectorul măsurat devine perpendicular pe axele de sensibilitate ale accelerometrelor. Dacă nu există accelerații, această poziție coincide cu orizontul. Când au loc accelerații orizontale, platforma giroscopică se deviază. Putem spune că platforma giroscopică este similară cu un pendul sau cu plumb puternic amortizat.

În comentariile postării despre filtrul Majwick, s-a pus întrebarea dacă putem spera că acest filtru este mai puțin susceptibil la accelerații decât, de exemplu, filtrul Mahoney. Din păcate, toate filtrele descrise aici exploatează aceleași principii fizice și, prin urmare, suferă de aceleași probleme. Nu poți păcăli fizica cu matematica. Ce să faci atunci?

Cea mai simplă și mai crudă metodă a fost inventată la mijlocul secolului trecut pentru girometrele de aviație: pentru a reduce sau reseta complet viteza unghiulară de control în prezența accelerațiilor sau a vitezei unghiulare a cursului (ceea ce indică intrarea într-o viraj). Aceeași metodă poate fi transferată în sistemele actuale fără platformă. În acest caz, accelerațiile trebuie judecate după valorile lui , și nu , care sunt ele însele zero în viraj. Cu toate acestea, în mărime, nu este întotdeauna posibil să se distingă adevăratele accelerații de proiecțiile accelerației gravitaționale, cauzate de însăși înclinarea platformei giroscopice care trebuie eliminată. Prin urmare, metoda nu funcționează în mod fiabil, dar nu necesită senzori suplimentari.

O metodă mai precisă se bazează pe utilizarea măsurătorilor externe de viteză de la un receptor GNSS. Dacă viteza este cunoscută, atunci aceasta poate fi diferențiată numeric și se poate obține accelerația adevărată. Atunci diferența va fi exact egală indiferent de mișcarea transportatorului. Poate fi folosit ca standard vertical. De exemplu, puteți seta vitezele unghiulare de control ale platformei giroscopice în formular

Decalajele de zero ale senzorului

O caracteristică tristă a giroscoapelor și accelerometrelor de calitate pentru consumatori este instabilitatea mare a decalajelor zero în timp și temperatură. Pentru a le elimina, calibrarea din fabrică sau de laborator nu este suficientă - este necesară o evaluare suplimentară în timpul funcționării.

Giroscoape. Să ne ocupăm de decalajele zero ale giroscoapelor. Poziția calculată a sistemului de coordonate asociat se îndepărtează de poziția sa adevărată cu o viteză unghiulară determinată de doi factori opusi - deplasările zero ale giroscoapelor și viteza unghiulară de control: . Dacă sistemul de corecție (de exemplu, în filtrul Mahoney) a reușit să oprească deriva, atunci starea de echilibru va fi . Cu alte cuvinte, viteza unghiulară de control conține informații despre perturbația de acțiune necunoscută. Prin urmare, puteți aplica evaluare compensatorie: Nu cunoaștem în mod direct magnitudinea perturbării, dar știm ce acțiune corectivă este necesară pentru a o echilibra. Aceasta este baza pentru estimarea decalajelor zero ale giroscoapelor. De exemplu, scorul lui Mahoney este actualizat prin lege

Cu toate acestea, rezultatele sale sunt ciudate: estimările ajung la 0,04 rad/s. O astfel de instabilitate a decalajelor zero nu apare nici măcar cu cele mai proaste giroscoape. Bănuiesc că problema se datorează faptului că Mahoney nu folosește GNSS sau alți senzori externi – și suferă pe deplin de efectele accelerațiilor. Numai pe axa verticală, unde accelerațiile nu dăunează, estimarea pare mai mult sau mai puțin rezonabilă:

Mahony și colab., 2008

Accelerometre. Estimarea decalajelor zero ale accelerometrului este mult mai dificilă. Informațiile despre ele trebuie extrase din aceeași viteză unghiulară de control. Cu toate acestea, în mișcarea rectilinie, efectul deplasărilor zero ale accelerometrelor nu se distinge de înclinarea suportului sau de înclinarea instalării unității senzorului pe acesta. Nu sunt creați aditivi pentru accelerometre. Aditivul apare numai la întoarcere, ceea ce face posibilă separarea și evaluarea independentă a erorilor giroscoapelor și accelerometrelor. Un exemplu despre cum se poate face acest lucru este în articolul meu. Iată pozele de acolo:

În loc de o concluzie: cum rămâne cu filtrul Kalman?

Nu am nicio îndoială că filtrele descrise aici vor avea aproape întotdeauna un avantaj față de filtrul tradițional Kalman în ceea ce privește viteza, compactitatea codului și ușurința de configurare - pentru asta au fost create. În ceea ce privește acuratețea evaluării, totul nu este atât de clar aici. Am întâlnit filtre Kalman prost proiectate, care erau vizibil inferioare ca precizie față de un filtru cu o platformă giroscopică virtuală. Majvik a dovedit, de asemenea, beneficiile filtrului său în raport cu niste Kalman estimează. Cu toate acestea, pentru aceeași problemă de estimare a orientării, este posibil să se construiască cel puțin o duzină de circuite de filtrare Kalman diferite și fiecare va avea un număr infinit de opțiuni de configurare. Nu am niciun motiv să cred că filtrul Mahoney sau Majwick va fi mai precis cel mai bun posibil filtre Kalman. Și, desigur, abordarea Kalman va avea întotdeauna avantajul universalității: nu impune nicio restricție strictă asupra proprietăților dinamice specifice ale sistemului evaluat.

Un astfel de subset de vectori $\left$ \varphi_i \right$\subset H$ că oricare două dintre ele sunt ortogonale, adică produsul lor scalar este egal cu zero:

$(\varphi_i, \varphi_j) = 0$ .

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. Mai mult, descompunerea oricărui element $\vec a$ poate fi calculat folosind formulele: $\vec a = \sum_(k) \alpha_i \varphi_i$ , Unde $\alpha_i = \frac((\vec a, \varphi_i))((\varphi_i, \varphi_i))$ .

Cazul în care norma tuturor elementelor $||\varphi_i||=1$ , se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit-dimensional este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial conform unei baze ortonormale, calculul produsului scalar este simplificat: $(\vec a, \vec b) = \sum_(k) \alpha_k\beta_k$ , Unde $\vec a = \sum_(k) \alpha_k \varphi_k$ Și $\vec b = \sum_(k) \beta_k \varphi_k$ .

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Sistem ortogonal”

Extras care caracterizează sistemul ortogonal

- Ei bine, ce vrei? Sunteți cu toții îndrăgostiți în aceste zile. Ei bine, ești îndrăgostit, așa că căsătorește-te cu el! – spuse contesa râzând supărată. - Cu Dumnezeu binecuvântare!
- Nu, mamă, nu sunt îndrăgostit de el, nu trebuie să fiu îndrăgostit de el.
- Ei bine, spune-i așa.
- Mamă, ești supărată? Nu ești supărată, draga mea, ce vină am?
- Nu, ce zici, prietene? Dacă vrei, mă duc să-i spun”, a spus contesa zâmbind.
- Nu, o voi face eu, doar învață-mă. Totul este ușor pentru tine”, a adăugat ea, răspunzând zâmbetului ei. - Dacă ai putea vedea cum mi-a spus asta! La urma urmei, știu că nu a vrut să spună asta, dar a spus-o întâmplător.
- Ei bine, tot trebuie să refuzi.
- Nu, nu. Îmi pare atât de rău pentru el! El este atât de drăguț.
- Ei bine, atunci acceptă oferta. „Și atunci este timpul să ne căsătorim”, a spus mama furioasă și batjocoritoare.
- Nu, mamă, îmi pare atât de rău pentru el. Nu știu cum o voi spune.
„Nu ai nimic de spus, o spun eu însumi”, a spus contesa, indignată că au îndrăznit să se uite la această micuță Natasha de parcă ar fi fost mare.
„Nu, în niciun caz, eu însumi și tu asculți la ușă”, iar Natașa a alergat prin sufragerie în hol, unde Denisov stătea pe același scaun, lângă clavicord, acoperindu-și fața cu mâinile. El sări în sus la sunetul pașilor ei ușori.
— Natalie, spuse el, apropiindu-se de ea cu pași repezi, hotărăște-mi soarta. Este în mâinile tale!
- Vasily Dmitrich, îmi pare atât de rău pentru tine!... Nu, dar ești atât de drăguț... dar nu... asta... altfel te voi iubi mereu.

Definiție. VectoriA Șib sunt numite ortogonale (perpendiculare) între ele dacă produsul lor scalar este egal cu zero, adică.A × b = 0.

Pentru vectori nenuli A Și b egalitatea produsului scalar la zero înseamnă că cos j= 0, adică . Vectorul zero este ortogonal cu orice vector, deoarece A × 0 = 0.

Exercițiu. Fie și să fie vectori ortogonali. Atunci este firesc să luăm în considerare diagonala unui dreptunghi cu laturile și . Demonstrează asta

acestea. pătratul lungimii diagonalei unui dreptunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celor două laturi neparalele ale sale(Teorema lui Pitagora).

Definiție. Sistem vectorialA 1 ,…, A m se numește ortogonal dacă oricare doi vectori ai acestui sistem sunt ortogonali.

Astfel, pentru un sistem ortogonal de vectori A 1 ,…,A m egalitatea este adevarata: A i × A j= 0 la i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Un sistem ortogonal format din vectori nenuli este liniar independent. .

□ Efectuăm proba prin contradicţie. Să presupunem că sistemul ortogonal de vectori nenuli A 1 , …, A m dependent liniar. Apoi

l 1 A 1 + …+ l mA m= 0 , în care . (1,15)

Fie, de exemplu, l 1 ¹ 0. Înmulțiți cu A 1 ambele părți ale egalității (1.15):

l 1 A 1× A 1 + …+ l m A m × A 1 = 0.

Toți termenii, cu excepția primului, sunt egali cu zero datorită ortogonalității sistemului A 1 , …, A m. Apoi l 1 A 1× A 1 =0, care urmează A 1 = 0 , ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită. Aceasta înseamnă că sistemul ortogonal de vectori nenuli este liniar independent. ■

Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema 1.6. În spațiul R n există întotdeauna o bază formată din vectori ortogonali (bază ortogonală)
(Nicio dovadă).

Bazele ortogonale sunt convenabile în primul rând deoarece coeficienții de expansiune ai unui vector arbitrar peste astfel de baze sunt pur și simplu determinați.

Să presupunem că trebuie să găsim descompunerea unui vector arbitrar b pe bază ortogonală e 1 ,…,e n. Să compunem o expansiune a acestui vector cu coeficienți de expansiune încă necunoscuți pentru această bază:

Să înmulțim scalar ambele părți ale acestei egalități cu vectorul e 1 . În virtutea axiomelor 2° și 3° ale produsului scalar al vectorilor, obținem

Deoarece vectorii de bază e 1 ,…,e n sunt reciproc ortogonale, atunci toate produsele scalare ale vectorilor de bază, cu excepția primului, sunt egale cu zero, i.e. coeficientul este determinat de formula

Înmulțind egalitatea (1.16) la rândul său cu alți vectori de bază, obținem formule simple pentru calcularea coeficienților de expansiune vectorială b :

Formulele (1.17) au sens deoarece .

Definiție. VectorA se numește normalizat (sau unitate) dacă lungimea sa este egală cu 1, adică (A , A )= 1.

Orice vector diferit de zero poate fi normalizat. Lăsa A ¹ 0 . Atunci , iar vectorul este un vector normalizat.

Definiție. Sistem vectorial e 1 ,…,e n se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimea fiecărui vector al sistemului este egală cu 1, adică

Deoarece există întotdeauna o bază ortogonală în spațiul Rn și vectorii acestei baze pot fi normalizați, atunci există întotdeauna o bază ortonormală în Rn.

Un exemplu de bază ortonormală a spațiului R n este sistemul de vectori e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) cu produsul scalar definit prin egalitate (1.9). Pe o bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) pentru a determina coordonatele descompunerii vectoriale b au cea mai simplă formă:

Lăsa A Și b – doi vectori arbitrari ai spațiului R n cu bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Să notăm coordonatele vectorilor A Și b în bază e 1 ,…,e n in consecinta prin A 1 ,…,A nȘi b 1 ,…, b nși găsiți expresia pentru produsul scalar al acestor vectori prin coordonatele lor în această bază, i.e. Să ne prefacem că

Din ultima egalitate, în virtutea axiomelor și relațiilor produsului scalar (1.18), obținem

În sfârșit avem

Prin urmare, pe o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori.

Să considerăm acum o bază complet arbitrară (în general vorbind, nu ortonormală) în spațiul euclidian n-dimensional R n și să găsim o expresie pentru produsul scalar a doi vectori arbitrari A Și b prin coordonatele acestor vectori în baza specificată. f 1 ,…,f n Spațiul euclidian R n produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare acestor vectori, este necesar și suficient ca baza f 1 ,…,f n era ortonormal.

De fapt, expresia (1.20) intră în (1.19) dacă și numai dacă sunt îndeplinite relațiile care stabilesc ortonormalitatea bazei. f 1 ,…,f n.

Definiția 1. ) se numește ortogonală dacă toate elementele sale sunt ortogonale perechi:

Teorema 1. Un sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar independent.

(Să presupunem că sistemul este dependent liniar: și, pentru a fi sigur, Să înmulțim scalar egalitatea cu . Ținând cont de ortogonalitatea sistemului, obținem: }

Definiția 2. Sistem de vectori ai spațiului euclidian ( ) se numește ortonormal dacă este ortogonal și norma fiecărui element este egală cu unu.

Din teorema 1 rezultă imediat că un sistem ortonormal de elemente este întotdeauna independent liniar. De aici rezultă, la rândul său, că în n– într-un spațiu euclidian dimensional un sistem ortonormal de n vectorii formează o bază (de exemplu, ( i, j, k ) la 3 X– spațiu dimensional). baza ortonormala, iar vectorii săi sunt vectori de bază.

Coordonatele unui vector pe o bază ortonormală pot fi ușor calculate folosind produsul scalar: dacă Într-adevăr, înmulțind egalitatea pe , obținem formula indicată.

În general, toate mărimile de bază: produsul scalar al vectorilor, lungimea unui vector, cosinusul unghiului dintre vectori etc. au cea mai simplă formă pe bază ortonormală. Să considerăm produsul scalar: , deoarece

Și toți ceilalți termeni sunt egali cu zero. De aici obținem imediat:

* Luați în considerare o bază arbitrară. Produsul scalar din această bază va fi egal cu:

(Aici αiȘi β j – coordonatele vectorilor din baza ( f), și sunt produse scalare ale vectorilor de bază).

Cantitati γ ij formează o matrice G, numit Matricea Gram. Produsul scalar sub formă de matrice va arăta astfel: *

Teorema 2.În orice n– în spațiul euclidian dimensional există o bază ortonormală. Dovada teoremei este de natură constructivă și se numește

9. Procesul de ortogonalizare Gram–Schmidt.

Lăsa ( a 1 ,...,a n ) − baza arbitrară n– spațiu euclidian dimensional (existența unei astfel de baze se datorează n– dimensiunea spațiului). Algoritmul pentru construirea unei baze ortonormale dintr-o bază dată este următorul:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, deoarece (e 1, a 2)- proiecție a 2 pe e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i, a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Continuând procesul, obținem o bază ortonormală ( e 1 ,...,e n }.

Nota 1. Folosind algoritmul considerat, este posibil să se construiască o bază ortonormală pentru orice înveliș liniar, de exemplu, o bază ortonormală pentru învelișul liniar al unui sistem care are un rang de trei și constă din vectori cinci-dimensionali.

Exemplu.X =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Nota 2. Cazuri speciale

Procesul Gram-Schmidt poate fi aplicat și unei secvențe infinite de vectori liniar independenți.

În plus, procesul Gram-Schmidt poate fi aplicat vectorilor dependenți liniar. În acest caz emite 0 (vector zero) la pas j , Dacă un j este o combinație liniară de vectori a 1 ,...,a j -1 . Dacă acest lucru se poate întâmpla, atunci pentru a păstra ortogonalitatea vectorilor de ieșire și pentru a preveni diviziunea la zero în timpul ortonormalizării, algoritmul trebuie să verifice dacă există vectori nuli și să-i arunce. Numărul de vectori produși de algoritm va fi egal cu dimensiunea subspațiului generat de vectori (adică numărul de vectori liniar independenți care pot fi distinși între vectorii originali).

10. Spații vectoriale geometrice R1, R2, R3.

Să subliniem că numai spațiile au sens geometric direct

R1, R2, R3. Spațiul R n pentru n > 3 este un obiect abstract pur matematic.

1) Fie dat un sistem de doi vectori A Și b . Dacă sistemul este dependent liniar, atunci unul dintre vectori, să spunem A , se exprimă liniar printr-un altul:

A= k b.

Doi vectori legați printr-o astfel de dependență, așa cum am menționat deja, sunt numiți coliniari. Deci, un sistem de doi vectori este dependent liniar dacă și numai

când acești vectori sunt coliniari. Rețineți că această concluzie se aplică nu numai pentru R3, ci și pentru orice spațiu liniar.

2) Fie sistemul din R3 format din trei vectori a, b, c . Dependența liniară înseamnă că unul dintre vectori, să zicem A , se exprimă liniar prin restul:

A= k b+ l c . (*)

Definiție. Trei vectori a, b, c în R 3 situate în același plan sau paralele cu același plan se numesc coplanare

(în figura din stânga sunt indicați vectorii a, b, c dintr-un plan, iar în dreapta aceiași vectori sunt reprezentați grafic din origini diferite și sunt doar paraleli cu un singur plan).

Deci, dacă trei vectori din R3 sunt dependenți liniar, atunci ei sunt coplanari. Este adevărat şi invers: dacă vectorii a, b, c de la R3 sunt coplanare, apoi sunt dependente liniar.

Opera de artă vectorială vector A, a vector b în spațiu se numește vector c , îndeplinind următoarele cerințe:

Desemnare:

Se consideră un triplu ordonat de vectori necoplanari a, b, c în spațiul tridimensional. Să combinăm originile acestor vectori la punctul A(adică alegem un punct în mod arbitrar în spațiu Ași mutați fiecare vector în paralel astfel încât originea lui să coincidă cu punctul A). Capetele vectorilor combinate cu începuturile lor într-un punct A, nu se află pe aceeași linie, deoarece vectorii sunt necoplanari.

Triplul ordonat al vectorilor necoplanari a, b, c în spațiul tridimensional se numește dreapta, dacă de la sfârșitul vectorului c cea mai scurtă viraj de la un vector A a vector b vizibil pentru observator în sens invers acelor de ceasornic. În schimb, dacă cea mai scurtă viraj este văzută în sensul acelor de ceasornic, atunci se numește tripla stânga.

O altă definiție este legată de mana dreapta persoană (vezi poza), de unde provine numele.

Toate triplele de vectori dreptaci (și stângaci) se numesc orientați identic.

1) O. astfel încât (x a , X ab)=0 la . Dacă norma fiecărui vector este egală cu unu, atunci se numește sistemul (x a). ortonormal. O. s. (x a) numit bază ortogonală (ortonormală). M. I. Voitsekhovsky.

2) O. s. coordonate - un sistem de coordonate în care liniile de coordonate (sau suprafețele) se intersectează în unghi drept. O.S. coordonatele există în orice spațiu euclidian, dar, în general, nu există în niciun spațiu. Într-un spațiu afin neted bidimensional O. s. poate fi introdus oricând cel puţin într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct. Uneori este posibil să se introducă O. s. coordonatele in actiune. În O. s. metric tensor g ij diagonale; componente diagonale gii nume acceptat Coeficienții Lamé. Coeficient de șchioapă O.S. în spațiu sunt exprimate prin formule

Unde X yȘi z- Coordonate dreptunghiulare carteziene. Elementul de lungime este exprimat prin coeficienții Lamé:

element de suprafață:

element de volum:

operații diferențiale vectoriale:

Cel mai des folosit O. s. coordonate: pe plan - carteziene, polare, eliptice, parabolice; în spațiu - sferic, cilindric, paraboloidal, bicilindric, bipolar. D. D. Sokolov.

3) O. s. funcții - sistem finit sau numărabil (j i(x)) funcții aparținând spațiului

L 2(X, S, m) și îndeplinirea condițiilor

Dacă l i=1 pentru toate eu, atunci sistemul este apelat ortonormal. Se presupune că măsura m(x), definită pe s-algebra S de submulțimi ale mulțimii X, este numărabilă aditivă, completă și are o bază numărabilă. Aceasta este definiția lui O. s. include toate paginile O. considerate în analiza modernă; sunt obținute pentru diverse implementări specifice ale spațiului de măsură ( X, S, m).

De cel mai mare interes sunt sistemele ortonormale complete (j n(x)), care au proprietatea că pentru orice funcție există o serie unică convergentă spre f(x) în metrica spațiului L 2(X, S, m) , în timp ce coeficienţii s p sunt determinate de formulele Fourier

Astfel de sisteme există datorită separabilității spațiului L 2(X, S, m). O modalitate universală de a construi sisteme ortonormale complete este oferită de metoda de ortogonalizare Schmidt. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l aplicați la un anumit roi de complet L 2(S X, m) un sistem de funcţii liniar independente.

Teoretic serie ortogonală în considerată în principal O. s. spaceLva L 2[a, b](acel caz special când X=[a, b], S- sistem de mulțimi măsurabile Lebesgue, iar m este măsura Lebesgue). Multe teoreme privind convergența sau sumabilitatea seriilor , , conform sistemelor matematice generale. (j n(x)) spații L 2[a, b] sunt valabile și pentru serii din sistemele ortonormale ale spațiului L 2(X, S, m). În același timp, în acest caz particular, au fost construite sisteme O. interesante din beton care au anumite proprietăți bune. Acestea sunt, de exemplu, sistemele lui Haar, Rademacher, Walsh-Paley și Franklin.

1) Sistemul Haar

unde m=2 n+k, , t=2, 3, ... . Seria Haar reprezintă un exemplu tipic martingale iar pentru ei sunt adevărate teoremele generale din teoria martingalelor. În plus, sistemul este baza în Lp, , și seria Fourier din sistemul Haar a oricărei funcții integrabile converge aproape peste tot.

2) Sistemul Rademacher

reprezintă un exemplu important de O. s. funcţii independente şi are aplicaţii atât în teoria probabilităţilor cât şi în teoria serii funcţionale ortogonale şi generale.

3) Sistemul Walsh-Paley este determinat prin funcțiile Rademacher:

unde sunt numerele ti q k sunt determinate din expansiunea binară a numărului n:

4) Sistemul Franklin se obține prin ortogonalizarea succesiunii de funcții folosind metoda Schmidt

Este un exemplu de bază ortogonală a spațiului C al funcțiilor continue.

În teoria serii ortogonale multiple sunt luate în considerare sistemele de funcții ale formei

unde este sistemul ortonormal L 2[a, b]. Astfel de sisteme sunt ortonormale pe cubul m-dimensional J m =[a, b]X . . .X[ a, b] și sunt complete dacă sistemul (j n(X))

Lit.:[l] Kaczmarz S., Shteingauz G., Teoria seriei ortogonale, trad. din germană, M., 1958; Rezultatele științei. Analiză matematică, 1970, M., 1971, p. 109-46; acolo, s. 147-202; Dub J., Procese probabilistice, trad. din engleză, M., 1956; Loev M., Teoria probabilității, trad. din engleză, M., 1962; Zygmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, vol. 1-2, M., 1965. A. A. Talalyan.

- un sistem finit sau numărabil de funcții aparținând spațiului Hilbert L2 și care satisface condițiile funcției gnaz. cântărind O. s. f.,* înseamnă conjugare complexă...
Enciclopedie fizică
- grupul tuturor transformărilor liniare ale spațiului vectorial n-dimensional V peste câmpul k, păstrând o formă pătratică fixă nedegenerată Q pe V)=Q pentru orice)...
Enciclopedie matematică
- o matrice peste un inel comutativ R cu unitatea 1, pentru care matricea transpusa coincide cu inversul. Determinantul lui O. m este egal cu +1...
Enciclopedie matematică
- o rețea în care tangentele dintr-un anumit punct la linii de diferite familii sunt ortogonale. Exemple de sisteme operaționale: rețea asimptotică pe o suprafață minimă, rețea cu curbură linie. A.V. Ivanov...
Enciclopedie matematică
- o matrice ortogonală, OA - o matrice de dimensiunea kx N, ale cărei elemente sunt numerele 1, 2, .....
Enciclopedie matematică
- vezi traiectoria izogonala...
Enciclopedie matematică
- Engleză: Sistem „generator - motor” Acționare electrică reglabilă, al cărui dispozitiv de conversie este o unitate de conversie a mașinii electrice Sursa: Termeni și definiții în industria energiei electrice...
Dicționar de construcții
- vezi proiecția...
Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary
- procedura de stabilire a rezultatelor alegerilor, în care mandatele se repartizează între partidele care și-au desemnat candidații la organul reprezentativ în funcție de numărul de voturi pe care le-au primit...
Dicţionar de termeni juridici
- un tip de sistem electoral proporţional. Rezultatele finale seamănă cu un sistem proporțional cu panoare și vot preferențial...
Dicţionar de termeni juridici
- organe ale corpului uman implicate în procesul de reproducere...
Termeni medicali
- o serie de patru tipuri de gene care codifică proteine polimorfe găsite pe suprafața majorității celulelor nucleate...
Termeni medicali
- comanda n Matrix...
- un caz special de proiecție paralelă, când axa sau planul proiecțiilor este perpendicular pe direcția de proiecție...
Marea Enciclopedie Sovietică
- un sistem de funcții (), n = 1, 2,..., ortogonal cu greutatea ρ pe segment, adică astfel încât Exemple. Sistem trigonometric 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. cu greutatea 1 pe segment...
Marea Enciclopedie Sovietică
- sistem ORTOGONAL de FUNCȚII - sistem de funcții??n?, n=1, 2,.....
Dicționar enciclopedic mare

„SISTEM ORTOGONAL” în cărți

Alineatul XXIV Vechiul sistem de război de tranșee și sistemul modern de marșuri

Din cartea Strategie and Tactics in the Art of War autor Zhomini Genrikh Veniaminovici

Paragraful XXIV Vechiul sistem de război de poziție și sistemul modern de marșuri Prin sistem de poziții se înțelege vechea metodă de a conduce un război metodic, cu armatele dormind în corturi, având provizii la îndemână, angajate în observarea reciprocă; o singură armată

19. Conceptul de „sistem fiscal al Federației Ruse”. Relația dintre conceptele „sistem fiscal” și „sistem fiscal”

Din cartea Drept fiscal autorul Mikidze S G

19. Conceptul de „sistem fiscal al Federației Ruse”. Relația dintre conceptele de „sistem fiscal” și „sistem fiscal” Sistemul fiscal este un set de taxe federale, impozite regionale și locale stabilite în Federația Rusă. Structura sa este consacrată în art. 13–15 Codul Fiscal al Federației Ruse În conformitate cu

Din cartea Cum sa întâmplat cu adevărat. Reconstituirea istoriei adevărate autor Nosovski Gleb Vladimirovici

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic) Sistemul lumii după Tycho Brahe este prezentat în Fig. 90. În centrul lumii se află Pământul, în jurul căruia se învârte Soarele. Cu toate acestea, toate celelalte planete orbitează deja în jurul Soarelui. Exact

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic)

Din cartea autorului

Matrice ortogonală

TSB

Proiecție ortografică

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (OR) a autorului TSB

Sistem de funcții ortogonale

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (OR) a autorului TSB

49. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentelor Legislației URSS și Republicilor Unirii” 1958

Din cartea Istoria statului și a dreptului Rusiei autor Pașkevici Dmitri

49. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentele legislației URSS și Republicilor Uniunii” din 1958. Fundamentele legislației privind sistemul judiciar au stabilit principiile pentru construirea sistemului judiciar al URSS, principiile consideraţiei colegiale

Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) și sistemul de legislație: relația conceptelor

Din cartea Jurisprudență autorul Mardaliev R.T.

Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) și sistemul de legislație: relația dintre concepte Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) este structura internă a dreptului, împărțindu-l în ramuri, subsectoare și instituții în conformitate cu subiectul și metoda de juridică

29. Sistemul de management obligatoriu și sistemul de autoguvernare locală în perioada monarhiei reprezentative-moșiale

autor

29. Sistemul de management al ordinelor și sistemul de autoguvernare locală în perioada monarhiei patrimoniale-reprezentative Ordinele sunt organe ale sistemului de conducere centralizată, care s-au dezvoltat inițial din ordinele de guvernare individuale și temporare emise.

86. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentelor Legislației URSS și ale Republicilor Uniunii” 1958

Din cartea Cheat Sheet on the History of State and Law of Russia autor Dudkina Lyudmila Vladimirovna

86. Sistemul judiciar și sistemul organelor de drept conform „Fundamentele legislației URSS și ale republicilor Uniunii” 1958 Deja din 1948, legislația procesuală a URSS și a republicilor a suferit modificări semnificative: 1) instanțele populare au devin aleși 2) instanțele au devenit mai multe

31. Sistemul guvernamental francez, votul și sistemul electoral

Din cartea Dreptul constituțional al țărilor străine autorul Imasheva E G

31. Sistemul de guvernământ francez, votul și sistemul electoral În Franța, există un guvern republican mixt (sau semiprezidenţial). Sistemul de guvernare din Franța este construit pe principiul separării puterilor

44. Sistemul guvernamental francez, votul și sistemul electoral

Din cartea Dreptul constituțional al țărilor străine. Pat de copil autor Belousov Mihail Sergheevici

44. Sistemul organelor guvernamentale din Franța, votul și sistemul electoral Franța este o republică mixtă (semi-prezidențială), al cărei sistem de organe guvernamentale se bazează pe principiul separației puterilor Franța de astăzi este o republică puternică

Capitolul IV. Sistem de potrivire cu dublu cap. Sistemul „insecte”. Minisistem

Din cartea Su Jok pentru toată lumea de Woo Park Jae

Capitolul IV. Sistem de potrivire cu dublu cap. Sistemul „insecte”. Minisistem Sistem dublu de corespondență cu capul Pe degetele de la mâini și de la picioare există două sisteme de corespondență cu capul: sistemul „tip uman” și sistemul „tip uman”.

Primul centru emoțional - sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, pielea

Din cartea Totul va fi bine! de Hay Louise

Primul centru emoțional - sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, pielea Starea sănătoasă a organelor asociate cu primul centru emoțional depinde de sentimentul de siguranță din această lume. Dacă sunteți lipsit de sprijinul familiei și al prietenilor pe care îl aveți