teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia

între laturile unui triunghi dreptunghic.

Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care a primit numele.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,

construit pe picioare.

Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b:

Ambele formulări teorema lui Pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu

necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și

măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Conversați teorema lui Pitagora.

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci

triunghi dreptunghic.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru fiecare triplu de numere pozitive A, bȘi c, astfel încât

există un triunghi dreptunghic cu catete AȘi b si ipotenuza c.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate

poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:

dovada metoda zonei, axiomaticȘi dovezi exotice(De exemplu,

prin utilizarea ecuatii diferentiale).

1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind triunghiuri similare.

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite

direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la C si denota

întemeierea ei prin H.

Triunghi ACH asemănător cu un triunghi AB C la două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.

Prin introducerea notației:

primim:

,

care corespunde cu -

Pliat A 2 și b 2, obținem:

sau , care este ceea ce trebuia dovedit.

2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind metoda ariei.

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toti

folosiți proprietățile ariei, ale căror demonstrații sunt mai complexe decât demonstrația teoremei lui Pitagora în sine.

• Dovada prin echicomplementaritate.

Să aranjam patru dreptunghiulare egale

triunghi așa cum se arată în figură

pe dreapta.

Patrulate cu laturi c- pătrat,

întrucât suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și

unghi desfășurat - 180°.

Zona întregii figuri este, pe de o parte,

aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.

​

Privind desenul prezentat în figură și

privind schimbarea lateralăA, Putem

scrie următoarea relație pentru infinit

mic incremente lateraleCuȘi A(folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim:

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți:

Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:

Astfel ajungem la răspunsul dorit:

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului

proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este raportată la independent

contribuții din creșterea diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere

(în acest caz piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem:

Este remarcabil faptul că proprietatea specificată în teorema lui Pitagora este o proprietate caracteristică a unui triunghi dreptunghic. Aceasta rezultă din teorema inversă la teorema lui Pitagora.

Teoremă: Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Formula lui Heron

Să derivăm o formulă care exprimă planul unui triunghi în termenii lungimii laturilor sale. Această formulă este asociată cu numele de Heron din Alexandria - un matematician și mecanic grec antic care a trăit probabil în secolul I d.Hr. Heron a acordat multă atenție aplicațiilor practice ale geometriei.

Teorema. Aria S a unui triunghi ale cărui laturi sunt egale cu a, b, c se calculează prin formula S=, unde p este semiperimetrul triunghiului.

Dovada.

Având în vedere: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b Unghiurile A și B sunt acute. CH - înălțime.

Dovedi:

Dovada:

Considerăm triunghiul ABC, în care AB=c, BC=a, AC=b. Fiecare triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite. Fie A și B unghiuri ascuțite ale triunghiului ABC. Atunci baza H a altitudinii CH a triunghiului se află pe latura AB. Să introducem următoarea notație: CH = h, AH=y, HB=x. prin teorema lui Pitagora a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, de unde

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, sau (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, și deoarece y + x = c, atunci y- x = (b2 - a2).

Adunând ultimele două egalități, obținem:

2y = +c, de unde

y= și, prin urmare, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Obiectivele lecției:

educatie generala:

• testarea cunoștințelor teoretice ale elevilor (proprietățile unui triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora), capacitatea de a le folosi în rezolvarea problemelor;
• După ce a creat o situație problematică, conduceți elevii la „descoperirea” teoremei lui Pitagora inversă.

în curs de dezvoltare:

• dezvoltarea abilităților de aplicare a cunoștințelor teoretice în practică;
• dezvoltarea capacității de a formula concluzii din observații;
• dezvoltarea memoriei, a atenției, a observației:
• dezvoltarea motivaţiei învăţării prin satisfacţia emoţională din descoperiri, prin introducerea unor elemente de istorie a dezvoltării conceptelor matematice.

educational:

• să cultive un interes durabil pentru subiect prin studiul activității de viață a lui Pitagora;
• promovarea asistenței reciproce și a evaluării obiective a cunoștințelor colegilor de clasă prin testare reciprocă.

Formatul lecției: clasă-lecție.

Planul lecției:

• Organizarea timpului.
• Verificarea temelor. Actualizarea cunoștințelor.
• Rezolvarea problemelor practice folosind teorema lui Pitagora.
• Subiect nou.
• Consolidarea primară a cunoștințelor.
• Teme pentru acasă.
• Rezumatul lecției.
• Muncă independentă (folosind carduri individuale cu ghicirea aforismelor lui Pitagora).

În timpul orelor.

Organizarea timpului.

Verificarea temelor. Actualizarea cunoștințelor.

Profesor: Ce sarcină ai făcut acasă?

Elevi: Folosind două laturi date ale unui triunghi dreptunghic, găsiți a treia latură și prezentați răspunsurile sub formă de tabel. Repetați proprietățile unui romb și ale unui dreptunghi. Repetați ceea ce se numește condiție și care este concluzia teoremei. Pregătiți rapoarte despre viața și opera lui Pitagora. Aduceți o frânghie cu 12 noduri legate pe ea.

Profesor: Verificați răspunsurile la teme folosind tabelul

(datele sunt evidențiate cu negru, răspunsurile sunt cu roșu).

Profesor: Declarațiile sunt scrise pe tablă. Dacă sunteți de acord cu ei, puneți „+” pe bucățile de hârtie de lângă numărul de întrebare corespunzător dacă nu sunteți de acord, apoi puneți „–”.

Declarațiile sunt pre-scrise pe tablă.

1. Ipotenuza este mai lungă decât piciorul.
2. Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este 180 0.
3. Aria unui triunghi dreptunghic cu catete AȘi V calculate prin formula S=ab/2.
4. Teorema lui Pitagora este valabilă pentru toate triunghiurile isoscele.
5. Într-un triunghi dreptunghic, catetul opus unghiului 30 0 este egal cu jumătate din ipotenuză.
6. Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
7. Pătratul catetei este egal cu diferența dintre pătratele ipotenuzei și al doilea catet.
8. O latură a unui triunghi este egală cu suma celorlalte două laturi.

Lucrarea este verificată prin verificarea reciprocă. Sunt discutate declarații care au stârnit controverse.

Cheia întrebărilor teoretice.

Elevii se notează între ei folosind următorul sistem:

8 răspunsuri corecte „5”;
6-7 răspunsuri corecte „4”;
4-5 răspunsuri corecte „3”;
mai puțin de 4 răspunsuri corecte „2”.

Profesor: Despre ce am vorbit în ultima lecție?

Student: Despre Pitagora și teorema lui.

Profesor: Prezentați teorema lui Pitagora. (Cîțiva elevi citesc formularea, în acest moment 2-3 elevi o dovedesc la tablă, 6 elevi la primele birouri pe bucăți de hârtie).

Formulele matematice sunt scrise pe cartonașe pe o tablă magnetică. Alegeți-le pe cele care reflectă sensul teoremei lui Pitagora, unde A Și V – picioare, Cu – ipotenuza.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = de la 2 – în 2
4) cu 2 = a 2 – în 2	5) în 2 = c 2 – a 2	6) a 2 = c 2 + c 2

În timp ce studenții care demonstrează teorema la tablă și pe teren nu sunt pregătiți, cuvântul este dat celor care au pregătit rapoarte despre viața și opera lui Pitagora.

Școlarii care lucrează pe câmp înmânează bucăți de hârtie și ascultă dovezile celor care au lucrat la consiliu.

Rezolvarea problemelor practice folosind teorema lui Pitagora.

Profesor: Vă propun probleme practice folosind teorema studiată. Vom vizita mai întâi pădurea, după furtună, apoi într-o zonă suburbană.

Problema 1. După furtună, molidul s-a rupt. Înălțimea părții rămase este de 4,2 m Distanța de la bază până la vârful căzut este de 5,6 m Aflați înălțimea molidului înainte de furtună.

Problema 2. Înălțimea casei este de 4,4 m Lățimea gazonului din jurul casei este de 1,4 m Cât de lungă trebuie făcută scara, astfel încât să nu interfereze cu gazonul și să ajungă la acoperișul casei?

Subiect nou.

Profesor:(sunete muzicale)Închideți ochii, pentru câteva minute ne vom cufunda în istorie. Suntem cu tine în Egiptul Antic. Aici, în șantierele navale, egiptenii își construiesc faimoasele corăbii. Dar geodezii măsoară zonele de pământ ale căror limite au fost spălate după inundația Nilului. Constructorii construiesc piramide grandioase care încă ne uimesc prin măreția lor. În toate aceste activități, egiptenii trebuiau să folosească unghiuri drepte. Au știut să le construiască folosind o frânghie cu 12 noduri legate la distanțe egale unul față de celălalt. Încercați, gândind ca vechii egipteni, să construiți triunghiuri dreptunghiulare cu frânghiile voastre. (Pentru a rezolva această problemă, băieții lucrează în grupuri de 4. După un timp, cineva arată construcția unui triunghi pe o tabletă lângă tablă).

Laturile triunghiului rezultat sunt 3, 4 și 5. Dacă mai legați un nod între aceste noduri, atunci laturile sale vor deveni 6, 8 și 10. Dacă sunt două fiecare – 9, 12 și 15. Toate aceste triunghiuri sunt în unghi drept pentru că

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 etc.

Ce proprietate trebuie să aibă un triunghi pentru a fi dreptunghic? (Elevii încearcă să formuleze ei înșiși teorema lui Pitagora inversă; în cele din urmă, cineva reușește).

Cum diferă această teoremă de teorema lui Pitagora?

Student: Condiția și concluzia și-au schimbat locurile.

Profesor: Acasă ai repetat cum se numesc astfel de teoreme. Deci, ce ne-am întâlnit acum?

Student: Cu teorema inversă a lui Pitagora.

Profesor: Să notăm subiectul lecției în caietul nostru. Deschide-ți manualele la pagina 127, citește din nou această afirmație, notează-l în caiet și analizează dovada.

(După câteva minute de lucru independent cu manualul, dacă se dorește, o persoană de la tablă dă o dovadă a teoremei).

1. Cum se numește un triunghi cu laturile 3, 4 și 5? De ce?
2. Ce triunghiuri se numesc pitagoreice?
3. Cu ce ​​triunghiuri ai lucrat la teme? Dar problemele cu un pin și o scară?

Consolidarea primară a cunoștințelor

.

Această teoremă ajută la rezolvarea problemelor în care trebuie să aflați dacă triunghiurile sunt dreptunghiulare.

Sarcini:

1) Aflați dacă un triunghi este dreptunghic dacă laturile sale sunt egale:

a) 12, 37 și 35; b) 21, 29 și 24.

2) Calculați înălțimile unui triunghi cu laturile de 6, 8 și 10 cm.

Teme pentru acasă

.

Pagina 127: teorema lui Pitagora inversă. Nr. 498(a,b,c) Nr. 497.

Rezumatul lecției.

Ce nou ai învățat la lecție?

Cum a fost folosită teorema inversă a lui Pitagora în Egipt?

Ce probleme este folosit pentru a rezolva?

Ce triunghiuri ai întâlnit?

Ce îți amintești și ce-ți place cel mai mult?

Muncă independentă (desfășurată folosind carduri individuale).

Profesor: Acasă ai repetat proprietățile unui romb și ale unui dreptunghi. Enumerați-le (există o conversație cu clasa). În ultima lecție am vorbit despre modul în care Pitagora era o personalitate versatilă. A studiat medicina, muzica și astronomia, a fost, de asemenea, un atlet și a participat la Jocurile Olimpice. Pitagora a fost și filosof. Multe dintre aforismele sale sunt și astăzi relevante pentru noi. Acum vei lucra independent. Pentru fiecare sarcină sunt date mai multe opțiuni de răspuns, alături de care sunt scrise fragmente din aforismele lui Pitagora. Sarcina ta este să rezolvi toate sarcinile, să compun o declarație din fragmentele primite și să o notezi.

Teorema lui Pitagora spune:

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a 2 + b 2 = c 2,

• AȘi b– picioarele formând un unghi drept.
• Cu– ipotenuza triunghiului.

Formule ale teoremei lui Pitagora

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dovada teoremei lui Pitagora

Aria unui triunghi dreptunghic se calculează cu formula:

S = \frac(1)(2)ab

Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

• p– semiperimetrul. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r– raza cercului înscris. Pentru un dreptunghi r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Apoi echivalăm părțile drepte ale ambelor formule pentru aria triunghiului:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. Adică pentru orice triplu de numere pozitive a, bȘi c, astfel încât

a 2 + b 2 = c 2,

există un triunghi dreptunghic cu catete AȘi b si ipotenuza c.

teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. A fost dovedit de savantul matematician și filosof Pitagora.

Sensul teoremei Ideea este că poate fi folosit pentru a demonstra alte teoreme și pentru a rezolva probleme.

Material suplimentar:

Potrivit lui Van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

Formulări

Formularea de bază conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi sunt egale a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), este îndeplinită următoarea relație:

.

Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de aria unei figuri: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioare. Teorema este formulată în această formă în Elementele lui Euclid.

Conversați teorema lui Pitagora- o afirmație despre dreptunghiularea oricărui triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru fiecare triplu de numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).

Dovada

Există cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora înregistrate în literatura științifică, ceea ce se explică atât prin semnificația sa fundamentală pentru geometrie, cât și prin natura elementară a rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: ​​utilizarea algebrică a relațiilor dintre elementele unui triunghi (de exemplu, metoda populară a similitudinii), metoda zonelor, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Dovada clasică a lui Euclid are ca scop stabilirea egalității ariilor dintre dreptunghiuri formate prin disecția pătratului de deasupra ipotenuzei după înălțimea unghiului drept cu pătratele de deasupra catetelor.

Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept C (\displaystyle C), pătrate peste catete și și pătrate peste ipotenuză A B I K (\displaystyle ABIK) se construiește înălțimea CHși raza care o continuă s (\displaystyle s), împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului A H J K (\displaystyle AHJK) cu un pătrat peste picior A C (\displaystyle AC); egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, constituind patratul de deasupra ipotenuzei, si dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabileste in mod similar.

Egalitatea ariilor unui dreptunghi A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED) se stabilește prin congruența triunghiurilor △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK)Și △ A B D (\displaystyle \triunghi ABD), a căror aria fiecăruia este egală cu jumătate din aria pătratelor A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED)în consecință, în legătură cu următoarea proprietate: aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria unui dreptunghi dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă parte a dreptunghiul. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la A (\displaystyle A).

Astfel, dovada stabilește că aria unui pătrat deasupra ipotenuzei, compusă din dreptunghiuri A H J K (\displaystyle AHJK)Și B H J I (\displaystyle BHJI), este egală cu suma ariilor pătratelor peste catete.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Metoda zonei include și o dovadă găsită de Leonardo da Vinci. Să fie dat un triunghi dreptunghic △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC) cu unghi drept C (\displaystyle C)și pătrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)Și A B H J (\displaystyle ABHJ)(Vezi poza). În această dovadă în lateral HJ (\displaystyle HJ) dintre acestea din urmă se construiește un triunghi pe latura exterioară, congruent △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)în plus, reflectată atât în ​​raport cu ipotenuză, cât și în raport cu înălțimea acesteia (adică J I = B C (\displaystyle JI=BC)Și H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Drept C I (\displaystyle CI)împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiuri △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)Și △ J H I (\displaystyle \triunghi JHI) egal în construcție. Demonstrarea stabilește congruența patrulaterelor C A J I (\displaystyle CAJI)Și D A B G (\displaystyle DABG), a căror aria fiecăreia se dovedește a fi, pe de o parte, egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului inițial, pe de altă parte, jumătate din aria pătratului de pe ipotenuză plus aria triunghiului inițial. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Dovada prin metoda infinitezimală

Există mai multe dovezi care folosesc tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, lui Hardy i se atribuie o dovadă folosind incremente infinitezimale ale picioarelor a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c), și păstrând asemănarea cu dreptunghiul inițial, adică asigurând îndeplinirea următoarelor relații diferențiale:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Folosind metoda separării variabilelor, din acestea se derivă o ecuație diferențială c d c = a re a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), a cărui integrare dă relația c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicarea condițiilor inițiale a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definește constanta ca 0, ceea ce are ca rezultat enunțul teoremei.

Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în Elementele, trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile unor figuri geometrice similare arbitrare: suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va fi egală cu aria unei figuri similare construită pe ipotenuză.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)Și C (\displaystyle C), construit pe picioare cu lungimi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c)În consecință, este valabilă următoarea relație:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Deoarece conform teoremei lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), apoi gata.

În plus, dacă este posibil să se demonstreze fără a invoca teorema lui Pitagora că ariile a trei figuri geometrice similare de pe laturile unui triunghi dreptunghic satisfac relația A + B = C (\displaystyle A+B=C), apoi folosind reversul demonstrației generalizării lui Euclid, se poate obține o demonstrație a teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu cel inițial cu o zonă C (\displaystyle C), iar pe laturi - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu zone A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B), atunci se dovedește că triunghiurile de pe laturi se formează ca urmare a împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma celor două zone mai mici ale triunghiurilor este egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C (\displaystyle A+B=C)și, aplicând relația pentru figuri similare, se derivă teorema lui Pitagora.

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai general, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

unde este unghiul dintre laturi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b). Dacă unghiul este de 90°, atunci cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), iar formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghiul liber

Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor, se crede că a fost stabilită pentru prima dată de astronomul sabian Thabit ibn Qurra. În el, pentru un triunghi arbitrar cu laturi, un triunghi isoscel cu o bază pe latură se potrivește în el c (\displaystyle c), vârful care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii c (\displaystyle c) iar unghiurile de la bază egale cu unghiul θ (\displaystyle \theta ), partea opusă c (\displaystyle c). Ca urmare, se formează două triunghiuri, similare cu cel original: primul - cu laturi a (\displaystyle a), latura cea mai îndepărtată de aceasta a triunghiului isoscel înscris și r (\displaystyle r)- părți laterale c (\displaystyle c); al doilea - simetric față de acesta din lateral b (\displaystyle b) cu laterala s (\displaystyle s)- partea corespunzătoare a laturii c (\displaystyle c). Ca urmare, următoarea relație este satisfăcută:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

degenerând în teorema lui Pitagora la θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Relația este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Teorema lui Pappus asupra arii

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul paralelismului euclidian.

În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care delimitează octantul sferei unității, au o lungime π / 2 (\displaystyle \pi /2), care contrazice teorema lui Pitagora.

Mai mult, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea.

Geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R (\displaystyle R)(de exemplu, dacă unghiul dintr-un triunghi este drept) cu laturile a , b , c (\displaystyle a,b,c) relația dintre părți este:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\dreapta)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\dreapta)).

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Unde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- cosinus hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Unde γ (\displaystyle \gamma )- un unghi al cărui vârf este opus laturii c (\displaystyle c).

Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\aprox 1+x^(2)/2)) se poate arăta că dacă un triunghi hiperbolic scade (adică când a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c) tind spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice.

Aplicație

Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale

Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este determinarea distanței dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiulare: distanța s (\displaystyle s)între punctele cu coordonate (a, b) (\displaystyle (a,b))Și (c, d) (\displaystyle (c,d)) este egal cu:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Pentru numerele complexe, teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea modulului unui număr complex - pentru z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) este egal cu lungimea