N tinde spre infinit. Rezolvarea problemelor de testare, ajutarea elevilor

Teoria limitelor este una dintre ramurile analizei matematice. Problema rezolvării limitelor este destul de extinsă, deoarece există zeci de metode de rezolvare a limitelor de diferite tipuri. Există zeci de nuanțe și trucuri care vă permit să rezolvați cutare sau cutare limită. Cu toate acestea, vom încerca în continuare să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică.

Să începem cu însăși conceptul de limită. Dar mai întâi, un scurt context istoric. A trăit în secolul al XIX-lea un francez, Augustin Louis Cauchy, care a pus bazele analizei matematice și a dat definiții stricte, în special definiția unei limite. Trebuie spus că același Cauchy a fost, este și va fi în coșmarurile tuturor studenților la fizică și matematică, deoarece a demonstrat un număr imens de teoreme de analiză matematică, iar fiecare teoremă este mai dezgustătoare decât cealaltă. În acest sens, nu vom lua în considerare o definiție strictă a limitei, ci vom încerca să facem două lucruri:

1. Înțelege ce este o limită.
2. Învață să rezolvi principalele tipuri de limite.

Îmi cer scuze pentru unele explicații neștiințifice, este important ca materialul să fie de înțeles chiar și pentru un ceainic, care, de fapt, este scopul proiectului.

Deci care este limita?

Și doar un exemplu de ce să-i faci bunica...

Orice limită constă din trei părți:

1) Cunoscuta pictogramă limită.
2) Intrări sub pictograma limită, în acest caz . Intrarea scrie „X tinde spre unu”. Cel mai adesea - exact, deși în loc de „X” în practică există și alte variabile. În sarcinile practice, locul unuia poate fi absolut orice număr, precum și infinit ().
3) Funcții sub semnul limită, în acest caz .

Înregistrarea în sine se citește astfel: „limita unei funcții ca x tinde spre unitate”.

Să ne uităm la următoarea întrebare importantă - ce înseamnă expresia „x”? se straduieste catre unul"? Și ce înseamnă chiar „străduiți”?
Conceptul de limită este un concept, ca să spunem așa, dinamic. Să construim o secvență: mai întâi , apoi , , …, , ….
Adică expresia „x se straduieste la unu” ar trebui înțeles astfel: „x” preia constant valorile care se apropie de unitate infinit apropiată și practic coincid cu ea.

Cum se rezolvă exemplul de mai sus? Pe baza celor de mai sus, trebuie doar să înlocuiți unul în funcție de sub semnul limită:

Deci, prima regulă: Când se oferă vreo limită, mai întâi încercăm pur și simplu să conectăm numărul în funcție.

Am considerat cea mai simplă limită, dar acestea apar și în practică, și nu atât de rar!

Exemplu cu infinit:

Să ne dăm seama ce este? Acesta este cazul când crește fără limită, adică: mai întâi, apoi, apoi, și așa mai departe la infinit.

Ce se întâmplă cu funcția în acest moment?
, , , …

Deci: dacă , atunci funcția tinde spre minus infinit:

În linii mari, conform primei noastre reguli, în loc de „X” substituim infinitul în funcție și obținem răspunsul.

Un alt exemplu cu infinit:

Din nou începem să creștem la infinit și să ne uităm la comportamentul funcției:

Concluzie: când funcția crește fără limită:

Si inca o serie de exemple:

Vă rugăm să încercați să analizați mental următoarele pentru dvs. și să vă amintiți cele mai simple tipuri de limite:

, , , , , , , , ,
Dacă aveți îndoieli oriunde, puteți lua un calculator și puteți exersa puțin.
În cazul în care , încercați să construiți secvența , , . Daca atunci , , .

Notă: strict vorbind, această abordare de a construi secvențe de mai multe numere este incorectă, dar pentru înțelegerea celor mai simple exemple este destul de potrivită.

Acordați atenție și la următorul lucru. Chiar dacă o limită este dată cu un număr mare în vârf, sau chiar cu un milion: , atunci este tot la fel , deoarece mai devreme sau mai târziu „X” va lua valori atât de gigantice încât un milion în comparație cu ele va fi un adevărat microb.

Ce trebuie să rețineți și să înțelegeți din cele de mai sus?

1) Când se oferă o limită, mai întâi încercăm pur și simplu să substituim numărul în funcție.

2) Trebuie să înțelegeți și să rezolvați imediat cele mai simple limite, cum ar fi , , etc.

Acum vom lua în considerare grupul de limite când , iar funcția este o fracție al cărei numărător și numitor conțin polinoame

Exemplu:

Calculați limita

Conform regulii noastre, vom încerca să substituim infinitul în funcție. Ce obținem în vârf? Infinit. Și ce se întâmplă mai jos? De asemenea, infinitul. Astfel, avem ceea ce se numește incertitudinea speciei. S-ar putea crede că , și răspunsul este gata, dar în cazul general nu este deloc cazul și este necesar să se aplice o tehnică de soluție, pe care o vom lua în considerare acum.

Cum se rezolvă limitele de acest tip?

Mai întâi ne uităm la numărător și găsim cea mai mare putere:

Puterea principală în numărător este două.

Acum ne uităm la numitor și îl găsim și la cea mai mare putere:

Cel mai înalt grad al numitorului este doi.

Apoi alegem cea mai mare putere a numărătorului și numitorului: în acest exemplu, acestea sunt aceleași și egale cu doi.

Deci, metoda de rezolvare este următoarea: pentru a dezvălui incertitudinea, este necesară împărțirea numărătorului și numitorului la cea mai mare putere.

Iată-l, răspunsul, și deloc infinit.

Ce este esențial important în proiectarea unei decizii?

În primul rând, indicăm incertitudinea, dacă există.

În al doilea rând, este indicat să întrerupeți soluția pentru explicații intermediare. De obicei folosesc semnul, nu are nicio semnificație matematică, dar înseamnă că soluția este întreruptă pentru o explicație intermediară.

În al treilea rând, în limită este indicat să marchezi ce se întâmplă unde. Când lucrarea este întocmită manual, este mai convenabil să o faceți astfel:

Este mai bine să folosiți un creion simplu pentru note.

Desigur, nu trebuie să faceți nimic din toate acestea, dar apoi, poate, profesorul va sublinia deficiențele soluției sau va începe să pună întrebări suplimentare despre sarcină. Ai nevoie de el?

Exemplul 2

Găsiți limita
Din nou la numărător și numitor găsim în cel mai înalt grad:

Gradul maxim la numărător: 3
Gradul maxim la numitor: 4
Alege cel mai mare valoare, în acest caz patru.
Conform algoritmului nostru, pentru a dezvălui incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul la .
Sarcina completă ar putea arăta astfel:

Împărțiți numărătorul și numitorul cu

Exemplul 3

Găsiți limita
Gradul maxim de „X” la numărător: 2
Gradul maxim de „X” la numitor: 1 (se poate scrie ca)
Pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul la . Soluția finală ar putea arăta astfel:

Împărțiți numărătorul și numitorul cu

Notația nu înseamnă împărțire la zero (nu poți împărți la zero), ci împărțire cu un număr infinitezimal.

Astfel, descoperind incertitudinea speciei, putem fi capabili număr final, zero sau infinit.

Limite cu incertitudine de tip și metodă de rezolvare a acestora

Următorul grup de limite este oarecum asemănător cu limitele luate în considerare: numărătorul și numitorul conțin polinoame, dar „x” nu mai tinde spre infinit, ci spre număr finit.

Exemplul 4

Rezolvați limita
Mai întâi, să încercăm să înlocuim -1 în fracțiune:

În acest caz, se obține așa-numita incertitudine.

Regula generala: dacă numărătorul și numitorul conțin polinoame și există incertitudine cu privire la forma , atunci pentru a o dezvălui trebuie să factorizați numărătorul și numitorul.

Pentru a face acest lucru, cel mai adesea trebuie să rezolvați o ecuație pătratică și/sau să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dacă aceste lucruri au fost uitate, atunci vizitați pagina Formule și tabele matematiceși citiți materialul didactic Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică. Apropo, cel mai bine este să-l imprimați foarte des, iar informațiile sunt absorbite mai bine din hârtie.

Deci, să ne rezolvăm limita

Factorizați numărătorul și numitorul

Pentru a factoriza numărătorul, trebuie să rezolvați ecuația pătratică:

Mai întâi găsim discriminantul:

Și rădăcina pătrată a acesteia: .

Dacă discriminantul este mare, de exemplu 361, folosim un calculator funcția de extragere a rădăcinii pătrate este pe cel mai simplu calculator;

! Dacă rădăcina nu este extrasă în întregime (se obține un număr fracționar cu virgulă), este foarte probabil ca discriminantul să fi fost calculat incorect sau să fi fost o greșeală de tipar în sarcină.

În continuare găsim rădăcinile:

Prin urmare:

Toate. Numătorul este factorizat.

Numitor. Numitorul este deja cel mai simplu factor și nu există nicio modalitate de a-l simplifica.

Evident, poate fi scurtat la:

Acum înlocuim -1 în expresia care rămâne sub semnul limită:

Desigur, într-un test, test sau examen, soluția nu este niciodată descrisă atât de detaliat. În versiunea finală, designul ar trebui să arate cam așa:

Să factorizăm numărătorul.

Exemplul 5

Calculați limita

În primul rând, versiunea „termină” a soluției

Să factorizăm numărătorul și numitorul.

Numărător:
Numitor:

,

Ce este important în acest exemplu?
În primul rând, trebuie să înțelegeți bine cum este dezvăluit numărătorul, mai întâi am scos 2 dintre paranteze și apoi am folosit formula pentru diferența de pătrate. Aceasta este formula pe care trebuie să o cunoști și să o vezi.

Rezolvarea problemelor la găsirea limitelor Când rezolvați probleme la găsirea limitelor, ar trebui să vă amintiți unele limite pentru a nu le recalcula de fiecare dată. Combinând aceste limite cunoscute, vom găsi noi limite folosind proprietățile indicate în § 4. Pentru comoditate, vă prezentăm limitele cel mai frecvent întâlnite: Limitele 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), dacă f (x) este continuă x a Dacă se știe că funcția este continuă, atunci în loc să aflăm limita, calculăm valoarea funcției. Exemplul 1. Găsiți lim (x*-6l:+ 8). Deoarece funcția de termeni X->2 multi-termeni este continuă, atunci lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Exemplul 2. Găsiți lim -G. . În primul rând, găsim limita numitorului: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nu este egal cu X-Y1 zero, ceea ce înseamnă că putem aplica proprietatea 4 § 4, apoi x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Limita de numitorul X X este egal cu zero, prin urmare, proprietatea 4 din § 4 nu poate fi aplicată Deoarece numărătorul este un număr constant, iar numitorul este [x2x) -> -0 pentru x - - 1, atunci întreaga fracție crește la infinit. în valoare absolută, adică lim " 1 X - * - - 1 x* + x Exemplul 4. Găsiți lim \-ll*"!"" "Limita numitorului este zero: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, deci proprietatea X 4 § 4 nu se aplică. Dar limita numărătorului este și ea egală cu zero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Deci, limitele numărătorului și numitorului sunt simultan egale cu zero. Cu toate acestea, numărul 2 este rădăcina atât a numărătorului, cât și a numitorului, astfel încât fracția poate fi redusă cu diferența x-2 (conform teoremei lui Bezout). De fapt, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" prin urmare, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Exemplul 5. Aflați lim xn (n întreg, pozitiv). X cu Avem xn = X* X . . X, n ori Deoarece fiecare factor crește fără limită, produsul crește și fără limită, adică lim xn=oo. x oo Exemplul 6. Găsiți lim xn(n întreg, pozitiv). X -> - CO Avem xn = x x... x. Deoarece fiecare factor crește în valoare absolută rămânând negativ, atunci, în cazul unui grad par, produsul va crește nelimitat, rămânând pozitiv, adică lim *n = + oo (pentru n par). *-* -о În cazul unui grad impar, valoarea absolută a produsului crește, dar rămâne negativă, adică lim xn = - oo (pentru n impar). p -- 00 Exemplul 7. Găsiți lim . x x-*- co * Dacă m>pu atunci putem scrie: m = n + kt unde k>0. Prin urmare xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Am ajuns la exemplul 6. Dacă ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Aici numărătorul rămâne constant, iar numitorul crește în valoare absolută, deci lim -ь = 0. X - *oo X* Se recomandă să ne amintim rezultatul acestui exemplu în următoarea formă: funcția de putere crește cu cât mai rapid, cu atât exponentul este mai mare. $хв_Зхг + 7 Exemplul 8. Găsiți lim g L -г-= În acest exemplu x-*® «J* "Г bХ -ох-о și numărătorul și numitorul cresc fără limită. Să împărțim atât numărătorul, cât și numărul. numitorul cu puterea cea mai mare a lui x, adică pe xb, apoi 3 7_ Exemplul 9. Găsiți lira Efectuând transformări, obținem lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Deoarece lim -5 = 0, lim -, = 0. , atunci limita numitorului este egală cu 1. Prin urmare, întreaga fracție crește fără limită, adică t lim Să calculăm limita S a numitorului, amintindu-ne că funcția cos* este continuă: lira (2 + cos x) = 2. + cozy =2 Apoi x->- S lim (l-fsin*) Exemplul 15. Găsiți lim *<*-e>2 si lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; întrucât (Λ;-a)2 crește întotdeauna nenegativ și fără limită cu x, atunci pentru x - ±oo noua variabilă z-*oc. Prin urmare, obținem qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (vezi nota la §5). g -*■ co În mod similar lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, deoarece x ± oo g m - (x- a)z scade fără limită ca x ->±oo (vezi nota la §

Prima limită remarcabilă este următoarea egalitate:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Deoarece pentru $\alpha\to(0)$ avem $\sin\alpha\to(0)$, se spune că prima limită remarcabilă dezvăluie o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. În general, în formula (1), în locul variabilei $\alpha$, orice expresie poate fi plasată sub semnul sinus și la numitor, atâta timp cât sunt îndeplinite două condiții:

Expresiile de sub semnul sinus și din numitor tind simultan spre zero, adică. există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$.
Expresiile de sub semnul sinus și la numitor sunt aceleași.

Corolarele din prima limită remarcabilă sunt, de asemenea, adesea folosite:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuație)

Unsprezece exemple sunt rezolvate pe această pagină. Exemplul nr. 1 este dedicat demonstrarii formulelor (2)-(4). Exemplele nr. 2, nr. 3, nr. 4 și nr. 5 conțin soluții cu comentarii detaliate. Exemplele nr. 6-10 conțin soluții practic fără comentarii, deoarece explicațiile detaliate au fost date în exemplele anterioare. Soluția folosește câteva formule trigonometrice care pot fi găsite.

Permiteți-mi să observ că prezența funcțiilor trigonometrice cuplate cu incertitudinea $\frac (0) (0)$ nu înseamnă neapărat aplicarea primei limite remarcabile. Uneori sunt suficiente transformări trigonometrice simple - de exemplu, vezi.

Exemplul nr. 1

Demonstrați că $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Deoarece $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, atunci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Deoarece $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ și $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Acea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Să facem schimbarea $\alpha=\sin(y)$. Deoarece $\sin(0)=0$, atunci din condiția $\alpha\to(0)$ avem $y\to(0)$. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, deci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.

c) Să facem înlocuirea $\alpha=\tg(y)$. Deoarece $\tg(0)=0$, atunci condițiile $\alpha\to(0)$ și $y\to(0)$ sunt echivalente. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prin urmare, pe baza rezultatelor punctului a), vom avea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\la(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\la(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.

Egalitățile a), b), c) sunt adesea folosite împreună cu prima limită remarcabilă.

Exemplul nr. 2

Calculați limita $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Deoarece $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ și $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. si atat numaratorul cat si numitorul fractiei tind simultan spre zero, atunci aici avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$, i.e. Terminat. În plus, este clar că expresiile de sub semnul sinus și din numitor coincid (adică și este satisfăcut):

Deci, ambele condiții enumerate la începutul paginii sunt îndeplinite. De aici rezultă că formula este aplicabilă, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Răspuns: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ și $\lim_(x\to(0))x=0$, atunci avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac (0 )(0)$, adică Terminat. Cu toate acestea, expresiile de sub semnul sinus și din numitor nu coincid. Aici trebuie să ajustați expresia din numitor la forma dorită. Avem nevoie ca expresia $9x$ să fie la numitor - atunci va deveni adevărată. În esență, ne lipsește un factor de 9 USD în numitor, care nu este atât de greu de introdus - doar înmulțiți expresia din numitor cu 9 USD. Desigur, pentru a compensa înmulțirea cu $9$, va trebui să împărțiți imediat la $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Acum, expresiile de la numitor și de sub semnul sinus coincid. Ambele condiții pentru limita $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sunt îndeplinite. Prin urmare, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Și asta înseamnă că:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemplul nr. 4

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ și $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aici avem de-a face cu incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Cu toate acestea, forma primei limite remarcabile este încălcată. Un numărător care conține $\sin(5x)$ necesită un numitor de $5x$. În această situație, cel mai simplu mod este să împărțiți numărătorul cu $5x$ și să înmulțiți imediat cu $5x$. În plus, vom efectua o operație similară cu numitorul, înmulțind și împărțind $\tg(8x)$ la $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reducând cu $x$ și luând constanta $\frac(5)(8)$ în afara semnului limită, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Rețineți că $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ îndeplinește pe deplin cerințele pentru prima limită remarcabilă. Pentru a găsi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplică următoarea formulă:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemplul nr. 5

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rețineți că $\cos(0)=1$) și $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, pentru a aplica prima limită remarcabilă, ar trebui să scăpați de cosinusul din numărător, trecând la sinusuri (pentru a aplica apoi formula) sau tangente (pentru a aplica apoi formula). Acest lucru se poate face cu următoarea transformare:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Să revenim la limită:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ este deja apropiată de forma necesară pentru prima limită remarcabilă. Să lucrăm puțin cu fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustând-o la prima limită remarcabilă (rețineți că expresiile din numărător și sub sinus trebuie să se potrivească):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Să revenim la limita în cauză:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemplul nr. 6

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ și $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Să o dezvăluim cu ajutorul primei limite remarcabile. Pentru a face acest lucru, să trecem de la cosinus la sinusuri. Deoarece $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, atunci:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Trecând la sinusuri în limita dată, vom avea:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemplul nr. 7

Calculați limita $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sub rezerva $\alpha\neq \ beta$.

Explicații detaliate au fost date mai devreme, dar aici pur și simplu observăm că din nou există incertitudine $\frac(0)(0)$. Să trecem de la cosinus la sinus folosind formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Folosind această formulă, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dreapta| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Exemplul nr. 8

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin(0)=\tg(0)=0$) și $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, atunci aici avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să-l defalcăm după cum urmează:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemplul nr. 9

Găsiți limita $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Deoarece $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ și $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, atunci există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că în formule variabila $\alpha \to 0$). Cel mai simplu mod este introducerea variabilei $t=x-3$. Cu toate acestea, pentru comoditatea transformărilor ulterioare (acest beneficiu poate fi văzut în cursul soluției de mai jos), merită să faceți următoarea înlocuire: $t=\frac(x-3)(2)$. Remarc că ambele înlocuiri sunt aplicabile în acest caz, doar că a doua înlocuire vă va permite să lucrați mai puțin cu fracții. Din moment ce $x\la(3)$, atunci $t\la(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemplul nr. 10

Găsiți limita $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Încă o dată avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tindă spre zero (rețineți că în formule variabila este $\alpha\to(0)$). Cel mai simplu mod este să introduceți variabila $t=\frac(\pi)(2)-x$. Deoarece $x\la\frac(\pi)(2)$, atunci $t\la(0)$:

$$ \lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\stanga|\frac(0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemplul nr. 11

Găsiți limitele $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

În acest caz nu trebuie să folosim prima limită minunată. Vă rugăm să rețineți că atât prima cât și a doua limită conțin numai funcții și numere trigonometrice. Adesea în exemple de acest fel este posibilă simplificarea expresiei situate sub semnul limită. Mai mult, după simplificarea și reducerea menționată mai sus a unor factori, incertitudinea dispare. Am dat acest exemplu doar cu un singur scop: să arăt că prezența funcțiilor trigonometrice sub semnul limită nu înseamnă neapărat utilizarea primei limite remarcabile.

Deoarece $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) și $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (permiteți-mi să vă reamintesc că $\cos\frac(\pi)(2)=0$), atunci avem care se ocupă de incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Totuși, asta nu înseamnă că va trebui să folosim prima limită minunată. Pentru a dezvălui incertitudinea, este suficient să luăm în considerare faptul că $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Există o soluție similară în cartea de soluții a lui Demidovich (nr. 475). În ceea ce privește a doua limită, ca și în exemplele anterioare din această secțiune, avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. De ce apare? Apare deoarece $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ și $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Folosim aceste valori pentru a transforma expresiile în numărător și numitor. Scopul acțiunilor noastre este de a nota suma în numărător și numitor ca produs. Apropo, adesea în cadrul unui tip similar este convenabil să se schimbe o variabilă, făcută în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (vezi, de exemplu, exemplele nr. 9 sau nr. 10 de pe această pagină). Totuși, în acest exemplu nu are rost să înlocuiești, deși, dacă se dorește, înlocuirea variabilei $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nu este dificil de implementat.

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

După cum puteți vedea, nu a trebuit să aplicăm prima limită minunată. Desigur, puteți face acest lucru dacă doriți (vezi nota de mai jos), dar nu este necesar.

Care este soluția folosind prima limită remarcabilă? arată ascunde

Folosind prima limită remarcabilă obținem:

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dreapta))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Continuăm să analizăm răspunsuri gata făcute la teoria limitelor și astăzi ne vom concentra doar pe cazul în care o variabilă dintr-o funcție sau un număr dintr-o succesiune tinde spre infinit. Instrucțiunile pentru calcularea limitei pentru o variabilă care tinde spre infinit au fost date mai devreme aici ne vom opri doar asupra cazurilor individuale care nu sunt evidente și simple pentru toată lumea;

Exemplul 35. Avem o succesiune sub forma unei fracții, unde numărătorul și numitorul conțin funcții rădăcină.
Trebuie să găsim limita atunci când numărul tinde spre infinit.
Aici nu este nevoie să dezvăluiți iraționalitatea în numărător, ci doar analizați cu atenție rădăcinile și găsiți unde este conținută o putere mai mare a numărului.
În primul, rădăcinile numărătorului sunt multiplicatorul n^4, adică n^2 poate fi scos din paranteze.
Să facem același lucru cu numitorul.
În continuare, evaluăm semnificația expresiilor radicale atunci când trecem la limită.

Am primit împărțiri cu zero, ceea ce este incorect în cursul școlar, dar în trecerea la limită este acceptabil.
Doar cu un amendament „pentru a estima încotro se îndreaptă funcția”.
Prin urmare, nu toți profesorii pot interpreta notația de mai sus ca fiind corectă, deși înțeleg că rezultatul rezultat nu se va schimba.
Să ne uităm la răspunsul compilat în funcție de cerințele profesorilor conform teoriei.
Pentru a simplifica, vom evalua doar principalele elemente suplimentare de sub rădăcină

Mai mult, la numărător puterea este egală cu 2, la numitorul 2/3, prin urmare numărătorul crește mai repede, ceea ce înseamnă că limita tinde spre infinit.
Semnul său depinde de factorii lui n^2, n^(2/3) , deci este pozitiv.

Exemplul 36. Luați în considerare un exemplu de limită a împărțirii funcțiilor exponențiale. Există puține exemple practice de acest fel, așa că nu toți studenții văd cu ușurință cum să dezvăluie incertitudinile care apar.
Factorul maxim pentru numărător și numitor este 8^n și simplificăm prin el

În continuare, evaluăm contribuția fiecărui termen
Termenii 3/8 tind spre zero pe măsură ce variabila merge la infinit, deoarece 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Exemplul 37. Limita unei secvențe cu factoriali este dezvăluită notând factorialul la cel mai mare factor comun pentru numărător și numitor.
În continuare, o reducem și evaluăm limita pe baza valorii indicatorilor numărului din numărător și numitor.
În exemplul nostru, numitorul crește mai repede, deci limita este zero.

Următoarele sunt folosite aici

proprietate factorială.

Exemplul 38. Fără a aplica regulile lui L'Hopital, comparăm indicatorii maximi ai variabilei în numărătorul și numitorul fracției.
Deoarece numitorul conține cel mai mare exponent al variabilei 4>2, acesta crește mai repede.
De aici concluzionăm că limita funcției tinde spre zero.

Exemplul 39. Dezvăluim particularitatea formei infinit împărțit la infinit eliminând x^4 de la numărătorul și numitorul fracției.
Ca urmare a trecerii la limită, obținem infinitul.

Exemplul 40. Avem o împărțire de polinoame, trebuie să determinăm limita deoarece variabila tinde spre infinit.
Cel mai înalt grad al variabilei în numărător și numitor este egal cu 3, ceea ce înseamnă că granița există și este egală cu cea actuală.
Să scoatem x^3 și să efectuăm trecerea la limită

Exemplul 41. Avem o singularitate de tip unu la puterea infinitului.
Aceasta înseamnă că expresia dintre paranteze și indicatorul în sine trebuie aduse sub a doua limită importantă.
Să notăm numărătorul pentru a evidenția expresia din el care este identică cu numitorul.
În continuare, trecem la o expresie care conține unu plus un termen.
Gradul trebuie distins prin factorul 1/(termen).
Astfel obținem exponentul la puterea limitei funcției fracționale.

Pentru a evalua singularitatea, am folosit a doua limită:

Exemplul 42. Avem o singularitate de tip unu la puterea infinitului.
Pentru a o dezvălui, ar trebui să reduceți funcția la a doua limită remarcabilă.
Cum se face acest lucru este prezentat în detaliu în următoarea formulă

Puteți găsi o mulțime de probleme similare. Esența lor este de a obține gradul necesar în exponent și este egal cu valoarea inversă a termenului din paranteze la unu.
Folosind această metodă obținem exponentul. Calculul suplimentar se reduce la calcularea limitei gradului de exponent.
Aici funcția exponențială tinde spre infinit, deoarece valoarea este mai mare decât unu e=2,72>1.

Exemplul 43 În numitorul fracției avem o incertitudine de tipul infinit minus infinit, care este de fapt egală cu împărțirea la zero.
Pentru a scăpa de rădăcină, înmulțim cu expresia conjugată și apoi folosim formula pentru diferența de pătrate pentru a rescrie numitorul.
Obținem incertitudinea infinitului împărțită la infinit, așa că scoatem variabila în cea mai mare măsură și o reducem cu ea.
În continuare, evaluăm contribuția fiecărui termen și găsim limita funcției la infinit

Limita functiei- număr A va fi limita unei marimi variabile daca, in procesul schimbarii ei, aceasta marime variabila se apropie la nesfarsit A.

Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y = f(x) la punct x 0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egală x 0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor funcției corespunzătoare converge către număr A.

Graficul unei funcții a cărei limită, având în vedere un argument care tinde spre infinit, este egală cu L:

Sens A este limita (valoarea limită) a funcției f(x) la punct x 0în cazul oricărei succesiuni de puncte , care converge spre x 0, dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică în vecinătatea perforată x 0), succesiune de valori ale funcției converge spre A.

Limita unei funcții după Cauchy.

Sens A va fi limita functiei f(x) la punct x 0 dacă pentru orice număr nenegativ luat în avans ε se va găsi numărul nenegativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea va fi satisfăcută | f(x)A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita funcției f (X) la X lupta pentru A egală A, este scris astfel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.

Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să priviți exemple de soluții.

Este necesar să găsiți limitele funcției f (x) = 1/X la:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți X numărul la care tinde, adică 2, obținem:

Să găsim a doua limită a funcției. Aici înlocuiți în schimb 0 pur X este imposibil, pentru că Nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (X) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește fără limită, adică. străduiește-te spre infinit. Care înseamnă:

În ceea ce privește a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X. Inlocuim 1000 unul cate unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f (x) = 1/X va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. De aceea:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu:

Răspuns

Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 X, rezultând incertitudine. Pentru a o rezolva, să factorizăm numărătorul și să facem acest lucru folosind metoda de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Deci numărătorul va fi:

Răspuns