CLOPOTUL

Sunt cei care citesc aceasta stire inaintea ta.
Abonați-vă pentru a primi articole noi.
E-mail
Nume
Nume de familie
Cum vrei să citești Clopoțelul?
Fără spam

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect dintr-un curs de algebră liniară. O cantitate mare problemele din toate ramurile matematicii se reduc la sisteme de rezolvare ecuatii lineare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

  • alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
  • studiază teoria metodei alese,
  • rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generala, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să prezentăm conceptul unui sistem fundamental de soluții și să arătăm cum să scriem decizie comună SLAE folosind vectori ai sistemului de soluții fundamentale. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute - coeficienți (unii reali sau numere complexe), - termeni liberi (de asemenea numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine, de asemenea, o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din adunări algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuaţiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuaţiile, începând cu a treia, şi tot aşa, până când rămâne doar variabila necunoscută x n în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adunând la laturile sale stânga și dreapta laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, diferit de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore; există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

    Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

    Exemplu.

    .

    Soluţie.

    Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

    iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

    Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:

    A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:

    Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:

    Răspuns:

    x 1 = 1, x 2 = 2.

    Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci în partea stângă a ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor. ecuații ale sistemului cu semnul opus.

    Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

    Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

    Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

    Să ne uităm la asta cu un exemplu.

    Exemplu.

    Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

    Soluţie.

    Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:

    Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:

    Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

    Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

    Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:

    Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:

    Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma

    Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:

    Prin urmare, .

    În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

    Răspuns:

    Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda Gaussiană este de preferat.

Vezi descrierea detaliată a acesteia și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare generale.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula pe care o vom obțineți una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,...,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,…,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,...,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Hai sa luam . Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:

Prin urmare, .

Acum să construim X (2) . Pentru a face acest lucru, dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 0, x 4 = 1, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații liniare
.

Să folosim din nou metoda lui Cramer:

Primim.

Deci avem doi vectori ai sistemului fundamental de soluții și acum putem scrie soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare:

, unde C 1 și C 2 sunt numere arbitrare., sunt egale cu zero. Vom lua, de asemenea, minorul ca fiind unul de bază, vom elimina a treia ecuație din sistem și vom muta termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului:

Pentru a găsi, să dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 0 și x 4 = 0, apoi sistemul de ecuații va lua forma , de unde găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda lui Cramer:

Avem , prin urmare,

unde C 1 și C 2 sunt numere arbitrare.

Trebuie remarcat faptul că soluțiile unui sistem omogen nedeterminat de ecuații algebrice liniare generează spațiu liniar

Soluţie.

Ecuația canonică a unui elipsoid într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare are forma . Sarcina noastră este să determinăm parametrii a, b și c. Deoarece elipsoidul trece prin punctele A, B și C, atunci când se substituie coordonatele lor în ecuația canonică a elipsoidului, ar trebui să se transforme într-o identitate. Deci obținem un sistem de trei ecuații:

Să notăm , atunci sistemul va deveni un sistem de ecuații algebrice liniare .

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului:

Deoarece este diferit de zero, putem găsi soluția folosind metoda lui Cramer:
). Evident, x = 0 și x = 1 sunt rădăcinile acestui polinom. Coeficient din diviziune pe este . Astfel, avem o expansiune și expresia originală ia forma .

Să folosim metoda coeficienților nedeterminați.

Echivalând coeficienții corespunzători ai numărătorilor, ajungem la un sistem de ecuații algebrice liniare . Soluția sa ne va oferi coeficienții nedeterminați A, B, C și D doriti.

Să rezolvăm sistemul folosind metoda Gaussiană:

Folosind inversul metodei gaussiene, găsim D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Primim

Răspuns:

.

Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Formular de înregistrare matrice.

Definirea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Soluție de sistem. Clasificarea sistemelor.

Sub sistem de ecuații algebrice liniare(SLAE) implică un sistem

Parametrii aij sunt numiți coeficiențiși bi - membri liberi SLAU. Uneori, pentru a sublinia numărul de ecuații și necunoscute, se spune „m×n sistem de ecuații liniare”, indicând astfel că SLAE conține m ecuații și n necunoscute.

Dacă toți termenii liberi bi=0, atunci SLAE este apelat omogen. Dacă printre membrii liberi există cel puțin un membru diferit de zero, se apelează SLAE eterogen.

Prin rezolvarea SLAU(1) numiți orice colecție ordonată de numere (α1,α2,...,αn) dacă elementele acestei colecții, substituite într-o ordine dată pentru necunoscutele x1,x2,...,xn, transformă fiecare ecuație SLAE în o identitate.

Orice SLAE omogen are cel puțin o soluție: zero(în altă terminologie – banal), adică x1=x2=…=xn=0.

Dacă SLAE (1) are cel puțin o soluție, se numește comun, daca nu exista solutii - nearticulată. Dacă un SLAE comun are exact o soluție, se numește anumit, dacă există un set infinit de soluții – incert.

Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare.

Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; Mai mult decât atât, SLAE în sine poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici:

Matricea A se numește matricea sistemului. Elementele acestei matrice reprezintă coeficienții unui SLAE dat.

Se numește matricea A˜ sistem de matrice extinsă. Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține termeni liberi b1,b2,...,bm. De obicei, această coloană este separată de o linie verticală pentru claritate.

Se numește matricea coloanei B matricea membrilor liberi, iar matricea coloanei X este matricea necunoscutelor.

Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) se poate scrie sub forma unei ecuații matriceale: A⋅X=B.

Notă

Matricele asociate sistemului pot fi scrise în diferite moduri: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE luate în considerare. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași

Teorema Kronecker-Capelli. Studiul sistemelor de ecuații liniare pentru consistență.

Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, adică. rangA=rangA˜.

Se spune că un sistem este consistent dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune astfel: dacă rangA=rangA˜, atunci există o soluție; dacă rangA≠rangA˜, atunci acest SLAE nu are soluții (inconsecvente). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. În formularea corolarului, se folosește litera n, care este egală cu numărul de variabile ale SLAE dat.

Corolar al teoremei Kronecker-Capelli

    Dacă rangA≠rangA˜, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).

    Dacă rangA=rangA˜

    Dacă rangA=rangA˜=n, atunci SLAE este definit (are exact o soluție).

Vă rugăm să rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți o soluție la SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.

Metode de rezolvare a SLAE-urilor

    Metoda Cramer

Metoda lui Cramer este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAE) în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei lui Cramer poate fi exprimată în trei puncte:

    Compuneți determinantul matricei sistemului (se mai numește și determinantul sistemului) și asigurați-vă că acesta nu este egal cu zero, i.e. Δ≠0.

    Pentru fiecare variabilă xi este necesar să se construiască un determinant Δ X i , obținut din determinantul Δ prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi ai SLAE dat.

    Găsiți valorile necunoscutelor folosind formula xi= Δ X i /Δ

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind o matrice inversă.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) folosind o matrice inversă (uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea preliminară cu conceptul de forma matriceală de notare a SLAE-urilor. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:

    Scrieți trei matrice: matricea sistemului A, matricea necunoscutelor X, matricea termenilor liberi B.

    Aflați matricea inversă A -1 .

    Folosind egalitatea X=A -1 ⋅B, obțineți o soluție la SLAE dat.

metoda Gauss. Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Gauss.

Metoda Gauss este una dintre cele mai vizuale și simple moduri de rezolvare sisteme de ecuații algebrice liniare(SLAU): atât omogen, cât și eterogen. Pe scurt, esența acestei metode este eliminarea secvențială a necunoscutelor.

Transformări permise în metoda Gauss:

    Schimbarea locurilor a două linii;

    Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.

    Adăugând elementelor unui rând elementele corespunzătoare ale altui rând, înmulțite cu orice factor.

    Se taie un rând ale cărui elemente sunt toate zero.

    Închiderea liniilor duplicate.

În ceea ce privește ultimele două puncte: liniile repetate pot fi tăiate în orice etapă a soluției folosind metoda Gauss - în mod natural, lăsând una dintre ele. De exemplu, dacă liniile nr. 2, nr. 5, nr. 6 se repetă, atunci puteți lăsa una dintre ele, de exemplu, linia nr. 5. În acest caz, rândurile nr. 2 și nr. 6 vor fi șterse.

Rândurile zero sunt eliminate din matricea de sistem extinsă pe măsură ce apar.

Un sistem de ecuații liniare este o unire de n ecuații liniare, fiecare conținând k variabile. Este scris astfel:

Mulți, când întâlnesc algebră superioară pentru prima dată, cred în mod eronat că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de variabile. În algebra școlară acest lucru se întâmplă de obicei, dar pentru algebra superioară acest lucru nu este în general adevărat.

Soluția unui sistem de ecuații este o succesiune de numere (k 1, k 2, ..., k n), care este soluția fiecărei ecuații a sistemului, adică. când înlocuiți în această ecuație în locul variabilelor x 1, x 2, ..., x n dă egalitatea numerică corectă.

În consecință, rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale sau demonstrarea că această mulțime este goală. Deoarece numărul de ecuații și numărul de necunoscute pot să nu coincidă, sunt posibile trei cazuri:

  1. Sistemul este inconsecvent, adică setul tuturor soluțiilor este gol. Un caz destul de rar care este ușor de detectat indiferent de metoda folosită pentru a rezolva sistemul.
  2. Sistemul este consistent și determinat, adică are exact o solutie. Varianta clasică, bine cunoscută încă de la școală.
  3. Sistemul este consistent și nedefinit, adică are o infinitate de solutii. Aceasta este cea mai grea varianta. Nu este suficient să indicați că „sistemul are un set infinit de soluții” - este necesar să descriem modul în care este structurat acest set.

O variabilă x i se numește permisă dacă este inclusă într-o singură ecuație a sistemului, și cu un coeficient de 1. Cu alte cuvinte, în alte ecuații coeficientul variabilei x i trebuie să fie egal cu zero.

Dacă selectăm o variabilă permisă în fiecare ecuație, obținem un set de variabile permise pentru întregul sistem de ecuații. Sistemul în sine, scris în această formă, va fi numit și rezolvat. În general, unul și același sistem original poate fi redus la altele permise diferite, dar deocamdată nu ne preocupă acest lucru. Iată exemple de sisteme permise:

Ambele sisteme sunt rezolvate în raport cu variabilele x 1 , x 3 şi x 4 . Totuși, cu același succes se poate argumenta că al doilea sistem este rezolvat în raport cu x 1, x 3 și x 5. Este suficient să rescrieți ultima ecuație sub forma x 5 = x 4.

Acum să luăm în considerare un caz mai general. Să avem k variabile în total, dintre care r sunt permise. Atunci sunt posibile două cazuri:

  1. Numărul de variabile permise r este egal cu numărul total de variabile k: r = k. Obținem un sistem de k ecuații în care r = k variabile permise. Un astfel de sistem este comun și definit, pentru că x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
  2. Numărul de variabile permise r este mai mic decât numărul total de variabile k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Deci, în sistemele de mai sus, variabilele x 2, x 5, x 6 (pentru primul sistem) și x 2, x 5 (pentru al doilea) sunt libere. Cazul în care există variabile libere este mai bine formulat ca o teoremă:

Vă rugăm să rețineți: acesta este un punct foarte important! În funcție de modul în care scrieți sistemul rezultat, aceeași variabilă poate fi fie permisă, fie liberă. Majoritatea profesorilor superiori de matematică recomandă să scrieți variabilele în ordine lexicografică, de exemplu. indice ascendent. Cu toate acestea, nu aveți nicio obligație să urmați acest sfat.

Teorema. Dacă într-un sistem de n ecuații variabilele x 1, x 2, ..., x r sunt permise și x r + 1, x r + 2, ..., x k sunt libere, atunci:

  1. Dacă setăm valorile variabilelor libere (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), apoi găsim valorile x 1, x 2, ..., x r, obținem una dintre decizii.
  2. Dacă în două soluții coincid valorile variabilelor libere, atunci coincid și valorile variabilelor permise, adică. solutiile sunt egale.

Care este sensul acestei teoreme? Pentru a obține toate soluțiile unui sistem de ecuații rezolvat, este suficient să izolați variabilele libere. Apoi, atribuind diferite valori variabilelor libere, vom obține soluții gata făcute. Asta e tot - în acest fel poți obține toate soluțiile sistemului. Nu există alte soluții.

Concluzie: sistemul de ecuații rezolvat este întotdeauna consistent. Dacă numărul de ecuații dintr-un sistem rezolvat este egal cu numărul de variabile, sistemul va fi definit; dacă este mai mic, va fi nedefinit.

Și totul ar fi bine, dar se pune întrebarea: cum să obțineți unul rezolvat din sistemul original de ecuații? Pentru asta există

Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Formular de înregistrare matrice.

Definirea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Soluție de sistem. Clasificarea sistemelor.

Sub sistem de ecuații algebrice liniare(SLAE) implică un sistem

Parametrii aij sunt numiți coeficiențiși bi - membri liberi SLAU. Uneori, pentru a sublinia numărul de ecuații și necunoscute, se spune „m×n sistem de ecuații liniare”, indicând astfel că SLAE conține m ecuații și n necunoscute.

Dacă toți termenii liberi bi=0, atunci SLAE este apelat omogen. Dacă printre membrii liberi există cel puțin un membru diferit de zero, se apelează SLAE eterogen.

Prin rezolvarea SLAU(1) numiți orice colecție ordonată de numere (α1,α2,...,αn) dacă elementele acestei colecții, substituite într-o ordine dată pentru necunoscutele x1,x2,...,xn, transformă fiecare ecuație SLAE în o identitate.

Orice SLAE omogen are cel puțin o soluție: zero(în altă terminologie – banal), adică x1=x2=…=xn=0.

Dacă SLAE (1) are cel puțin o soluție, se numește comun, daca nu exista solutii - nearticulată. Dacă un SLAE comun are exact o soluție, se numește anumit, dacă există un set infinit de soluții – incert.

Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare.

Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; Mai mult decât atât, SLAE în sine poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici:

Matricea A se numește matricea sistemului. Elementele acestei matrice reprezintă coeficienții unui SLAE dat.

Se numește matricea A˜ sistem de matrice extinsă. Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține termeni liberi b1,b2,...,bm. De obicei, această coloană este separată de o linie verticală pentru claritate.

Se numește matricea coloanei B matricea membrilor liberi, iar matricea coloanei X este matricea necunoscutelor.

Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) se poate scrie sub forma unei ecuații matriceale: A⋅X=B.

Notă

Matricele asociate sistemului pot fi scrise în diferite moduri: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE luate în considerare. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași

Teorema Kronecker-Capelli. Studiul sistemelor de ecuații liniare pentru consistență.

Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, adică. rangA=rangA˜.

Se spune că un sistem este consistent dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune astfel: dacă rangA=rangA˜, atunci există o soluție; dacă rangA≠rangA˜, atunci acest SLAE nu are soluții (inconsecvente). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. În formularea corolarului, se folosește litera n, care este egală cu numărul de variabile ale SLAE dat.

Corolar al teoremei Kronecker-Capelli

    Dacă rangA≠rangA˜, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).

    Dacă rangA=rangA˜

    Dacă rangA=rangA˜=n, atunci SLAE este definit (are exact o soluție).

Vă rugăm să rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți o soluție la SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.

Metode de rezolvare a SLAE-urilor

    Metoda Cramer

Metoda lui Cramer este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAE) în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei lui Cramer poate fi exprimată în trei puncte:

    Compuneți determinantul matricei sistemului (se mai numește și determinantul sistemului) și asigurați-vă că acesta nu este egal cu zero, i.e. Δ≠0.

    Pentru fiecare variabilă xi este necesar să se construiască un determinant Δ X i , obținut din determinantul Δ prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi ai SLAE dat.

    Găsiți valorile necunoscutelor folosind formula xi= Δ X i /Δ

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind o matrice inversă.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) folosind o matrice inversă (uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea preliminară cu conceptul de forma matriceală de notare a SLAE-urilor. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:

    Scrieți trei matrice: matricea sistemului A, matricea necunoscutelor X, matricea termenilor liberi B.

    Aflați matricea inversă A -1 .

    Folosind egalitatea X=A -1 ⋅B, obțineți o soluție la SLAE dat.

metoda Gauss. Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Gauss.

Metoda Gauss este una dintre cele mai vizuale și simple moduri de rezolvare sisteme de ecuații algebrice liniare(SLAU): atât omogen, cât și eterogen. Pe scurt, esența acestei metode este eliminarea secvențială a necunoscutelor.

Transformări permise în metoda Gauss:

    Schimbarea locurilor a două linii;

    Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.

    Adăugând elementelor unui rând elementele corespunzătoare ale altui rând, înmulțite cu orice factor.

    Se taie un rând ale cărui elemente sunt toate zero.

    Închiderea liniilor duplicate.

În ceea ce privește ultimele două puncte: liniile repetate pot fi tăiate în orice etapă a soluției folosind metoda Gauss - în mod natural, lăsând una dintre ele. De exemplu, dacă liniile nr. 2, nr. 5, nr. 6 se repetă, atunci puteți lăsa una dintre ele, de exemplu, linia nr. 5. În acest caz, rândurile nr. 2 și nr. 6 vor fi șterse.

Rândurile zero sunt eliminate din matricea de sistem extinsă pe măsură ce apar.

Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în sectorul economic pentru modelarea matematică a diferitelor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile; pot fi oricâte dintre ele se dorește.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o metodă analitică generală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme; toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, rezolvarea prin metoda Gauss.

Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din programa de învățământ general de clasa a VII-a este destul de simplă și explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor obținute.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin înlocuire este, de asemenea, inadecvată.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.

Aplicarea acestei metode necesită practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.

Algoritm de rezolvare:

  1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
  2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
  3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații; numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu; este întotdeauna necesar să construiți un grafic.

Matricea și varietățile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară; o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere matriceale; o ecuație este un rând al matricei.

Se spune că un rând de matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două; trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.

Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile ale sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile prin substituție și adunare algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gaussiană este greu de înțeles de elevii de gimnaziu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși la programele de învățare avansată la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:

Coeficienții ecuațiilor și termenii liberi se scriu sub formă de matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.

Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.

Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.

Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.

CLOPOTUL

Sunt cei care citesc aceasta stire inaintea ta.
Abonați-vă pentru a primi articole noi.
E-mail
Nume
Nume de familie
Cum vrei să citești Clopoțelul?
Fără spam