Pentru a determina poziția unui punct pe un plan, puteți utiliza coordonatele polare [g, (p), Unde G este distanța punctului de la origine și (R- unghiul pe care îl face raza - vectorul acestui punct cu direcția pozitivă a axei Oh. Direcția pozitivă a schimbării unghiului (R se ia în considerare sensul invers acelor de ceasornic. Folosind relația dintre coordonatele carteziene și cele polare: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (pag,

obţinem forma trigonometrică a numărului complex

z - r(sin (p + i sin

Unde G

Xi + y2, (p este argumentul unui număr complex, care se găsește din

l X . y y

formule cos(p --, sin^9 ​​= - sau datorită faptului că tg(p --, (p-arctg

Rețineți că atunci când alegeți valorile mier din ultima ecuație, este necesar să se țină cont de semne x și y.

Exemplul 47. Scrieți un număr complex în formă trigonometrică 2 \u003d -1 + l / Z / .

Soluţie. Găsiți modulul și argumentul numărului complex:

= yj 1 + 3 = 2 . Colţ mier afla din relatii cos (pag = -, sin(p = - . Apoi

primim cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Evident, punctul z = -1 + V3-/ este
• 2 la 3

in al doilea trimestru: (R= 120°

Înlocuind

2 k.. cos-h; păcat

în formula (1) a găsit 27G L

Cometariu. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu al 2p. Apoi prin cn^r desemna

valoarea argumentului inclusă în (p 0 %2 Apoi

A) ^ r = + 2kk.

Folosind binecunoscuta formulă Euler e, obținem forma exponențială a numărului complex.

Avem r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operații pe numere complexe

• 1. Suma a două numere complexe r, = X] + y x/ și r 2 - x 2 + y 2 / se determină după formula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Operația de scădere a numerelor complexe este definită ca operația inversă adunării. Număr complex g \u003d g x - g 2, dacă g 2 + g \u003d g x,

este diferența numerelor complexe 2 și g 2 . Atunci r = (x, - x 2) + (y, - la 2) /.

• 3. Produsul a două numere complexe g x= x, +y, -z și 2 2 = x 2+ U2‘g este determinat de formula
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + La1 La2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

În special, a-a\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Puteți obține formulele de înmulțire pentru numere complexe în forme exponențiale și trigonometrice. Avem:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Împărțirea numerelor complexe este definită ca operație inversă

înmulțire, adică număr G-- se numește câtul împărțirii lui r! pe g 2,

dacă r x -1 2 ? 2 . Apoi

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se face cel mai bine dacă numărul este scris în forme exponențiale sau trigonometrice.

Într-adevăr, dacă z = ge 1 atunci

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + it gcr).

Formula g" =r n (cosn(p+este n(p) se numeşte formula lui De Moivre.

6. Extragerea rădăcinii P- A-a putere a unui număr complex este definită ca operația inversă de exponențiere p, p- 1,2,3,... adică. număr complex = y[g numită rădăcină P- gradul al unui număr complex

d dacă G = g x. Din această definiţie rezultă că g - g ", A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, care rezultă din formula Moivre scrisă pentru numărul = r/*+ ippp(p).

După cum sa menționat mai sus, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2 și. De aceea = (p + 2 buc, iar argumentul numărului r, în funcție de la, denota (p lași hui

dem se calculează prin formulă (p la= - + . Este clar că există P com-

numere plex, P a cărei putere este egală cu numărul 2. Aceste numere au unul

și același modul, egal cu y[r, iar argumentele acestor numere se obţin prin la = 0, 1, P - 1. Astfel, în formă trigonometrică, rădăcina gradul I calculat prin formula:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, la = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

iar în formă exponenţială – conform formulei l[r - y[ge n

Exemplul 48. Efectuați operații pe numere complexe în formă algebrică:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Exemplul 49. Ridicați numărul r \u003d Uz - / la a cincea putere.

Soluţie. Obținem forma trigonometrică de scriere a numărului r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (asa si asa

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) „з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

De aici despre--, A r = 2

Moivre obținem: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -S.U.A-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Exemplul 50 Găsiți toate valorile

Soluție, r = 2, a mier afla din ecuatie coy(p = -, zt--.

Acest punct 1 - /d/z este în al patrulea trimestru, adică. f =--. Apoi

• 1 - 2
• ( ( UG L

Valorile rădăcinii se găsesc din expresie

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- și 81П-

La la - 0 avem 2 0 = l/2

Puteți găsi valorile rădăcinii numărului 2 prezentând numărul pe afișaj

-* LA/ 3 + 2 clasă

La la= 1 mai avem o valoare rădăcină:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

cu? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

forma corpului. pentru că r= 2, a mier= , atunci r = 2е 3 , și y[g = y/2e 2

Acțiuni asupra numerelor complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a numărului complex z =(A,b).se numeşte expresie algebrică a formei

z = A + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 = a 1 +b 1 iși z 2 = a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

acestea. adunarea (scăderea) se efectuează după regula adunării polinoamelor cu reducerea termenilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

acestea. înmulţirea se face după regula obişnuită de înmulţire a polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se efectuează după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

acestea. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu conjugatul divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iși z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iși z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5i = 7+22i.

3. Găsiți privat z din diviziune z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Rezolvați ecuația:, Xși y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

În virtutea egalității numerelor complexe, avem:

Unde x=–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Calculaţi dacă .

.

7. Calculați reciproca unui număr z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

plan complex se numeste plan cu coordonate carteziene ( X y), dacă fiecare punct cu coordonate ( a, b) i se atribuie un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa y este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector .

Prin urmare, poziția punctului DAR(și de aici și numărul complex z) poate fi setat de lungimea vectorului | | = rși unghi j format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Lungimea unui vector se numește modulul numerelor complexeși se notează cu | z|=r, și unghiul j numit argument de număr complexși notat j = argz.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z= 0.

Din fig. 2 arată că.

Argumentul unui număr complex este definit ambiguu și până la 2 pk, kÎ Z.

Din fig. 2 mai arată că dacă z=a+biși j=argz, apoi

cos j =, păcat j =, tg j = .

În cazul în care un zОRși z > 0 atunci argz = 0 +2pk;

dacă z ОRși z< 0 atunci argz = p + 2pk;

dacă z= 0,argz nedeterminat.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £argz£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iși z 2 = –2–2i.

2. Determinați pe planul complex ariile specificate de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û este ecuația unui cerc cu raza 5 și centrat la origine.

2) Cerc cu raza 6 centrată la origine.

3) Cerc cu raza 3 centrată într-un punct z0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu razele 6 și 7 centrate într-un punct z 0 = i.

3. Găsiți modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Notă: Când definiți argumentul principal, utilizați planul complex.

În acest fel: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

NUMERE COMPLEXE XI

§ 256. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie numărul complex a + bi corespunde vectorului OA> cu coordonate ( a, b ) (vezi Fig. 332).

Se notează lungimea acestui vector cu r , și unghiul pe care îl face cu axa X , prin φ . Prin definiția sinusului și cosinusului:

A / r = cos φ , b / r = păcat φ .

De aceea A = r cos φ , b = r păcat φ . Dar în acest caz numărul complex a + bi poate fi scris ca:

a + bi = r cos φ + ir păcat φ = r (cos φ + i păcat φ ).

După cum știți, pătratul lungimii oricărui vector este egală cu suma pătratele coordonatelor sale. De aceea r 2 = A 2 + b 2, de unde r = √a 2 + b 2

Asa de, orice număr complex a + bi poate fi reprezentat ca :

a + bi = r (cos φ + i păcat φ ), (1)

unde r = √a 2 + b 2 și unghiul φ determinată din condiția:

Această formă de scriere a numerelor complexe se numește trigonometric.

Număr r în formula (1) se numește modul, și unghiul φ - argument, număr complex a + bi .

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci modulul său este pozitiv; dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0 și apoi r = 0.

Modulul oricărui număr complex este determinat în mod unic.

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci argumentul său este determinat de formulele (2) categoric până la un unghi multiplu de 2 π . Dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0. În acest caz r = 0. Din formula (1) este ușor de înțeles că ca argument φ în acest caz, puteți alege orice unghi: la urma urmei, pentru orice φ

0 (cos φ + i păcat φ ) = 0.

Prin urmare, argumentul zero nu este definit.

Modulul numărului complex r uneori denotă | z |, iar argumentul arg z . Să ne uităm la câteva exemple de reprezentare a numerelor complexe în formă trigonometrică.

Exemplu. unu. 1 + i .

Să găsim modulul r si argument φ acest număr.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prin urmare păcatul φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , de unde φ = π / 4 + 2nπ .

În acest fel,

1 + i = √ 2 ,

Unde P - orice număr întreg. De obicei, dintr-un set infinit de valori ale argumentului unui număr complex, se alege unul care este între 0 și 2 π . În acest caz, această valoare este π / patru . De aceea

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i păcat π / 4)

Exemplul 2 Scrieți în formă trigonometrică un număr complex √ 3 - i . Avem:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Prin urmare, până la un unghi divizibil cu 2 π , φ = 11 / 6 π ; Prin urmare,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i păcatul 11/6 π ).

Exemplul 3 Scrieți în formă trigonometrică un număr complex eu .

număr complex i corespunde vectorului OA> se termină în punctul A al axei la cu ordonata 1 (Fig. 333). Lungimea unui astfel de vector este egală cu 1, iar unghiul pe care îl formează cu axa absciselor este egal cu π / 2. De aceea

i = cos π / 2 + i păcat π / 2 .

Exemplul 4 Scrieți numărul complex 3 în formă trigonometrică.

Numărul complex 3 corespunde vectorului OA > X abscisa 3 (Fig. 334).

Lungimea unui astfel de vector este 3, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este 0. Prin urmare

3 = 3 (cos 0 + i păcat 0),

Exemplul 5 Scrieți în formă trigonometrică numărul complex -5.

Numărul complex -5 corespunde vectorului OA> se termină în punctul axei X cu abscisă -5 (Fig. 335). Lungimea unui astfel de vector este 5, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este π . De aceea

5 = 5(cos π + i păcat π ).

Exerciții

2047. Scrieți aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Indicați în plan mulțimile de puncte reprezentând numere complexe ale căror module r și argumente φ îndeplinesc condițiile:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Pot numerele să fie în același timp modulul unui număr complex? r și - r ?

2050. Argumentul unui număr complex poate fi unghiuri în același timp φ și - φ ?

Prezentați aceste numere complexe în formă trigonometrică prin definirea modulelor și argumentelor lor:

2051*. 1 + cos α + i păcat α . 2054*. 2(cos 20° - i păcatul 20°).

2052*. păcat φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i păcatul 15°).

Lectura

Forma trigonometrică a unui număr complex

Plan

1.Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

2. Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

3. Acţiuni asupra numerelor complexe în formă trigonometrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

a) Numerele complexe sunt reprezentate prin puncte ale planului conform următoarei reguli: A + bi = M ( A ; b ) (Fig. 1).

Poza 1

b) Un număr complex poate fi reprezentat ca un vector care începe din punctO și se termină într-un punct dat (Fig. 2).

Figura 2

Exemplul 7. Trasează punctele reprezentând numere complexe:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

Număr complexz = A + bi poate fi setat folosind raza - vector cu coordonate( A ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Definiție . Lungimea vectorului reprezentând numărul complexz , se numește modulul acestui număr și se notează saur .

Pentru orice număr complexz modulul acestuiar = | z | este determinată în mod unic de formulă .

Definiție . Valoarea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vector reprezentarea unui număr complex se numește argumentul acestui număr complex și se noteazăDAR rg z sauφ .

Argumentul numărului complexz = 0 nedeterminat. Argumentul numărului complexz≠ 0 este o mărime cu mai multe valori și este determinată până la termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Undearg z - valoarea principală a argumentului, inclusă în interval(-π; π] , acesta este-π < arg z ≤ π (uneori valoarea care aparține intervalului este luată ca valoare principală a argumentului .

Această formulă pentrur =1 adesea denumită formula lui De Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exemplul 11 ​​Calculați(1 + i ) 100 .

Să scriem un număr complex1 + i în formă trigonometrică.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + eu păcătuiesc )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i păcat 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex.

La extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complexA + bi avem doua cazuri:

dacăb > despre , apoi ;