Ele sunt împărțite în corecte și incorecte.
Fracții proprii
Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mic decât numitorul.
Pentru a afla dacă o fracție este adecvată, trebuie să-i comparați termenii între ei. Termenii fracțiilor sunt comparați în conformitate cu regula de comparare a numerelor naturale.
Exemplu. Luați în considerare fracția:
| 7 |
| 8 |
Exemplu:
| 8 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 |
Reguli de traducere și exemple suplimentare pot fi găsite în subiectul Conversia unei fracții improprie într-un număr mixt. De asemenea, puteți utiliza un calculator online pentru a converti o fracție necorespunzătoare într-un număr mixt.
Compararea fracțiilor proprii și improprii
Orice fracție ordinară improprie este mai mare decât o fracție proprie, deoarece o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu, iar o fracție improprie este mai mare sau egală cu unu.
Exemplu:
| 3 | > | 99 |
| 2 | 100 |
Reguli de comparație și exemple suplimentare pot fi găsite în subiectul Compararea fracțiilor obișnuite. De asemenea, pentru a compara fracții sau a verifica comparații, puteți utiliza
Întâlnim fracții în viață mult mai devreme decât începem să le studiem la școală. Dacă tăiem un măr întreg în jumătate, obținem jumătate din fruct. Să-l tăiem din nou - va fi ¼. Acestea sunt fracții. Și totul părea simplu. Pentru un adult. Pentru un copil (și această temă începe să fie studiată la sfârșitul școlii primare), conceptele matematice abstracte sunt încă înfricoșător de neînțeles, iar profesorul trebuie să explice clar ce este o fracție proprie și improprie, comună și zecimală, ce operații pot fi efectuate cu ei și, cel mai important, de ce este nevoie de toate acestea.
Ce sunt fracțiile?
Introducerea unui subiect nou la școală începe cu fracții obișnuite. Ele sunt ușor de recunoscut după linia orizontală care separă cele două numere - deasupra și dedesubt. Cel de sus se numește numărător, cel de jos este numitorul. Există, de asemenea, o opțiune cu litere mici pentru scrierea fracțiilor ordinare improprii și adecvate - printr-o bară oblică, de exemplu: ½, 4/9, 384/183. Această opțiune este utilizată atunci când înălțimea liniei este limitată și nu este posibilă utilizarea unui formular de intrare „cu două etaje”. De ce? Da, pentru că este mai convenabil. Vom vedea asta puțin mai târziu.
Pe lângă fracțiile obișnuite, există și fracții zecimale. Este foarte simplu să le distingem: dacă într-un caz se folosește o orizontală sau o bară oblică, în celălalt se folosește o virgulă pentru a separa secvențe de numere. Să ne uităm la un exemplu: 2.9; 163,34; 1.953. Am folosit în mod intenționat un punct și virgulă ca separator pentru a delimita numerele. Primul dintre ei va citi astfel: „două virgulă nouă”.
Noi concepte
Să revenim la fracțiile obișnuite. Ele vin în două tipuri.
Definiția unei fracții proprii este următoarea: este o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei. De ce este important? Vom vedea acum!
Ai mai multe mere, tăiate la jumătate. Total - 5 părți. Cum ai spune: ai „două și jumătate” sau „cinci și jumătate” mere? Desigur, prima opțiune sună mai natural și o vom folosi atunci când vorbim cu prietenii. Dar dacă trebuie să calculăm câte fructe va primi fiecare persoană, dacă sunt cinci persoane în companie, vom nota numărul 5/2 și îl vom împărți la 5 - din punct de vedere matematic, acest lucru va fi mai clar .
Deci, pentru denumirea fracțiilor proprii și improprii, regula este următoarea: dacă o parte întreagă poate fi distinsă într-o fracție (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), atunci este improprie. Dacă acest lucru nu se poate face, ca în cazul ½, 13/16, 9/10, va fi corect.
Proprietatea principală a unei fracții
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite simultan cu același număr, valoarea acesteia nu se modifică. Imaginează-ți: au tăiat tortul în 4 părți egale și ți-au dat una. Au tăiat aceeași prăjitură în opt bucăți și ți-au dat două. Chiar contează? La urma urmei, ¼ și 2/8 sunt același lucru!
Reducere
Autorii de probleme și exemple din manualele de matematică caută adesea să deruteze elevii, oferind fracții care sunt greoaie de scris, dar care pot fi de fapt abreviate. Iată un exemplu de fracție proprie: 167/334, care, s-ar părea, arată foarte „înfricoșător”. Dar îl putem scrie de fapt ca ½. Numărul 334 este divizibil cu 167 fără rest - după efectuarea acestei operații, obținem 2.
Numere mixte
O fracție improprie poate fi reprezentată ca număr mixt. Acesta este momentul în care întreaga parte este adusă înainte și scrisă la nivelul liniei orizontale. De fapt, expresia ia forma unei sume: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 și așa mai departe.
Pentru a elimina întreaga parte, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți restul diviziunii deasupra, deasupra liniei și întreaga parte - înainte de expresie. Astfel, obținem două părți structurale: unități întregi + fracțiune proprie.
De asemenea, puteți efectua operația inversă - pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul și să adăugați valoarea rezultată la numărător. Nimic complicat.
Înmulțirea și împărțirea
În mod ciudat, înmulțirea fracțiilor este mai ușor decât adunarea. Tot ce este necesar este extinderea liniei orizontale: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Cu împărțirea, totul este și simplu: trebuie să înmulțiți fracțiile în cruce: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Adunarea fracțiilor
Ce trebuie să faceți dacă trebuie să efectuați adunarea sau au numere diferite la numitor? Nu va funcționa la fel ca cu înmulțirea - aici ar trebui să înțelegeți definiția unei fracții adecvate și esența acesteia. Este necesar să aduceți termenii la un numitor comun, adică partea inferioară a ambelor fracții trebuie să aibă aceleași numere.
Pentru a face acest lucru, ar trebui să utilizați proprietatea de bază a unei fracții: înmulțiți ambele părți cu același număr. De exemplu, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Cum să alegi la ce numitor să reducă termenii? Acesta trebuie să fie numărul minim care este un multiplu al ambelor numere în numitorii fracțiilor: pentru 1/3 și 1/9 va fi 9; pentru ½ și 1/7 - 14, deoarece nu există o valoare mai mică divizibilă cu 2 și 7 fără rest.
Utilizare
Pentru ce sunt folosite fracțiile improprii? La urma urmei, este mult mai convenabil să selectați imediat întreaga parte, să obțineți un număr mixt - și să terminați cu el! Se pare că, dacă trebuie să înmulțiți sau să împărțiți două fracții, este mai profitabil să folosiți cele neregulate.
Să luăm următorul exemplu: (2 + 3/17) / (37 / 68).
S-ar părea că nu există nimic de tăiat. Dar dacă scriem rezultatul adunării în primele paranteze ca o fracție improprie? Vedeți: (37/17) / (37/68)
Acum totul cade la locul lui! Să scriem exemplul în așa fel încât totul să devină evident: (37*68) / (17*37).
Să anulăm 37 la numărător și numitor și, în final, să împărțim partea de sus și de jos la 17. Vă amintiți regula de bază pentru fracțiile proprii și improprii? Le putem înmulți și împărți cu orice număr, atâta timp cât o facem pentru numărător și numitor în același timp.
Deci, obținem răspunsul: 4. Exemplul părea complicat, dar răspunsul conține doar un număr. Acest lucru se întâmplă adesea în matematică. Principalul lucru este să nu vă fie frică și să urmați reguli simple.
Greșeli comune
La implementare, un student poate face cu ușurință una dintre greșelile comune. De obicei apar din cauza neatenției și, uneori, datorită faptului că materialul studiat nu a fost încă depozitat corespunzător în cap.
Adesea, suma numerelor din numărător vă face să doriți să reduceți componentele sale individuale. Să spunem în exemplu: (13 + 2) / 13, scris fără paranteze (cu o linie orizontală), mulți elevi, din lipsă de experiență, bifează 13 deasupra și dedesubt. Dar acest lucru nu trebuie făcut sub nicio formă, pentru că aceasta este o greșeală gravă! Dacă în loc de adunare ar exista un semn de înmulțire, am obține în răspuns numărul 2. Dar la efectuarea adunării nu sunt permise operații cu unul dintre termeni, ci doar cu întreaga sumă.
Băieții fac adesea greșeli atunci când împart fracțiile. Să luăm două fracții ireductibile proprii și să ne împărțim una la alta: (5/6) / (25/33). Elevul îl poate amesteca și scrie expresia rezultată ca (5*25) / (6*33). Dar asta s-ar întâmpla cu înmulțirea, dar în cazul nostru totul va fi oarecum diferit: (5*33) / (6*25). Reducem ceea ce este posibil, iar răspunsul va fi 11/10. Scriem fracția improprie rezultată ca zecimală - 1,1.
Paranteze
Amintiți-vă că în orice expresie matematică ordinea operațiilor este determinată de precedența semnelor operației și de prezența parantezelor. Toate celelalte lucruri fiind egale, ordinea acțiunilor este numărată de la stânga la dreapta. Acest lucru este valabil și pentru fracții - expresia din numărător sau numitor este calculată strict conform acestei reguli.
La urma urmei, acesta este rezultatul împărțirii unui număr la altul. Dacă nu sunt împărțiți în mod egal, devine o fracțiune - asta-i tot.
Cum se scrie o fracție pe computer
Deoarece instrumentele standard nu permit întotdeauna crearea unei fracțiuni formate din două „niveluri”, elevii recurg uneori la diverse trucuri. De exemplu, copiază numărătorii și numitorii în editorul grafic Paint și le lipesc împreună, desenând o linie orizontală între ei. Desigur, există o opțiune mai simplă, care, apropo, oferă o mulțime de caracteristici suplimentare care vă vor fi utile în viitor.
Deschideți Microsoft Word. Unul dintre panourile din partea de sus a ecranului se numește „Inserare” - faceți clic pe el. În dreapta, pe partea în care se află pictogramele de închidere și minimizare a ferestrei, există un buton „Formulă”. Este exact ceea ce avem nevoie!
Dacă utilizați această funcție, pe ecran va apărea o zonă dreptunghiulară în care puteți folosi orice semne matematice care nu sunt pe tastatură, precum și să scrieți fracții în forma clasică. Adică, împărțirea numărătorului și numitorului cu o linie orizontală. S-ar putea chiar să fii surprins că o astfel de fracție adecvată este atât de ușor de scris.
Învață matematică
Dacă sunteți în clasele 5-6, atunci în curând vor fi necesare cunoștințe de matematică (inclusiv capacitatea de a lucra cu fracții!) la multe discipline școlare. În aproape orice problemă de fizică, atunci când se măsoară masa substanțelor în chimie, în geometrie și trigonometrie, nu te poți lipsi de fracții. În curând vei învăța să calculezi totul în cap, fără măcar să notezi expresiile pe hârtie, dar vor apărea exemple din ce în ce mai complexe. Așa că învață ce este o fracție adecvată și cum să lucrezi cu ea, ține pasul cu programa, fă-ți temele la timp și vei reuși.
Fracțiile comune sunt împărțite în fracții \textit (propriu) și \textit (improprii). Această împărțire se bazează pe o comparație a numărătorului și numitorului.
Fracții proprii
Fracțiunea corespunzătoare Se numește o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$, în care numărătorul este mai mic decât numitorul, adică. $m
Exemplul 1
De exemplu, fracțiile $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sunt corecte , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mic decât numitorul, ceea ce îndeplinește definiția unei fracții proprii.
Există o definiție a unei fracții adecvate, care se bazează pe compararea fracției cu una.
corect, dacă este mai mică de unu:
Exemplul 2
De exemplu, fracția comună $\frac(6)(13)$ este proprie deoarece condiția $\frac(6)(13) este îndeplinită
Fracții improprii
Fracție improprie Se numește o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$, în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică. $m\ge n$.
Exemplul 3
De exemplu, fracțiile $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sunt neregulate , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, ceea ce îndeplinește definiția unei fracții improprie.
Să dăm o definiție a unei fracții improprie, care se bazează pe compararea acesteia cu una.
Fracția comună $\frac(m)(n)$ este gresit, dacă este egală sau mai mare decât unu:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Exemplul 4
De exemplu, fracția comună $\frac(21)(4)$ este improprie deoarece condiția $\frac(21)(4) >1$ este îndeplinită;
fracția comună $\frac(8)(8)$ este improprie deoarece condiția $\frac(8)(8)=1$ este îndeplinită.
Să aruncăm o privire mai atentă asupra conceptului de fracție improprie.
Să luăm ca exemplu fracția improprie $\frac(7)(7)$. Sensul acestei fracții este de a lua șapte părți ale unui obiect, care este împărțit în șapte părți egale. Astfel, din cele șapte acțiuni disponibile, se poate compune întregul obiect. Acestea. fracția improprie $\frac(7)(7)$ descrie întregul obiect și $\frac(7)(7)=1$. Deci, fracțiile improprii, în care numărătorul este egal cu numitorul, descriu un obiect întreg și o astfel de fracție poate fi înlocuită cu numărul natural $1$.
$\frac(5)(2)$ -- este destul de evident că din aceste cinci părți secunde puteți alcătui $2$ obiecte întregi (un obiect întreg va fi format din $2$ părți și pentru a compune două obiecte întregi nevoie de $2+2=4$ parts) și rămâne o a doua parte. Adică, fracția improprie $\frac(5)(2)$ descrie $2$ dintr-un obiect și $\frac(1)(2)$ cota acestui obiect.
$\frac(21)(7)$ -- din douăzeci și unu-șapte părți puteți face $3$ obiecte întregi ($3$ obiecte cu $7$ părți în fiecare). Acestea. fracția $\frac(21)(7)$ descrie $3$ obiecte întregi.
Din exemplele luate în considerare, putem trage următoarea concluzie: o fracție improprie poate fi înlocuită cu un număr natural dacă numărătorul este divizibil cu numitorul (de exemplu, $\frac(7)(7)=1$ și $\frac (21)(7)=3$) , sau suma unui număr natural și a unei fracții proprii, dacă numărătorul nu este complet divizibil cu numitor (de exemplu, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). De aceea se numesc astfel de fracții gresit.
Definiția 1
Procesul de reprezentare a unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (de exemplu, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se numește separând întreaga parte dintr-o fracție improprie.
Când lucrați cu fracții improprii, există o legătură strânsă între acestea și numerele mixte.
O fracție improprie este adesea scrisă ca un număr mixt - un număr care constă dintr-un număr întreg și o parte de fracție.
Pentru a scrie o fracție improprie ca număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul cu rest. Coeficientul va fi partea întreagă a numărului mixt, restul va fi numărătorul părții fracționale, iar divizorul va fi numitorul părții fracționale.
Exemplul 5
Scrieți fracția improprie $\frac(37)(12)$ ca număr mixt.
Soluţie.
Împărțiți numărătorul la numitorul cu rest:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (restul\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Răspuns.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Pentru a scrie un număr mixt ca fracție improprie, trebuie să înmulțiți numitorul cu întreaga parte a numărului, să adăugați numărătorul părții fracționale la produsul rezultat și să scrieți suma rezultată în numărătorul fracției. Numitorul fracției improprie va fi egal cu numitorul părții fracționale a numărului mixt.
Exemplul 6
Scrieți numărul mixt $5\frac(3)(7)$ ca o fracție improprie.
Soluţie.
Răspuns.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Adunarea numerelor mixte și a fracțiilor proprii
Adunare de numere mixte$a\frac(b)(c)$ și fracția adecvată$\frac(d)(e)$ se realizează prin adăugarea la o fracție dată a părții fracționale dintr-un număr mixt dat:
Exemplul 7
Adăugați fracția adecvată $\frac(4)(15)$ și numărul mixt $3\frac(2)(5)$.
Soluţie.
Să folosim formula pentru a adăuga un număr mixt și o fracție adecvată:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ stânga(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
Prin împărțirea la numărul \textit(5) putem determina că fracția $\frac(10)(15)$ este reductibilă. Să efectuăm reducerea și să găsim rezultatul adunării:
Deci, rezultatul adunării fracției proprii $\frac(4)(15)$ și a numărului mixt $3\frac(2)(5)$ este $3\frac(2)(3)$.
Răspuns:$3\frac(2)(3)$
Adunarea numerelor mixte și a fracțiilor improprii
Adunarea fracțiilor improprii și a numerelor mixte se reduce la adăugarea a două numere mixte, pentru care este suficient să izolați întreaga parte de fracția improprie.
Exemplul 8
Calculați suma numărului mixt $6\frac(2)(15)$ și a fracției improprie $\frac(13)(5)$.
Soluţie.
Mai întâi, să extragem întreaga parte din fracția improprie $\frac(13)(5)$:
Răspuns:$8\frac(11)(15)$.
După cum ați observat deja, fracțiile sunt diferite. De exemplu, \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(7)(7), \frac(13)(5), ... \)
Fracțiile sunt împărțite în două tipuri fracții proprii și fracții improprii.
Într-o fracție proprie, numărătorul este mai mic decât numitorul., de exemplu, \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), …\)
Într-o fracție improprie, numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, de exemplu, \(\frac(7)(7), \frac(9)(4), \frac(13)(5), …\)
O fracție adecvată este întotdeauna mai mică decât unu. Să ne uităm la un exemplu:
\(\frac(1)(5)< 1\)
Putem reprezenta unitatea ca o fracție \(1 = \frac(5)(5)\)
\(\frac(1)(5)< \frac{5}{5}\)
O fracție improprie este mai mare sau egală cu unu. Luați în considerare un exemplu: \(\frac(8)(3) > 1\)
Putem reprezenta unitatea ca o fracție \(1 = \frac(3)(3)\)
\(\frac(8)(3) > \frac(3)(3)\)
Întrebări pe tema „Fracțiuni proprii sau improprie”:
Poate o fracție proprie să fie mai mare decât 1?
Raspuns: nu.
Poate o fracție proprie egală cu 1?
Raspuns: nu.
Poate o fracție improprie să fie mai mică decât 1?
Raspuns: nu.
Exemplul #1:
Scrie:
a) toate fracțiile proprii cu numitorul 8;
b) toate fracțiile improprii cu numărătorul 4.
Soluţie:
a) Fracțiile proprii au un numitor mai mare decât numărătorul. Trebuie să punem numerele mai mici de 8 la numărător.
\(\frac(1)(8), \frac(2)(8), \frac(3)(8), \frac(4)(8), \frac(5)(8), \frac( 6)(8), \frac(7)(8).\)
b) Într-o fracție improprie, numărătorul este mai mare decât numitorul. Trebuie să punem numerele mai mici de 4 la numitor.
\(\frac(4)(4), \frac(4)(3), \frac(4)(2), \frac(4)(1).\)
Exemplul #2:
La ce valori ale lui b este fracția:
a) \(\frac(b)(12)\) va fi corectă;
b) \(\frac(9)(b)\) nu va fi corect.
Soluţie:
a) b poate lua valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
b) b poate lua valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Sarcina 1:
Câte minute într-o oră? Ce fracție de oră este 11 minute?
Răspuns: Într-o oră sunt 60 de minute. Trei minute sunt \(\frac(11)(60)\) ore.
