Oscilații amortizate
Oscilații amortizate ale unui pendul cu arc
Oscilații amortizate- vibratii a caror energie scade in timp. Un proces nesfârșit de durată al speciilor este imposibil în natură. Oscilațiile libere ale oricărui oscilator se estompează mai devreme sau mai târziu și se opresc. Prin urmare, în practică ne ocupăm de obicei de oscilații amortizate. Ele se caracterizează prin faptul că amplitudinea oscilațiilor A este o funcție descrescătoare. De obicei, atenuarea are loc sub influența forțelor de rezistență ale mediului, cel mai adesea exprimată ca o dependență liniară de viteza de oscilație sau pătratul acesteia.
În acustică: atenuare - reducerea nivelului semnalului până la inaudibilitate completă.
Oscilații amortizate ale unui pendul cu arc
Să existe un sistem format dintr-un arc (supus legii lui Hooke), al cărui capăt este fixat rigid, iar pe celălalt există un corp de masă m. Oscilațiile apar într-un mediu în care forța de rezistență este proporțională cu viteza cu un coeficient c(vezi frecare vâscoasă).
Ale căror rădăcini se calculează folosind următoarea formulă
Soluții
În funcție de valoarea coeficientului de atenuare, soluția este împărțită în trei opțiuni posibile.
- Aperiodicitatea
Dacă , atunci există două rădăcini reale, iar soluția ecuației diferențiale ia forma:
În acest caz, oscilațiile scad exponențial de la bun început.
- Limita de aperiodicitate
Dacă , două rădăcini reale coincid, iar soluția ecuației este:
În acest caz, poate exista o creștere temporară, dar apoi o decădere exponențială.
- Atenuare slabă
Dacă , atunci soluția ecuației caracteristice este două rădăcini conjugate complexe
Atunci soluția ecuației diferențiale inițiale este
Unde este frecvența naturală a oscilațiilor amortizate.
Constantele și în fiecare caz sunt determinate din condițiile inițiale:
Vezi si
- Scăderea atenuării
Literatură
Lit.: Savelyev I.V., Curs de fizică generală: mecanică, 2001.
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce sunt „oscilațiile amortizate” în alte dicționare:
Oscilații amortizate- Oscilații amortizate. VIBRAȚII AMORTIZATE, oscilații a căror amplitudine A scade în timp din cauza pierderilor de energie: conversia energiei de oscilație în căldură ca urmare a frecării în sistemele mecanice (de exemplu, la un punct de suspensie... ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat
Oscilații naturale, a căror amplitudine A scade cu timpul t conform legii exponențialului A(t) = Аоexp (?t) (? indicator al atenuării datorate disipării energiei datorate forțelor de frecare vâscoase pentru oscilații mecanice amortizate și ohmice. .. ... Dicţionar enciclopedic mare
Oscilații a căror amplitudine scade treptat, de ex. oscilații ale unui pendul care experimentează rezistența aerului și frecarea în suspensie. Toate vibrațiile libere care apar în natură sunt, într-o măsură mai mare sau mai mică, Z.K Electrical Z.K.... ...Dicționar marin
oscilații amortizate- Oscilații mecanice cu valori descrescătoare ale domeniului coordonatei generalizate sau derivatei acesteia în funcție de timp. [Culegere de termeni recomandați. Problema 106. Vibrații mecanice. Academia de Științe a URSS. Comitetul științific și tehnic... ... Ghidul tehnic al traducătorului
Oscilații amortizate- (VIBRAȚII) oscilații (vibrații) cu valori descrescătoare ale oscilației... Enciclopedia rusă a protecției muncii
Oscilații naturale ale sistemului, a căror amplitudine A scade odată cu timpul t conform legii exponențiale A(t) = A0exp(?α t) (α este indicele de amortizare) datorită disipării de energie datorată forțelor de frecare vâscoase pentru amortizarea mecanică oscilații și ohmice...... Dicţionar enciclopedic
Oscilații amortizate- 31. Oscilații amortizate Oscilații cu valori descrescătoare a oscilației Sursa... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
Oscilații naturale ale sistemului, amplitudinea A la ryx scade cu timpul t conform legii exponențiale A(t) = = Aoeхр(at) (un indice de amortizare) datorită disipării de energie datorită forțelor de frecare vâscoasă pentru mecanică. 3. la și rezistență ohmică pentru... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
oscilații amortizate- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. oscilație amortizată vok. gedämpfte Schwingung, f rus. oscilaţii amortizate, n pranc. amortizări de oscilații, f; oscilații décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas
oscilații amortizate- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. oscilații amortizate; vibrații amortizate; oscilații muritoare vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. oscilaţii amortizate, n pranc. amortizări de oscilații, f … Fizikos terminų žodynas
Reducerea energiei sistemului oscilator duce la o scădere treptată a amplitudinii oscilațiilor, deoarece
În acest caz ei spun că vibrațiile se sting .
O situație similară apare într-un circuit oscilator. O bobină reală care face parte dintr-un circuit are întotdeauna rezistență activă. Când curentul trece prin rezistența activă a bobinei, căldura Joule va fi eliberată. Energia circuitului va scădea, ceea ce va duce la o scădere a amplitudinii oscilațiilor de sarcină, tensiune și curent.
Sarcina noastră– aflați după ce lege scade amplitudinea oscilațiilor, după ce lege se modifică mărimea oscilantă în sine, cu ce frecvență au loc oscilațiile amortizate, cât timp „se stinge” oscilațiile.
§1 Amortizarea oscilaţiilor în sistemele cu frecare vâscoasă
Să considerăm un sistem oscilator în care acționează forța de frecare vâscoasă. Un exemplu de astfel de sistem oscilator este un pendul matematic care oscilează în aer.
În acest caz, când sistemul este scos din poziţia de echilibru prin
asupra pendulului vor acţiona două forţe: forţa cvasielastică şi forţa de rezistenţă (forţa de frecare vâscoasă).
A doua lege a lui Newton va fi scrisă după cum urmează:
Știm că la viteze mici forța de frecare vâscoasă este proporțională cu viteza de mișcare:
Să luăm în considerare că proiecția vitezei este derivata întâi a coordonatei corpului, iar proiecția accelerației este derivata a doua a coordonatei:
Atunci ecuația (2) va lua forma:
obținem ecuația mișcării sub următoarea formă:
unde d este coeficientul de amortizare, acesta depinde de coeficientul de frecare r,
w 0 - frecvența ciclică a oscilațiilor ideale (în absența frecării).
Înainte de a rezolva ecuația (3), luați în considerare circuitul oscilator. Rezistența activă a bobinei este conectată în serie cu capacitatea C și inductanța L.
Să scriem a doua lege a lui Kirchhoff
Să luăm în considerare faptul că , , .
Apoi a doua lege a lui Kirchhoff va lua forma:
Să împărțim ambele părți ale ecuației la:
Să introducem notația
În sfârșit, obținem
Fiți atenți la identitatea matematică a ecuațiilor diferențiale (3) și (3’). Nu este nimic surprinzător. Am arătat deja identitatea matematică absolută a procesului de oscilație a pendulului și a oscilațiilor electromagnetice din circuit. Evident, procesele de amortizare a vibrațiilor într-un circuit și în sistemele cu frecare vâscoasă au loc și ele în același mod.
Rezolvând ecuația (3), vom obține răspunsuri la toate întrebările puse mai sus.
Cunoaștem soluția acestei ecuații
Apoi pentru ecuația dorită (3) obținem rezultatul final
Este ușor de observat că sarcina unui condensator într-un circuit oscilator real se va schimba conform legii
Analiza rezultatului obtinut:
1 Ca rezultat al acțiunii combinate a forței cvasi-elastice și a forței de rezistență, sistemul Pot fi face o mișcare oscilantă. Pentru aceasta, trebuie îndeplinită condiția w 0 2 - d 2 > 0 Cu alte cuvinte, frecarea în sistem trebuie să fie mică.
2 Frecvența oscilațiilor amortizate w nu coincide cu frecvența oscilațiilor sistemului în absența frecării w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . De-a lungul timpului, frecvența oscilațiilor amortizate rămâne neschimbată.
Dacă coeficientul de amortizare d este mic, atunci frecvența oscilațiilor amortizate este apropiată de frecvența naturală w 0 .
Această scădere a amplitudinii are loc conform unei legi exponențiale.
4 Dacă w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида
Prin substituție directă este ușor de verificat că funcția (4) este într-adevăr o soluție a ecuației (3). În mod evident, suma a două funcții exponențiale nu este o funcție periodică. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că oscilațiile nu vor avea loc în sistem. După ce sistemul este scos din poziția de echilibru, se va întoarce încet la el. Acest proces se numește aperiodic .
§2 Cât de repede se degradează oscilațiile în sistemele cu frecare vâscoasă?
Scăderea atenuării
valoarea cantitativă. Se poate observa că valoarea lui d caracterizează viteza cu care oscilațiile se diminuează. Din acest motiv, d se numește coeficient de amortizare.
Pentru oscilațiile electrice din circuit, coeficientul de atenuare depinde de parametrii bobinei: cu cât rezistența activă a bobinei este mai mare, cu atât amplitudinile sarcinii pe condensator, tensiunea și curentul scad mai repede.
Funcția este produsul dintre o funcție exponențială descrescătoare și o funcție armonică, deci functia nu este armonica. Dar are un anumit grad de „repetare”, care constă în faptul că maximele, minimele și zerourile funcției apar la intervale egale de timp. Graficul funcției este o sinusoidă limitată la două exponențiale.
Să găsim raportul a două amplitudini succesive separate printr-un interval de timp de o perioadă. Această relație se numește scăderea amortizarii
Vă rugăm să rețineți că rezultatul nu depinde de care două perioade consecutive considerați - la începutul mișcării oscilatorii sau după ce a trecut ceva timp. Pentru fiecare perioadă se modifică amplitudinea oscilațiilor nu cu aceeași sumă, dar acelasi numar de ori !!
Nu e greu să vezi asta pentru orice perioade diferite de timp, amplitudinea oscilațiilor amortizate scade de același număr de ori.
Timp de relaxare
Se numește timp de relaxare timp în care amplitudinea oscilațiilor amortizate scade de e ori:
De aici nu este greu de stabilit semnificația fizică a coeficientului de atenuare:
Astfel, coeficientul de amortizare este reciproca timpului de relaxare. Fie, de exemplu, într-un circuit oscilator coeficientul de amortizare este egal cu . Aceasta înseamnă că după timpul c amplitudinea oscilațiilor va scădea cu e o singura data.
Scădere logaritmică de amortizare
Adesea, rata de amortizare a oscilațiilor este caracterizată de o scădere logaritmică a amortizarii. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul natural al raportului amplitudinilor separate de o perioadă de timp într-o perioadă.
Să aflăm semnificația fizică a decrementului de amortizare logaritmică.
Fie N numărul de oscilații efectuate de sistem în timpul de relaxare, adică numărul de oscilații în timpul cărora amplitudinea oscilațiilor scade cu e o singura data. Evident, .
Se poate observa că decrementul de amortizare logaritmică este inversul numărului de oscilații, după care amplitudinea scade cu e o singura data.
Să spunem, asta înseamnă că după 100 de oscilații amplitudinea va scădea cu e o singura data.
Factorul de calitate al sistemului oscilator
Pe lângă scăderea amortizarii logaritmice și timpul de relaxare, viteza de amortizare a oscilațiilor poate fi caracterizată printr-o astfel de valoare ca factor de calitate al sistemului oscilator . Sub factorul de calitate
Se poate arăta că pentru oscilații slab amortizate
Energia sistemului oscilator la un moment arbitrar de timp este egală cu . Pierderea de energie într-o perioadă poate fi găsită ca diferența dintre energia dintr-un moment în timp și energia după un timp egal cu perioada:
Funcția exponențială poate fi extinsă într-o serie cu<< 1. после подстановки получаем .
Am impus o restricție privind retragerea<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.
Formulele pe care le-am obținut pentru factorul de calitate al sistemului nu spun încă nimic. Să presupunem că calculele dau o valoare a factorului de calitate Q = 10. Ce înseamnă asta? Cât de repede se diminuează vibrațiile? Este bine sau rău?
De obicei, se crede că oscilațiile practic s-au oprit dacă energia lor a scăzut de 100 de ori (amplitudinea de 10). Să aflăm câte oscilații a făcut sistemul până în acest moment:
Putem răspunde la întrebarea pusă mai devreme: N = 8.
Ce sistem oscilator este mai bun - cu factor de calitate ridicat sau scăzut? Răspunsul la această întrebare depinde de ceea ce doriți să obțineți de la sistemul oscilant.
Dacă doriți ca sistemul să facă cât mai multe oscilații înainte de a se opri, factorul de calitate al sistemului trebuie crescut. Cum? Deoarece factorul de calitate este determinat de parametrii sistemului oscilator însuși, este necesar să se selecteze corect acești parametri.
De exemplu, pendulul Foucault instalat în Catedrala Sf. Isaac trebuia să efectueze oscilații slab amortizate. Apoi
Cel mai simplu mod de a crește factorul de calitate al unui pendul este să-l faci mai greu.
În practică, apar adesea probleme inverse: este necesar să se atenueze cât mai repede posibil vibrațiile care au apărut (de exemplu, vibrații ale unui ac de instrument de măsurare, vibrații ale caroseriei unei mașini, vibrații ale unei nave etc.). care permit creșterea atenuării în sistem se numesc amortizoare (sau amortizoare). De exemplu, un amortizor auto, la o primă aproximare, este un cilindru umplut cu ulei (lichid vâscos), în care se poate mișca un piston cu un număr de găuri mici. Tija pistonului este conectată la corp, iar cilindrul este conectat la axa roții. Vibrațiile rezultate ale corpului se sting rapid, deoarece pistonul în mișcare întâmpină o mulțime de rezistență pe drumul său din lichidul vâscos care umple cilindrul.
§ 3 Amortizarea vibrațiilor în sistemele cu frecare uscată
Atenuarea oscilațiilor are loc într-un mod fundamental diferit dacă forța de frecare de alunecare acționează în sistem. Acesta este motivul pentru care pendulul cu arc, care oscilează de-a lungul oricărei suprafețe, se oprește.
Să presupunem că un pendul arc situat pe o suprafață orizontală este pus în mișcare oscilatorie prin comprimarea arcului și eliberarea sarcinii, adică din poziția sa extremă. În timpul deplasării unei sarcini dintr-o poziție extremă în alta, aceasta este supusă forței gravitaționale și forței de reacție a suportului (vertical), forței elastice și forței de frecare de alunecare (de-a lungul suprafeței).
Rețineți că în timpul mișcării de la stânga la dreapta, forța de frecare este constantă ca direcție și mărime.
Acest lucru ne permite să afirmăm că în prima jumătate a perioadei pendulul cu arc se află într-un câmp de forță constant.
Deplasarea poziției de echilibru poate fi calculată din condiția ca rezultatul să fie egal cu zero la poziția de echilibru:
Este important ca în prima jumătate a perioadei de oscilație a pendulului armonic !
Când se deplasează în direcția opusă - de la dreapta la stânga - forța de frecare își va schimba direcția, dar pe parcursul întregii tranziții va rămâne constantă ca mărime și direcție. Această situație corespunde din nou oscilațiilor unui pendul într-un câmp de forță constant. Abia acum acest domeniu este diferit! S-a schimbat direcția. În consecință, poziția de echilibru la deplasarea de la dreapta la stânga sa schimbat și ea. Acum s-a deplasat spre dreapta cu o sumă D l 0 .
Să descriem dependența de timp a coordonatelor corpului. Deoarece pentru fiecare jumătate a perioadei mișcarea este o oscilație armonică, graficul va reprezenta jumătăți de sinusoide, fiecare dintre acestea fiind reprezentată în raport cu poziția sa de echilibru. Vom efectua operațiunea de „împletire soluții”.
Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu specific.
Fie ca masa sarcinii atașate arcului să fie de 200 g, rigiditatea arcului să fie de 20 N/m, iar coeficientul de frecare dintre sarcină și suprafața mesei să fie 0,1. Pendulul a fost pus în mișcare oscilativă, întinzând arcul
6,5 cm.
Spre deosebire de sistemele oscilatoare cu frecare vâscoasă, în sistemele cu frecare uscată amplitudinea oscilațiilor scade în timp după o lege liniară - pentru fiecare perioadă scade cu două lățimi ale zonei de stagnare.
O altă trăsătură distinctivă este că oscilațiile în sistemele cu frecare uscată, chiar și teoretic, nu pot apărea la infinit. Ele se opresc de îndată ce corpul se oprește în „zona de stagnare”.
§4 Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 1 Natura modificării amplitudinii oscilațiilor amortizate în sistemele cu frecare vâscoasă
Amplitudinea oscilaţiilor amortizate ale pendulului în timpul t 1 = 5 min a scăzut de 2 ori. În ce timp t 2 va scădea de 8 ori amplitudinea oscilațiilor? După ce timp t 3 putem considera că pendulul a încetat să oscileze?
Soluţie:
Amplitudinea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă în timp
niciunul nu scade exponențial, unde este amplitudinea oscilațiilor în momentul inițial de timp și este coeficientul de amortizare.
1 Scriem legea modificării amplitudinii de două ori
2 Rezolvăm împreună ecuațiile. Logaritmăm fiecare ecuație și obținem
Împărțiți a doua ecuație, nu prima și găsiți timpul t 2
După transformări obținem
Împărțiți ultima ecuație la ecuație (*)
Problema 2 Perioada de oscilații amortizate în sistemele cu frecare vâscoasă
Să se determine perioada oscilațiilor amortizate ale sistemului T, dacă perioada oscilațiilor naturale este T 0 = 1 s, iar decrementul logaritmic de amortizare este . Câte oscilații va face acest sistem înainte de a se opri complet?
Soluţie:
1 Perioada oscilațiilor amortizate într-un sistem cu frecare vâscoasă este mai mare decât perioada oscilațiilor naturale (în absența frecării în sistem). Frecvența oscilațiilor amortizate, dimpotrivă, este mai mică decât frecvența naturală și este egală cu , unde este coeficientul de amortizare.
2 Să exprimăm frecvența ciclică în termeni de perioadă. și luați în considerare că decrementul de amortizare logaritmică este egal cu:
3 După transformări obținem .
Energia sistemului este egală cu energia potențială maximă a pendulului
După transformări obținem
5 Exprimăm coeficientul de atenuare prin decrementul logaritmic, obținem
Numărul de oscilații pe care sistemul le va face înainte de oprire este egal cu
Problema 3 Numărul de oscilații efectuate de un pendul până la înjumătățirea amplitudinii
Decrementul de amortizare logaritmic al pendulului este q = 3×10 -3. Determinați numărul de oscilații complete pe care trebuie să le facă pendulul pentru ca amplitudinea oscilațiilor sale să scadă la jumătate.
Soluţie:
3 Este ușor de observat că este decrementul logaritmic de amortizare. Primim
Aflarea numărului de oscilații
Sarcina 4 Factorul de calitate al sistemului oscilator
Determinați factorul de calitate al pendulului dacă în timpul în care s-au făcut 10 oscilații, amplitudinea a scăzut de 2 ori. Cât timp va dura până când pendulul se va opri?
Soluţie:
1 Amplitudinea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă scade exponențial în timp, unde este amplitudinea oscilațiilor în momentul inițial de timp și este coeficientul de amortizare.
Deoarece amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor de 2, obținem
2 Timpul de oscilație poate fi reprezentat ca produsul dintre perioada de oscilație și numărul acestora:
Înlocuiți valoarea de timp rezultată în expresia (*)
3 Este ușor de observat că este decrementul logaritmic de amortizare. Obținem decrementul de atenuare logaritmică egal cu
4 Factorul de calitate al sistemului oscilator
Energia sistemului este egală cu energia potențială maximă a pendulului
După transformări obținem
Găsim timpul după care oscilațiile se vor opri.
Problema 5 Oscilațiile magnetice
Vasya Lisichkin, un experimentator binecunoscut în întreaga școală, a decis să facă figurina magnetică a personajului său literar preferat Kolobok să vibreze de-a lungul peretelui frigiderului. A atașat figura de un arc cu rigiditatea k = 10 N/m, a întins-o cu 10 cm și a eliberat-o. Câte oscilații va face Kolobok dacă masa figurinei este m = 10 g, coeficientul de frecare dintre figurină și perete este μ = 0,4 și poate fi smulsă de pe perete cu o forță F = 0,5 N.
Soluţie:
1 La deplasarea din poziția cea mai joasă în cea mai înaltă, când viteza sarcinii este îndreptată în sus, forța de frecare de alunecare este îndreptată în jos și este numeric egală cu . Astfel, pendulul cu arc se află într-un câmp de forță constant creat de forțele gravitaționale și de frecare. Într-un câmp de forță constant, poziția de echilibru a pendulului se schimbă:
unde este întinderea arcului în noua „poziție de echilibru”.
2 La deplasarea din poziția cea mai înaltă în cea mai joasă, când viteza sarcinii este îndreptată în jos, forța de frecare de alunecare este îndreptată în sus și este numeric egală cu . Astfel, pendulul cu arc se află din nou într-un câmp de forță constant creat de forțele gravitaționale și de frecare. Într-un câmp de forță constant, poziția de echilibru a pendulului se schimbă:
unde este deformarea arcului în noua „poziție de echilibru”, semnul „-” indică faptul că în această poziție arcul este comprimat.
3 Zona de stagnare este limitată de deformațiile arcului de la - 1 cm la 3 cm și se ridică la 4 cm. Mijlocul zonei de stagnare, în care deformarea arcului este de 1 cm, corespunde poziției sarcinii în care nu există. forța de frecare. În zona de stagnare, forța elastică a arcului este mai mică decât forța rezultantă în modul forța maximă de frecare staticăși gravitația. Dacă pendulul se oprește în zona de stagnare, oscilațiile se opresc.
4 Pentru fiecare perioadă, deformarea arcului scade cu două lățimi ale zonei de stagnare, i.e. cu 8 cm După o oscilație, deformarea arcului va deveni egală cu 10 cm - 8 cm = 2 cm Aceasta înseamnă că, după o oscilație, figurina Kolobok intră în zona de stagnare și oscilațiile sale.
§5 Sarcini pentru soluție independentă
Testul „Oscilații amortizate”
1 Prin amortizarea oscilațiilor înțelegem...
A) scăderea frecvenței de oscilație; B) scăderea perioadei de oscilaţie;
B) scăderea amplitudinii oscilaţiilor; D) scăderea fazei de oscilaţii.
2 Motivul atenuării oscilațiilor libere este
A) efectul asupra sistemului de factori aleatori care inhibă oscilațiile;
B) acţiunea unei forţe externe în schimbare periodică;
C) prezența forței de frecare în sistem;
D) o scădere treptată a forței cvasielastice care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru.
?A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm;
D) Este imposibil să dai un răspuns, deoarece ora este necunoscută.
6 Două pendule identice, aflate în medii vâscoase diferite, oscilează. Amplitudinea acestor oscilații se modifică în timp, așa cum se arată în figură. În ce mediu există mai multă frecare?
7 Două pendule, aflându-se în medii identice, oscilează. Amplitudinea acestor oscilații se modifică în timp, așa cum se arată în figură. Care pendul are masa cea mai mare?
C) Este imposibil să dai un răspuns, deoarece axele de coordonate nu sunt scalate și calculele nu pot fi efectuate.
8 Care figură arată corect dependența de timp a coordonatelor oscilațiilor amortizate într-un sistem cu frecare vâscoasă?
A) 1; B) 2; LA 3; D) Toate graficele sunt corecte.
9 Stabiliți o corespondență între mărimile fizice care caracterizează amortizarea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă, și definirea și semnificația lor fizică. Umple tabelul
A) Acesta este raportul amplitudinilor oscilațiilor după un timp egal cu perioada;
B) Acesta este logaritmul natural al raportului amplitudinilor oscilațiilor după un timp egal cu perioada;
B) Acesta este timpul în care amplitudinea oscilațiilor scade în e o singura data;
G) Această valoare este reciproca numărului de oscilații în timpul cărora amplitudinea oscilațiilor scade în e o singura data;
H) Această valoare arată de câte ori scade amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada oscilațiilor.
10 Faceți o afirmație corectă.
Calitate buna inseamna...
A) raportul dintre energia totală a sistemului E și energia W disipată în perioada a crescut de 2p ori;
B) raportul amplitudinilor după o perioadă de timp egală cu perioada;
C) numărul de oscilații pe care sistemul le face în momentul în care amplitudinea scade de e ori.
Factorul de calitate este calculat folosind formula...
Factorul de calitate al unui sistem oscilator depinde de...
A) energia sistemului;
B) pierderi de energie pentru perioada;
C) parametrii sistemului oscilator și frecarea în acesta.
Cu cât factorul de calitate al sistemului oscilator este mai mare, cu atât...
A) vibrațiile se degradează mai lent;
B) vibrațiile se degradează mai repede.
11 Un pendul matematic este pus în mișcare oscilatorie, deviând suspensia din poziția de echilibru în primul caz cu 15°, în al doilea cu 10°. În ce caz pendulul va face mai multe oscilații înainte de a se opri?
A) Când cardanul este înclinat cu 15°;
B) Când cardanul este înclinat cu 10°;
C) În ambele cazuri pendulul va face același număr de oscilații.
12 bile de aceeași rază - aluminiu și cupru - au fost atașate la două fire de aceeași lungime. Pendulele sunt puse în mișcare oscilativă prin deviația lor în unghiuri egale. Care pendul va face cele mai multe oscilații înainte de a se opri?
A) Aluminiu; B) Cupru;
C) Ambele penduluri vor face același număr de oscilații.
13 Un pendul cu arc situat pe o suprafață orizontală a fost pus în oscilație, întinzând arcul cu 9 cm După terminarea a trei oscilații complete, pendulul s-a găsit la o distanță de 6 cm de poziția arcului neformat. La ce distanță de poziția arcului neformat se va afla pendulul după următoarele trei oscilații?
A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm.
§6 Oscilaţii amortizate
Scăderea atenuării. Scădere logaritmică de amortizare.
Vibrațiile libere ale sistemelor tehnice în condiții reale apar atunci când asupra lor acționează forțe de rezistență. Acţiunea acestor forţe conduce la scăderea amplitudinii valorii oscilante.
Oscilațiile, a căror amplitudine scade în timp din cauza pierderilor de energie ale sistemului oscilator real, se numesc decolorare.
Cele mai frecvente cazuri sunt când forța de rezistență este proporțională cu viteza de mișcare
Unde r- coeficientul de rezistenta al mediului. Semnul minus arată astaF Cîndreptată în direcția opusă vitezei.
Să notăm ecuația oscilațiilor într-un punct care oscilează într-un mediu al cărui coeficient de rezistență ester. Conform celei de-a doua legi a lui Newton
unde β este coeficientul de atenuare. Acest coeficient caracterizează rata de atenuare a oscilațiilor În prezența forțelor de rezistență, energia sistemului oscilant va scădea treptat, iar oscilațiile se vor stinge.
- ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate.
U egalizarea oscilațiilor amortizate.
ω - frecvența oscilațiilor amortizate:
Perioada de oscilații amortizate:
Oscilațiile amortizate, atunci când sunt strict luate în considerare, nu sunt periodice. Prin urmare, putem vorbi despre perioada oscilațiilor amortizate când β este mic.
Dacă atenuarea este slab exprimată (β→0), atunci. Oscilațiile amortizate pot fi
fi considerate ca oscilații armonice, a căror amplitudine variază în funcție de o lege exponențială
În ecuația (1) A 0și φ 0 sunt constante arbitrare în funcție de alegerea momentului de timp, pornind de la care se consideră oscilațiile
Să considerăm o oscilație de ceva timp τ, timp în care amplitudinea va scădea cu e o singura data
τ - timpul de relaxare.
Coeficientul de amortizare β este invers proporțional cu timpul în care amplitudinea scade în e o singura data. Cu toate acestea, coeficientul de amortizare nu este suficient pentru a caracteriza amortizarea oscilațiilor. Prin urmare, este necesar să se introducă o caracteristică pentru amortizarea oscilațiilor, care să includă timpul unei oscilații. Această caracteristică este scăderea(în rusă: scădere) atenuare D, care este egal cu raportul amplitudinilor separate în timp de o perioadă:
Scădere logaritmică de amortizare egal cu logaritmul D:
Scăderea amortizarii logaritmice este invers proporțională cu numărul de oscilații, drept urmare amplitudinea oscilațiilor a scăzut cu e o singura data. Decrementul de amortizare logaritmică este o valoare constantă pentru un sistem dat.
O altă caracteristică a unui sistem oscilator este factorul de calitateQ.
Factorul de calitate este proporțional cu numărul de oscilații efectuate de sistem în timpul de relaxare τ.
Qsistemul oscilator este o măsură a disipării (disipării) relative a energiei.
Qsistemul oscilator este un număr care arată de câte ori este mai mare forța elastică decât forța de rezistență.
§7 Vibrații forțate.
Rezonanţă
Într-un număr de cazuri, este nevoie de a crea sisteme care să efectueze oscilații continue. Este posibil să obțineți oscilații neamortizate în sistem dacă compensați pierderile de energie acționând asupra sistemului cu o forță care se schimbă periodic.
Lăsa
Să scriem o expresie pentru ecuația de mișcare a unui punct material care suferă o mișcare oscilativă armonică sub acțiunea unei forțe motrice.
Conform celei de-a doua legi a lui Newton:
(1)
Ecuația diferențială a oscilațiilor forțate.
Această ecuație diferențială este liniară neomogenă.
Soluția sa este egală cu suma soluției generale a ecuației omogene și a soluției particulare a ecuației neomogene:
Să găsim o soluție specială pentru ecuația neomogenă. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuația (1) sub următoarea formă:
(2)
Vom căuta o soluție specială a acestei ecuații sub forma:
Apoi
Să înlocuim în (2):
deoarece functioneaza pentru oricet, atunci egalitatea γ = ω trebuie satisfăcută, prin urmare,
Este convenabil să reprezentați acest număr complex în formă
Unde A este determinată prin formula (3 de mai jos), iar φ - prin formula (4), prin urmare, soluția (2), în formă complexă, are forma
Partea sa reală, care a fost soluția ecuației (1), este egală cu:
Unde
(3)
(4)
Termenul X o.o. joacă un rol semnificativ doar în stadiul inițial când se stabilesc oscilații până când amplitudinea oscilațiilor forțate atinge valoarea determinată de egalitate (3). În regim staționar, oscilațiile forțate apar cu o frecvență ω și sunt armonice. Amplitudinea (3) și faza (4) ale oscilațiilor forțate depind de frecvența forței motrice. La o anumită frecvență a forței motrice, amplitudinea poate atinge valori foarte mari. O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului mecanic se numește rezonanţă.
Frecvența ω a forței motrice la care se observă rezonanța se numește rezonantă. Pentru a găsi valoarea lui ω res, este necesar să găsim condiția pentru amplitudinea maximă. Pentru a face acest lucru, trebuie să determinați condiția pentru minimul numitorului din (3) (adică, examinați (3) pentru un extremum).
Se numește dependența amplitudinii unei mărimi oscilante de frecvența forței motrice curba de rezonanță. Cu cât coeficientul de amortizare β este mai mic, cu atât curba de rezonanță este mai mare și, pe măsură ce β scade, maximul curbelor de rezonanță se va deplasa spre dreapta. Dacă β = 0, atunci
ω res = ω 0 .
Când ω→0 toate curbele ajung la valoarea- abatere statica.
Rezonanța parametrică apare atunci când o modificare periodică a unuia dintre parametrii sistemului duce la o creștere bruscă a amplitudinii sistemului oscilant. De exemplu, cabinele care creează un „soare” prin schimbarea poziției centrului de greutate al sistemului (la fel în „bărci”). Vezi §61.t. 1 Savelyev I.V.
Autooscilațiile sunt acele oscilații a căror energie este reîncărcată periodic ca urmare a influenței sistemului însuși datorită unei surse de energie situată în același sistem. Vezi §59 t.1 Savelyev I.V.În realitate, vibrațiile libere apar sub acțiunea forțelor de rezistență. Forțele disipative duc la scăderea amplitudinii oscilațiilor. Oscilațiile a căror amplitudine devine mai mică în timp ca urmare a pierderii de energie se numesc amortizate.
Vibrații mecanice amortizate
DEFINIȚIE
Se numește mărimea fizică care caracterizează rata de atenuare a oscilațiilor coeficient de atenuare. Coeficientul de atenuare poate fi notat în diferite moduri: etc. Cu condiția ca forțele de frecare să fie proporționale cu viteza corpului:
unde este coeficientul de frecare generalizat, coeficientul de amortizare este considerat egal cu:
unde oscilează masa corpului.
Ecuația diferențială a oscilațiilor în prezența amortizării va avea forma:
— frecvența ciclică a vibrațiilor libere ale sistemului în absența frecării.Ecuația oscilațiilor amortizate:
Unde 
— frecvența oscilațiilor amortizate; — amplitudinea oscilațiilor amortizate. - o valoare constantă care depinde de alegerea punctului de referință temporală.
Coeficientul de atenuare poate fi definit ca reciproca timpului () în care amplitudinile (A) scad de e ori:
unde este timpul de relaxare. Adică poți scrie:
Perioada oscilațiilor amortizate este egală cu:
cu rezistența nesemnificativă a mediului, dacă inegalitatea este satisfăcută: perioada de oscilație poate fi calculată folosind formula:
Pe măsură ce coeficientul de amortizare crește, perioada de oscilație crește. Trebuie remarcat faptul că conceptul de perioadă a oscilațiilor amortizate nu coincide cu conceptul de oscilații neamortizate, deoarece sistemul, în prezența amortizarii, nu revine niciodată la starea inițială. Perioada de oscilații amortizate este perioada minimă de timp în care sistemul trece de două ori de poziția de echilibru într-o direcție.
Pe măsură ce coeficientul de amortizare a oscilației crește, frecvența oscilației scade. Dacă , atunci frecvența oscilațiilor amortizate va deveni zero, în timp ce perioada crește la infinit. Astfel de oscilații își pierd periodicitatea și se numesc aperiodice. Când coeficientul de amortizare este egal cu frecvența naturală a oscilațiilor, parametrii sistemului sunt numiți critici.
Coeficientul de amortizare a oscilației este legat de decrementul de amortizare logaritmică () prin expresia:
Oscilații electrice amortizate
Orice circuit electric care există în realitate are o rezistență activă, prin urmare, energia stocată în el în timp este cheltuită pe această rezistență, pe măsură ce se încălzește.
În acest caz, coeficientul de atenuare pentru circuitul electric se calculează astfel:
unde R este rezistența, L este inductanța circuitului.
Frecvența în circuitul electromagnetic este reprezentată de formula:
Pentru un circuit RLC, rezistența critică () la care oscilațiile devin aperiodice este o rezistență egală cu:
Unități ale coeficientului de amortizare a vibrațiilor
Unitatea de bază SI a coeficientului de atenuare este:
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Care este coeficientul de amortizare dacă amplitudinea oscilațiilor pendulului în timpul t=10 s. scade de 4 ori? |
| Soluţie | Să notăm ecuația oscilațiilor amortizate ale unui pendul: Conform uneia dintre definițiile coeficientului de atenuare: Să facem calculele:
|
| Răspuns |  |
EXEMPLUL 2
| Exercițiu | Circuitul oscilator este format dintr-un inductor L, un condensator C și o rezistență R (Fig. 1). După ce număr de oscilații complete (N) amplitudinea curentului din circuit va scădea cu e-fold? |
| Soluţie | Să introducem următoarea notație: - valoarea inițială a amplitudinii curentului, - amplitudinea curentului prin N oscilații, atunci putem scrie:
|
ȘI primești două lecții gratuite la scoala de limba engleza SkyEng!
Studiez eu acolo - este foarte tare. Există progres.
În aplicație puteți învăța cuvinte, puteți antrena ascultarea și pronunția.
Incearca. Două lecții gratuite folosind link-ul meu!
Clic
Amortizarea vibrațiilor
Oscilațiile libere în condiții reale nu pot continua pentru totdeauna. Pentru sistemele mecanice, există întotdeauna rezistență din partea mediului, în urma căreia energia de mișcare a obiectului este disipată prin frecare. În circuitele electromagnetice, oscilațiile sunt amortizate datorită rezistenței conductoarelor.
Ecuația de oscilație amortizată
Ecuația oscilațiilor amortizate descrie mișcarea sistemelor oscilatorii reale. În formă diferenţială se scrie după cum urmează:
Din această expresie putem obține o altă formă canonică:
Aici x și t sunt coordonatele spațiului și timpului, A este amplitudinea inițială. – coeficientul de amortizare, care depinde de rezistența mediului r și de masa obiectului oscilant m:
Cu cât este mai mare rezistența mediului, cu atât mai multă energie este disipată în timpul frecării vâscoase. Și invers - cu cât este mai mare masa (și, prin urmare, inerția) corpului, cu atât acesta va continua să se miște mai mult.
Frecvența ciclică a vibrațiilor libere (a aceluiași sistem, dar fără frecare) ia în considerare forța elastică din sistem (de exemplu, rigiditatea arcului k):
Strict vorbind, în cazul oscilațiilor amortizate, nu se poate vorbi despre o perioadă - timpul dintre mișcările repetate ale sistemului crește constant. Cu toate acestea, dacă oscilațiile scad lent, perioada T poate fi determinată pentru ele cu suficientă precizie:
Frecvența ciclică a oscilațiilor amortizate
O altă caracteristică a oscilațiilor amortizate este frecvența ciclică:
Timpul de relaxare este un coeficient care arată cât de mult durează pentru ca amplitudinea oscilației să scadă cu un factor de e:
Raportul amplitudinii unei mărimi în schimbare în două perioade succesive se numește decrement de amortizare:
Aceeași caracteristică este adesea prezentată sub forma unui logaritm în calcule:
Factorul de calitate Q caracterizează cât de mult forțele elastice ale sistemului depășesc forțele de rezistență ale mediului, împiedicând disiparea energiei:
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | După ce o sarcină a fost suspendată de arc, aceasta s-a întins 9,8 cm Arcul oscilează în direcția verticală. Determinați perioada de oscilație. |
| Soluţie | Deoarece arcul se întinde sub greutate, forța gravitației acționează asupra lui: Forța gravitațională este contracarată de forța elastică a arcului: Din două expresii găsim coeficientul de elasticitate: Să înlocuim coeficientul de elasticitate în formula pentru perioada oscilațiilor amortizate: Știind că decrementul de amortizare logaritmică ne permite să exprimăm cantitatea necunoscută din el, o înlocuim în numitorul formulei și exprimăm T: |
| Răspuns |
