Studiul oricărui proces fizic este asociat cu stabilirea de relații între mărimile care caracterizează acest proces. Pentru procesele complexe, care includ transferul de căldură prin conductivitate termică, atunci când se stabilește o relație între cantități, este convenabil să se utilizeze metodele fizicii matematice, care ia în considerare cursul procesului nu în întreg spațiul studiat, ci într-un volum elementar de materie într-o perioadă infinitezimală de timp. Legătura dintre cantitățile implicate în transferul de căldură prin conductivitate termică se stabilește în acest caz de așa-numita ecuația diferențială a conductibilității termice. În limitele unui volum elementar selectat și a unei perioade de timp infinit de mică, devine posibilă neglijarea modificării unor cantități care caracterizează procesul.
La derivarea ecuatiei diferentiale a conductibilitatii termice se fac urmatoarele ipoteze: marimi fizice λ, cu pȘi ρ permanent; nu există surse interne de căldură; corpul este omogen și izotrop; se folosește legea conservării energiei, care în acest caz se formulează astfel: diferența dintre cantitatea de căldură care intră datorită conductivității termice într-un paralelipiped elementar în timpul dτși lăsându-l pentru același timp, este cheltuit pentru schimbarea energiei interne a volumului elementar luat în considerare. Ca rezultat, ajungem la ecuația:
Se numește cantitatea operator Laplaceși este de obicei prescurtat ca 2 t(semnul scrie „nabla”); mărimea λ /cρ numit coeficientul de difuzivitate termicăși notat cu scrisoarea A. Cu notația indicată, ecuația diferențială a căldurii ia forma
Ecuația (1-10) se numește ecuația diferențială a conductibilității termice, sau ecuația Fourier, pentru un câmp de temperatură instabil tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este ecuația principală în studiul încălzirii și răcirii corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conductivitate termică și stabilește o legătură între schimbările temporale și spațiale ale temperaturii în orice punct al câmpului.
Coeficientul de difuzivitate termică A= λ/cρ este un parametru fizic al unei substanțe și are o unitate de măsură m 2 / s. În procesele termice nestaţionare valoarea A caracterizează viteza de schimbare a temperaturii. Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică A este o măsură a proprietăților inerțiale termice ale corpurilor. Din ecuația (1-10) rezultă că modificarea temperaturii în timp ∂t / ∂τ căci orice punct al corpului este proporțional cu valoarea A Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare va crește mai repede. Gazele au mici, iar metalele au coeficienți mari de difuzivitate termică.
Ecuația diferențială a conductibilității termice cu sursele de căldură din interiorul corpului va avea forma
Unde q v- cantitatea de căldură eliberată pe unitatea de volum a unei substanțe pe unitatea de timp; Cu- capacitatea de masă termică a corpului, ρ - densitatea corpului .
Ecuația diferențială a conductivității termice în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă va avea forma
Unde r- vector rază într-un sistem de coordonate cilindric; φ - colț.
Pagina 4
. (2.24)
Ecuația (2.24) se numește ecuația diferențială a căldurii (sau ecuația diferențială Fourier) pentru un câmp de temperatură instabil tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este fundamentală în studiul încălzirii și răcirii corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conductivitate termică și stabilește o legătură între schimbările temporale și spațiale ale temperaturii în orice punct al câmpului. Aplicarea laserului de otorinolaringologie a laserelor.
Difuzitatea termică este un parametru fizic al unei substanțe și are o unitate de m2/s. În procesele termice nestaționare, a caracterizează viteza de schimbare a temperaturii.
Din ecuația (2.24) rezultă că modificarea temperaturii în timp pentru orice punct al corpului este proporțională cu valoarea lui a. Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare crește mai repede.
Ecuația diferențială a conductibilității termice cu o sursă de căldură în interiorul corpului are forma:
, (2.25)
unde qV este puterea specifică a sursei, adică cantitatea de căldură eliberată pe unitatea de volum a unei substanțe pe unitatea de timp.
Această ecuație este scrisă în coordonate carteziene. În alte coordonate, operatorul Laplace are o formă diferită, deci se schimbă și forma ecuației. De exemplu, în coordonate cilindrice, ecuația diferențială pentru conducerea căldurii cu o sursă de căldură internă este:
, (2.26)
unde r este vectorul rază într-un sistem de coordonate cilindric;
Unghiul polar.
2.5 Condiții la limită
Ecuația diferențială Fourier rezultată descrie fenomenele de transfer de căldură prin conductivitate termică în cea mai generală formă. Pentru a-l aplica la un caz anume este necesar sa se cunoasca distributia temperaturii in organism sau conditiile initiale. În plus, ar trebui să știți:
· forma geometrică și dimensiunile corpului,
parametrii fizici ai mediului și ai corpului,
· condiții la limită care caracterizează distribuția temperaturilor pe suprafața unui corp, sau interacțiunea corpului studiat cu mediul.
Toate aceste caracteristici particulare, împreună cu ecuația diferențială, oferă o descriere completă a unui proces specific de conducere a căldurii și sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită.
De obicei, condițiile inițiale ale distribuției temperaturii sunt specificate pentru momentul de timp t = 0.
Condițiile limită pot fi specificate în trei moduri.
O condiție limită de primul fel este specificată de distribuția temperaturii pe suprafața corpului pentru orice moment în timp.
Condiția la limită de al doilea fel este specificată de densitatea fluxului de căldură la suprafață în fiecare punct de pe suprafața corpului pentru orice moment în timp.
Condiția de limită a celui de-al treilea fel este dată de temperatura mediului care înconjoară corpul și legea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu.
Rezolvarea ecuației diferențiale a conductibilității termice în condiții date de neambiguitate face posibilă determinarea câmpului de temperatură în întregul volum al corpului pentru orice moment în timp sau găsirea funcției 
.
2.6 Conducție termică printr-un perete cu bile
Ținând cont de terminologia descrisă în secțiunile 2.1 - 2.5, sarcina acestui lucru de curs poate fi formulată după cum urmează. Un flux de căldură constant este direcționat prin peretele sferic, iar sursa de căldură este sfera interioară cu raza R1. Puterea sursei P este constantă. Mediul dintre sferele limită este izotrop, prin urmare conductivitatea sa termică c este o funcție a unei variabile - distanța de la centrul sferelor (raza) r. În funcție de condițiile problemei 
. Ca urmare, temperatura mediului este și în acest caz o funcție a unei variabile - raza r: T = T(r), iar suprafețele izoterme sunt sfere concentrice. Astfel, câmpul de temperatură dorit este staționar și unidimensional, iar condițiile la limită sunt condiții de primul fel: T(R1) = T1, T(R2) = T2.
Din unidimensionalitatea câmpului de temperatură rezultă că densitatea fluxului de căldură j, precum și conductibilitatea termică și temperatura, sunt în acest caz funcții ale unei variabile - raza r. Funcțiile necunoscute j(r) și T(r) pot fi determinate în unul din două moduri: fie rezolvând ecuația diferențială Fourier (2.25) fie folosind legea lui Fourier (2.11). În această lucrare a fost aleasă a doua metodă. Legea lui Fourier pentru câmpul de temperatură simetric sferic unidimensional studiat are forma: 1 4
Unde cu p, J/(kg×K) – capacitate termică izobară; r, kg/m 3 – densitate; l, W/(m×K) – coeficient de conductivitate termică; w x, w y, w z– proiecții ale vectorului viteză fluidului; q v, W/m 3 – densitatea volumetrică a degajării de căldură internă a lichidului.
Ecuația (1.12) este scrisă pentru acest caz l=const.
Diferenţial pentru solide se numește ecuația diferențială a căldurii și poate fi obținută din (1.12) cu condiția w x = w y = w z = 0, cu p=cu v=Cu:
,
unde este coeficientul de difuzivitate termică, care caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism. Valori a = f(t) pentru diverse organisme sunt date în cărți de referință.
Ecuația căldurii diferențiale
 | (1.13) |
descrie câmpul de temperatură nestaționar al solidelor cu degajare internă de căldură (cu surse interne de căldură). Astfel de surse de căldură pot fi: Căldura Joule eliberată atunci când curentul electric trece prin conductori; căldura degajată de barele de combustibil ale reactoarelor nucleare etc.
Ecuația diferențială a căldurii (1.13), scrisă în coordonate carteziene, poate fi reprezentată în formă cilindrice (r,z, φ) si sferica (r, φ , ψ).
În special, în cilindric coordonate ( r – rază; φ – unghi polar; z- aplicate) ecuatia diferentiala a conductibilitatii termice are forma
 | (1.14) |
Condiții de unicitate
Ecuația diferențială descrie multe procese de conducere a căldurii. Pentru a selecta un anumit proces din acest set, este necesar să se formuleze caracteristicile acestui proces, care sunt numite condiţii de lipsă de ambiguitate și includ:
· conditii geometrice , care caracterizează forma și dimensiunea corpului;
· condiţiile fizice , care caracterizează proprietățile corpurilor care participă la schimbul de căldură;
· condiţiile de frontieră , caracterizarea condițiilor procesului la limita corpului;
· condiții inițiale , care caracterizează starea inițială a sistemului la procese nestaţionare.
La rezolvarea problemelor de conductivitate termică se disting următoarele:
· condiţii la limită de primul fel, când este specificată distribuția temperaturii pe suprafața corpului:
t c = f (x, y, z, τ) sau t c =const;
· condiţii la limită de al doilea fel, când este specificată densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului:
q c = f (x, y, z, τ) sau q c =const;
· condiţii la limită de al treilea fel, când temperatura ambientală este setată tși coeficientul de transfer de căldură între suprafață și mediu.
În conformitate cu legea Newton-Richmann, fluxul de căldură este transferat de la o suprafață de 1 m 2 într-un mediu cu o temperatură t,
În același timp, acest flux de căldură este furnizat la o suprafață de 1 m 2 din straturile adânci ale corpului prin conductivitate termică.
Apoi, ecuația de echilibru termic pentru suprafața corpului va fi scrisă sub formă
 | (1.15) |
Ecuația (1.15) este o formulare matematică a condițiilor la limită de al treilea fel.
Sistemul de ecuații diferențiale, împreună cu condițiile de unicitate, reprezintă o formulare matematică a problemei. Soluțiile ecuațiilor diferențiale conțin constante de integrare, care sunt determinate folosind condiții de unicitate.
Testați întrebări și sarcini
1. Analizați în ce moduri se transferă căldura de la apa fierbinte la aer prin peretele unui radiator de încălzire: de la apă la suprafața interioară, prin perete, de la suprafața exterioară la aer.
2. De ce există un minus în partea dreaptă a ecuației (1.3)?
3. Analizați relația folosind literatura de referință λ(t) pentru metale, aliaje, materiale termoizolante, gaze, lichide și răspunde la întrebarea: cum se modifică coeficientul de conductivitate termică cu temperatura pentru aceste materiale?
4. Cum se determină fluxul de căldură? (Q, W ) cu transfer de căldură convectiv, conductivitate termică, radiație termică?
5. Notați ecuația diferențială a conductibilității termice în coordonate carteziene, descriind un câmp de temperatură staționar tridimensional fără surse interne de căldură.
6. Notați ecuația diferențială pentru câmpul de temperatură al unui fir care este alimentat mult timp sub o sarcină electrică constantă.
2. CONDUCTIVITATE TERMICA SI TRANSFER DE CALDURA
ÎN MOD STATIONAR
2.1. Conductibilitatea termică a unui perete plat
Dat: grosimea peretelui plat uniform δ (Fig. 2.1) cu un coeficient de conductivitate termică constant λ si temperaturi constante t 1Și t 2 pe suprafete.
Defini:
ecuația câmpului temperaturii t=f(x)și densitatea fluxului de căldură q, W/m2.
Câmpul de temperatură al peretelui este descris de ecuația diferențială a conductibilității termice (1.3) în următoarele condiții:
· deoarece modul este staționar;
· deoarece nu există surse interne de căldură;
· 
deoarece temperatura t 1Și t 2 pe suprafete peretii sunt constanti.
Temperatura peretelui este în funcție de o singură coordonată X iar ecuația (1.13) ia forma
Expresiile (2.1), (2.2), (2.3) sunt o formulare matematică a problemei, a cărei soluție ne va permite să obținem ecuația dorită a câmpului de temperatură. t=f(x).
Ecuația de integrare (2.1) dă
La integrarea repetată, obținem o soluție a ecuației diferențiale în formă
Dependenta t=f(x), conform (2.5) – o linie dreaptă (Fig. 2.1), ceea ce este adevărat când λ=const.
Pentru a determina densitatea fluxului de căldură care trece prin perete, folosim legea lui Fourier
Tinand cont 
obținem o formulă de calcul pentru densitatea fluxului de căldură transmis printr-un perete plat,
Formula (2.6) poate fi scrisă sub forma
Unde 
Se numește cantitatea rezistența termică a conductibilității termice perete plat.
Pe baza Eq.
q R=t 1 – t 2
putem concluziona că rezistența termică a peretelui este direct proporțională cu diferența de temperatură pe grosimea peretelui.
Luați în considerare dependența coeficientului de conductivitate termică de temperatură, λ(t), este posibil dacă înlocuim valorile în ecuațiile (2.6) și (2.7) λ medie pentru intervalul de temperatură t 1 – t 2.
Să luăm în considerare conductivitatea termică perete plat multistrat, constând, de exemplu, din trei straturi
(Fig. 2.2).
Dat:δ 1, δ2, δ 3, λ 1, λ 2, λ 3, t 1 =const, t 4 =const.
Defini: q, W/m2; t 2, t 3.
În condiții staționare și temperaturi constante ale suprafețelor pereților, fluxul de căldură transmis printr-un perete cu trei straturi poate fi reprezentat printr-un sistem de ecuații:
Temperaturi la limitele straturilor t 2Și t 3 poate fi calculat folosind ecuațiile (2.8) – (2.10) după densitatea fluxului de căldură ( q) prin (2.12).
Forma generală a ecuației (2.12) pentru un perete plat multistrat constând din P straturi omogene cu temperaturi constante pe suprafetele exterioare si , are forma
2.2. Conductibilitatea termică a unui perete cilindric
în condiţii la limită de primul fel
Dat:
Perete cilindric omogen (perete conductă) cu rază interioară r 1, extern – r 2, lungime , cu un coeficient de conductivitate termică constant λ
, cu temperaturi constante pe suprafete t 1Și t 2.
(Fig. 2.3).
Defini: ecuația câmpului temperaturii
t = f(r), fluxul de căldură transferat prin perete
Q, mar.
Ecuația de căldură diferențială în coordonate cilindrice (1.14) pentru condițiile acestei probleme:
ia forma
Procedura de rezolvare a sistemului de ecuații (2.15) – (2.17) este aceeași ca și în cazul unui perete plat: se găsește integrala generală a ecuației diferențiale de ordinul doi (2.15), care conține două constante de integrare.
de la 1Și de la 2. Acestea din urmă sunt determinate folosind condițiile la limită (2.16) și (2.17) și după înlocuirea valorilor lor în soluția ecuației diferențiale (integrala generală) obținem ecuația câmpului de temperatură al unui perete cilindric t = f (r) la fel de
Dacă luăm derivata părții drepte a ecuației (2.18) și o înlocuim în (2.19), obținem formula de calcul pentru fluxul termic al unui perete cilindric
 | (2.20) |
În calculele tehnice, debitul de căldură este adesea calculat pentru 1 m lungime de țeavă:
si se numeste densitatea fluxului termic liniar.
Să scriem ecuația (2.20) sub forma
Unde 
– rezistența termică la conductibilitatea termică a unui perete cilindric.
Pentru perete cilindric cu trei straturi(o conductă acoperită cu două straturi de izolație termică) cu temperaturi de suprafață constante cunoscute ( t 1Și t 4), cu dimensiuni geometrice cunoscute ( r 1, r 2, r 3, r 4, ) și coeficienții de conductivitate termică a straturilor ( λ 1, λ 2, λ 3) (Fig. 2.4) putem scrie următoarele ecuații pentru fluxul de căldură Q:
Temperaturile la limitele straturilor (t 2,t 3) poate fi calculat folosind ecuațiile (2.21).
Pentru perete cilindric multistrat, constând din P straturi, formula (2.22) poate fi scrisă în forma generală
 | (2.23) |
Coeficient de conductivitate termică eficient pentru un perete cilindric multistrat, precum și pentru un perete plat multistrat, se determină din egalitatea sumei rezistențelor termice ale peretelui multistrat cu rezistența termică a unui perete omogen de aceeași grosime ca și peretele multistrat. Deci, pentru izolarea termică în două straturi a unei țevi
(Fig. 2.4) coeficient de conductivitate termică efectivă (λeff) se va determina din egalitate
2.3. Conductibilitatea termică a pereților plani și cilindrici
în condiții limită de al treilea fel (transfer de căldură)
Condiții limită de al treilea fel constau in setarea temperaturii lichidului (t)și coeficientul de transfer termic () între suprafața peretelui și lichid.
Transferul de căldură de la un lichid la altul prin peretele care le desparte se numește transfer de căldură.
Exemple de transfer de căldură sunt transferul de căldură de la gazele de ardere la apă prin peretele conductei unui cazan cu abur, transferul de căldură de la apa fierbinte la aerul din jur prin peretele unui radiator de încălzire etc.
Schimbul de căldură între suprafață și mediu (lichid de răcire) poate fi convective, dacă lichidul de răcire este lichid (apă, ulei etc.) sau radiație-convectivă când căldura este transferată prin schimb de căldură convectiv și radiație, dacă lichidul de răcire este gaz (gaze de ardere, aer etc.).
Să luăm în considerare transferul de căldură prin pereți plani și cilindrici în condiția doar schimbului de căldură convectiv pe suprafețe. Transferul de căldură cu transfer de căldură radiație-convectiv (transfer complex de căldură) pe suprafețe va fi discutat mai târziu.Transferul de căldură W/m 2 (Q
Dacă a 1Și a 2 pe măsura.
Transfer de căldură printr-un perete cilindric cu mai multe straturi calculat prin formula
| (2.35) |
Unde F 1Și F 2– zona suprafețelor interioare și exterioare ale peretelui cilindric multistrat.
1. Ecuația diferențială a conductibilității termice fără surse interne de căldură ( = 0) :
2. Ecuația diferențială a conductibilității termice fără surse interne de căldură în coordonate cilindrice.
În coordonate cilindrice, în care unde r– vector rază, – unghi polar, ecuația va arăta ca
Condiții de unicitate pentru procesele de conducție a căldurii. Ecuația diferențială a conductibilității termice descrie nu unul, ci o întreagă clasă de fenomene de conductivitate termică. Pentru a obține o descriere analitică a unui anumit proces, este necesar să se indice caracteristicile sale particulare, care, împreună cu ecuația diferențială, oferă o descriere matematică completă a procesului specific de conducere a căldurii și sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită.
Condițiile de unicitate includ:
Condiții geometrice care caracterizează forma și dimensiunea corpului în care are loc procesul;
Condiții fizice care caracterizează proprietățile fizice ale mediului și ale corpului;
Condiții temporare sau inițiale care caracterizează distribuția temperaturii în organism la momentul inițial de timp;
Condiții limită care caracterizează condițiile de interacțiune dintre organismul luat în considerare și mediu.
Condițiile limită pot fi specificate în mai multe moduri.
Condițiile limită de primul fel specifică distribuția temperaturii pe suprafața corpului pentru fiecare moment de timp:
Condițiile limită de al doilea tip specifică valorile fluxului de căldură pentru fiecare punct de pe suprafața corpului și în orice moment:
Condițiile limită de al treilea fel stabilesc temperatura mediului și legea schimbului de căldură între corp și mediu, care este folosită ca lege a transferului de căldură (ecuația Newton-Richmann):
Conform acestei legi, densitatea fluxului de căldură la suprafață
corpul este proporțional cu diferența de temperatură dintre suprafața peretelui și mediu. Coeficientul de proporționalitate din această ecuație se numește coeficient de transfer de căldură și se notează cu a, [W/(m 2 ×K)]. Caracterizează intensitatea schimbului de căldură între suprafața corpului și mediu.
Pe de altă parte, aceeași densitate a fluxului de căldură poate fi găsită din ecuația:
unde indicele „c” indică faptul că gradientul de temperatură este calculat pe suprafața corpului. Obținem o expresie analitică pentru condițiile la limită de al treilea fel:
Condițiile limită de al patrulea fel iau în considerare cazul când două sau mai multe corpuri sunt în contact strâns unul cu celălalt. În acest caz, fluxul de căldură care trece prin suprafața unui corp va trece și prin suprafața altui corp (nu există pierderi de căldură în punctul de contact).
Cursul 2. Secțiunea 2. Conductivitatea termică în regim staționar
Întrebarea 23 Care este căldura specifică de fuziune a gheții?
Căldura specifică de fuziune se găsește prin formula:
unde Q este cantitatea de căldură necesară pentru a topi un corp de masă m.
la solidificare, substanțele eliberează aceeași cantitate de căldură necesară pentru a le topi. Moleculele, pierzând energie, formează cristale, neputând rezista atracției altor molecule. Și din nou, temperatura corpului nu va scădea până când întregul corp nu se va întări și până când toată energia care a fost cheltuită la topirea lui nu va fi eliberată. Adică, căldura specifică de fuziune arată atât câtă energie trebuie consumată pentru a topi un corp de masă m, cât și câtă energie va fi eliberată atunci când un anumit corp se solidifică.
De exemplu, căldura specifică de fuziune a apei în stare solidă, adică căldura specifică de fuziune a gheții este de 3,4*10^5 J/kg
Căldura specifică de fuziune a gheții este de 3,4 ori 10 la a 5-a putere joule/kg
Căldura specifică de fuziune este notă cu litera greacă λ (lambda), iar unitatea de măsură este 1 J/kg
Întrebarea 24 Să notăm L1 ca căldură specifică de vaporizare și L2 ca căldură specifică de fuziune. Asta mai mult?
Deoarece un corp câștigă energie în timpul vaporizării, putem concluziona că energia internă a unui corp în stare gazoasă este mai mare decât energia internă a unui corp de aceeași masă în stare lichidă. Prin urmare, în timpul condensului, aburul eliberează cantitatea de energie necesară pentru formarea sa
Căldura specifică de vaporizare– o mărime fizică care arată cantitatea de căldură necesară pentru a transforma 1 kg dintr-o substanță în abur fără a-i schimba temperatura. Cote " r
Căldura specifică de fuziune– o mărime fizică care arată cantitatea de căldură necesară pentru a transforma 1 kg dintr-o substanță în lichid fără a-i modifica temperatura. Cote " λ » pentru diferite substanțe, de regulă, sunt diferite. Ele sunt măsurate empiric și introduse în tabele speciale
Căldura specifică de vaporizare este mai mare
Întrebarea 25: ecuația diferențială a căldurii pentru un câmp de temperatură instabil bidimensional în coordonate carteziene?
x i = x, y, z – sistem de coordonate carteziene;
Dacă temperatura rămâne constantă de-a lungul uneia dintre coordonate, atunci matematic această condiție se scrie (de exemplu, pentru coordonata z) după cum urmează: dT/dz=0.
În acest caz, câmpul se numește bidimensional și se scrie:
pentru modul nestaționar T=T(x, y, t);
pentru modul staționar T=T(x, y).
Ecuațiile unui câmp de temperatură bidimensional pentru modul
nestaționar:
Întrebarea 26: ecuația diferențială a căldurii pentru un câmp de temperatură nestaționar în coordonate cilindrice?
x i = r, φ, z – sistem de coordonate cilindric;
Câmp de temperatură este un set de valori ale temperaturii în toate punctele unui domeniu de calcul dat și în timp.
Câmpul de temperatură se măsoară în grade Celsius și Kelvin și se desemnează în același mod ca în TTD: , unde x i sunt coordonatele punctului din spațiu în care se găsește temperatura, în metri [m]; τ – timpul procesului de schimb de căldură în secunde, [s]. Acea. câmpul de temperatură se caracterizează prin numărul de coordonate și comportamentul acestuia în timp.
Următoarele sisteme de coordonate sunt utilizate în calculele termice:
x i = r, φ, z – sistem de coordonate cilindric;
Câmpul de temperatură, care se schimba in timp, numit nestaționare câmp de temperatură. Și invers, câmpul de temperatură, care nu se schimbă în timp, numit staționar câmp de temperatură.
cilindric coordonate (r – raza; φ – unghi polar; z – aplica), ecuația diferențială a conductibilității termice are forma
,
