Introduceți funcția pentru care trebuie să găsiți integrala
Calculatorul oferă soluții DETALIATE pentru integrale definite.
Acest calculator găsește o soluție la integrala definită a funcției f(x) cu limite superioare și inferioare date.
Exemple
Folosind gradul
(pătrat și cub) și fracții
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Rădăcină pătrată
Sqrt(x)/(x + 1)
Rădăcină cubă
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Folosind sinus și cosinus
2*sin(x)*cos(x)
arcsinus
X*arcsin(x)
arc cosinus
X*arccos(x)
Aplicarea logaritmului
X*log(x, 10)
Logaritmul natural
Expozant
Tg(x)*sin(x)
Cotangentă
Ctg(x)*cos(x)
Fracții iraționale
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Arctangent
X*arctg(x)
Arccotangent
X*arсctg(x)
Sinus și cosinus hiperbolic
2*sh(x)*ch(x)
Tangenta hiperbolica si cotangenta
Ctgh(x)/tgh(x)
Arcsinus și arccosin hiperbolic
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Arctangentă și arctangentă hiperbolice
X^2*arctgh(x)*arctgh(x)
Reguli de introducere a expresiilor și funcțiilor
Expresiile pot consta din funcții (notațiile sunt date în ordine alfabetică): absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau |x|)
arccos(x) Funcția - arc cosinus al X arccosh(x) Arc cosinus hiperbolic de la X arcsin(x) Arcsine din X arcsinh(x) Arcsin hiperbolic din X arctan(x) Funcția - arctangent de X arctgh(x) Arctangent hiperbolic din X e e un număr care este aproximativ egal cu 2,7 exp(x) Funcție - exponent al X(la fel de e^X)
log(x) sau ln(x) Logaritmul natural al X
(A obtine log7(x), trebuie să introduceți log(x)/log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numărul este „Pi”, care este aproximativ egal cu 3,14 sin(x) Funcție - Sinus de X cos(x) Funcția - Cosinus de X sinh(x) Funcție - Sinus hiperbolic de la X cosh(x) Funcție - Cosinus hiperbolic de la X sqrt(x) Funcția - rădăcină pătrată a X sqr(x) sau x^2 Funcție - Pătrat X tan(x) Functie - Tangenta de la X tgh(x) Functie - Tangenta hiperbolica de la X cbrt(x) Funcție - rădăcină cubă a X
Următoarele operații pot fi utilizate în expresii: Numere reale intra ca 7.5
, Nu 7,5
2*x- înmulțirea 3/x- Divizia x^3- exponentiarea x+7- adaos x - 6- scăderea
Alte caracteristici: podea(x) Funcție - rotunjire Xîn jos (exemplu etaj(4,5)==4,0) plafon (x) Funcție - rotunjire Xîn sus (exemplu plafon (4,5)==5,0) semn(x) Funcție - Semn X erf(x) Funcție de eroare (sau integrală de probabilitate) laplace(x) Funcția Laplace
Serviciu online la site-ul web vă permite să găsiți rezolvarea integrală definitivă online. Soluția se realizează automat pe server și rezultatul este dat utilizatorului în câteva secunde. Toate serviciile online de pe site sunt absolut gratuite, iar soluția este furnizată într-o formă convenabilă și de înțeles. Avantajul nostru este, de asemenea, că oferim utilizatorului posibilitatea de a intra în limitele integrării, inclusiv în limitele integrării: minus și plus infinit. Astfel, rezolvarea unei integrale definite devine simplă, rapidă și de înaltă calitate. Este important ca serverul să permită calcula integrale definite online funcții complexe, a căror soluție este adesea imposibilă pe alte servicii online din cauza imperfecțiunii sistemelor lor. Oferim un mecanism foarte simplu și intuitiv de introducere a funcțiilor și posibilitatea de a selecta o variabilă de integrare, pentru care nu trebuie să traduceți o funcție definită într-o variabilă în alta, eliminând erorile și greșelile de scriere asociate. Pagina oferă, de asemenea, link-uri către articole teoretice și tabele despre rezolvarea anumitor integrale. Totul luat împreună vă va permite să calculați o integrală definită online foarte rapid și, dacă doriți, să găsiți și să înțelegeți teoria rezolvării integralelor definite. Pe http://site-ul puteti accesa si alte servicii: solutie online de limite, derivate, sume de serie. Accesul la fila pentru rezolvarea integralelor nedefinite online este destul de simplu - linkul se află în rândul dintre linkurile utile. Mai mult, serviciul este în mod constant îmbunătățit și dezvoltat, iar în fiecare zi apar tot mai multe funcții și îmbunătățiri noi. Rezolvați integrale definite impreuna cu noi! Toate serviciile online sunt disponibile chiar și pentru utilizatorii neînregistrați și sunt absolut gratuite.
Rezolvând o integrală definită cu noi, vă puteți verifica propria soluție sau puteți scăpa de calculele care necesită forță de muncă inutile și aveți încredere într-o mașină automată de înaltă tehnologie. Precizia calculată în serviciu va satisface aproape orice standard de inginerie. Adesea, pentru multe integrale definite tabelare, rezultatul este dat în expresie exactă (folosind constante bine cunoscute și funcții neelementare).
Exemple de calculare a integralelor nedefinite
Calculul integralei din tabel
Integrare prin substituire:
Exemple de calcule integrale
Formula de bază Newton-Leibniz
Calcule de înlocuire
Capitolul 4 Ecuații diferențiale.
Ecuație diferențială este o ecuație care leagă o variabilă independentă între ele X , funcția necesară la și derivatele sau diferențialele sale.
Ecuația diferențiată simbolic se scrie după cum urmează:
Ecuația diferențială se numește comun, dacă funcția necesară depinde de o variabilă independentă.
În ordine a unei ecuații diferențiale este de ordinul celei mai mari derivate (sau diferențiale) inclusă în această ecuație.
Prin decizie(sau integrală) a unei ecuații diferențiale este o funcție care transformă această ecuație într-o identitate.
Soluție generală(sau integrală generală) a unei ecuații diferențiale este o soluție care include tot atâtea constante arbitrare independente câte ordinea ecuației. Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi conține o constantă arbitrară.
Decizie privată O ecuație diferențială este o soluție obținută dintr-o soluție generală pentru diferite valori numerice ale constantelor arbitrare. Valorile constantelor arbitrare se găsesc la anumite valori inițiale ale argumentului și funcției.
Graficul unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.
Soluția generală a unei ecuații diferențiale corespunde unei mulțimi (familii) de toate curbele integrale.
Ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație care include derivate (sau diferențiale) de ordinul întâi.
Ecuație diferențială cu variabile separabile numită ecuație a formei
Pentru a rezolva această ecuație, trebuie mai întâi să separați variabilele:
și apoi integrați ambele părți ale egalității rezultate:
1. Găsiți soluția generală a ecuației
o Împărțirea variabilelor pe care le avem
Integrarea ambelor părți ale ecuației rezultate:
Deoarece o constantă arbitrară CU poate lua orice valoare numerică, apoi pentru comoditatea transformărilor ulterioare, în loc de C am scris (1/2)ln C. Potenționând ultima egalitate pe care o obținem
Aceasta este soluția generală a acestei ecuații.
Literatură
V. G. Boltyansky, Ce este diferențierea, „Prelegeri populare despre matematică”,
Numărul 17, Gostekhizdat 1955, 64 pagini.
V. A. Gusev, A. G. Mordkovich „Matematică”
G. M. Fikhtengolts „Curs de calcul diferențial și integral”, volumul 1
V. M. Borodikhin, Matematică superioară, manual. manual, ISBN 5-7782-0422-1.
Nikolsky S. M. Capitolul 9. Integrala definită a lui Riemann // Curs de analiză matematică. - 1990. - T. 1.
Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Capitolul 6. Integrală nedefinită // Fundamentele analizei matematice. - 1998. - T. 1. - (Curs de matematică superioară şi fizică matematică).
Demidovich B.P. Secţiunea 3. Integrală nedeterminată // Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică. - 1990. - (Curs de matematică superioară şi fizică matematică).
Valutse I.I., Diligul G.D. Matematică pentru școlile tehnice bazate pe școlile secundare: Manual-ediția a II-a, revizuită. si suplimentare M.6 Știință. 1989
Kolyagin Yu.M. Yakovlev G.N. matematică pentru școlile tehnice. Algebra și începuturile analizei, părțile 1 și 2. Editura „Naukka” M., 1981.
Shchipachev V.S. Probleme la matematică superioară: Proc. Un manual pentru universități. Superior Shk. 1997
Bogomolov N.V. lecții practice de matematică: manual. Manual pentru școlile tehnice. Superior Shk 1997
Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?
Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.
Studiem conceptul « integrală »
Integrarea era cunoscută încă din Egiptul Antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Și Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.
Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.
Integrală nedefinită
Să avem o funcție f(x) .
Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .
Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.
Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.
Exemplu simplu:
Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.
Tabel complet de integrale pentru elevi
Integrala definita
Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.
Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.
Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și de graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:
Punctele a și b se numesc limite de integrare.
« Integral »
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare
Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine
Proprietățile integralei nedefinite
Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.
- Derivata integralei este egala cu integrandul:
- Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:
- Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:
Proprietățile unei integrale definite
- Linearitate:
- Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:
- La orice puncte A, bȘi Cu:
Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:
Exemple de rezolvare a integralelor
Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.
Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.
În fiecare capitol vor exista sarcini pentru soluții independente, la care puteți vedea răspunsurile.
Conceptul de integrală definită și formula Newton-Leibniz
Printr-o integrală definită dintr-o funcție continuă f(X) pe segmentul final [ A, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, se folosește notația
După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), o integrală determinată poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ(Se calculează ca diferența dintre valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(A)).
Numerele AȘi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării și segmentul [ A, b] – segment de integrare.
Astfel, dacă F(X) – oarecare funcție antiderivată pt f(X), apoi, conform definiției,
(38)
Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferență F(b) – F(A) se scrie pe scurt după cum urmează:
Prin urmare, vom scrie formula Newton-Leibniz astfel:
(39)
Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lăsa F(X) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(X) + C. De aceea
Aceasta stabilește că pe segmentul [ A, b] creșteri ale tuturor antiderivatelor funcției f(X) se potrivesc.
Astfel, pentru a calcula o integrală definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant CU excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare A si se calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..
La A = b prin definiție acceptat
Exemplul 1.
Soluţie. Mai întâi, să găsim integrala nedefinită:
Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat
(la CU= 0), obținem
Cu toate acestea, atunci când se calculează o integrală definită, este mai bine să nu se găsească antiderivată separat, ci să se scrie imediat integrala în forma (39).
Exemplul 2. Calculați integrala definită
Soluţie. Folosind formula
Găsiți singur integrala definită și apoi uitați-vă la soluție
Proprietățile integralei definite
Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică
(40)
Lăsa F(X) – antiderivat pt f(X). Pentru f(t) antiderivatul are aceeași funcție F(t), în care variabila independentă este desemnată doar diferit. Prin urmare,
Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor
Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite, adică
(41)
Teorema 4.Integrala definită a unei sume algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică
(42)
Teorema 5.Dacă un segment de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment este egală cu suma integralelor definite din părțile sale, adică Dacă
(43)
Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică
(44)
Teorema 7(teorema valorii medii). O integrală definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică
(45)
Teorema 8.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. Dacă
Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea
pot fi integrate termen cu termen, adică
(46)
Proprietățile integralei definite fac posibilă simplificarea calculului direct al integralelor.
Exemplul 5. Calculați integrala definită
Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale de tabel (7) și (6), obținem
Integrală definită cu limită superioară variabilă
Lăsa f(X) – continuu pe segmentul [ A, b] funcția și F(X) este antiderivatul său. Luați în considerare integrala definită
(47)
si prin t variabila de integrare este desemnată pentru a nu o confunda cu limita superioară. Când se schimbă X se modifică și integrala definită (47), adică. este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care o notăm prin F(X), adică
(48)
Să demonstrăm că funcția F(X) este un antiderivat pentru f(X) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim
deoarece F(X) – antiderivat pt f(X), A F(A) este o valoare constantă.
Funcţie F(X) – unul din numărul infinit de antiderivate pt f(X), și anume cel care X = A merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem X = Ași folosiți teorema 1 din paragraful anterior.
Calculul integralelor definite prin metoda integrarii pe parti si metoda schimbarii variabilei
unde, prin definiție, F(X) – antiderivat pt f(X). Dacă schimbăm variabila în integrand
apoi, în conformitate cu formula (16), putem scrie
În această expresie
functie antiderivata pentru
De fapt, derivatul său, conform regula de diferentiere a functiilor complexe, este egal
Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția
ia valori în consecință AȘi b, adică
Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(A) Există
