Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее к
оордината. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с < 0
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.
Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)
Немного теории
Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.
Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.
Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:
\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]
Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным . Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.
Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:
Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.
Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:
График модуля и пример решения уравнения
Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)
Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:
Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой
Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)
Основная формула
Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?
Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:
\[\left| x \right|=3\]
Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:
\[\left| 3 \right|=3\]
А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.
Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.
Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left(x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]
Ну и как такое решать? Напомню: $f\left(x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:
\[\left| 2x+1 \right|=5\]
\[\left| 10x-5 \right|=-65\]
Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.
А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:
\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:
Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.
Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:
\[\left\{ \begin{align}& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end{align} \right.\Rightarrow -2x-1=5\Rightarrow 2x+1=-5\]
Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:
Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?
Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.
Избавление от знака модуля
Пусть нам дано уравнение $\left| f\left(x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого
\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:
\[\begin{align}& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac{14}{5}=-2,8. \\\end{align}\]
Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.
Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:
\[\left| 7-5x \right|=13\]
Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:
\[\begin{align}& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac{6}{5}=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end{align}\]
Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.
Случай переменной правой части
А теперь рассмотрим вот такое уравнение:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\]
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.
Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.
А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».
Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end{align} \right.\]
Применительно к нашему уравнению получим:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end{align} \right.\]
Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.
Поэтому решим-ка само уравнение:
\[\begin{align}& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3}; \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end{align}\]
Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x={4}/{3}\;$ и $x=0$. Вот и всё решение.:)
Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:
\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\]
Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
И решается оно точно так же:
\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=\pm \left(x-{{x}^{3}} \right), \\& x-{{x}^{3}}\ge 0. \\\end{align} \right.\]
С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:
\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}\]
Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:
\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \\& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \\\end{align}\]
Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:
\[{{x}^{2}}\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{2}}=0 \\& 2x-3=0 \\\end{align} \right.\]
\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{3}{2}=1,5.\]
Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:
\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-\left(x-{{x}^{3}} \right); \\& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \\& -3{{x}^{2}}+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end{align}\]
Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:
\[\left[ \begin{align}& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end{align} \right.\]
Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3}\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:
Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:
\[\begin{align}& x=0\Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} \lt 0; \\& x=\frac{2}{3}\Rightarrow x-{{x}^{3}}=\frac{2}{3}-\frac{8}{27}=\frac{10}{27}\ge 0; \\\end{align}\]
Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:
\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{2}{3}.\]
Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.
Уравнения с двумя модулями
До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или даже более простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]
Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.
Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.
Давайте попробуем решать вот такую задачу:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]
Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Рассмотрим отдельно каждый случай:
\[\begin{align}& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end{align}\]
В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)
Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:
Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)
В итоге окончательный ответ: $x=1$.
Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:
\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\]
Опять у нас уравнение вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:
\[{{x}^{2}}-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:
Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.
Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:
\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\Rightarrow \left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]
Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)
В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:
\[\begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \\& {{x}^{2}}-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \\\end{align}\]
Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:
\[{{x}^{2}}-2x+1={{\left(x-1 \right)}^{2}}\]
Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:
\[{{x}_{1}}=3;\quad {{x}_{2}}=1.\]
Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)
Важное замечание . Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:
\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end{align}\]
Одно из свойств модуля: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:
\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:
\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end{align}\]
Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[\left[ \begin{align}& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end{align} \right.\]
Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)
Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)
Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.
Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.
Итак, уравнение:
\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\]
Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)
В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:
\[\begin{align}& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end{align}\]
Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:
\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \left| x-{{x}^{3}} \right|=0, \\& \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0. \\\end{align} \right.\]
А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:
\[{{x}^{2}}+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-2 \\& x=1 \\\end{align} \right.\]
Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.
Метод расщепления
Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:
\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]
В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:
\[\left| a \right|=\left\{ \begin{align}& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end{align} \right.\]
Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.
Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:
Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:
Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac{5}{3}$ в это условие и проверим:
Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(
Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:
Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:
Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!
А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:
Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:
Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):
Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:
Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)
Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:
Объединение корней в уравнениях с модулем
Итого окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{5}{3} \right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.
Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:
- Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
- Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
- Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.
Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:
Разбиение числовой оси на интервалы с помощью точек
Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:
- Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
- Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
- Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!
Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.
На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.
Большую роль в развитии математического мышления играет изучение темы «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» Вместе с тем изучению этой темы в школьной программе не уделяется достаточного внимания. Наш интерес к теме объясняется тем, что уравнения с модулем предлагаются на школьных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы (на ЕГЭ).
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п. Модуль объемного сжатия (в физике) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
1. 1. Определение модуля. Решение по определению.
По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a:
Модуль числа всегда неотрицателен. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить уравнение x = 5.
Следуя определению модуля, рассматриваем два случая. При x ≥ 0 уравнение принимает вид x = 5, а при x 0, а –5
Ответ: 5; –5.
Пример 2. Решить уравнение –x = –3.
Здесь разбор случаев устраивать не нужно, потому что абсолютная величина числа всегда неотрицательна, и значит, данное уравнение не имеет решений.
Запишем решение этих простейших уравнений в общем виде:
Пример 3. Решить уравнение x = 2 – x.
Решение. При x ≥ 0 имеем уравнение x = 2 – x, т. е. x = 1. Поскольку 1 > 0, x = 1 – корень исходного уравнения. Во втором случае (x
Ответ: x = 1.
Пример 4. Решить уравнение 3x – 3 + x = –1.
Решение. Здесь разбиение на случаи определяется знаком выражения x – 3. При x – 3 ≥ 0 имеем 3x – 9 + x = –1 ⇔ x = 2. Но 2 – 3 0.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример 5. Решить уравнение x – 1 = 1 – x.
Решение. Поскольку 1 – x = – (x – 1), непосредственно из определения модуля следует, что уравнению удовлетворяют те и только те x, для которых x – 1 ≤ 0. Это уравнение свелось к неравенству, и ответом является целый промежуток (луч).
Ответ: x ≤ 1.
Пример 6. Решить уравнение x –3 = 3 – 2x.
Рассматриваем два случая.
При x – 3 ≥ 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 ≥ 0, задающему рассматриваемый случай, и потому не входит в ответ исходного уравнения.
Ответ: х = 0.
1. 2. Решение уравнений по правилам.
Разобранные ранее примеры позволяют сформулировать правила освобождения от знака модуля в уравнениях. Для уравнений вида f(x) = g(x) таких правил два:
1-е правило: f(x) = g(x) ⇔ (1)
2-е правило: f(x) = g(x) ⇔ (2)
Поясним используемые здесь обозначения. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности.
Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы.
Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.
Два уравнения равносильны, если любое решение каждого из них является и решением другого, иначе говоря, если множества их решений совпадают.
Если уравнение содержит несколько модулей, то от них можно избавляться по очереди, пользуясь приведенными правилами. Но обычно есть более короткие пути. Мы познакомимся с ними позже, а сейчас рассмотрим решение самого простого из таких уравнений:
Эта равносильность следует из того очевидного факта, что если равны модули двух чисел, то сами числа либо равны, либо противоположны.
Пример 1. Решить уравнение x2 – 7x + 11 = x + 1.
Решение. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:
1 способ: 2 способ:
Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения, но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства, а во втором – линейное. Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого, оба корня удовлетворяют неравенству. Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 2. Решить уравнение x2 – x – 6 = 2x2 + x – 1.
Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня.
Приведем один поучительный способ вывода этой равносильности, основанный на том, что два неотрицательных числа равны тогда и только тогда, когда равны их квадраты, и на тождестве x2 = x2:
a = b ⇔ a2 = b2 ⇔ a2 – b2 = 0 ⇔ (a – b)(a + b) = 0 ⇔ a = b или a = –b; в качестве a и b здесь можно брать любые выражения, в частности выражения, стоящие под знаком модуля в данном уравнении.
Во всех разобранных решениях, освобождаясь от модулей, мы из одного уравнения получали два, после чего тем или иным образом отсеивали посторонние корни при их наличии.
Третий способ освобождения от модуля – замена переменной.
Пример 3. Решить уравнение x2 – 3 x + 2 = 0.
Решение. Уравнение можно записать в виде x2 – 3x + 2 = 0. Теперь сделаем замену y = x: получаем уравнение y2 – 3y + 2 = 0, откуда y1 = 1, y2 = 2. Возвращаемся от y к x: x = 1, x = 2 и записываем ответ: x = ±1, ±2.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Так как уравнение равносильно уравнению откуда Теперь сделаем замену y = x: получаем уравнение y2 – 5y + 6 = 0, откуда y1 = 2, y2 = 3. Возвращаемся от y к x: x = 2, x = 3 и записываем ответ: x = ±2, ±3.
Пример 5. Решить уравнение:
Решение. Заметим, что, тогда уравнение примет вид: Пусть, тогда решим квадратное уравнение:. Его корни, условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение, решая которое находим:.
1. 3. Задачи с несколькими модулями. Методы решения.
Последовательное раскрытие модулей.
Есть два основных подхода к решению уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Можно назвать их "последовательным" и "параллельным". Сейчас познакомимся с первым из них.
Его идея в том, что сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.
Пример. Решить уравнение: 1 – 3x + 43 + x = 12.
Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины:
К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:
Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам. В результате остаются лишь два значения: x = –1 и.
Ответ: -1;.
Параллельное раскрытие модулей.
Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. Если в уравнении n модулей, то вариантов будет 2n, ибо каждое из n выражений, находящихся под модулем, при снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. В принципе, нам надо решить все 2n уравнений (или неравенств), освобожденных от модулей. Но их решения будут и решениями исходной задачи, только если они лежат в областях, где соответствующее уравнение (неравенство) совпадает с исходным. Эти области определяются знаками выражений под модулями. Следующее неравенство мы уже решали, так что вы можете сравнить разные подходы к решению.
Пример. Решить неравенство 1 – 3x + 43 + x = 12.
Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.
Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -1;.
Аналогично можно решать любые задачи с несколькими модулями. Но, как всякий универсальный метод, этот способ решения далеко не всегда оптимален. Ниже мы увидим, как его можно усовершенствовать.
1. 4. Метод интервалов в задачах с модулями
Присмотревшись внимательнее к условиям, задающим разные варианты распределения знаков подмодульных выражений в предыдущем решении, мы увидим, что одно их них, 1 – 3x
Представьте, что мы решаем уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например, x – a + x – b + x – c = m.
Первый модуль равен x – a при x ≥ a и a – x при x
Они образуют четыре промежутка. На каждом из них каждое из выражений под модулями сохраняет знак, следовательно, и уравнение в целом после раскрытия модулей имеет на каждом промежутке один и тот же вид. Итак, из 8 теоретически возможных вариантов раскрытия модулей нам оказалось достаточно только 4!
Так же можно решать любую задачу с несколькими модулями. Именно, числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства всех выражений, стоящих под модулями, а затем на каждом из них решается то уравнение или неравенство, в которое превращается данная задача на этом промежутке. В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства. Точно так же мы действуем при решении рациональных неравенств методом интервалов. И описанный нами метод решения задач с модулями имеет то же название.
Пример 1. Решите уравнение.
Решение. Найдем нули функции, откуда. Решаем задачу на каждом интервале:
Итак, данное уравнение не имеет решений.
Пример 2. Решите уравнение.
Решение. Найдем нули функции. Решаем задачу на каждом интервале:
1) (решений нет);
Пример 3. Решите уравнение.
2) - корень уравнения;
3) - корень данного уравнения.
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины обращаются в ноль при. Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:
1) - корень данного уравнения;
1. 5. Вложенные модули
Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько.
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение равносильно совокупности:
Ответ: 0; 2.
Пример 2. Решите уравнение:.
Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим. Проделаем эту операцию ещё раз:. Первое уравнение равносильно совокупности: Второе уравнение совокупности решений не имеет:.
Пример 3. Решите уравнение:.
Решение. Введем новые переменные, пусть, тогда данное уравнение равносильно уравнению, то есть выражения и одного знака. Возвращаясь к переменной х имеем:. Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем:.
Пример 4. Решите уравнение:.
Решение. Введем новые переменные, пусть, тогда имеем уравнение Сделав обратную замену, получим:
Решая последнюю систему неравенств методом интервалов, получаем:.
1. 6. Методом интервалов можно решать и задачи с вложенными модулями. Внутренний модуль в уже рассмотренном неравенстве x2 – 3x + 2 – 1 > x – 2 обращается в 0 в точках x1 = 1 и x2 = 2 (корнях уравнения x2 – 3x + 2 = 0). Чтобы найти нули внешнего модуля, приходится решать дополнительное уравнение с модулем:
x2 – 3x + 2 – 1 = 0 ⇔
(В возникающей здесь совокупности двух квадратных уравнений второе решений не имеет.) Найденные корни разбивают ось на 5 промежутков, однако на некоторых промежутках неравенство после раскрытия модулей принимает одинаковый вид, причем из четырех возможных вариантов раскрытия модулей реализуются только три. Даже не доводя это решение до конца, мы видим, что оно проигрывает приведенному ранее решению с помощью последовательного раскрытия модулей.
Модули и квадраты.
Существует простой и быстрый способ освобождения от знака модуля в уравнениях (1) вида f(x) = g(x):
Он основан на двух очевидных соображениях. Во-первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b ⇔ a2 > b2; a = b ⇔ a2 = b2. (2)
Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: a2 = a2. Поэтому (1) допускает такое равносильное преобразование:
Заметим, что уравнение свелось к совокупности уравнений, которую мы уже выводили ранее. Впрочем, важнее запомнить не вид этих совокупностей, а идею решения.
Эту же идею можно применить к уравнениям или неравенствам, одна часть которых равна нулю, а другая содержит разность модулей как сомножитель. В такой задаче разность модулей можно заменить разностью квадратов тех же выражений:
и этот переход будет равносильным, поскольку в силу (2) обе разности могут быть положительны, отрицательны или равны нулю только одновременно.
Пример. Решите уравнение:
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение: то есть то есть,
1. 7. Модули неотрицательных выражений.
Пример 1. Решите уравнение.
Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т. д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим
Пример 2. Решите уравнение.
Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение. Решая его и учитывая ограничение, получаем х = 1.
Пример 3. Решите уравнение.
Решение. Воспользуемся тождеством, и получим уравнение, решая которое методом интервалов получим ответ.
2. 1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля
Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна – произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней, и последняя – с абсциссой, большей большего из корней.
Например:
1) f(x) = x - 1. Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков
2) f(x) = x - 1 + x – 2. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых
3) f(x) = x - 1 + x – 2 + x – 3. Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4
4) f(x) = x - 1 - x – 2. График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3.
2. 2. Построение графиков уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
1 Исходная функция.
2 Часть графика, расположенная выше оси Ох остается без изменения, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отображается вверх
3 Часть графика, расположенная правее оси Ох остается без изменения, и симметрично отображается относительно оси ординат.
4 Часть графика, построенная при остается без изменения, а при построить график
5 Строим график, оставляем часть графика, расположенную выше оси Ох и отображаем часть графика, лежащую ниже оси абсцисс симметрично вверх.
6 Строим часть графика при, затем при строим часть графика при.
7 Строим график при, затем строим график функции при.
8 Строим график уравнения при, затем отображаем полученное изображение симметрично относительно оси абсцисс.
Пример 1. Построить множество точек на плоскости.
Решение. Строим вспомогательный график. Затем, а затем множество.
Пример 2. Построить множество точек на плоскости.
Решение. Заменим данное выражение равносильной ему системой:
; затем строим аналогично как в примере 4 множества точек, задаваемые соотношениями:
Искомое множество точек показано на рисунке.
Задание 1. Самостоятельно постройте графики множества точек:
Задание 2. Самостоятельно постройте графики множества точек: а) ; б) ; в) ; г) ; д); е); ж) ; з).
и проверьте правильность ответа на рисунке.
2. 3. Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
Пример 1. Решить уравнение
3 x + 2 + x2 + 6x + 2 = 0.
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и. Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения. Парабола пересеклась с графиком функции в точках с координатами (-4; 6) и (-1; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:.
Ответ: -4; -1.
Пример 2. Решить равнение
4 – x + (x – 1)(x – 3) = 3.
Решение. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и.
Парабола пересеклась с графиком функции в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:.
Ответ: 1; 2; 4.
Пример 3. Решить графически уравнение
1 – x - 2x + 3 + x + 4=0
Решение. Представим уравнение в виде
1 – x - 2x + 3 = -х – 4.
Построим два графика у = 1 – x - 2x + 3 и у = -х – 4.
Ломаная у = 1 – x - 2x + 3 пересеклась с графиком функции у = -х – 4 в точке с координатами (-4; 0) следовательно, решением данного уравнения будет абсцисса точки: х = -4.
График функции у = - х – 4 совпадает с графиком у = 1 – x - 2x + 3, при х ≥1,
Поэтому решением являются все х ≥1 и х = -4.
Ответ: х ≥1, х = -4.
Пример 4. Решить графически уравнение
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и. Эти графики пересекаются в двух точках (-2; -3) и (2; 3), следовательно, исходное уравнение имеет два решения. Ответ: -2; 2.
Пример 5. Решить графически уравнение
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и. Эти графики пересекаются в двух точках (-2; 0) и (2; 0), следовательно, исходное уравнение имеет два решения.
Ответ: -2; 2.
Ответ: 1; 2; 3.
2. 4. Графическое решение задач с параметром и модулем.
При решении заданий, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два больших класса. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых уравнения или неравенства удовлетворяют некоторым условиям».
Проблемы, возникающие при решении задач с параметрами в совокупности с модулями, вызваны как сложностью этих задач, так и тем, что в школе, таким задачам уделяется мало внимания. Это связано с тем, что решение таких задач носит творческий, исследовательский характер. Очень часто при решении задач с параметрами целесообразно обращаться к наглядно – графическим интерпретациям. В зависимости, от того какая роль отводится в задаче параметру (равноправная или неравноправная с переменной), можно выделить два основных графических приёма. Первый – построение графического образа на координатной плоскости, второй – на. На плоскости функция задает семейство кривых, зависящих от параметра а, строим их и проводим исследования, удовлетворяющие постановке задачи. Понятно, что каждое семейство обладает определенными характерными свойствами, они то и помогают решить задачу. Конечно, далеко не все задачи с параметрами можно решить графическим способом. Выделим самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:
➢ в задаче фигурирует лишь один параметр а и одна переменная х,
➢ они задают некоторые аналитические выражения
➢ графики уравнений строятся в системе координат (х; а) несложно.
Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «читаем» нужную информацию.
Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня
Исходное уравнение равносильно совокупности, выражая параметр а, получаем:.
График этой совокупности – объединение уголка и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трех точках.
Пример 2. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?
Решение. Данное уравнение решаем аналогично предыдущему. Оно равносильно совокупности следующих двух уравнений:.
График этой совокупности – объединение уголка и параболы. По рисунку «считываем» ответ: при, а = 0 и исходное уравнение имеет два корня, при а = -1 и а = 1 уравнение имеет три корня, при и уравнение имеет четыре корня.
Ответ: если, а = 0 и, то два корня, если а = -1 и а = 1 , то три корня, если и, то четыре корня.
заключение
Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и практические навыки по решению уравнений, содержащих абсолютную величину числа.
В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы:
1. Изучили литературу по данному вопросу.
2. Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.
3. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.
4. Собрали и систематизировали материал для профильного элективного курса «Решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля».
и пришли к выводу:
1. В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи.
2. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым.
3. Данная тема представляет большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.
Остаётся ещё много интересных и важных задач, имеющих не только теоретическое, но и сугубо практическое значение. К перспективе следует отнести создание проекта « Алгебраический и графический подходы к решению уравнений и неравенств с модулем», содержащего подборку задач и мультимедийную презентацию к ним.
XX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Ханты-Мансийский автономный округ - Югра
город Сургут
Шарова Анастасия Владимировна,
муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа
№ 46 с углубленным изучением
отдельных предметов, 9 класс
Научный руководитель:
Кузнецова Елена Борисовна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение……………………………………………….............................................................3
2. Основная часть…………………………………….……….........................…….................... 4
2.1. Основные термины и понятия, история вопроса………................................................. 4
2.2. Аналитические методы решения уравнений с модулями................................................. 4
2.2.1. Геометрическая интерпретация модуля..............................................................4
2.2.2. Снятие модуля по определению...........................................................................5
2.2.3. Решение уравнений с модулем методом возведения в квадрат....................... 6
2.2.4. Метод интервалов…………….............................................................................. 6
2.2.5. Использование свойств модуля для решения уравнений................................. 7
2.3. Графический метод решения уравнений с модулями……............................................. 8
2.4. Решение уравнений с переменной под знаком модуля..................................................10
3.Заключение…...…………………………………………...………..........................................14
4.Список литературы…...………………………………………................................................15
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность выбранной темы состоит в том, что она проста и одновременно сложна способами решения уравнений с переменной под знаком модуля, в том числе олимпиадного и экзаменационного характера. Большинство школьников осваивают один - два способа решения таких уравнений, не ориентируясь в преимуществах и недостатках каждого из них, при этом, возможно, существует более продуктивный способ решения конкретного уравнения
Объект исследования: Уравнения с одной переменной.
Предмет исследования: Уравнения с переменной под знаком модуля.
Цель: Изучение способов решения уравнений с переменной под знаком модуля.
Задачи :
1. Изучить теоретический и практический материал по теме исследования, используя математическую литературу, Интернет;
2. Систематизировать способы решения уравнений с модулями и описать их;
3. Применить описанные способы решения на практике.
Гипотеза исследования: если для каждого способа можно сформулировать задачу, которая наиболее эффективно решается именно данным способом, то овладение основными методами решения уравнений с переменной под знаком модуля позволит существенно экономить время для решения других задач во время экзамена или решения олимпиады.
Методы исследования :
1. Анализ и изучение различных источников по теме исследования;
2. Обобщение и систематизация математического материала;
3. Отбор эффективных способов решения уравнений с модулем.
Теоретическая значимость исследования: описанные методы решения уравнений с переменной под знаком модуля помогут ученикам более эффективно справляться с поставленной задачей
Практическая значимость исследования: работа относится к прикладным исследованиям, ее результаты могут быть использованы при подготовке к олимпиадам и к ОГЭ.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
2.1 Основные термины и понятия, история вопроса
На официальном сайте “Wikipedia ” мы нашли следующее определение термина «модуль» - (от modulus- «маленькая мера»), неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x . Обозначается: |x| .
В словаре Ожегова понятие “модуль” означает название некоторых коэффициентов, каких-нибудь величин.
Сайт “www.cleverstudents.ru” предлагает следующее определение понятия “модуль числа a” – это либо само число a, если a – положительное число, либо число −a, противоположное числу a, если a – отрицательное число, либо 0, если a=0.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский математик и философ Роджер Котс, который в свою очередь являлся учеником знаменитого ученого Исаака Ньютона. Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц также в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mol x. Однако, уже общепринятое и современное значение модуля, как абсолютной величины было дано еще в 1841 году выдающимся немецким математиком Карлом Вейерштрассом. В начале девятнадцатого века ученые Арган и Коши ввели данное понятие и для комплексных чисел. На сегодняшний день, так как функция модуля вычисляется очень просто, ее ввели в список стандартных функций фактически всех языков программирования .
2.2 Аналитические способы решения уравнений с модулями
В качестве материала для исследования мы взяли учебно-методическое пособие для учащихся 7-11 классов “Уравнения и неравенства с модулями”, автор О. И. Чикунова.
Рассмотрим способы решения уравнений с модулем.
2.2.1 Геометрическая интерпретация модуля.
Простейшие уравнения вида ∣ x – а∣ = b , где a и b – некоторые числа, нетрудно решать, используя геометрические представления. Как известно, расстояние между точками координатной прямой равно модулю разности координат этих точек. Поэтому задачу «решить уравнение ∣ x – а∣ = b , где b >0» можно сформулировать иначе: «найти координаты точек, находящихся на координатной прямой на расстоянии b единиц от точки с координатой а»
Пример 1
∣x – 1∣ =4
Ищем начало отсчета: х – 1= 0, х = 1. Чертим координатную прямую х, отмечаем на ней начало отсчета и расстояния, равные 4 влево и вправо:
4 + 4
- 3 1 5 х
x =1-4 или x =1+4
x = -3 или x =5
Ответ: -3;5.
Пример 2
∣x +1∣+∣ x – 4∣=5
A M B
-1 х 4 х
Случай 1. ∣ x +1∣ =AM
∣x – 4∣ =MB
∣x +1∣ +∣ x – 4∣ =AM +MB =5 => [-1;4] – решение уравнения.
Случай 2.
M A B
x -1 4 x
AM +MB > 5 => нет решения.
Случай 3.
A B M
-1 4 x x
AM +MB > 5 => нет решения.
Ответ: [-1;4].
2.2.2 Снятие модуля по определению.
Основная цель при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, - избавиться от модуля. Это можно сделать по определению модуля. Например, уравнение вида | f (x )| = g (x ) равносильно совокупности двух смешанных систем. Достаточно решить каждую из них и найти объединение полученных решений .
f ( x )≥0,
|f(x)| = g(x ) < => f(x) = g(x)
f(x) <0,
- f(x) = g(x)
Пример 2: |4x +6|=12-10x
Данное уравнение равносильно следующей совокупности систем:
4x +6≥ 0, x ≥ - , х≥ - ,
4x +6=12-10x ; 14x =6; х=;
4x +6< 0, x <- , х< - ;
4x-6=12-10x; 6х=18; х=3.
Решением первой системы является число, вторая система решений не имеет. Итак, данное уравнение с переменной под знаком модуля имеет единственный корень.
Ответ: .
2.2.3 Решение уравнений с модулем методом возведения в квадрат.
Применение данного метода основано на следующей теореме: Обе части уравнения можно возвести в квадрат тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые знаки .
f(x) ∙ g(x) ≥ 0,
f(x) = g(x) f ² (x)=g ² (x)
Эту теорему можно конкретизировать для решения некоторых видов уравнений с модулем, если учесть свойства модуля: |а | ≥ 0 , |а |² = а ².
| f ( x ) | = | g ( x )| f 2 ( x ) = g 2 ( x )
g ( x ) ≥ 0,
| f ( x )| = g ( x ) f ² ( x )= g ² ( x )
Пример 3 [ 9, с.17]: | 2-3x | - |5-2x |=0
|2-3x |=|5-2x |
(2-3x ) 2 =(5-2x ) 2
4-12x +9x 2 =25-20x +4x 2
5x 2 +8x -21=0
D =64+420=484 (=22)
x 1, 2 =
x 1 =-3; x 2 =1, 4.
Ответ: -3; 1,4.
2.2.4 Метод интервалов.
Сущность этого метода описывается следующей последовательностью действий:
1.Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком каждого модуля и находим «точки перелома». Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых подмодульные выражения сохраняют постоянный знак;
2. Раскрываем все модули на каждом промежутке и находим корни полученного уравнения без модулей из соответствующего промежутка.
3. Объединяем все полученные решения и записываем ответ.
Пример 4 : |х + 3| + |5 -2х| = 2 -3х
Решение: 1. Найдем «точки перелома»: x + 3 = 0 5 - 2 x = 0
х = -3; x = 2,5
2. | x + 3| = - х – 3 | x +3| = x +3 | x +3| = x +3
|5- 2х - 2х |5-2 x | = 5-2 x |5 – 2 x | = -5+2 x
Х - 3 + 5 - 2х=2 - 3х x +3+5 - 2 x = 2 – 3 x x +3–5+2 x = 2–3 x
3х + 2 = 2 - 3х - x +8 = 2 – 3 x 3 x –2 = 2–3 x
0 = 0 - верное 2 x = -6 6 x = 4
числовое равенство, x = -3 x =
следовательно,
решением уравнения
является любое
действительное число
3. Объединим полученные множества: (– ∞;–3]
Ответ: (– ∞; –3]
Замечание. «Точки перелома» обычно присоединяют к тому интервалу, в котором соответствующее подмодульное выражение положительно.
2.2.5 Использование свойств модуля для решения уравнений.
Свойства модуля :
| a |≥0
Пример: |3| ≥ 0
|3| = 3
3> 0
| a | = |- a |
Пример:|5| = |-5|, так как |5| = 5 и |-5| = 5
|a| + |b| = a + b , если a≥0 и b≥0
Пример: |3| + |2| = 3 + 2 = 5
3>0 и 2>0
| a | ∙ | b | = |ab|
Пример: |2| ∙ |4| = |2 ∙ 4| = |8| = 8
|a + b|≤|a| + |b|
Пример: |1+3| ≤ |1| + |3|
|4| ≤ 1 + 3
4 ≤ 4 – верно, так как 4 = 4
| a + b | = | a | + | b | тогда и только тогда, когда ab ≥ 0
Пример: |1+5| = |1| + |5|
|6| = 1 +5
6 = 6
|a – b| ≤ |a| + |b|
Пример: |5 – 3| ≤ |5| + |3|
|2| ≤ 5 + 3
2 ≤ 8 – верно, так как 2 < 8
| a – b | ≥0 тогда и только тогда, когда а 2 – b 2 ≥ 0
Пример: |7| - |4| ≥ |7| + |4|
7 – 4 ≥ 7 + 4 7 2 - 4 2 ≥ 0
3 ≥ 11 – верно 12 ≥ 0
|a | 2 = a 2
Пример: |2| 2 = 2 2
(2) 2 = 2 2
4 – верно
2.3 Графический метод решения уравнений с модулями
Рассмотрим правила построения графиков функций, содержащих знак модуля .
Правило 1
Функция: y =| f ( x )|.
y = f ( x ).
Строим график функции y = f ( x );
Часть графика, лежащую выше оси ОХ, оставляем без изменения;
Часть графика, лежащую ниже оси ОХ, симметрично отражаем относительно оси ОХ.
Правило 2
Функция : y = f (| x |).
Правило преобразования графика функции y = f ( x ).
Строим график функции y = f ( x );
Часть графика, лежащую в левой полуплоскости, отбрасываем;
Часть графика, лежащую в правой полуплоскости, симметрично отражаем относительно оси OY .
Графическая иллюстрация правила:
Пример : |2x-5|=x-1
В одной системе координат построим графики функций
y =|2x-5 | иy =x-1
y =2x-5
График функции y =|2x -5| получим по правилу 1.
y = x-1
Найдем абсциссы точек пересечения графиков x≈ 2, x ≈ 4;
Убедимся в точности найденных решений подстановкой
|2∙ 2-5| = 2-1, |-1|=1 – верно, следовательно, 2 – корень уравнения.
|4∙ 2-5| = 4-1, |-3|=3– верно, следовательно, 4– корень уравнения.
Ответ: 2;4.
2.4 Решение уравнений с переменной под знаком модуля
№ 1. Решить уравнение : = | x -2|
Решение. Так как x ² = | x | ² , то =| x -2|;
=| x -2|;Так как |3 x - 4|+(| x | - 6 ) ² ≥ 0 и | x - 2|≥ 0, то x - 5 >0 или x > 5 ⇒ |3 x - 4|=3 x - 4, | x |= x , | x - 2|= x - 2 = x -2; =x -2; =x -2;
; ;
Ответ: х = 11.
Данное уравнение можно было решить методом снятия модуля по определению, но при этом пришлось бы решать семь уравнений; если решать методом интервалов, то - четыре уравнения, то есть достижение цели было бы отодвинуто. Таким образом, использование свойств модуля |a| 2 = a 2 и |a|≥0, сопровождающееся применением формулы квадрата разности и последующих рассуждений по снятию модулей, позволило нестандартно и очень эффективно перейти к дробно-рациональному уравнению, а затем и к линейному.
№ 2. Решить систему уравнений :
Решение. Из первого уравнения системы получаем y = | x -2 y +1|+3. Поскольку | x -2 y +1| ≥ 0, то y ≥ 3. Поэтому, | y | = y , | y - 2| = y - 2 и второе уравнение системы принимает вид y + y -2 + (y - 4)² = 5, 2у – 2 + у 2 – 8у + 16 = 5, y ² - 6 y + 9 = 0 или (y -3)²=0.
Отсюда получаем y =3. Если подставить значение y =3 в первое уравнение системы, то 3 - | x – 6 + 1| = 3, 3 - | х – 5 | = 3, | х – 5 | = 0 или x =5.
Ответ: x =5, y =3.
При стандартном решении сначала методом интервалов надо решать второе уравнение системы, а это три интервала, то есть три смешанных системы, затем найденное значение у подставить в первое уравнение, а так как и оно с модулем, то методом снятия модуля по определению еще предстоит решить две смешанные системы - очень долгий путь к цели. Поэтому выбранные свойства модуля позволили получить результат намного быстрей, что экономит время решения.
№ 3.Решить уравнение : x ² - 4| x +1| - 41=0 уравнение равносильно совокупности двух систем:
x ² - 4| x +1|-41=0, или x ² + 4| x +1|-41=0,
x +1 ≥ 0,
x ² - 4 x – 4 -41=0,
x ≥ -1
x ² -4 x – 45= 0
х 1,2 = 2 +
x 1 = 9; x 2 = -5 – посторонний корень
x +1≤0,
x ² +4 x + 4 -41=0
х≤ - 1
x ² +4 x – 37=0
х 1,2 = - 2 +
x 1 = -2-; х 2 = -2 + – посторонний корень
Ответ: 9; -2- .
Если же в данном уравнении изолировать модуль, а затем снять его возведением обеих частей в квадрат, то получим уравнение четвертой степени, которое имеет очень громоздкое решение, а это не рационально.
№ 4. Решить уравнение :
|2 x -1|=| x -1|
Решение: Данное уравнение с двумя модулями можно решать методом интервалов, однако быстрее всего приводит к ответу способ возведения обеих частей уравнения в квадрат, с учетом того что | f (x )|²=(f (x ))².
|2 x -1|=| x -1| <=> |2 x -1|²+| x -1|² <=> (2 x -1)²=(x -1)² <=> 4 x ²-4 x +1= x ²-2 x +1 <=> 3 x ²-2 x =0 <=>
x (3 x -2)=0 <=> x 1 =0, x 2 .
Ответ: 0; .
№ 5. Решить уравнение :
Решение: Данное уравнение с двумя модулями можно решать методом интервалов, но более рациональным способом решения будет возведение обеих частей уравнения в квадрат, с учетом того что | f (x )|²=(f (x ))².
<=> =3² <=> = ±3 <=><=><=>
Ответ: -5,5; -1,75 .
№ 6. Решить уравнение :
|5 x -6|=|6-5 x |
Решение: Исходное уравнение с двумя модулями можно решать методом возведения обеих частей уравнения в квадрат, но для данного уравнения рациональным способом решения будет использование свойства модуля | a |=|- a |, для любого а.
|5 x - 6| = |6 - 5 x |<=>|5 x - 6| = |- 6 + 5 x |<=>|5 x - 6| = |5 x - 6|<=> (5 x - 6) = 5 x - 6 =>
|5 x - 6| = |6 - 5 x |<=><=>
Ответ:.
№ 7. Решить уравнение .
|7 x - 3| = 2 - 7 x
Решение: Решаем уравнение методом снятия модуля по определению
7 x -3 ≥ 0, x ≥ , х ≥ ,
7 x -3 =2-7x ; 14x = 5; х = ;
7 x -3 < 0, x <,
-7 x +3 =2-7x ; 0 = -1; - неверное числовое равенство=>
Ответ:.
№ 8. Решить уравнение [Сургут, 8 класс, ШЭВОШ, 2014-2015] :
Решение. Если x > 1, то x – 2 = 1 => x = 3.
Если x < 1, то x – 2 = -1 => x = 1, но при этом знаменатель обратится в 0 => x ≠ 1.
Ответ: 3.
№ 9. Решить уравнение [Сургут, 7 класс, ШЭВОШ, 2016-2017] :
|| x -674|-1| = 4 | x - 674| - 1 = 4, | x – 674| = 5
| x – 674| - 1 = -4, | x – 674| = -3, - данное уравнение не имеет корней.
Решаем уравнение |x – 674| = 5 x – 674 = 5, x = 679,
X – 674 = -5, x = 669.
Ответ: 679; 669.
Вывод: Несмотря на то, что для каждого из данных уравнений есть стандартный метод решения, можно подобрать более рациональный, то есть подобрать индивидуальное решение, что значительно экономит время выполнения задания.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, в исследовании описаны аналитические способы решения уравнений с переменной под знаком модуля: использование геометрической интерпретации модуля; снятие модуля по определению; метод возведения в квадрат; метод интервалов; свойства модуля для решения уравнений; рассмотрен графический способ решения. Все описанные методы сопровождаются решенными уравнениями.
Выдвинутая гипотеза подтверждена решением девяти уравнений с переменной под знаком модуля с обоснованием выбора более рационального и даже нестандартного способа решения. Таким образом, несмотря на то, что для каждого из уравнений есть стандартный метод решения, можно подобрать более рациональный, то есть подобрать индивидуальное решение, что значительно экономит время выполнения задания.
Цель и задачи выполнены. Работа относится к прикладным исследованиям, ее результаты могут быть использованы при подготовке к олимпиадам и к ОГЭ.
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki /Модуль (дата обращения 01.02.2017);
Голубев, В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих вузов страны) // Квантор. -1991.- № 8. – с.3-87;
Доступная математика. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.cleverstudents.ru/modulus/modulus_of_number.html (дата обращения 10.02.2017);
ЕГЭ. Математика: пошаговая подготовка / А.Н. Роганин, И.В. Лысикова, Ю.А. Захарийченко, Л.И. Захарийченко. -М.: Эксмо, 2017. - 320с.;
Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учебник для школ и классов с углубленным изучением математики / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков. – М.: Мнемозина, 2008. – 447 с.;
Математика: Алгебра. Модуль. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http :// www .13 min . ru / video - uroki / matematika - algebra - modul / История модуля (дата обращения 17.03.2017);
Математика и физика. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://educon.by/index.php/materials/math/moduli (дата обращения 20.03.2017);
Супрун, В. П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 272 с.;
Чикунова, О.И. Уравнения и неравенства с модулями: учебно – методическое пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2001. – 48 с.;
Модуль числа и свойства модуля . [Электронный ресурс] - Режим доступа: (дата обращения 17.12.2017).
Введение……………………………………………………………. 3
I. График квадратичной функции, содержащей переменную
под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства………………………… 4
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля…………………………… 5
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля, в программе
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Заключение…………………………………………………. …. 15
Список использованной литературы…………………...…….. 16
Введение
Мне приходилось делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.
Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Объект исследования: график квадратичной функции.
Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Задачи:
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
3) Научиться стоить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Excel.
Методы исследования:
1) теоретический (логическая ступень познания);
2) эмпирический (исследование, эксперимент);
3) моделирование.
Практическая значимость моей работы заключается:
1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;
2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.
I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства.
Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.
Способы задания функции:
1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3) описательный способ (функция задается словесным описанием);
4) графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Функция, определяемая формулой у=ах2+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а 0, называется квадратичной.
График функции у=ах2+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах2+вх+с является прямая, при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
, .
Абсолютной величиной положительного числа называется само положительное число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля принимается равной нулю, т.е.
.
Свойства:
1) Абсолютная величина суммы чисел не больше суммы абсолютных величин её слагаемых, т.е.
|а+в| |а|+|в|
2) Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е.
|а-в| |а|-|в| или |а-в| |в|-|а|
3) Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т.е.
|а в|=|а| |в|
4) Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя, т.е.
5) Абсолютная величина степени с целым положительным показателем равна той же степени абсолютной величины основания, т.е.
|аn|=|a|n.
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
…Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.
А.Н. Колмогоров.
Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.
В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке.
В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.
Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков функций с модулями.
Пример 1.
Сначала построим параболу у= х2– 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х + 5|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1).
Пример 2.
Рассмотрим график функции у = |х|2– 6х +5.
Т. к. |х| возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у =|х|2 - 6х +5 будет идентичен графику функции у = х2 - 6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2).
Рис.2
Пример 3.
Рассмотрим график функции у = х2 – 6|х| +5.
Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу
у = х2 – 6|х| +5
Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так:
1) построим параболу у = х2 - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу.
2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 6|х| +5 (Рис.3).
Рассмотрим график функции у = |х|2 - 6|х|+5.
Т.к. график уравнения у = |х|2 – 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = |х|2 – 6|х| +5 идентичен графику функции у = х2 – 6|х| +5, рассмотренному в примере 3 (Рис.3).
Пример 5.
Для этого построим график функции у = х2 - 6х. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = |х2 - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х2 - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4).
Пример 6.
Построим график функции у = х2 - |6х+5|. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции
у = 6х +5
6х + 5 = 0 при.
Рассмотрим два случая:
1)Если, то уравнение примет вид у = х2 – 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где.
2)Если, то уравнение принимает вид у = х2+ 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5).
Для этого мы построим график функции у =х2- 6|х| +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = |х2 – 6|х| +5|, нужно каждую точку графика функции у = х2 – 6|х|+5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6).
Рис.6
Пример 8.
Рассмотрим построение графиков вида = f (x).
Учитывая, что в формуле = f (x), f (x) , и на основании определения модуля =
Перепишем формулу = f (x) в виде у= f (x), где f (x) .
Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.
Для построения графиков вида = f (x) достаточно построить график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости = f (x) состоит из графиков двух функций: у = f (x) и у = - f (x).
Построим график функции.
Дальнейшее вставление рисунков и формул технически невозможно
Рис.7
Пример 9.
Рассмотрим построение графиков вида
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика y = │f (x)│, а затем уже и множества точек, координаты которых удовлетворяют условию
Алгоритм построения:
1) Строим график функции.
2) Часть графика симметрично отображаем относительно оси Ох.
3) Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох (Рис.8).
Рис.8
Выводы:
1.График функции y = │f (x)│ можно получить из графика y = f (x), оставив на месте ту его часть, где f (x) , и симметрично отразив относительно оси Ох другую его часть, где f (x) < 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2.График функции y = f (│x│) совпадает с графиком функции y = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на множестве отрицательных значений аргумента.
3. График функции = f (x) можно получить, построив график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразив полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
4. График функции можно получить, построив график функции
у = f (x) и симметрично отобразив относительно оси Ох часть графика. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel.
Пример 1.
Построим график функции у = |х2 – 6х +5|.
Пример 2.
Построим график функции у = х2 – 6|х| +5.
Пример 3.
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5.
Пример 4.
Построим график функции у = х2 - |6х+5|.
Пример 5.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|.
Пример 6.
Построим график функции.
Пример 7.
Построим график функции.
Заключение
Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью.
Л. Н. Толстой.
Считаем, что в данной исследовательской работе цель достигнута, так как были решены все поставленные задачи.
Нами рассмотрено построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, и исследованы изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Были освоены приёмы построения графиков функций вида: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Для написания данной исследовательской работы
1) была изучена литература о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции;
2) исследованы и проанализированы изменения при построении графика квадратичной функции, в которой знак модуля содержат различные переменные;
3) построены графики уравнений с использованием программ для построения графиков Graph Master v 1.1, Microsoft Excel и другие;
При написании работы мы пользовались учебной литературой, Интернет-ресурсами, работали в таких программах, как Microsoft Word, Paint, Редактор формул, Microsoft Excel.
Тема исследований оказалась очень многогранной, требующей совершенно новых умений и навыков как на этапе исследований, так и при написании и оформлении работы.
Данный практический опыт работы с программами для построения графиков, для записи математических формул, а также полученные навыки исследовательской деятельности будут использованы нами в дальнейшей учебной деятельности, в том числе при изучении других функций и уравнений с модулем, при построении графиков этих функций.
Список использованной литературы
1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; Под ред. Г. В. Дорофеева. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с.: ил.
2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.
5.Элективный курс. Знакомьтесь: модуль! Алгебра. 8-9 классы./ Сост. Баукова Т.Т.-Волгоград: ИТД «Корифей».- 96 с.
Интернет – ресурсы
http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
