Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x . Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.

Примеры. многочлен второй степени,

многочлен пятой степени.

Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.

Определение . Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. Другими словами, будет являться корнем уравнения

Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.

Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.

Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство

Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым , многочлен делителем, многочлен неполным частным , а многочлен остатком .

Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело , при этом равенство принимает вид:

Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.

Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).

Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.

Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.

Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.

Из делимого вычесть полученное произведение.

К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).

Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.

Пример . Разделить многочлен на .

Записываем делимое и делитель

Повторяем процедуру

Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:

Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен .

Пример . Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а =2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.

Таким образом, результат деления запишем так

Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен

То его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а . Остаток остается таким же.

Теорема Безу . Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x = а , т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x = а является корнем многочлена .

Таким образом, найдя один корень многочлена а , можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».

Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .

Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).

Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей

Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью .

Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n , в знаменателе – многочлен степени k . Если , то дробь называется правильной .

К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:

Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.

Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.

Разложить знаменатель на множители.

Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.

Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Привести дроби в правой части к общему знаменателю.

Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.

Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на

Пусть _ корень многочлена, т.е. Разделим на, где степень меньше степени, которая равна Значит, степень равна, т.е. . Значит, . Так как, то из последнего равенства следует, что т.е. .

Обратно, пусть делит, т.е. . Тогда.

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен.

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть, где. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число называется корнем кратности многочлена, если делит, но уже не делит.

Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема . Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где _ корни, т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

где уже различные корни, _ кратность корня.

Если многочлен, с действительными коэффициентами имеет корень, то число также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение.

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.



Рациональной дробью называется дробь где и _ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, где и - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.



Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена, т.е. и, то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.



При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.



Лемма 2. Если - правильная рациональная дробь, а число (и - вещественные,) является корнем кратности многочлена, т.е. и, и если, то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.



Рациональные дроби вида, _ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

• · Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными;
• · После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени, т.е. многочлен с коэффициентами.



Число неизвестных также равняется: .

Таким образом, получается система уравнений с неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).

Следствие 3:

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 ,… ,a n ,то он делится на произведение (x-a 1)…(x-a n) без остатка.

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), где a 1 , a 2 ,…, a k - его корни.

Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a 1 , a 2 , a k ,…, (a k+1) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a 1)…(x-a k), откуда выходит, что

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

При этом (a k+1) - корень многочлена f(x), т.е.

Значит, подставляя вместо x (a k+1), получаем верное равенство:

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Но (a k+1) отлично от чисел a 1 ,…, a k , и потому ни одно из чисел (a k+1 -a 1),…, (a k+1 -a k) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a k+1), т.е. (a k+1) - корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a k+1) без остатка.

q(x)=(x-a k+1)q 1 (x), и потому

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x)=(x-a 1)…(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Это и означает, что f(x) делится на (x-a 1)…(x-a k+1) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a 1)...(x-a n+k), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость.

Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

тогда бы он делился на (x-a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

Этьен Безу –

французский математик, член Парижской Академии Наук(с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ( x - a ) равен значению

этого полинома при x = a .

P n (x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен (x - a ) - его делитель,

Q n -1 (x ) – частное от деления P n (x ) на x - a (многочлен степени n-1) ,

R – остаток от деления (R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать:

P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .

Отсюда при x = a :

P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=

=0+ R = R .

Значит, R = P n (a ) , т.е. остаток от деления полинома на (x - a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ax + b равен значению

этого полинома при x = - b / a ,

т . е . R=P n (-b/a) .

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит, R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2 :

Если число a является корнем

многочлена P ( x ) , то этот

многочлен делится на ( x - a ) без

остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x ) на x - a равен P (a ) , а по условию a является корнем P (x ) , а это значит, что P (a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения P (x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень (линейных делителей) .

Следствие 3 :

Если многочлен P ( x ) имеет

попарно различные корни

a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на

произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )

без остатка .

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k , это значит, что P(x) делится без остатка на (x - a 1 )(x - a 2 ) … (x - a k ) , где

a 1 , a 2 , … , a k - егокорни.

Пусть P (x ) имеет k +1 попарно различных корней.По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произедение (x - a 1 ) … (x - a k ) , откуда выходит, что

P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).

При этом a k +1 – корень многочлена P (x ) , т. е. P (a k +1 ) = 0 .

Значит, подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство:

P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =

Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно, нулю равно Q (a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q (x ) . А из следствия 2 выходит, что Q (x ) делится на x - a k + 1 без остатка.

Q (x ) = (x - a k +1 ) Q 1 (x ) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x - a 1 ) … (x - a k )(x - a k +1 ) Q 1 (x ) .

Это и означает, что P (x ) делится на (x - a 1 ) … (x - a k +1 ) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает, что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n (x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x - a 1 ) … (x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5 :

Для любого многочлена P ( x )

и числа a разность

( P ( x )- P ( a )) делится без

остатка на двучлен ( x - a ) .

Доказательство:

Пусть P (x ) – данный многочлен степени n , a - любое число.

Многочлен P n (x ) можно представить в виде: P n (x )=(x - a ) Q n -1 (x )+ R ,

где Q n -1 (x ) – многочлен, частное при делении P n (x ) на (x - a ) ,

R – остаток от деления P n (x ) на (x - a ) .

Причём по теореме Безу:

R = P n (a) , т.е.

P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка (P n (x ) – P n (a ))

на (x - a ) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем

многочлена P ( x ) степени

не ниже первой тогда и

только тогда, когда

P ( x ) делится на ( x - a )

без остатка .

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P (x ) , тогда по следствию 2 P (x ) делится на (x - a ) без остатка.

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность .

Пусть многочлен P (x ) делится без остатка на (x - a ) ,

тогда R = 0 , где R – остаток от деления P (x ) на (x - a ) , но по теореме Безу R = P (a ) , откуда выходит, что P (a ) = 0 , а это означает, что a является корнем P (x ) .

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) .

Делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , что и требовалось доказать.

Многочлен, не имеющийй действи-

тельных корней, в разложении

на множители линейных множителей

не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим, что не имеющий корней многочлен P (x ) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a ) :

P(x) = (x – a)Q(x) ,

тогда бы он делился на (x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P (x ) , а по условию он корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен,

Теорема

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Следствия из теоремы Безу

Число $a$ - корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .

1. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
2. Пусть $a$ - целый корень приведенного многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке $a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:

$$f(1)=3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$

Ответ. Остаток равен 5

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен $f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число $x=1$ - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ .