Οι πρώτοι ιστορικοί του πολιτισμού μας -οι αρχαίοι Έλληνες- αναφέρουν την Αίγυπτο ως γενέτειρα της γεωμετρίας. Είναι δύσκολο να διαφωνήσεις μαζί τους, γνωρίζοντας με πόση εκπληκτική ακρίβεια είχαν στηθεί οι γιγάντιοι τάφοι των Φαραώ. Αμοιβαία διευθέτησητα επίπεδα των πυραμίδων, οι αναλογίες τους, ο προσανατολισμός στα βασικά σημεία - θα ήταν αδιανόητο να επιτευχθεί τέτοια τελειότητα χωρίς να γνωρίζουμε τα βασικά της γεωμετρίας.
Η ίδια η λέξη "γεωμετρία" μπορεί να μεταφραστεί ως "μέτρηση της γης". Επιπλέον, η λέξη «γη» δεν λειτουργεί ως πλανήτης - μέρος ηλιακό σύστημα, αλλά σαν αεροπλάνο. Η σήμανση των περιοχών για τη γεωργία, πιθανότατα, είναι η πολύ πρωτότυπη βάση της επιστήμης των γεωμετρικών σχημάτων, των τύπων και των ιδιοτήτων τους.
Ένα τρίγωνο είναι το απλούστερο χωρικό σχήμα της επιπεδομετρίας, που περιέχει μόνο τρία σημεία - κορυφές (δεν υπάρχουν λιγότερα). Το θεμέλιο των θεμελίων, ίσως, είναι ο λόγος που κάτι μυστηριώδες και αρχαίο φαίνεται να βρίσκεται μέσα σε αυτό. Το μάτι που βλέπει τα πάντα μέσα σε ένα τρίγωνο είναι ένα από τα πρώτα γνωστά απόκρυφα ζώδια και η γεωγραφία της κατανομής του και το χρονικό πλαίσιο είναι απλά εκπληκτικά. Από τους αρχαίους Αιγυπτιακούς, Σουμερίους, Αζτέκους και άλλους πολιτισμούς έως πιο σύγχρονες κοινότητες εραστών του αποκρυφισμού διάσπαρτων σε όλο τον κόσμο.
Τι είναι τα τρίγωνα
Ένα συνηθισμένο σκαληνό τρίγωνο είναι ένα κλειστό γεωμετρικό σχήμα, που αποτελείται από τρία τμήματα διαφορετικού μήκους και τρεις γωνίες, κανένα από τα οποία δεν είναι ευθύ. Εκτός από αυτό, υπάρχουν αρκετοί ειδικοί τύποι.
Ένα οξύ τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες μικρότερες από 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, όλες οι γωνίες ενός τέτοιου τριγώνου είναι οξείες.
Το ορθογώνιο τρίγωνο, πάνω από το οποίο κλαίνε συνεχώς οι μαθητές λόγω της αφθονίας των θεωρημάτων, έχει μία γωνία με τιμή 90 μοιρών ή, όπως λέγεται επίσης, ορθή.
Ένα αμβλύ τρίγωνο διακρίνεται από το γεγονός ότι μια από τις γωνίες του είναι αμβλεία, δηλαδή η τιμή του είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες.
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις πλευρές του ίδιου μήκους. Σε ένα τέτοιο σχήμα, όλες οι γωνίες είναι επίσης ίσες.
Και τέλος, στο ισοσκελές τρίγωνοδύο από τις τρεις πλευρές είναι ίσες.
Χαρακτηριστικά γνωρίσματα
Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου καθορίζουν επίσης την κύρια, κύρια διαφορά του - την ισότητα των δύο πλευρών. Αυτές οι ίσες πλευρές ονομάζονται συνήθως οι γοφοί (ή, πιο συχνά, οι πλευρές), αλλά η τρίτη πλευρά ονομάζεται "βάση".
Στο υπό εξέταση σχήμα, a = b.
Το δεύτερο πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου προκύπτει από το ημιτονικό θεώρημα. Εφόσον οι πλευρές a και b είναι ίσες, τα ημίτονο των απέναντι γωνιών τους είναι επίσης ίσα:
a/sin γ = b/sin α, απ' όπου έχουμε: αμαρτία γ = αμαρτία α.
Από την ισότητα των ημιτόνων προκύπτει η ισότητα των γωνιών: γ = α.
Έτσι, το δεύτερο πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι η ισότητα δύο γωνιών που γειτνιάζουν με τη βάση.
Τρίτο σημάδι. Σε ένα τρίγωνο διακρίνονται στοιχεία όπως το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος.
Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος αποδειχθεί ότι στο υπό εξέταση τρίγωνο, οποιαδήποτε από αυτά τα στοιχεία συμπίπτουν: το ύψος με τη διχοτόμο. διχοτόμος με διάμεσο. διάμεσος με ύψος - μπορούμε σίγουρα να συμπεράνουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Γεωμετρικές ιδιότητες ενός σχήματος
1. Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου. Μία από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του σχήματος είναι η ισότητα των γωνιών δίπλα στη βάση:
<ВАС = <ВСА.
2. Μια άλλη ιδιότητα που συζητήθηκε παραπάνω: η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι τα ίδια εάν είναι χτισμένα από την κορυφή μέχρι τη βάση του.
3. Η ισότητα των διχοτόμων από τις κορυφές στη βάση:
Αν η ΑΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας BAC και η CD η διχοτόμος της γωνίας BCA, τότε: AE = DC.
4. Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου προβλέπουν επίσης την ισότητα των υψών που αντλούνται από τις κορυφές στη βάση.
Αν οικοδομήσουμε τα ύψη του τριγώνου ABC (όπου AB = BC) από τις κορυφές A και C, τότε τα τμήματα CD και AE που θα προκύψουν θα είναι ίσα.
5. Οι διάμεσοι που τραβήχτηκαν από τις γωνίες στη βάση θα είναι επίσης ίσοι.
Άρα, αν οι AE και DC είναι διάμεσοι, δηλαδή AD = DB, και BE = EC, τότε AE = DC.
Ύψος ισοσκελούς τριγώνου
Η ισότητα των πλευρών και των γωνιών σε αυτές εισάγει ορισμένα χαρακτηριστικά στον υπολογισμό των μηκών των στοιχείων του εν λόγω σχήματος.
Το ύψος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο χωρίζει το σχήμα σε 2 συμμετρικά ορθογώνια τρίγωνα, οι υποτείνουσες των οποίων είναι οι πλευρές. Το ύψος σε αυτή την περίπτωση προσδιορίζεται σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, ως σκέλος.
Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες, τότε θα ονομάζεται ισόπλευρο. Το ύψος σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο, μόνο για τους υπολογισμούς αρκεί να γνωρίζουμε μόνο μία τιμή - το μήκος της πλευράς αυτού του τριγώνου.
Μπορείτε να προσδιορίσετε το ύψος με άλλο τρόπο, για παράδειγμα, γνωρίζοντας τη βάση και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα της.
Μέσος ισοσκελούς τριγώνου
Ο τύπος του υπό εξέταση τριγώνου, λόγω γεωμετρικών χαρακτηριστικών, επιλύεται πολύ απλά με το ελάχιστο σύνολο αρχικών δεδομένων. Δεδομένου ότι η διάμεσος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ίση τόσο με το ύψος όσο και με τη διχοτόμο του, ο αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της δεν διαφέρει από τη σειρά με την οποία υπολογίζονται αυτά τα στοιχεία.
Για παράδειγμα, μπορείτε να προσδιορίσετε το μήκος της μέσης από τη γνωστή πλευρική πλευρά και την τιμή της γωνίας στην κορυφή.
Πώς να προσδιορίσετε την περίμετρο
Εφόσον το επιπεδομετρικό σχήμα που εξετάζουμε έχει δύο πλευρές πάντα ίσες, για να προσδιορίσουμε την περίμετρο αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος της βάσης και το μήκος μιας από τις πλευρές.
Εξετάστε ένα παράδειγμα όταν πρέπει να προσδιορίσετε την περίμετρο ενός τριγώνου με δεδομένη τη γνωστή βάση και το ύψος.
Η περίμετρος είναι ίση με το άθροισμα της βάσης και διπλάσιο από το μήκος της πλευράς. Η πλευρική πλευρά, με τη σειρά της, προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα ως υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το μήκος του είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος του τετραγώνου του ύψους και του τετραγώνου της μισής βάσης.
Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου
Δεν προκαλεί, κατά κανόνα, δυσκολίες και τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου. Ο καθολικός κανόνας για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ως το ήμισυ του γινομένου της βάσης και του ύψους του ισχύει, φυσικά, στην περίπτωσή μας. Ωστόσο, οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου κάνουν και πάλι το έργο πιο εύκολο.
Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το ύψος και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα στη βάση. Πρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή του σχήματος. Μπορείτε να το κάνετε με αυτόν τον τρόπο.
Δεδομένου ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180°, δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί το μέγεθος της γωνίας. Περαιτέρω, χρησιμοποιώντας την αναλογία που σχηματίζεται σύμφωνα με το ημιτονικό θεώρημα, προσδιορίζεται το μήκος της βάσης του τριγώνου. Όλα, βάση και ύψος - επαρκή δεδομένα για τον προσδιορισμό της περιοχής - είναι διαθέσιμα.
Άλλες ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου
Η θέση του κέντρου ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο εξαρτάται από τη γωνία της κορυφής. Έτσι, εάν ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει οξεία γωνία, το κέντρο του κύκλου βρίσκεται μέσα στο σχήμα.
Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα αμβλύ ισοσκελές τρίγωνο βρίσκεται έξω από αυτόν. Και, τέλος, εάν η γωνία στην κορυφή είναι 90°, το κέντρο βρίσκεται ακριβώς στη μέση της βάσης και η διάμετρος του κύκλου διέρχεται από την ίδια τη βάση.
Για να προσδιοριστεί η ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο, αρκεί να διαιρέσουμε το μήκος της πλευρικής πλευράς με το διπλάσιο του συνημίτονος της μισής γωνίας στην κορυφή.
Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου εκφράζουν τα ακόλουθα θεωρήματα.
Θεώρημα 1. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
Θεώρημα 2. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος προς τη βάση είναι η διάμεσος και το ύψος.
Θεώρημα 3. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη βάση είναι η διχοτόμος και το ύψος.
Θεώρημα 4. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που τραβιέται στη βάση είναι η διχοτόμος και η διάμεσος.
Ας αποδείξουμε ένα από αυτά, για παράδειγμα, το Θεώρημα 2.5.
Απόδειξη. Θεωρήστε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση BC και αποδείξτε ότι ∠ B = ∠ C. Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου ABC (Εικ. 1). Τα τρίγωνα ABD και ACD είναι ίσα σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων (AB = AC κατά συνθήκη, AD είναι η κοινή πλευρά, ∠ 1 = ∠ 2, αφού το AD είναι η διχοτόμος). Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ B = ∠ C. Το θεώρημα αποδεικνύεται.
Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 1, θεμελιώνουμε το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα 5. Το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων. Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 2).
Σχόλιο. Οι προτάσεις που καθορίζονται στα παραδείγματα 1 και 2 εκφράζουν τις ιδιότητες της κάθετης διχοτόμου στο τμήμα. Από τις προτάσεις αυτές προκύπτει ότι οι κάθετες διχοτόμοι των πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.
Παράδειγμα 1Να αποδείξετε ότι το σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στη διχοτόμο σε αυτό το τμήμα.
Απόφαση. Έστω το σημείο Μ ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ (Εικ. 3), δηλαδή AM = VM.
Τότε το ΔAMV είναι ισοσκελές. Ας τραβήξουμε μια ευθεία p μέσα από το σημείο M και το μέσο O του τμήματος ΑΒ. Κατασκευαστικά, το τμήμα ΜΟ είναι η διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΜΒ, και επομένως (Θεώρημα 3), και το ύψος, δηλ. η ευθεία ΜΟ, είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα ΑΒ.
Παράδειγμα 2Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.
Απόφαση. Έστω p η διχοτόμος του τμήματος ΑΒ και το σημείο Ο το μέσο του τμήματος ΑΒ (βλ. Εικ. 3).
Θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο M που βρίσκεται στην ευθεία p. Ας σχεδιάσουμε τμήματα AM και VM. Τα τρίγωνα AOM και VOM είναι ίσα, αφού οι γωνίες τους στην κορυφή Ο είναι ευθείες, το σκέλος OM είναι κοινό και το σκέλος OA είναι ίσο με το σκέλος OB κατά συνθήκη. Από την ισότητα των τριγώνων ΑΟΜ και ΒΟΜ προκύπτει ότι ΑΜ = ΒΜ.
Παράδειγμα 3Στο τρίγωνο ABC (βλ. Εικ. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm. σε τρίγωνο DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Συγκρίνετε τρίγωνα ABC και DEF. Βρείτε αντίστοιχα ίσες γωνίες.
Απόφαση. Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο τρίτο κριτήριο. Αντίστοιχα, ίσες γωνίες: A και E (βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές BC και FD), B και F (βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές AC και DE), C και D (βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές AB και EF).
Παράδειγμα 4Στο σχήμα 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Βρείτε τη γωνία Δ.
Απόφαση. Εξετάστε τα τρίγωνα ABC και ADC. Είναι ίσα στο τρίτο χαρακτηριστικό (AB = DC, BC = AD κατά συνθήκη και η πλευρά AC είναι κοινή). Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ B = ∠ D, αλλά η γωνία B είναι 100°, επομένως η γωνία D είναι 100°.
Παράδειγμα 5Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση AC, η εξωτερική γωνία στην κορυφή C είναι 123°. Βρείτε τη γωνία ΑΒΓ. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Λύση βίντεο.
Μεταξύ όλων των τριγώνων, υπάρχουν δύο ειδικοί τύποι: ορθογώνια τρίγωνα και ισοσκελές τρίγωνα. Γιατί είναι τόσο ιδιαίτεροι αυτοί οι τύποι τριγώνων; Λοιπόν, πρώτον, τέτοια τρίγωνα πολύ συχνά αποδεικνύονται ότι είναι οι κύριοι παράγοντες στα καθήκοντα της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης του πρώτου μέρους. Και δεύτερον, προβλήματα σχετικά με ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα είναι πολύ πιο εύκολο να λυθούν από άλλα προβλήματα στη γεωμετρία. Απλά πρέπει να γνωρίζετε μερικούς κανόνες και ιδιότητες. Όλα τα πιο ενδιαφέροντα συζητούνται στο αντίστοιχο θέμα και τώρα θα εξετάσουμε τα ισοσκελή τρίγωνα. Και πρώτα απ' όλα τι είναι ισοσκελές τρίγωνο. Ή, όπως λένε οι μαθηματικοί, ποιος είναι ο ορισμός του ισοσκελούς τριγώνου;
Δείτε πώς φαίνεται:
Όπως ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει ειδικά ονόματα για τις πλευρές του. Λέγονται δύο ίσες πλευρές πλευρές, και το τρίτο μέρος βάση.
Και πάλι, δείτε την εικόνα:
Θα μπορούσε φυσικά να είναι έτσι:
Οπότε να προσέχεις: πλευρική πλευρά - μία από τις δύο ίσες πλευρέςσε ισοσκελές τρίγωνο, και η βάση είναι ένα τρίτο μέρος.
Γιατί είναι τόσο καλό ένα ισοσκελές τρίγωνο; Για να το καταλάβουμε αυτό, ας σχεδιάσουμε το ύψος στη βάση. Θυμάστε τι είναι το ύψος;
Τι συνέβη? Από ένα ισοσκελές τρίγωνο βγήκαν δύο ορθογώνια.
Αυτό είναι ήδη καλό, αλλά αυτό θα συμβεί σε οποιοδήποτε, το πιο «λοξό» τρίγωνο.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της εικόνας για ένα ισοσκελές τρίγωνο; Κοίτα ξανά:
Λοιπόν, πρώτα, φυσικά, δεν αρκεί για αυτούς τους παράξενους μαθηματικούς να βλέπουν απλώς - πρέπει σίγουρα να το αποδείξουν. Και ξαφνικά αυτά τα τρίγωνα είναι ελαφρώς διαφορετικά, και θα τα θεωρήσουμε ίδια.
Αλλά μην ανησυχείτε: σε αυτήν την περίπτωση, η απόδειξη είναι σχεδόν τόσο εύκολη όσο η θέαση.
Να ξεκινήσουμε? Κοιτάξτε προσεκτικά, έχουμε:
Και ως εκ τούτου,! Γιατί; Ναι, απλώς βρίσκουμε και, και από το Πυθαγόρειο θεώρημα (ενθυμούμενοι ταυτόχρονα ότι)
Είσαι σίγουρος? Λοιπόν, τώρα έχουμε
Και σε τρεις πλευρές - το πιο εύκολο (τρίτο) σημάδι της ισότητας των τριγώνων.
Λοιπόν, το ισοσκελές μας τρίγωνο χωρίζεται σε δύο όμοια ορθογώνια.
Δείτε πόσο ενδιαφέρον; Αποδείχθηκε ότι:
Πώς συνηθίζεται οι μαθηματικοί να μιλούν για αυτό; Πάμε με τη σειρά:
(Θυμίζουμε εδώ ότι η διάμεσος είναι μια γραμμή που τραβιέται από την κορυφή που διχοτομεί την πλευρά και η διχοτόμος είναι η γωνία.)
Λοιπόν, εδώ συζητήσαμε τι καλό μπορεί να φανεί αν δοθεί ένα ισοσκελές τρίγωνο. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες στη βάση είναι ίσες και το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος που έλκονται στη βάση είναι ίδια.
Και τώρα τίθεται ένα άλλο ερώτημα: πώς να αναγνωρίσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο; Δηλαδή, όπως λένε οι μαθηματικοί, τι είναι σημάδια ισοσκελούς τριγώνου;
Και αποδεικνύεται ότι πρέπει απλώς να "γυρίσετε" όλες τις δηλώσεις αντίθετα. Αυτό, φυσικά, δεν συμβαίνει πάντα, αλλά ένα ισοσκελές τρίγωνο εξακολουθεί να είναι υπέροχο! Τι γίνεται μετά την «ανατροπή»;
Λοιπόν δες εδώ:
Εάν το ύψος και η διάμεσος είναι ίδια, τότε:
Αν το ύψος και η διχοτόμος είναι ίδια, τότε: 
Εάν η διχοτόμος και η διάμεσος είναι ίδιες, τότε:
Λοιπόν, μην ξεχάσετε και χρησιμοποιήστε:
- Εάν δίνεται ένα ισοσκελές τριγωνικό τρίγωνο, μη διστάσετε να σχεδιάσετε ένα ύψος, να λάβετε δύο ορθογώνια τρίγωνα και να λύσετε ήδη το πρόβλημα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
- Αν δοθεί αυτό δύο γωνίες είναι ίσες, μετά το τρίγωνο ακριβώςισοσκελές και μπορείτε να σχεδιάσετε ένα ύψος και .... (Το σπίτι που έχτισε ο Τζακ ...).
- Εάν αποδεικνύεται ότι το ύψος διαιρείται στο μισό από την πλευρά, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με όλα τα επόμενα μπόνους.
- Αν αποδεικνύεται ότι το ύψος χώριζε τη γωνία στα πατώματα - επίσης ισοσκελές!
- Εάν η διχοτόμος διαιρούσε την πλευρά στο μισό ή τη διάμεσο - τη γωνία, τότε συμβαίνει και αυτό μόνοσε ισοσκελές τρίγωνο
Ας δούμε πώς φαίνεται στις εργασίες.
Εργασία 1(το πιο απλό)
Σε ένα τρίγωνο, οι πλευρές και είναι ίσες, α. Να βρω.
Εμείς αποφασίζουμε:
Πρώτα ένα σχέδιο.
Ποια είναι η βάση εδώ; Σίγουρα,.
Υπενθυμίζουμε ότι αν, τότε και.
Ενημερωμένο σχέδιο:
Ας ορίσουμε για. Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου; ?
Χρησιμοποιούμε:
Αυτό είναι απάντηση: .
Εύκολο, σωστά; Δεν χρειάστηκε καν να πάω ψηλά.
Εργασία 2(Επίσης δεν είναι πολύ δύσκολο, αλλά πρέπει να επαναλάβετε το θέμα)
Σε ένα τρίγωνο, Να βρω.
Εμείς αποφασίζουμε:
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές! Σχεδιάζουμε το ύψος (αυτό είναι το επίκεντρο, με τη βοήθεια του οποίου όλα θα κριθούν τώρα).
Τώρα "διαγράφουμε από τη ζωή", θα εξετάσουμε μόνο.
Έτσι, έχουμε:
Θυμόμαστε τις πινακοποιημένες τιμές των συνημίτονων (καλά, ή κοιτάξτε το cheat sheet...)
Μένει να βρούμε: .
Απάντηση: .
Σημειώστε ότι είμαστε εδώ πολύαπαιτούνται γνώσεις σχετικά με το ορθογώνιο τρίγωνο και τα «πίνακες» ημίτονο και συνημίτονο. Πολύ συχνά συμβαίνει αυτό: τα θέματα, "Ισοσκελές Τρίγωνο" και σε παζλ πηγαίνουν σε δέσμες, αλλά δεν είναι πολύ φιλικά με άλλα θέματα.
Ισοσκελές τρίγωνο. Μεσαίο επίπεδο.
Αυτά τα δύο ίσες πλευρέςπου ονομάζεται πλευρές, ένα η τρίτη πλευρά είναι η βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Κοιτάξτε την εικόνα: και - τις πλευρές, - τη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Ας δούμε σε μια εικόνα γιατί συμβαίνει αυτό. Σχεδιάστε ένα ύψος από ένα σημείο.
Αυτό σημαίνει ότι όλα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα.
Τα παντα! Με μια πτώση (ύψος) αποδείχθηκαν όλες οι δηλώσεις μονομιάς.
Και θυμάστε: για να λύσετε το πρόβλημα του ισοσκελούς τριγώνου, είναι συχνά πολύ χρήσιμο να χαμηλώσετε το ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου και να το διαιρέσετε σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα.
Σημάδια ισοσκελούς τριγώνου
Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι επίσης αληθείς:
Σχεδόν όλες αυτές οι δηλώσεις μπορούν και πάλι να αποδειχθούν «με μια πτώση».
1. Άρα, ας το v αποδείχθηκε ίσο και.
Ας πάρουμε το ύψος. Τότε
2. α) Τώρα αφήστε ένα τρίγωνο ίδιο ύψος και διχοτόμος.
2. β) Και αν το ύψος και η διάμεσος είναι ίδια? Όλα είναι σχεδόν ίδια, τίποτα πιο περίπλοκο!
 |
- σε δύο πόδια |
2. γ) Αν όμως δεν υπάρχει ύψος, το οποίο χαμηλώνεται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου, τότε δεν υπάρχουν αρχικά ορθογώνια τρίγωνα. Κακώς!
Αλλά υπάρχει μια διέξοδος - διαβάστε την στο επόμενο επίπεδο της θεωρίας, γιατί η απόδειξη είναι πιο περίπλοκη εδώ, αλλά προς το παρόν θυμηθείτε ότι εάν η διάμεσος και η διχοτόμος συμπίπτουν, τότε το τρίγωνο θα είναι επίσης ισοσκελές και το ύψος θα εξακολουθούν να συμπίπτουν με αυτές τις διχοτόμους και τη διάμεσο.
Να συνοψίσουμε:
- Εάν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες στη βάση είναι ίσες και το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος που έλκονται στη βάση είναι ίδια.
- Αν σε κάποιο τρίγωνο υπάρχουν δύο ίσες γωνίες ή κάποιες δύο από τις τρεις ευθείες (διχοτόμος, διάμεσος, ύψος) συμπίπτουν, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Ισοσκελές τρίγωνο. Σύντομη περιγραφή και βασικοί τύποι
Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο ίσες πλευρές.
Σημάδια ισοσκελούς τριγώνου:
- Αν ένα τρίγωνο έχει δύο ίσες γωνίες, τότε είναι ισοσκελές.
- Αν σε κάποιο τρίγωνο συμπίπτουν:
ένα) ύψος και διχοτόμοςή
σι) ύψος και διάμεσοςή
σε) διάμεσος και διχοτόμος,
τραβηγμένο προς τη μία πλευρά, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.
ΤΑ ΥΠΟΜΕΝΑ 2/3 ΑΡΘΡΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΜΟΝΟ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ YOUCLEVER!
Γίνε μαθητής του YouClever,
Προετοιμαστείτε για το OGE ή τη ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά στην τιμή του "ένα φλιτζάνι καφέ το μήνα",
Επίσης, αποκτήστε απεριόριστη πρόσβαση στο εγχειρίδιο "YouClever", το εκπαιδευτικό πρόγραμμα "100gia" (βιβλίο λύσεων), απεριόριστη δοκιμαστική χρήση και OGE, 6000 εργασίες με ανάλυση λύσεων και άλλες υπηρεσίες YouClever και 100gia.
