Σε αυτό το μάθημα, όλοι θα μπορούν να μελετήσουν το θέμα "Ορθογώνιο κουτί". Στην αρχή του μαθήματος, θα επαναλάβουμε τι είναι τα αυθαίρετα και ευθύγραμμα παραλληλεπίπεδα, θυμηθείτε τις ιδιότητες των απέναντι όψεών τους και τις διαγώνιες του παραλληλεπίπεδου. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τι είναι ένα κυβοειδές και θα συζητήσουμε τις κύριες ιδιότητές του.
Θέμα: Καθετότητα ευθειών και επιπέδων
Μάθημα: Κυβοειδές
Μια επιφάνεια που αποτελείται από δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 και τέσσερα παραλληλόγραμμα ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ονομάζεται παραλληλεπίπεδο(Εικ. 1).
Ρύζι. 1 Παραλληλεπίπεδο
Δηλαδή: έχουμε δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 (βάσεις), βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε οι πλευρικές ακμές AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 να είναι παράλληλες. Έτσι, μια επιφάνεια που αποτελείται από παραλληλόγραμμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο.
Έτσι, η επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα όλων των παραλληλόγραμμων που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.
1. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.
(οι αριθμοί είναι ίσοι, δηλαδή μπορούν να συνδυαστούν με επικάλυψη)
Για παράδειγμα:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (ίσα παραλληλόγραμμα εξ ορισμού),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 B 1 B και DD 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 D 1 D και BB 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου).
2. Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούν το σημείο αυτό.
Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B τέμνονται σε ένα σημείο O, και κάθε διαγώνιος διαιρείται στο μισό με αυτό το σημείο (Εικ. 2).
Ρύζι. 2 Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνουν και διχοτομούν το σημείο τομής.
3. Υπάρχουν τρία τετραπλά ίσα και παράλληλα άκρα του παραλληλεπιπέδου: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Ορισμός. Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις.
Αφήστε το πλευρικό άκρο AA 1 να είναι κάθετο στη βάση (Εικ. 3). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ΑΑ 1 είναι κάθετη στις ευθείες ΑΔ και ΑΒ, που βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης. Και, επομένως, τα ορθογώνια βρίσκονται στις πλευρικές όψεις. Και οι βάσεις είναι αυθαίρετα παραλληλόγραμμα. Σημειώστε, ∠BAD = φ, η γωνία φ μπορεί να είναι οποιαδήποτε.
Ρύζι. 3 Δεξί κουτί
Έτσι, ένα δεξιό κουτί είναι ένα κουτί στο οποίο οι πλευρικές άκρες είναι κάθετες στις βάσεις του κουτιού.
Ορισμός. Το παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ορθογώνιο,αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση. Οι βάσεις είναι ορθογώνιες.
Το παραλληλεπίπεδο АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 είναι ορθογώνιο (Εικ. 4) εάν:
1. AA 1 ⊥ ABCD (το πλευρικό άκρο είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης, δηλαδή ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο).
2. ∠BAD = 90°, δηλ. η βάση είναι ορθογώνιο.
Ρύζι. 4 Κυβοειδές
Ένα ορθογώνιο κουτί έχει όλες τις ιδιότητες ενός αυθαίρετου κουτιού.Υπάρχουν όμως πρόσθετες ιδιότητες που προέρχονται από τον ορισμό του κυβοειδούς.
Ετσι, κυβοειδέςείναι ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση. Η βάση ενός κυβοειδούς είναι ένα ορθογώνιο.
1. Σε ένα κυβοειδές, και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια.
Το ABCD και το A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνια εξ ορισμού.
2. Οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες στη βάση. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις ενός κυβοειδούς είναι ορθογώνια.
3. Όλες οι δίεδρες γωνίες ενός κυβοειδούς είναι ορθές.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη διεδρική γωνία ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με ακμή ΑΒ, δηλαδή τη διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων ABB 1 και ABC.
Το AB είναι μια ακμή, το σημείο A 1 βρίσκεται σε ένα επίπεδο - στο επίπεδο ABB 1, και το σημείο D στο άλλο - στο επίπεδο A 1 B 1 C 1 D 1. Τότε η εξεταζόμενη διεδρική γωνία μπορεί επίσης να συμβολιστεί ως εξής: ∠А 1 АВD.
Πάρτε το σημείο Α στην άκρη ΑΒ. Το AA 1 είναι κάθετο στο άκρο AB στο επίπεδο ABB-1, το AD είναι κάθετο στο άκρο AB στο επίπεδο ABC. Επομένως, ∠A 1 AD είναι η γραμμική γωνία της δεδομένης διεδρικής γωνίας. ∠A 1 AD \u003d 90 °, που σημαίνει ότι η διεδρική γωνία στο άκρο AB είναι 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι οποιεσδήποτε δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.
Τετράγωνο της διαγωνίου ενός κυβοειδούς ισούται με το άθροισματετράγωνα των τριών διαστάσεων του.
Σημείωση. Τα μήκη των τριών άκρων που προέρχονται από την ίδια κορυφή του κυβοειδούς είναι οι μετρήσεις του κυβοειδούς. Μερικές φορές ονομάζονται μήκος, πλάτος, ύψος.
Δίνεται: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Εικ. 5).
Απόδειξη: .
Ρύζι. 5 Κυβοειδές
Απόδειξη:
Η ευθεία CC 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ABC και ως εκ τούτου στην ευθεία AC. Άρα το τρίγωνο CC 1 A είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Σκεφτείτε ορθογώνιο τρίγωνοΑΛΦΑΒΗΤΟ. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Αλλά π.Χ. και μ.Χ. είναι οι αντίθετες πλευρές του ορθογωνίου. Άρα π.Χ. = μ.Χ. Επειτα:
Επειδή , ένα , έπειτα. Αφού CC 1 = AA 1, τότε τι έπρεπε να αποδειχθεί.
Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.
Ας ορίσουμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου ABC ως a, b, c (βλ. Εικ. 6), μετά AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Παραλληλεπίπεδο είναι ένα τετράπλευρο πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι παραλληλόγραμμα. Το ύψος ενός παραλληλεπίπεδου είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του. Στο σχήμα, το ύψος φαίνεται ως γραμμή 
. Υπάρχουν δύο τύποι παραλληλεπίπεδων: ευθεία και λοξά. Κατά κανόνα, ο καθηγητής μαθηματικών δίνει πρώτα τους κατάλληλους ορισμούς για το πρίσμα και στη συνέχεια τους μεταφέρει στο κουτί. Το ίδιο θα κάνουμε.
Να υπενθυμίσω ότι ένα πρίσμα λέγεται ευθύ αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις, αν δεν υπάρχει κάθετο, το πρίσμα λέγεται λοξό. Αυτή η ορολογία κληρονομείται και από το παραλληλεπίπεδο. Ένα δεξιό παραλληλεπίπεδο δεν είναι τίποτα άλλο από ένα είδος ευθύγραμμου πρίσματος, του οποίου η πλευρική άκρη συμπίπτει με το ύψος. Διατηρούνται οι ορισμοί τέτοιων εννοιών όπως ένα πρόσωπο, μια άκρη και μια κορυφή, οι οποίοι είναι κοινοί σε ολόκληρη την οικογένεια των πολύεδρων. Εμφανίζεται η έννοια των αντίθετων προσώπων. Ένα παραλληλεπίπεδο έχει 3 ζεύγη απέναντι όψεις, 8 κορυφές και 12 ακμές.
Η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου (η διαγώνιος ενός πρίσματος) είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός πολύεδρου και δεν βρίσκεται σε καμία από τις όψεις του.
Διαγώνιο τμήμα είναι το τμήμα ενός παραλληλεπίπεδου που διέρχεται από τη διαγώνιο του και τη διαγώνιο της βάσης του.
Ιδιότητες λοξού κιβωτίου:
1) Όλες οι όψεις του είναι παραλληλόγραμμα και οι απέναντι όψεις είναι ίσα παραλληλόγραμμα.
2)
Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται σε αυτό το σημείο.
3)
Κάθε παραλληλεπίπεδο αποτελείται από έξι τριγωνικές πυραμίδες ίσου όγκου. Για να τα δείξει σε έναν μαθητή, ένας καθηγητής μαθηματικών πρέπει να κόψει το μισό του παραλληλόγραμμου με το διαγώνιο τμήμα του και να το σπάσει χωριστά σε 3 πυραμίδες. Οι βάσεις τους πρέπει να βρίσκονται σε διαφορετικές όψεις του αρχικού κουτιού. Ένας καθηγητής μαθηματικών θα βρει μια εφαρμογή για αυτήν την ιδιότητα στην αναλυτική γεωμετρία. Χρησιμοποιείται για την εξαγωγή του όγκου της πυραμίδας μέσω του μικτού προϊόντος των διανυσμάτων.
Τύποι για τον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου:
1) , όπου είναι το εμβαδόν της βάσης, h είναι το ύψος.
2) Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της διατομής από το πλευρικό άκρο.
δάσκαλος μαθηματικών: Όπως γνωρίζετε, ο τύπος είναι κοινός σε όλα τα πρίσματα και αν ο δάσκαλος το έχει ήδη αποδείξει, δεν έχει νόημα να επαναλάβουμε το ίδιο για το παραλληλεπίπεδο. Ωστόσο, όταν εργάζεστε με έναν μαθητή μέσου επιπέδου (μια αδύναμη φόρμουλα δεν είναι χρήσιμη), συνιστάται ο δάσκαλος να ενεργεί ακριβώς το αντίθετο. Αφήστε το πρίσμα ήσυχο και εκτελέστε μια ακριβή απόδειξη για το παραλληλεπίπεδο.
3) , όπου είναι ο όγκος ενός από τα έξι τριγωνικές πυραμίδεςπου αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.
4) Αν , τότε
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των επιφανειών του:
Η συνολική επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των επιφανειών του, δηλαδή το εμβαδόν + δύο εμβαδά βάσης:.
Σχετικά με το έργο ενός δασκάλου με κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο:
Ένας δάσκαλος στα μαθηματικά δεν ασχολείται συχνά με προβλήματα σε κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο. Η πιθανότητα εμφάνισής τους στις εξετάσεις είναι αρκετά μικρή και η διδακτική είναι απρεπώς φτωχή. Ένα περισσότερο ή λιγότερο αξιοπρεπές πρόβλημα στον όγκο ενός κεκλιμένου παραλληλεπίπεδου προκαλεί σοβαρά προβλήματα που σχετίζονται με τον προσδιορισμό της θέσης του σημείου H - της βάσης του ύψους του. Σε αυτήν την περίπτωση, ο καθηγητής μαθηματικών μπορεί να συμβουλευτεί να κόψει το κουτί σε μία από τις έξι πυραμίδες του (οι οποίες συζητούνται στην ιδιότητα #3), να προσπαθήσει να βρει τον όγκο του και να το πολλαπλασιάση με το 6.
Αν η πλευρική ακμή του παραλληλεπίπεδου έχει ίσες γωνίες με τις πλευρές της βάσης, τότε το H βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας Α της βάσης ABCD. Και αν, για παράδειγμα, το ABCD είναι ρόμβος, τότε
Εργασίες Καθηγητή Μαθηματικών:
1) Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσες ράβδοι με πλευρά 2 cm και οξεία γωνία. Να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
2) Σε κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο το πλάγιο χείλος είναι 5cm. Το κάθετο σε αυτό τομή είναι τετράπλευρο με αμοιβαία κάθετες διαγώνιους που έχουν μήκη 6 εκ. και 8 εκ. Να υπολογίσετε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3) Σε ένα λοξό παραλληλεπίπεδο, είναι γνωστό ότι , και στον ορισμό του ABCD είναι ένας ρόμβος με πλευρά 2 cm και γωνία . Προσδιορίστε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
Καθηγητής μαθηματικών, Alexander Kolpakov
ή (ισοδύναμα) ένα πολύεδρο με έξι όψεις που είναι παραλληλόγραμμα. Εξάγωνο.
Τα παραλληλόγραμμα που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο είναι πρόσωπααυτό το παραλληλεπίπεδο, οι πλευρές αυτών των παραλληλογραμμών είναι παραλληλεπίπεδα άκρα, και οι κορυφές των παραλληλογραμμών είναι κορυφές παραλληλεπίπεδο. Κάθε όψη ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμο.
Κατά κανόνα διακρίνονται και ονομάζονται τυχόν 2α απέναντι πρόσωπα οι βάσεις του παραλληλεπίπεδου, και τα υπόλοιπα πρόσωπα πλευρικές όψεις του παραλληλεπιπέδου. Οι ακμές του παραλληλεπίπεδου που δεν ανήκουν στις βάσεις είναι πλαϊνά πλευρά.
Οι 2 όψεις ενός κυβοειδούς που μοιράζονται μια άκρη είναι σχετίζεται μεκαι αυτά που δεν έχουν κοινά άκρα - απεναντι απο.
Ένα τμήμα που συνδέει 2 κορυφές που δεν ανήκουν στην 1η όψη είναι η διαγώνιος του παραλληλεπίπεδου.
Τα μήκη των άκρων ενός κυβοειδούς που δεν είναι παράλληλα είναι γραμμικές διαστάσεις (Μετρήσεις) ένα παραλληλεπίπεδο. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει 3 γραμμικές διαστάσεις.
Τύποι παραλληλεπίπεδων.
Υπάρχουν διάφοροι τύποι παραλληλεπίπεδων:
Απευθείαςείναι παραλληλεπίπεδο με άκρη κάθετη στο επίπεδο της βάσης.
Ένα κυβοειδές με και τις 3 διαστάσεις ίσες σε μέγεθος είναι κύβος. Κάθε μία από τις όψεις του κύβου είναι ίση τετράγωνα.
Αυθαίρετο παραλληλεπίπεδο.Ο όγκος και οι αναλογίες σε ένα λοξό πλαίσιο ορίζονται κυρίως χρησιμοποιώντας διανυσματική άλγεβρα. Όγκος του κουτιούισοδυναμεί απόλυτη τιμήμικτό γινόμενο 3 διανυσμάτων, τα οποία ορίζονται από 3 πλευρές του παραλληλεπίπεδου (που προέρχονται από την ίδια κορυφή). Ο λόγος μεταξύ των μηκών των πλευρών του παραλληλεπίπεδου και των γωνιών μεταξύ τους δείχνει τη δήλωση ότι η ορίζουσα Gram των δοθέντων 3 διανυσμάτων είναι ίση με το τετράγωνο του ανάμεικτο προϊόν.
Ιδιότητες παραλληλεπίπεδου.
- Το παραλληλεπίπεδο είναι συμμετρικό ως προς το μέσο της διαγωνίου του.
- Κάθε τμήμα με άκρα που ανήκουν στην επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου και που διέρχεται από το μέσο της διαγώνιας του χωρίζεται από αυτό σε δύο ίσα μέρη. Όλες οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται στο 1ο σημείο και χωρίζονται από αυτό σε δύο ίσα μέρη.
- Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και έχουν ίσες διαστάσεις.
- Το τετράγωνο του μήκους της διαγωνίου ενός κυβοειδούς είναι
