Κατά την προετοιμασία για τις εξετάσεις στα μαθηματικά, οι μαθητές πρέπει να συστηματοποιήσουν τις γνώσεις τους για την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Θα ήθελα να συνδυάσω όλες τις γνωστές πληροφορίες, για παράδειγμα, τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού μιας πυραμίδας. Επιπλέον, ξεκινώντας από τη βάση και τις πλαϊνές όψεις μέχρι ολόκληρη την επιφάνεια. Αν η κατάσταση είναι ξεκάθαρη με τις πλευρικές όψεις, αφού είναι τρίγωνα, τότε η βάση είναι πάντα διαφορετική.
Τι πρέπει να κάνετε όταν βρίσκετε την περιοχή της βάσης της πυραμίδας;
Μπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε σχήμα: από ένα αυθαίρετο τρίγωνο έως ένα n-gon. Και αυτή η βάση, εκτός από τη διαφορά στον αριθμό των γωνιών, μπορεί να είναι κανονικό σχήμα ή λάθος. Στις εργασίες USE που ενδιαφέρουν τους μαθητές, υπάρχουν μόνο εργασίες με τα σωστά στοιχεία στη βάση. Επομένως, θα μιλήσουμε μόνο για αυτούς.
ορθογώνιο τρίγωνο
Δηλαδή ισόπλευρο. Ένα στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και συμβολίζονται με το γράμμα "α". Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:
S = (a 2 * √3) / 4.
τετράγωνο
Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του είναι ο απλούστερος, εδώ το "a" είναι πάλι η πλευρά:
Αυθαίρετο κανονικό n-gon
Η πλευρά ενός πολυγώνου έχει τον ίδιο προσδιορισμό. Για τον αριθμό των γωνιών, χρησιμοποιείται το λατινικό γράμμα n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Πώς να προχωρήσετε κατά τον υπολογισμό της πλευρικής και της συνολικής επιφάνειας;
Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό σχήμα, όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι ίσες. Επιπλέον, καθένα από αυτά είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, αφού οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε την πλευρική περιοχή της πυραμίδας, χρειάζεστε έναν τύπο που αποτελείται από το άθροισμα των πανομοιότυπων μονοωνύμων. Ο αριθμός των όρων καθορίζεται από τον αριθμό των πλευρών της βάσης.
τετράγωνο ισοσκελές τρίγωνουπολογίζεται από τον τύπο στον οποίο το μισό γινόμενο της βάσης πολλαπλασιάζεται με το ύψος. Αυτό το ύψος στην πυραμίδα ονομάζεται απόθεμα. Ο χαρακτηρισμός του είναι «Α». Γενικός τύποςγια την πλευρική επιφάνεια μοιάζει με αυτό:
S \u003d ½ P * A, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης της πυραμίδας.
Υπάρχουν περιπτώσεις που οι πλευρές της βάσης δεν είναι γνωστές, αλλά δίνονται οι πλευρικές ακμές (c) και η επίπεδη γωνία στην κορυφή της (α). Στη συνέχεια, υποτίθεται ότι χρησιμοποιείται ένας τέτοιος τύπος για τον υπολογισμό της πλευρικής περιοχής της πυραμίδας:
S = n/2 * in 2 sin α .
Εργασία #1
Κατάσταση.Βρείτε το συνολικό εμβαδόν της πυραμίδας αν η βάση της βρίσκεται με πλευρά 4 cm και το απόθεμα έχει τιμή √3 cm.
Λύση.Πρέπει να ξεκινήσετε υπολογίζοντας την περίμετρο της βάσης. Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα κανονικό τρίγωνο, τότε P \u003d 3 * 4 \u003d 12 εκ. Δεδομένου ότι το απόθεμα είναι γνωστό, μπορείτε αμέσως να υπολογίσετε την περιοχή ολόκληρης της πλευρικής επιφάνειας: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Για ένα τρίγωνο στη βάση, θα ληφθεί η ακόλουθη τιμή περιοχής: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Για να προσδιορίσετε ολόκληρη την περιοχή, θα χρειαστεί να προσθέσετε τις δύο τιμές που προκύπτουν: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Απάντηση. 10√3 cm2.
Εργασία #2
Κατάσταση. Υπάρχει μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα. Το μήκος της πλευράς της βάσης είναι 7 mm, η πλευρική άκρη είναι 16 mm. Πρέπει να γνωρίζετε την επιφάνειά του.
Λύση.Εφόσον το πολύεδρο είναι τετράγωνο και κανονικό, τότε η βάση του είναι τετράγωνο. Έχοντας μάθει τις περιοχές της βάσης και των πλευρικών όψεων, θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της περιοχής της πυραμίδας. Ο τύπος για το τετράγωνο δίνεται παραπάνω. Και στις πλευρικές όψεις, όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές. Επομένως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε τα εμβαδά τους.
Οι πρώτοι υπολογισμοί είναι απλοί και οδηγούν σε αυτόν τον αριθμό: 49 mm 2. Για τη δεύτερη τιμή, θα χρειαστεί να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Υπάρχουν μόνο τέσσερα τέτοια τρίγωνα, οπότε κατά τον υπολογισμό του τελικού αριθμού, θα χρειαστεί να τον πολλαπλασιάσετε με το 4.
Αποδεικνύεται: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.
Απάντηση. Η επιθυμητή τιμή είναι 267,576 mm 2.
Εργασία #3
Κατάσταση. Για μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή. Σε αυτό, η πλευρά του τετραγώνου είναι 6 cm και το ύψος είναι 4 cm.
Λύση.Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τύπο με το γινόμενο της περιμέτρου και του αποθέματος. Η πρώτη τιμή είναι εύκολο να βρεθεί. Το δεύτερο είναι λίγο πιο δύσκολο.
Θα πρέπει να θυμηθούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να θεωρήσουμε ότι σχηματίζεται από το ύψος της πυραμίδας και το απόθεμα, που είναι η υποτείνουσα. Το δεύτερο πόδι είναι ίσο με τη μισή πλευρά του τετραγώνου, αφού το ύψος του πολυέδρου πέφτει στη μέση του.
Το επιθυμητό απόθεμα (η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου) είναι √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Απάντηση. 96 cm2.
Εργασία #4
Κατάσταση.Η σωστή πλευρά της βάσης του είναι 22 mm, οι πλευρικές νευρώσεις είναι 61 mm. Ποιο είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας αυτού του πολυέδρου;
Λύση.Το σκεπτικό σε αυτό είναι το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στο πρόβλημα Νο. 2. Μόνο εκεί δόθηκε μια πυραμίδα με ένα τετράγωνο στη βάση, και τώρα είναι ένα εξάγωνο.
Πρώτα απ 'όλα, η περιοχή της βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Τώρα πρέπει να μάθετε την ημιπερίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου, που είναι μια πλευρική όψη. (22 + 61 * 2): 2 = 72 εκ. Απομένει να υπολογίσουμε το εμβαδόν κάθε τέτοιου τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron και, στη συνέχεια, να το πολλαπλασιάσουμε επί έξι και να το προσθέσουμε σε αυτό που προέκυψε για το βάση.
Υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Υπολογισμοί που θα δώσουν την πλευρική επιφάνεια: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Απομένει να τα αθροίσουμε για να μάθουμε ολόκληρη την επιφάνεια: 5217,47≈5217 cm 2.
Απάντηση.Βάση - 726√3 cm 2, πλαϊνή επιφάνεια - 3960 cm 2, ολόκληρη η επιφάνεια - 5217 cm 2.
ΣΤΟ σχολικό μάθημαη στερεομετρία μελετά τις ιδιότητες διαφορετικών χωρικών μορφών. Ένα από αυτά είναι η πυραμίδα. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στο ερώτημα πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας πυραμίδας. Αποκαλύπτεται επίσης το ζήτημα του προσδιορισμού αυτής της περιοχής για μια κολοβωμένη πυραμίδα.
Τι είναι μια πυραμίδα;
Πολλοί, έχοντας ακούσει τη λέξη "πυραμίδα", φαντάζονται αμέσως μεγαλειώδεις κατασκευές. αρχαία Αίγυπτος. Πράγματι, οι τάφοι του Χέοπα και του Χαφρέ είναι κανονικές τετραγωνικές πυραμίδες. Ωστόσο, μια πυραμίδα είναι επίσης ένα τετράεδρο, φιγούρες με βάση πέντε, έξι, ν-γωνιών.
Θα σας ενδιαφέρει:
Στη γεωμετρία, η έννοια της πυραμίδας ορίζεται σαφώς. Αυτό το σχήμα νοείται ως ένα αντικείμενο στο χώρο, το οποίο σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της σύνδεσης ενός συγκεκριμένου σημείου με τις γωνίες ενός επίπεδου n-gon, όπου το n είναι ένας ακέραιος αριθμός. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τέσσερις πυραμίδες με διαφορετικό αριθμό γωνιών στη βάση.
Το σημείο στο οποίο συνδέονται όλες οι κορυφές των γωνιών της βάσης δεν βρίσκεται στο επίπεδό του. Ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας. Αν σχεδιάσουμε μια κάθετη από αυτήν στη βάση, τότε παίρνουμε το ύψος. Το σχήμα στο οποίο το ύψος τέμνει τη βάση στο γεωμετρικό κέντρο ονομάζεται ευθεία γραμμή. Μερικές φορές μια ευθεία πυραμίδα έχει μια κανονική βάση, όπως ένα τετράγωνο, ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ούτω καθεξής. Σε αυτή την περίπτωση, ονομάζεται σωστό.
Κατά τον υπολογισμό της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας, είναι βολικό να εργάζεστε με κανονικά σχήματα.
Επιφάνεια της πλευρικής φιγούρας
Πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας πυραμίδας; Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό εάν εισαγάγουμε τον κατάλληλο ορισμό και εξετάσουμε το ξεδίπλωμα σε ένα επίπεδο για αυτό το σχήμα.
Οποιαδήποτε πυραμίδα σχηματίζεται από όψεις, οι οποίες χωρίζονται μεταξύ τους με άκρες. Η βάση είναι η όψη που σχηματίζεται από το n-gon. Όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα. Υπάρχουν n από αυτά και μαζί σχηματίζουν την πλευρική επιφάνεια του σχήματος.
Αν κόψουμε την επιφάνεια κατά μήκος της πλευρικής ακμής και την ξεδιπλώσουμε σε ένα επίπεδο, έχουμε μια ανάπτυξη πυραμίδας. Για παράδειγμα, μια εξαγωνική πυραμίδα φαίνεται παρακάτω.
Μπορεί να φανεί ότι η πλευρική επιφάνεια σχηματίζεται από έξι πανομοιότυπα τρίγωνα.
Τώρα δεν είναι δύσκολο να μαντέψουμε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις περιοχές όλων των τριγώνων. Στην περίπτωση μιας n-γωνικής κανονικής πυραμίδας, της οποίας η πλευρά βάσης είναι ίση με a, για την επιφάνεια που εξετάζουμε, μπορούμε να γράψουμε τον τύπο:
Εδώ το hb είναι το απόθεμα της πυραμίδας. Δηλαδή, το ύψος του τριγώνου, χαμηλωμένο από την κορυφή του σχήματος στο πλάι της βάσης. Εάν το απόθεμα είναι άγνωστο, τότε μπορεί να υπολογιστεί, γνωρίζοντας τις παραμέτρους του n-gon και την τιμή του ύψους h του σχήματος.
Η κολοβωμένη πυραμίδα και η επιφάνειά της
Όπως μπορείτε να μαντέψετε από το όνομα, μια κολοβωμένη πυραμίδα μπορεί να ληφθεί από μια κανονική φιγούρα. Για να το κάνετε αυτό, κόψτε την κορυφή με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση. Το παρακάτω σχήμα δείχνει αυτή τη διαδικασία για ένα εξαγωνικό σχήμα.
Η πλευρική του επιφάνεια είναι το άθροισμα των εμβαδών των όμοιων ισοσκελές τραπεζοειδών. Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια μιας κολοβωμένης πυραμίδας (σωστός) είναι:
Sb = hb*n*(a1 + a2)/2
Εδώ το hb είναι το απόθεμα του σχήματος, που είναι το ύψος του τραπεζοειδούς. Οι τιμές a1 και a2 είναι τα μήκη των βάσεων των πλευρών.
Υπολογισμός της πλευρικής επιφάνειας για μια τριγωνική πυραμίδα
Ας δείξουμε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας πυραμίδας. Ας πούμε ότι έχουμε ένα κανονικό τριγωνικό, ας δούμε το παράδειγμα ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Είναι γνωστό ότι η πλευρά της βάσης, που είναι ισόπλευρο τρίγωνο, είναι 10 εκ. Το ύψος του σχήματος είναι 15 εκ.
Η ανάπτυξη αυτής της πυραμίδας φαίνεται στο σχήμα. Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το Sb, πρέπει πρώτα να βρείτε το απόθεμα hb. Θεωρώντας ορθογώνιο τρίγωνομέσα στην πυραμίδα, χτισμένη στις πλευρές hb και h, η ισότητα μπορεί να γραφτεί ως εξής:
hb = √(h2+a2/12)
Αντικαθιστούμε τα δεδομένα και παίρνουμε ότι hb≈15,275 cm.
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το Sb:
Sb \u003d n * a * hb / 2 \u003d 3 * 10 * 15,275 / 2 \u003d 229,125 cm2
Σημειώστε ότι η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας, όπως και η πλευρική της όψη, σχηματίζεται από ένα τρίγωνο. Ωστόσο, αυτό το τρίγωνο δεν λαμβάνεται υπόψη κατά τον υπολογισμό του εμβαδού Sb.
Σε αυτό το μάθημα:
- Εργασία 1. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας
- Εργασία 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας
.
Σημείωση . Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, το οποίο δεν είναι εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Στις εργασίες, αντί για το σύμβολο "τετραγωνική ρίζα", χρησιμοποιείται η συνάρτηση sqrt (), στην οποία το σύμβολο είναι το sqrt τετραγωνική ρίζα, και η έκφραση ρίζας υποδεικνύεται σε αγκύλες. Για απλές ριζικές εκφράσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο "√"..
Εργασία 1. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας
Το ύψος της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 3 cm και η γωνία μεταξύ της πλευρικής όψης και της βάσης της πυραμίδας είναι 45 μοίρες.Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας
Λύση.
Στη βάση μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας βρίσκεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Επομένως, για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες ενός κανονικού τριγώνου: 
Γνωρίζουμε το ύψος του τριγώνου, από όπου μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Από όπου το εμβαδόν της βάσης θα είναι ίσο με:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Για να βρούμε το εμβαδόν της πλευρικής όψης, υπολογίζουμε το ύψος KM. Η γωνία OKM, σύμφωνα με τη δήλωση προβλήματος, είναι 45 μοίρες.
Με αυτόν τον τρόπο:
OK / MK = cos 45
Ας χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και ας αντικαταστήσουμε τις γνωστές τιμές.
OK / MK = √2/2
Λαμβάνουμε υπόψη ότι το ΟΚ ισούται με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Επειτα
ΟΚ = √3/6 α
ΟΚ = √3/6 * 6/√3 = 1
Επειτα
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2
Το εμβαδόν της πλευρικής όψης είναι τότε ίσο με το μισό γινόμενο του ύψους και της βάσης του τριγώνου.
Πλευρά = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Έτσι, η συνολική επιφάνεια της πυραμίδας θα είναι ίση με
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Απάντηση: 3√3 + 18/√6
Εργασία 2. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, το ύψος είναι 10 cm και η πλευρά της βάσης είναι 16 cm . Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας .Λύση.
Δεδομένου ότι η βάση μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τότε το AO είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από τη βάση.
(Απάγεται από)
Η ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισόπλευρο τρίγωνο βρίσκεται από τις ιδιότητές του
Οπότε το μήκος των άκρων μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας θα είναι ίσο με:
AM 2 = MO 2 + AO 2
το ύψος της πυραμίδας είναι γνωστό από την συνθήκη (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
ΠΜ = √(556/3)
Κάθε πλευρά της πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο. Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται από τον πρώτο τύπο παρακάτω 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Εφόσον και οι τρεις όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες, η πλευρική επιφάνεια θα είναι ίση με
3S = 48√(91/3)
Απάντηση: 48 √(91/3)
Εργασία 3. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας
Η πλευρά μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 3 cm και η γωνία μεταξύ της πλευρικής όψης και της βάσης της πυραμίδας είναι 45 μοίρες. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.
Λύση.
Δεδομένου ότι η πυραμίδα είναι κανονική, έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο στη βάση της. Άρα το εμβαδόν της βάσης είναι 
Άρα = 9 * √3/4
Για να βρούμε το εμβαδόν της πλευρικής όψης, υπολογίζουμε το ύψος KM. Η γωνία OKM, σύμφωνα με τη δήλωση προβλήματος, είναι 45 μοίρες.
Με αυτόν τον τρόπο:
OK / MK = cos 45
Ας χρησιμοποιήσουμε
Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που οριοθετείται από δύο παράλληλα επίπεδα και μια κυλινδρική επιφάνεια. Στο άρθρο, θα μιλήσουμε για το πώς να βρούμε την περιοχή ενός κυλίνδρου και, χρησιμοποιώντας τον τύπο, θα λύσουμε πολλά προβλήματα για παράδειγμα.
Ένας κύλινδρος έχει τρεις επιφάνειες: μια πάνω, μια κάτω και μια πλευρική επιφάνεια.
Το πάνω και το κάτω μέρος του κυλίνδρου είναι κύκλοι και είναι εύκολο να αναγνωριστούν.
Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με πr 2. Επομένως, ο τύπος για την περιοχή δύο κύκλων (πάνω και κάτω μέρος του κυλίνδρου) θα μοιάζει με πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Η τρίτη, πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου, είναι το καμπύλο τοίχωμα του κυλίνδρου. Για να αναπαραστήσουμε καλύτερα αυτή την επιφάνεια, ας προσπαθήσουμε να την μεταμορφώσουμε ώστε να αποκτήσει ένα αναγνωρίσιμο σχήμα. Φανταστείτε ότι ένας κύλινδρος είναι ένα συνηθισμένο κουτί από κασσίτερο που δεν έχει επάνω καπάκι και κάτω. Ας κάνουμε μια κατακόρυφη τομή στο πλευρικό τοίχωμα από την κορυφή προς το κάτω μέρος του βάζου (Βήμα 1 στο σχήμα) και ας προσπαθήσουμε να ανοίξουμε (ισιώσει) όσο το δυνατόν περισσότερο το σχήμα που προκύπτει (Βήμα 2).
Μετά την πλήρη αποκάλυψη του προκύπτοντος βάζου, θα δούμε μια γνωστή φιγούρα (Βήμα 3), αυτό είναι ένα ορθογώνιο. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι εύκολο να υπολογιστεί. Αλλά πριν από αυτό, ας επιστρέψουμε για λίγο στον αρχικό κύλινδρο. Η κορυφή του αρχικού κυλίνδρου είναι ένας κύκλος και γνωρίζουμε ότι η περιφέρεια ενός κύκλου υπολογίζεται με τον τύπο: L = 2πr. Σημειώνεται με κόκκινο χρώμα στο σχήμα.
Όταν το πλευρικό τοίχωμα του κυλίνδρου διασταλεί πλήρως, βλέπουμε ότι η περιφέρεια γίνεται το μήκος του παραλληλογράμμου που προκύπτει. Οι πλευρές αυτού του ορθογωνίου θα είναι η περιφέρεια (L = 2πr) και το ύψος του κυλίνδρου (h). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των πλευρών του - S = μήκος x πλάτος = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ως αποτέλεσμα, έχουμε αποκτήσει έναν τύπο για τον υπολογισμό της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου.
Ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου
S πλευρά = 2 πρω
Πλήρης επιφάνεια ενός κυλίνδρου
Τέλος, αν αθροίσουμε το εμβαδόν και των τριών επιφανειών, παίρνουμε τον τύπο για τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου. Η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι ίση με την περιοχή της κορυφής του κυλίνδρου + την περιοχή της βάσης του κυλίνδρου + την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου ή S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Μερικές φορές αυτή η έκφραση γράφεται με τον ίδιο τύπο 2πr (r + h).
Ο τύπος για τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r είναι η ακτίνα του κυλίνδρου, h είναι το ύψος του κυλίνδρου
Παραδείγματα υπολογισμού της επιφάνειας ενός κυλίνδρου
Για να κατανοήσουμε τους παραπάνω τύπους, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου χρησιμοποιώντας παραδείγματα.
1. Η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι 2, το ύψος είναι 3. Προσδιορίστε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.
Η συνολική επιφάνεια υπολογίζεται με τον τύπο: πλευρά S. = 2 πρω
S πλευρά = 2 * 3,14 * 2 * 34,6 . Συνολικές βαθμολογίες που ελήφθησαν: 990.
Τυπικά γεωμετρικά προβλήματα στο επίπεδο και στο τρισδιάστατο χώροείναι τα προβλήματα προσδιορισμού των επιφανειών διαφορετικών σχημάτων. Σε αυτό το άρθρο, παρουσιάζουμε τον τύπο για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας.
Τι είναι μια πυραμίδα;
Δίνουμε μια αυστηρή γεωμετρικός ορισμόςπυραμίδες. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο πολύγωνο με n πλευρές και n γωνίες. Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο που δεν θα βρίσκεται στο επίπεδο του καθορισμένου n-γώνου και το συνδέουμε σε κάθε κορυφή του πολυγώνου. Θα πάρουμε ένα σχήμα που έχει κάποιο όγκο, το οποίο ονομάζεται n-γωνική πυραμίδα. Για παράδειγμα, ας δείξουμε στο παρακάτω σχήμα πώς μοιάζει μια πενταγωνική πυραμίδα.
Δύο σημαντικά στοιχεία οποιασδήποτε πυραμίδας είναι η βάση της (n-gon) και η κορυφή της. Αυτά τα στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους με n τρίγωνα, τα οποία γενικά δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Η κάθετη που πέφτει από την κορυφή στη βάση ονομάζεται ύψος του σχήματος. Αν τέμνει τη βάση στο γεωμετρικό κέντρο (συμπίπτει με το κέντρο μάζας του πολυγώνου), τότε μια τέτοια πυραμίδα ονομάζεται ευθεία γραμμή. Εάν, εκτός από αυτήν την συνθήκη, η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε ολόκληρη η πυραμίδα ονομάζεται κανονική. Το παρακάτω σχήμα δείχνει πώς μοιάζουν οι κανονικές πυραμίδες με τριγωνικές, τετράγωνες, πενταγωνικές και εξαγωνικές βάσεις.
Η επιφάνεια της πυραμίδας
Πριν στραφούμε στο ζήτημα της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, θα πρέπει να σταθούμε λεπτομερέστερα στην έννοια της ίδιας της επιφάνειας.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω και φαίνεται στα σχήματα, οποιαδήποτε πυραμίδα σχηματίζεται από ένα σύνολο όψεων ή πλευρών. Η μία πλευρά είναι η βάση και οι n πλευρές είναι τρίγωνα. Η επιφάνεια ολόκληρου του σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών κάθε πλευράς του.
Είναι βολικό να μελετήσετε την επιφάνεια χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας φιγούρας που ξεδιπλώνεται. Μια σάρωση για μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.
Βλέπουμε ότι το εμβαδόν της επιφάνειάς του ισούται με το άθροισμα τεσσάρων εμβαδών πανομοιότυπων ισοσκελές τριγώνων και το εμβαδόν ενός τετραγώνου.
Το συνολικό εμβαδόν όλων των τριγώνων που σχηματίζουν τις πλευρές του σχήματος ονομάζεται εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας. Στη συνέχεια, δείχνουμε πώς να το υπολογίσουμε για μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα.
Πλευρική επιφάνεια μιας ορθογώνιας κανονικής πυραμίδας
Για να υπολογίσουμε την πλευρική επιφάνεια του καθορισμένου σχήματος, στρέφουμε και πάλι στην παραπάνω σάρωση. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε την πλευρά της τετραγωνικής βάσης. Ας το συμβολίσουμε με το σύμβολο α. Μπορεί να φανεί ότι καθένα από τα τέσσερα ίδια τρίγωνα έχει μια βάση μήκους a. Για να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν τους, πρέπει να γνωρίζετε αυτή την τιμή για ένα τρίγωνο. Από την πορεία της γεωμετρίας είναι γνωστό ότι το εμβαδόν του τριγώνου S t είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης και του ύψους, το οποίο πρέπει να διαιρεθεί στο μισό. Αυτό είναι:
Όπου h b είναι το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου που σύρεται στη βάση α. Για μια πυραμίδα, αυτό το ύψος είναι το απόθεμα. Τώρα μένει να πολλαπλασιάσουμε την προκύπτουσα έκφραση με 4 για να πάρουμε την περιοχή S b της πλευρικής επιφάνειας για την εν λόγω πυραμίδα:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Αυτός ο τύπος περιέχει δύο παραμέτρους: το απόθεμα και την πλευρά της βάσης. Εάν το τελευταίο είναι γνωστό στις περισσότερες συνθήκες των προβλημάτων, τότε το πρώτο πρέπει να υπολογιστεί γνωρίζοντας άλλες ποσότητες. Ακολουθούν οι τύποι για τον υπολογισμό του αποθέματος h b για δύο περιπτώσεις:
- όταν είναι γνωστό το μήκος της πλευρικής πλευράς.
- όταν είναι γνωστό το ύψος της πυραμίδας.
Αν υποδηλώσουμε το μήκος της πλευρικής ακμής (την πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου) με το σύμβολο L, τότε το απόθεμα h b καθορίζεται από τον τύπο:
h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).
Αυτή η έκφραση είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του Πυθαγόρειου θεωρήματος για το τρίγωνο της πλευρικής επιφάνειας.
Εάν το ύψος h της πυραμίδας είναι γνωστό, τότε το απότεμα h b μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Δεν είναι επίσης δύσκολο να λάβουμε αυτήν την έκφραση εάν λάβουμε υπόψη ένα ορθογώνιο τρίγωνο μέσα στην πυραμίδα που σχηματίζεται από τα σκέλη h και a / 2 και την υποτείνουσα h b.
Θα δείξουμε πώς να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους λύνοντας δύο ενδιαφέροντα προβλήματα.
Πρόβλημα με Γνωστή Επιφάνεια
Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός τετραγωνικού είναι 108 cm 2. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή του μήκους του αποθέματός της h bif το ύψος της πυραμίδας είναι 7 cm.
Γράφουμε τον τύπο για το εμβαδόν S b της πλευρικής επιφάνειας μέσω του ύψους. Εχουμε:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Εδώ έχουμε απλώς αντικαταστήσει τον αντίστοιχο τύπο αποθέματος στην έκφραση για το S b . Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.
Για να βρούμε την τιμή του a, κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητών:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Συνδέστε τις γνωστές τιμές και λύστε τετραγωνική εξίσωση:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Έχουμε γράψει μόνο τη θετική ρίζα αυτής της εξίσωσης. Τότε οι πλευρές της βάσης της πυραμίδας θα είναι ίσες με:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Για να λάβετε το μήκος του apotema, απλώς χρησιμοποιήστε τον τύπο:
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.
Πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας του Χέοπα
Ας προσδιορίσουμε την αξία της πλευράς για τη μεγαλύτερη αιγυπτιακή πυραμίδα. Είναι γνωστό ότι στη βάση του βρίσκεται ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 230.363 μέτρα. Το ύψος της κατασκευής ήταν αρχικά 146,5 μέτρα. Αντικαταστήστε αυτούς τους αριθμούς στον αντίστοιχο τύπο για το S b , παίρνουμε:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
Η τιμή που βρέθηκε είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από την περιοχή των 17 γηπέδων ποδοσφαίρου.
