Ποιο είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Τύπος του ν ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου. Επίλυση προβλημάτων με αριθμητική πρόοδο

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς, και μπορεί να υπάρχουν όσοι θέλετε (στην περίπτωσή μας, αυτοί). Όσους αριθμούς κι αν γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος από αυτούς είναι ο πρώτος, ποιος ο δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως ο -ος αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται -ο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας - το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Μια τέτοια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο ήδη από τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με την ευρύτερη έννοια ως μια ατέρμονη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, με την οποία ασχολούνταν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο, προστίθεται με τον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά αριθμητικής προόδου και συμβολίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα? Συγκρίνετε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου μέλους της. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε στην προηγούμενη τιμή του αριθμού προόδου μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, το -ο μέλος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσο με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση των αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν χρειάζεται να προσθέσετε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Κοιτάξτε προσεκτικά τη σχεδιασμένη εικόνα ... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε τι αποτελεί την τιμή του -ου μέλους αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε ανεξάρτητα με αυτόν τον τρόπο την τιμή ενός μέλους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Υπολογίστηκε; Συγκρίνετε τις καταχωρήσεις σας με την απάντηση:

Προσέξτε ότι πήρατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τα μέλη μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - τον φέρνουμε σε μια γενική μορφή και παίρνουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους είτε αυξάνονται είτε μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς:

Από τότε:

Έτσι, ήμασταν πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο στη μείωση όσο και στην αύξηση της αριθμητικής προόδου.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τα -ο και -ο μέλη αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε την εργασία - εξάγουμε την ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η ακόλουθη συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Είναι εύκολο, λέτε, και αρχίστε να μετράτε σύμφωνα με τον τύπο που ήδη γνωρίζετε:

Έστω α, λοιπόν:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτήν, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνουν λάθη στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε, είναι δυνατόν να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά, ναι, και θα προσπαθήσουμε να το αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον επιθυμητό όρο της αριθμητικής προόδου, όπως γνωρίζουμε τον τύπο για να τον βρούμε - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, έπειτα:

• το προηγούμενο μέλος της εξέλιξης είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τα προηγούμενα και τα επόμενα μέλη της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων μελών της προόδου είναι διπλάσια από την τιμή του μέλους της προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, για να βρείτε την τιμή ενός μέλους προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, είναι απαραίτητο να τις προσθέσετε και να διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας φτιάξουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, γιατί δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Απομένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο "βασιλιάς των μαθηματικών" - ο Καρλ Γκάους, συνήγαγε εύκολα για τον εαυτό του ...

Όταν ο Carl Gauss ήταν 9 ετών, ο δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών από άλλες τάξεις, ζήτησε την ακόλουθη εργασία στο μάθημα: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από μέχρι (σύμφωνα με άλλες πηγές μέχρι) συμπεριλαμβανομένων. " Ποια ήταν η έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (ήταν ο Καρλ Γκάους) μετά από ένα λεπτό έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού μετά από μεγάλους υπολογισμούς έλαβαν λάθος αποτέλεσμα ...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε.
Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από μέλη -ti: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των δεδομένων μελών της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε χειροκίνητα όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν χρειαστεί να βρούμε το άθροισμα των όρων του στην εργασία, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Κοιτάξτε προσεκτικά τους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Δοκιμασμένος? Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Τώρα απαντήστε, πόσα τέτοια ζευγάρια θα υπάρχουν στην εξέλιξη που μας δίνεται; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ίσα ζεύγη, παίρνουμε ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα, δεν γνωρίζουμε τον ό ​​όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε στον τύπο του αθροίσματος, τον τύπο του ου μέλους.
Τι πήρες?

Μπράβο! Τώρα ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που δόθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας ποιο είναι το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το -ο και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το -ο.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss αποδείχθηκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Έτσι αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, οι πνευματώδεις άνθρωποι χρησιμοποιούσαν τις ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου με δύναμη και κύρια.
Για παράδειγμα, φανταστείτε την Αρχαία Αίγυπτο και το μεγαλύτερο εργοτάξιο εκείνης της εποχής - την κατασκευή μιας πυραμίδας ... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ που λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Μετρήστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος αν τοποθετηθούν τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε μετακινώντας το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό:
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των μελών μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (μετράμε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε επίσης να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές​​με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Συμφωνούσε; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από τα μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες?
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Προπόνηση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές η Μάσα θα κάνει οκλαδόν μέσα σε εβδομάδες αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση.
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Όταν αποθηκεύουν κορμούς, οι ξυλοκόποι τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε ανώτερη στρώση να περιέχει ένα κορμό λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν η βάση της τοιχοποιίας είναι κορμοί.

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει οκλαδόν μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών στο - μισό, ωστόσο, ελέγξτε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του -ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Αντικαθιστούμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο με.

3. Θυμηθείτε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, a , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, υπάρχουν μόνο ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ανακεφαλαίωση

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Αυξάνεται και μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΤο μέλος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - όπου - ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
4. Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιονδήποτε αριθμό και μπορεί να υπάρχουν όσοι θέλετε. Αλλά μπορείς πάντα να πεις ποιο από αυτά είναι το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και μόνο έναν. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται -ο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας - το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν το -ο μέλος της ακολουθίας μπορεί να δοθεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά). Ή (, διαφορά).

τύπος nου όρου

Ονομάζουμε επαναλαμβανόμενο τύπο στον οποίο, για να μάθετε τον -ο όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον ό ​​όρο της προόδου χρησιμοποιώντας έναν τέτοιο τύπο, πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, ας. Επειτα:

Λοιπόν, τώρα είναι σαφές ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή, προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμαστε με κάποιο αριθμό. Για τι? Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο άνετα τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Και ποια είναι η διαφορά; Και να τι:

(άλλωστε λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών μελών της προόδου).

Ο τύπος λοιπόν είναι:

Τότε ο εκατοστός όρος είναι:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με το μύθο, ο μεγάλος μαθηματικός Carl Gauss, όντας ένα αγόρι 9 ετών, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων πολλαπλασίων.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενο προκύπτει προσθέτοντας έναν αριθμό στον προηγούμενο. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Ο τύπος για τον όρο αυτής της προόδου είναι:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει να είναι όλοι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει 1 μέτρο περισσότερο από την προηγούμενη. Πόσα χιλιόμετρα θα τρέξει σε εβδομάδες αν έτρεξε km m την πρώτη μέρα;
2. Ένας ποδηλάτης κάνει περισσότερα μίλια κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες πρέπει να οδηγήσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού;
3. Η τιμή ενός ψυγείου στο κατάστημα μειώνεται ισόποσα κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, αν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται:, είναι απαραίτητο να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση.
   Ας υπολογίσουμε την απόσταση που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του -ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Εύρημα: .
   Δεν γίνεται πιο εύκολο:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος αυξάνεται () και μειώνεται ().

Για παράδειγμα:

Ο τύπος για την εύρεση του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται ως τύπος, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Διευκολύνει την εύρεση ενός μέλους της προόδου εάν είναι γνωστά τα γειτονικά μέλη του - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το άθροισμα:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

ΤΑ ΥΠΟΜΕΝΟΝΤΑ 2/3 ΑΡΘΡΩΝ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΜΟΝΟ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ YOUCLEVER!

Γίνε μαθητής του YouClever,

Προετοιμαστείτε για το OGE ή τη ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά στην τιμή του "ένα φλιτζάνι καφέ το μήνα",

Επίσης, αποκτήστε απεριόριστη πρόσβαση στο εγχειρίδιο "YouClever", το εκπαιδευτικό πρόγραμμα "100gia" (βιβλίο λύσεων), απεριόριστη δοκιμαστική χρήση και OGE, 6000 εργασίες με ανάλυση λύσεων και άλλων υπηρεσιών YouClever και 100gia.

Ποια είναι η ουσία της φόρμουλας;

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά εξέλιξης ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους, δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.

Δεν αρκεί να απομνημονεύσετε (ή να εξαπατήσετε) αυτόν τον τύπο. Είναι απαραίτητο να αφομοιώσουμε την ουσία του και να εφαρμόσουμε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Ναι, και μην ξεχνάτε την κατάλληλη στιγμή, ναι ...) Πώς μην ξεχάσεις- Δεν ξέρω. Αλλά πώς να θυμάστεΑν χρειαστεί, θα σας δώσω μια υπόδειξη. Για όσους κατακτήσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)

Ας ασχοληθούμε λοιπόν με τον τύπο του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είναι ένας τύπος γενικά - φανταζόμαστε.) Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος, ένας αριθμός μέλους, μια διαφορά προόδου - αναφέρεται ξεκάθαρα στο προηγούμενο μάθημα. Ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι ντο μέλος.

Η πρόοδος γενικά μπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος α 4- τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστό - από ένα 120.

Πώς να ορίσετε γενικά όποιοςμέλος μιας αριθμητικής προόδου, s όποιοςαριθμός? Πολύ απλό! Σαν αυτό:

a n

Αυτό είναι ν-ο μέλος μιας αριθμητικής προόδου.Κάτω από το γράμμα n κρύβονται όλοι οι αριθμοί των μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.

Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκέψου, αντί για αριθμό, έγραψαν ένα γράμμα...

Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητικές προόδους. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και ένα σωρό εργασίες για επίλυση σε εξέλιξη. Θα δείτε περαιτέρω.

Στον τύπο του ντος μέλους μιας αριθμητικής προόδου:

a n = a 1 + (n-1)d

Α'1- το πρώτο μέλος της αριθμητικής προόδου.

n- αριθμός μέλους.

Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n ; Α'1 ; ρεκαι n. Γύρω από αυτές τις παραμέτρους, όλα τα παζλ περιστρέφονται σε εξέλιξη.

Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα μπορεί να ειπωθεί ότι η πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί ακόμη και να μπερδέψει ... Δεν υπάρχει καμία σειρά, καμία διαφορά ... Αλλά, συγκρίνοντας την κατάσταση με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι σε αυτήν την εξέλιξη a 1 \u003d 5 και d \u003d 2.

Και μπορεί να είναι ακόμα πιο θυμωμένο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,ναι άνοιξε τις αγκύλες και δώσε παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:

an = 3 + 2n.

το Μόνο όχι γενική, αλλά για συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ βρίσκεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα το πρώτο μέλος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με μια τέτοια τροποποιημένη φόρμουλα.

Στις εργασίες για πρόοδο, υπάρχει μια άλλη σημειογραφία - ένα n+1. Αυτός είναι, το μαντέψατε, ο όρος "n συν τον πρώτο" όρο της εξέλιξης. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου, ο αριθμός της οποίας είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό ν κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε για a nπέμπτη θητεία λοιπόν ένα n+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.

Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα n+1εμφανίζεται σε αναδρομικούς τύπους. Μην φοβάστε αυτήν την τρομερή λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός όρου μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας τον επαναλαμβανόμενο τύπο:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Και πώς να μετρήσετε αμέσως, ας πούμε τον εικοστό όρο, ένα 20? Αλλά σε καμία περίπτωση!) Ενώ ο 19ος όρος δεν είναι γνωστός, ο 20ός δεν μπορεί να μετρηθεί. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του αναδρομικού τύπου και του τύπου του nου όρου. Η αναδρομική λειτουργεί μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου - μέσω ο πρώτοςκαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίζουμε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, ένας αναδρομικός τύπος μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη μορφή και δουλέψτε μαζί του. Στο GIA, τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά.

Εφαρμογή του τύπου του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου.

Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση το νόημα της αριθμητικής προόδου. Προσθέστε, ναι προσθέστε ... Μία ή δύο ώρες.)

Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Εμείς αποφασίζουμε.

Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Μένει να δούμε τι n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Εδώ γράφουμε:

Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε ένας συγκεκριμένος αριθμός: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει το μέλος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαταστήστε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει το πεντακόσιο δέκατο μέλος, και το χίλιο τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε αγκύλες, και θεωρούμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω την ουσία: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Ας λύσουμε το πρόβλημα πιο έξυπνα. Ας πούμε ότι έχουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n) εάν a 17 =-2; d=-0,5.

Αν έχετε δυσκολίες, θα σας προτείνω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με το χέρι, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:

a n = a 1 + (n-1)d

Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος ... Όλα; Αν νομίζετε ότι αυτό είναι όλο, τότε δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα, ναι...

Έχουμε και έναν αριθμό n! Στην κατάσταση α 17 =-2κρυμμένος δύο επιλογές.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου μέλους (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό πράγμα» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό πράγμα», όχι το κεφάλι!) Το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και ... και χωρίς κεφάλι επίσης.)

Τώρα μπορούμε ανόητα να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στον τύπο:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας το βάλουμε:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Αυτό, στην ουσία, είναι όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να υπολογίσουμε. Παίρνετε την απάντηση: α 1 = 6.

Μια τέτοια τεχνική - η σύνταξη ενός τύπου και η απλή αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ σε απλές εργασίες. Λοιπόν, πρέπει, φυσικά, να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, τα μαθηματικά δεν μπορούν να μελετηθούν καθόλου ...

Ένα άλλο δημοφιλές πρόβλημα:

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n) εάν a 1 =2; α 15 = 12.

Τι κάνουμε? Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τον τύπο!)

a n = a 1 + (n-1)d

Σκεφτείτε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (ιδιαίτερη επισήμανση!) n=15. Μη διστάσετε να αντικαταστήσετε στη φόρμουλα:

12=2 + (15-1)δ

Ας κάνουμε την αριθμητική.)

12=2 + 14η

ρε=10/14 = 5/7

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Εργασίες λοιπόν a n, a 1και ρεαποφασισμένος. Απομένει να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:

Ο αριθμός 99 είναι μέλος μιας αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.

Αντικαθιστούμε τις γνωστές ποσότητες στον τύπο του nου όρου:

a n = 12 + (n-1) 3

Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα n και n.Αλλά a nείναι κάποιο μέλος της προόδου με τον αριθμό n... Και αυτό το μέλος του progression το ξέρουμε! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,οπότε πρέπει να βρεθεί και αυτός ο αριθμός. Αντικαταστήστε τον όρο προόδου 99 στον τύπο:

99 = 12 + (n-1) 3

Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.

Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):

Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 θα είναι μέλος μιας αριθμητικής προόδου (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν παράμετροι; Χμ... Γιατί χρειαζόμαστε μάτια;) Βλέπουμε το πρώτο μέλος της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 \u003d -3,6.Διαφορά ρεμπορεί να προσδιοριστεί από τη σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ναι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Μένει να ασχοληθούμε με έναν άγνωστο αριθμό nκαι ένας ακατανόητος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν ότι ... Πώς να είσαι!; Λοιπόν, πώς να είσαι, πώς να είσαι... Ενεργοποιήστε τις δημιουργικές σας ικανότητες!)

Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι-ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:

Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα βγάζουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου μεταξύ του 101ου και του 102ου μέλους. Εάν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: όχι.

Εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n \u003d -4 + 6,8n

Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη διαμορφώνεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιο είδος φόρμουλας ... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.

Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα, είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Τίποτα, θα το βρούμε τώρα.)

Όπως και στις προηγούμενες εργασίες, αντικαθιστούμε n=1σε αυτόν τον τύπο:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!

Ομοίως, αναζητούμε τον δέκατο όρο:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό.

Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει μέχρι αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)

Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης του GIA ή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, ξεχάσατε τον χρήσιμο τύπο του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου. Κάτι μου έρχεται στο μυαλό, αλλά με κάποιο τρόπο αβέβαιο ... Αν nεκεί, ή n+1, ή ν-1...Πώς να είσαι!?

Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Όχι πολύ αυστηρό, αλλά σίγουρα αρκετό για αυτοπεποίθηση και σωστή απόφαση!) Για το συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθούμε τη στοιχειώδη σημασία της αριθμητικής προόδου και να έχουμε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.

Σχεδιάζουμε έναν αριθμητικό άξονα και σημειώνουμε πάνω του τον πρώτο. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώστε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:

Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: με τι ισούται ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:

ένα 2 =a 1 + 1 ρε

Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.

ένα 3 =a 1 + 2 ρε

Τόπιασες? Δεν βάζω κάποιες λέξεις με έντονους χαρακτήρες. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα.)

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.

ένα 4 =a 1 + 3 ρε

Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Μέχρι τον αριθμό δηλαδή n, αριθμός κενώνθα είναι n-1.Έτσι, ο τύπος θα είναι (χωρίς επιλογές!):

a n = a 1 + (n-1)d

Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε ... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών με τη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείς να βάλεις μια εικόνα σε μια εξίσωση...

Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση.

Για προθέρμανση:

1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Βρείτε ένα 3.

Συμβουλή: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα λύνεται σε 20 δευτερόλεπτα ... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για τον έλεγχο του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται τόσο από την εικόνα όσο και από τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)

Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)

2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .

Τι, απροθυμία να σχεδιάσετε μια εικόνα;) Ακόμα! Είναι καλύτερα στη φόρμουλα, ναι...

3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Σε αυτή την εργασία, η εξέλιξη δίνεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν μπορούν όλοι να κάνουν ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα της nης θητείας είναι στη δύναμη όλων!

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Βρείτε τον αριθμό του μικρότερου θετικού όρου της προόδου.

5. Σύμφωνα με την συνθήκη της εργασίας 4, βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών μελών της προόδου.

6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αυξανόμενης αριθμητικής προόδου είναι -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι μηδέν. Βρείτε ένα 14.

Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι ...) Εδώ η μέθοδος "στα δάχτυλα" δεν θα λειτουργήσει. Πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.

Απαντήσεις (σε αταξία):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Συνέβη; Είναι ωραία!)

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, στην τελευταία εργασία υπάρχει ένα λεπτό σημείο. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.

Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για τον τέταρτο, και η λεπτή στιγμή για τον έκτο, και γενικές προσεγγίσεις για την επίλυση τυχόν προβλημάτων για τον τύπο του ένατου όρου - όλα είναι ζωγραφισμένα. Προτείνω.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(οκτώ\); \(έντεκα\); Το \(14\)… είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(δέκα\); \(τέσσερα\); \(-2\); \(-8\)… η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτή την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδηλώνεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με την αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων με αριθμητική πρόοδο

Κατ' αρχήν, οι παραπάνω πληροφορίες είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα σε μια αριθμητική πρόοδο (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το γειτονικό κατά τον ίδιο αριθμό. Βρείτε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο επιθυμητό (πρώτο αρνητικό) στοιχείο.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(...5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που συμβολίζεται με το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα βρίσκουμε αυτό που ψάχνουμε χωρίς κανένα πρόβλημα: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Όμως δεν γνωρίζουμε τις έννοιές τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, υπολογίζουμε πρώτα τις τιμές με τη σειρά, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που μας δίνονται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Το ποσό που ζητήθηκε βρέθηκε.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι αριθμητικής προόδου

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα αριθμητικής προόδου μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο σε αυτήν την αλυσίδα προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (η διαφορά της προόδου).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις που είναι πολύ άβολο να λυθεί "στο μέτωπο". Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα, δεν χρειάζεται να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Τι είναι, εμείς \ (385 \) φορές να προσθέσουμε τέσσερις; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Το μέτρημα είναι μπερδεμένο...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν λύνονται "στο μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και οι κυριότεροι είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων.

Τύπος για το \(n\)ο μέλος: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι το πρώτο μέλος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
Το \(a_n\) είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε γρήγορα τουλάχιστον το τριακόσιο, ακόμη και το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) είναι ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων είκοσι πέντε στοιχείων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρου. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (βλ. λεπτομέρειες). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας το \(n\) με ένα.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα υπολογίζουμε το απαιτούμενο ποσό χωρίς προβλήματα.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα \(n\) των πρώτων στοιχείων.
Το \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος που αθροίζεται.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) - ο αριθμός των στοιχείων στο άθροισμα.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(δεκατέσσερα\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία πρέπει όχι μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά, αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Ξεκινάμε να λύνουμε με τον ίδιο τρόπο: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα αντικαθιστούσαμε το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα ... και εδώ εμφανίζεται μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε \(n\). Με άλλα λόγια, δεν ξέρουμε πόσοι όροι θα χρειαστεί να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε για τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|: 0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε ταμπέλες
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Χρήση υπολογιστή...
\(n>65.333…\)		…και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το τσεκάρουμε.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο έως το στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Δεν έχουμε συνταγή για αυτό. Πώς να αποφασίσετε; Εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και στη συνέχεια να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο στο \ (25 \) ου (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-uh στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\)-ου στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για μια αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν έχουμε εξετάσει σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από στοιχειώδες έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)

Α'1 - ο πρώτοςμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των μελών που προστέθηκαν.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό πράγμα είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Πρώτα απ 'όλα, χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο Μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι νούμερο θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ντος όρος δεν απαιτείται εδώ. a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Φυσικά! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους στοχαστικούς. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Το δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Τύπος του nου όρου:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε αριθμός είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Αυτό το θέμα είναι συχνά δύσκολο και ακατανόητο. Δείκτες γραμμάτων, ο nος όρος της προόδου, η διαφορά της προόδου - όλα αυτά είναι κάπως μπερδεμένα, ναι ... Ας καταλάβουμε την έννοια της αριθμητικής προόδου και όλα θα πάνε αμέσως.)

Η έννοια της αριθμητικής προόδου.

Η αριθμητική πρόοδος είναι μια πολύ απλή και ξεκάθαρη έννοια. Αμφιβολία? Μάταια.) Δείτε μόνοι σας.

Θα γράψω μια ημιτελή σειρά αριθμών:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Μπορείτε να επεκτείνετε αυτή τη γραμμή; Ποιοι αριθμοί θα ακολουθήσουν, μετά το πέντε; Όλοι... ε..., εν ολίγοις, όλοι θα καταλάβουν ότι οι αριθμοί 6, 7, 8, 9, κ.λπ. θα πάνε παραπέρα.

Ας περιπλέκουμε το έργο. Δίνω μια ημιτελή σειρά αριθμών:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Μπορείτε να πιάσετε το μοτίβο, να επεκτείνετε τη σειρά και να ονομάσετε έβδομοςαριθμός σειράς;

Αν καταλάβατε ότι αυτός ο αριθμός είναι 20 - σας συγχαίρω! Όχι μόνο ένιωσες βασικά σημεία μιας αριθμητικής προόδου,αλλά και τα χρησιμοποίησε με επιτυχία στις επιχειρήσεις! Αν δεν καταλαβαίνετε, διαβάστε.

Τώρα ας μεταφράσουμε τα βασικά σημεία από τις αισθήσεις στα μαθηματικά.)

Πρώτο βασικό σημείο.

Η αριθμητική πρόοδος ασχολείται με σειρές αριθμών.Αυτό στην αρχή προκαλεί σύγχυση. Έχουμε συνηθίσει να λύνουμε εξισώσεις, να χτίζουμε γραφήματα και όλα αυτά... Και μετά να επεκτείνουμε τη σειρά, να βρούμε τον αριθμό της σειράς...

Είναι εντάξει. Απλώς οι προόδους είναι η πρώτη γνωριμία με έναν νέο κλάδο των μαθηματικών. Η ενότητα ονομάζεται "Σειρά" και λειτουργεί με σειρές αριθμών και εκφράσεων. Συνήθισε το.)

Δεύτερο σημείο κλειδί.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, οποιοσδήποτε αριθμός διαφέρει από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Στο πρώτο παράδειγμα, αυτή η διαφορά είναι μία. Όποιο νούμερο κι αν πάρεις, είναι ένα παραπάνω από τον προηγούμενο. Στο δεύτερο - τρία. Οποιοσδήποτε αριθμός είναι τρεις φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Στην πραγματικότητα, αυτή η στιγμή είναι που μας δίνει την ευκαιρία να πιάσουμε το μοτίβο και να υπολογίσουμε τους επόμενους αριθμούς.

Τρίτο βασικό σημείο.

Αυτή η στιγμή δεν είναι εντυπωσιακή, ναι... Αλλά πολύ, πολύ σημαντική. Να τος: κάθε αριθμός προόδου βρίσκεται στη θέση του.Υπάρχει ο πρώτος αριθμός, υπάρχει ο έβδομος, υπάρχει ο σαράντα πέμπτος, και ούτω καθεξής. Αν τα μπερδέψετε τυχαία, το σχέδιο θα εξαφανιστεί. Η αριθμητική πρόοδος θα εξαφανιστεί επίσης. Είναι απλώς μια σειρά αριθμών.

Αυτό είναι το όλο θέμα.

Φυσικά, νέοι όροι και σημειογραφία εμφανίζονται στο νέο θέμα. Πρέπει να ξέρουν. Διαφορετικά, δεν θα καταλάβετε την εργασία. Για παράδειγμα, πρέπει να αποφασίσετε κάτι σαν:

Γράψτε τους πρώτους έξι όρους της αριθμητικής προόδου (a n) εάν a 2 = 5, d = -2,5.

Εμπνέει;) Γράμματα, μερικά ευρετήρια... Και το έργο, παρεμπιπτόντως, δεν θα μπορούσε να είναι ευκολότερο. Απλά πρέπει να κατανοήσετε την έννοια των όρων και της σημειογραφίας. Τώρα θα κατακτήσουμε αυτό το θέμα και θα επιστρέψουμε στην εργασία.

Όροι και ονομασίες.

Αριθμητική πρόοδοςείναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε αριθμός είναι διαφορετικός από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η τιμή ονομάζεται . Ας ασχοληθούμε με αυτήν την έννοια με περισσότερες λεπτομέρειες.

Αριθμητική διαφορά προόδου.

Αριθμητική διαφορά προόδουείναι το ποσό με το οποίο οποιοσδήποτε αριθμός προόδου περισσότεροτο προηγούμενο.

Ένα σημαντικό σημείο. Παρακαλώ δώστε προσοχή στη λέξη "περισσότερο".Μαθηματικά, αυτό σημαίνει ότι λαμβάνεται κάθε αριθμός προόδου προσθέτωνταςτη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στον προηγούμενο αριθμό.

Για να υπολογίσουμε, ας πούμε δεύτεροςαριθμοί της σειράς, είναι απαραίτητο να πρώτααριθμός Προσθήκηαυτή ακριβώς τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Για υπολογισμό πέμπτος- η διαφορά είναι απαραίτητη Προσθήκηπρος την τέταρτοςκαλά, κλπ.

Αριθμητική διαφορά προόδουμπορεί θετικόςτότε κάθε αριθμός της σειράς θα αποδειχθεί πραγματικός περισσότερο από το προηγούμενο.Αυτή η εξέλιξη ονομάζεται αυξανόμενη.Για παράδειγμα:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Εδώ είναι κάθε αριθμός προσθέτωνταςθετικός αριθμός, +5 στον προηγούμενο.

Η διαφορά μπορεί να είναι αρνητικόςτότε κάθε αριθμός στη σειρά θα είναι λιγότερο από το προηγούμενο.Αυτή η εξέλιξη ονομάζεται (δεν θα το πιστεύετε!) μειώνεται.

Για παράδειγμα:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Εδώ λαμβάνεται και κάθε αριθμός προσθέτωνταςστον προηγούμενο, αλλά ήδη αρνητικό αριθμό, -5.

Παρεμπιπτόντως, όταν εργάζεστε με μια εξέλιξη, είναι πολύ χρήσιμο να προσδιορίσετε αμέσως τη φύση της - εάν αυξάνεται ή μειώνεται. Βοηθάει πολύ να βρείτε τον προσανατολισμό σας στην απόφαση, να εντοπίσετε τα λάθη σας και να τα διορθώσετε πριν να είναι πολύ αργά.

Αριθμητική διαφορά προόδουσυνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε.

Πως να βρεις ρε? Πολύ απλό. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε από οποιονδήποτε αριθμό της σειράς προηγούμενοςαριθμός. Αφαιρώ. Παρεμπιπτόντως, το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ονομάζεται "διαφορά".)

Ας ορίσουμε, για παράδειγμα, ρεγια μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Παίρνουμε όποιον αριθμό της σειράς θέλουμε, για παράδειγμα, 11. Αφαιρούμε από αυτόν τον προηγούμενο αριθμόεκείνοι. οκτώ:

Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Για αυτήν την αριθμητική πρόοδο, η διαφορά είναι τρεις.

Μπορείτε απλά να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό προόδων,επειδή για μια συγκεκριμένη εξέλιξη ρε-πάντα το ίδιο.Τουλάχιστον κάπου στην αρχή της σειράς, τουλάχιστον στη μέση, τουλάχιστον οπουδήποτε. Δεν μπορείτε να πάρετε μόνο τον πρώτο αριθμό. Ακριβώς επειδή ο πρώτος αριθμός κανένα προηγούμενο.)

Παρεμπιπτόντως, γνωρίζοντας αυτό d=3, η εύρεση του έβδομου αριθμού αυτής της προόδου είναι πολύ απλή. Προσθέτουμε 3 στον πέμπτο αριθμό - παίρνουμε τον έκτο, θα είναι 17. Προσθέτουμε τρία στον έκτο αριθμό, παίρνουμε τον έβδομο αριθμό - είκοσι.

Ας ορίσουμε ρεγια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Υπενθυμίζω ότι, ανεξάρτητα από τα σημάδια, να καθορίσει ρεχρειάζεται από οποιοδήποτε αριθμό αφαιρέστε το προηγούμενο.Επιλέγουμε οποιοδήποτε αριθμό προόδου, για παράδειγμα -7. Ο προηγούμενος αριθμός του είναι -2. Επειτα:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: ακέραιος, κλασματικός, παράλογος, οποιοσδήποτε.

Άλλοι όροι και ονομασίες.

Κάθε αριθμός της σειράς καλείται μέλος μιας αριθμητικής προόδου.

Κάθε μέλος της προόδου έχει τον αριθμό του.Τα νούμερα είναι αυστηρά στη σειρά, χωρίς κανένα κόλπο. Πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο κ.λπ. Για παράδειγμα, στην εξέλιξη 2, 5, 8, 11, 14, ... δύο είναι το πρώτο μέλος, πέντε είναι το δεύτερο, έντεκα είναι το τέταρτο, καλά, καταλαβαίνετε ...) Παρακαλώ κατανοήστε ξεκάθαρα - τους ίδιους τους αριθμούςμπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε, ολόκληρο, κλασματικό, αρνητικό, οτιδήποτε, αλλά αρίθμηση- αυστηρά με τη σειρά!

Πώς να γράψετε μια εξέλιξη σε γενική μορφή; Κανένα πρόβλημα! Κάθε αριθμός στη σειρά γράφεται ως γράμμα. Για να δηλώσετε μια αριθμητική πρόοδο, κατά κανόνα, χρησιμοποιείται το γράμμα ένα. Ο αριθμός μέλους υποδεικνύεται από το ευρετήριο κάτω δεξιά. Τα μέλη γράφονται χωρισμένα με κόμματα (ή ερωτηματικά), ως εξής:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

Α'1είναι ο πρώτος αριθμός α 3- τρίτο, κλπ. Τίποτα δύσκολο. Μπορείτε να γράψετε αυτή τη σειρά εν συντομία ως εξής: (α ν).

Υπάρχουν προόδους πεπερασμένο και άπειρο.

Τελικόςη εξέλιξη έχει περιορισμένο αριθμό μελών. Πέντε, τριάντα οκτώ, οτιδήποτε. Αλλά είναι ένας πεπερασμένος αριθμός.

Ατελείωτεςπρόοδος - έχει άπειρο αριθμό μελών, όπως μπορείτε να μαντέψετε.)

Μπορείτε να γράψετε μια τελική εξέλιξη μέσα από μια σειρά όπως αυτή, όλα τα μέλη και μια τελεία στο τέλος:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ή όπως αυτό, αν υπάρχουν πολλά μέλη:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Σε μια σύντομη καταχώριση, θα πρέπει να αναφέρετε επιπλέον τον αριθμό των μελών. Για παράδειγμα (για είκοσι μέλη), όπως αυτό:

(a n), n = 20

Μια άπειρη πρόοδος μπορεί να αναγνωριστεί από την έλλειψη στο τέλος της σειράς, όπως στα παραδείγματα αυτού του μαθήματος.

Τώρα μπορείτε ήδη να λύσετε εργασίες. Οι εργασίες είναι απλές, καθαρά για την κατανόηση της σημασίας της αριθμητικής προόδου.

Παραδείγματα εργασιών για αριθμητική πρόοδο.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην παραπάνω εργασία:

1. Γράψτε τα πρώτα έξι μέλη της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 2 = 5, d = -2,5.

Μεταφράζουμε την εργασία σε κατανοητή γλώσσα. Δίνεται άπειρη αριθμητική πρόοδος. Ο δεύτερος αριθμός αυτής της εξέλιξης είναι γνωστός: α 2 = 5.Γνωστή διαφορά εξέλιξης: d = -2,5.Πρέπει να βρούμε το πρώτο, τρίτο, τέταρτο, πέμπτο και έκτο μέλη αυτής της εξέλιξης.

Για λόγους σαφήνειας, θα γράψω μια σειρά ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος. Τα πρώτα έξι μέλη, όπου το δεύτερο μέλος είναι πέντε:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

α 3 = Α2 + ρε

Αντικαθιστούμε στην έκφραση α 2 = 5και d=-2,5. Μην ξεχνάτε το μείον!

α 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ο τρίτος όρος είναι μικρότερος από τον δεύτερο. Όλα είναι λογικά. Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο αρνητικόςτιμή, οπότε ο ίδιος ο αριθμός θα είναι μικρότερος από τον προηγούμενο. Η πρόοδος μειώνεται. Εντάξει, ας το λάβουμε υπόψη.) Θεωρούμε το τέταρτο μέλος της σειράς μας:

α 4 = α 3 + ρε

α 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

α 5 = α 4 + ρε

α 5=0+(-2,5)= - 2,5

α 6 = α 5 + ρε

α 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Άρα, έχουν υπολογιστεί οι όροι από τον τρίτο έως τον έκτο. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα μια σειρά:

α 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Μένει να βρεθεί ο πρώτος όρος Α'1σύμφωνα με το γνωστό δεύτερο. Αυτό είναι ένα βήμα προς την άλλη κατεύθυνση, προς τα αριστερά.) Εξ ου και η διαφορά της αριθμητικής προόδου ρεδεν πρέπει να προστεθεί σε Α2, ένα Πάρε μακριά:

Α'1 = Α2 - ρε

Α'1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απόκριση εργασίας:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Παρεμπιπτόντως, σημειώνω ότι λύσαμε αυτό το έργο επαναλαμβανόμενοςτρόπος. Αυτή η τρομερή λέξη σημαίνει, μόνο, την αναζήτηση ενός μέλους της εξέλιξης από τον προηγούμενο (παρακείμενο) αριθμό.Άλλοι τρόποι εργασίας με την πρόοδο θα συζητηθούν αργότερα.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από αυτό το απλό έργο.

Θυμάμαι:

Εάν γνωρίζουμε τουλάχιστον ένα μέλος και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε μέλος αυτής της προόδου.

Θυμάμαι? Αυτό το απλό συμπέρασμα μας επιτρέπει να λύσουμε τα περισσότερα από τα προβλήματα του σχολικού μαθήματος σχετικά με αυτό το θέμα. Όλες οι εργασίες περιστρέφονται γύρω από τρεις κύριες παραμέτρους: μέλος μιας αριθμητικής προόδου, διαφορά μιας προόδου, αριθμός ενός μέλους μιας προόδου.Τα παντα.

Φυσικά, όλη η προηγούμενη άλγεβρα δεν ακυρώνεται.) Ανισότητες, εξισώσεις και άλλα πράγματα συνδέονται με την πρόοδο. Αλλά ανάλογα με την εξέλιξη- όλα περιστρέφονται γύρω από τρεις παραμέτρους.

Για παράδειγμα, εξετάστε μερικές δημοφιλείς εργασίες σε αυτό το θέμα.

2. Γράψτε την τελική αριθμητική πρόοδο ως σειρά αν n=5, d=0,4 και a 1=3,6.

Όλα είναι απλά εδώ. Όλα είναι ήδη δεδομένα. Πρέπει να θυμάστε πώς υπολογίζονται, μετρούν και καταγράφουν τα μέλη μιας αριθμητικής προόδου. Συνιστάται να μην παραλείπετε τις λέξεις στην συνθήκη εργασίας: "τελικό" και " n=5". Για να μην μετράτε μέχρι να είστε εντελώς μπλε στο πρόσωπο.) Υπάρχουν μόνο 5 (πέντε) μέλη σε αυτήν την εξέλιξη:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

α 4 = α 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

α 5 = α 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Μένει να γράψουμε την απάντηση:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Μια άλλη εργασία:

3. Προσδιορίστε αν ο αριθμός 7 θα είναι μέλος μιας αριθμητικής προόδου (a n) αν a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Χμ... Ποιος ξέρει; Πώς να ορίσετε κάτι;

Πώς-πώς ... Ναι, γράψτε την εξέλιξη σε μορφή σειράς και δείτε αν θα υπάρξει επτά ή όχι! Πιστεύουμε:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

α 4 = α 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Τώρα φαίνεται ξεκάθαρα ότι είμαστε μόλις επτά γλίστρησε μέσαμεταξύ 6,5 και 7,7! Οι επτά δεν μπήκαν στη σειρά των αριθμών μας και, επομένως, οι επτά δεν θα είναι μέλη της δεδομένης εξέλιξης.

Απάντηση: όχι.

Και εδώ είναι μια εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

4. Αρκετά διαδοχικά μέλη της αριθμητικής προόδου καταγράφονται:

...; δεκαπέντε; Χ; 9; 6; ...

Εδώ είναι μια σειρά χωρίς τέλος και αρχή. Κανένας αριθμός μελών, καμία διαφορά ρε. Είναι εντάξει. Για να λυθεί το πρόβλημα, αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Ας δούμε και να δούμε τι μπορούμε να ξερωαπό αυτή τη γραμμή; Ποιες είναι οι παράμετροι των τριών βασικών;

Αριθμοί μελών; Δεν υπάρχει ούτε ένας αριθμός εδώ.

Αλλά υπάρχουν τρεις αριθμοί και - προσοχή! - λέξη "συνεχής"σε κατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι τα νούμερα είναι αυστηρά τακτοποιημένα, χωρίς κενά. Υπάρχουν δύο σε αυτή τη σειρά; γειτονικόςγνωστοί αριθμοί; Ναι υπάρχει! Αυτά είναι το 9 και το 6. Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου! Αφαιρούμε από το έξι προηγούμενοςαριθμός, δηλ. εννέα:

Απομένουν κενές θέσεις. Ποιος αριθμός θα είναι ο προηγούμενος για το x; Δεκαπέντε. Άρα το x μπορεί να βρεθεί εύκολα με απλή πρόσθεση. Στο 15 προσθέστε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

Αυτό είναι όλο. Απάντηση: x=12

Επιλύουμε μόνοι μας τα παρακάτω προβλήματα. Σημείωση: αυτά τα παζλ δεν είναι για τύπους. Καθαρά για την κατανόηση της σημασίας μιας αριθμητικής προόδου.) Απλώς γράφουμε μια σειρά αριθμών-γράμματα, κοιτάμε και σκεφτόμαστε.

5. Βρείτε τον πρώτο θετικό όρο της αριθμητικής προόδου εάν a 5 = -3; d = 1,1.

6. Είναι γνωστό ότι ο αριθμός 5,5 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 = 1,6; d = 1,3. Προσδιορίστε τον αριθμό n αυτού του μέλους.

7. Είναι γνωστό ότι σε μια αριθμητική πρόοδο a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Βρείτε ένα 3.

8. Αρκετά διαδοχικά μέλη της αριθμητικής προόδου καταγράφονται:

...; 15.6; Χ; 3.4; ...

Να βρείτε τον όρο της προόδου, που συμβολίζεται με το γράμμα x.

9. Το τρένο άρχισε να κινείται από τον σταθμό αυξάνοντας σταδιακά την ταχύτητά του κατά 30 μέτρα το λεπτό. Ποια θα είναι η ταχύτητα του τρένου σε πέντε λεπτά; Δώστε την απάντησή σας σε km/h.

10. Είναι γνωστό ότι σε μια αριθμητική πρόοδο a 2 = 5; a 6 = -5. Βρείτε ένα 1.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7.7; 7.5; 9,5; 9; 0,3; τέσσερις.

Όλα λειτούργησαν; Εκπληκτικός! Μπορείτε να μάθετε την αριθμητική πρόοδο σε υψηλότερο επίπεδο στα παρακάτω μαθήματα.

Δεν πήγαν όλα καλά; Κανένα πρόβλημα. Στην Ειδική Ενότητα 555, όλα αυτά τα προβλήματα αναλύονται σε κομμάτια.) Και, φυσικά, περιγράφεται μια απλή πρακτική τεχνική που αναδεικνύει αμέσως τη λύση τέτοιων εργασιών καθαρά, καθαρά, όπως στην παλάμη του χεριού σας!

Παρεμπιπτόντως, στο παζλ για το τρένο υπάρχουν δύο προβλήματα στα οποία σκοντάφτουν συχνά οι άνθρωποι. Το ένα - καθαρά από την πρόοδο και το δεύτερο - κοινό για οποιαδήποτε εργασία στα μαθηματικά και τη φυσική. Αυτή είναι μια μετάφραση των διαστάσεων από το ένα στο άλλο. Δείχνει πώς πρέπει να λυθούν αυτά τα προβλήματα.

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και τις κύριες παραμέτρους της. Αυτό είναι αρκετό για να λύσει σχεδόν όλα τα προβλήματα σε αυτό το θέμα. Προσθήκη ρεστους αριθμούς, γράψε μια σειρά, όλα θα κριθούν.

Η λύση δακτύλου λειτουργεί καλά για πολύ σύντομα κομμάτια της σειράς, όπως στα παραδείγματα σε αυτό το μάθημα. Εάν η σειρά είναι μεγαλύτερη, οι υπολογισμοί γίνονται πιο δύσκολοι. Για παράδειγμα, αν στο πρόβλημα 9 στην ερώτηση, αντικαταστήστε "πέντε λεπτά"στο «τριάντα πέντε λεπτά»το πρόβλημα θα γίνει πολύ χειρότερο.)

Και υπάρχουν επίσης εργασίες που είναι απλές στην ουσία, αλλά εντελώς παράλογες όσον αφορά τους υπολογισμούς, για παράδειγμα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Και τι, θα προσθέσουμε το 1/6 πολλές, πολλές φορές;! Είναι δυνατόν να αυτοκτονήσεις!

Μπορείτε.) Εάν δεν γνωρίζετε έναν απλό τύπο με τον οποίο μπορείτε να λύσετε τέτοιες εργασίες σε ένα λεπτό. Αυτή η φόρμουλα θα είναι στο επόμενο μάθημα. Και αυτό το πρόβλημα λύνεται εκεί. Σε ένα λεπτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.