Στην πράξη, υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές για τις οποίες είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή εντός αυστηρά καθορισμένων ορίων, και μέσα σε αυτά τα όρια όλες οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής έχουν την ίδια πιθανότητα (έχουν την ίδια πυκνότητα πιθανότητας).
Για παράδειγμα, εάν ένα ρολόι χαλάσει, ο σταματημένος λεπτοδείκτης θα δείχνει με ίση πιθανότητα (πυκνότητα πιθανότητας) τον χρόνο που μεσολάβησε από την αρχή της δεδομένης ώρας έως το σπάσιμο του ρολογιού. Αυτός ο χρόνος είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές με την ίδια πυκνότητα πιθανότητας που δεν υπερβαίνουν τα όρια που ορίζονται από τη διάρκεια μιας ώρας. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης ανήκει επίσης σε τέτοιες τυχαίες μεταβλητές. Τέτοιες ποσότητες λέγονται ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες, δηλαδή έχουν ομοιόμορφη κατανομή.
Ορισμός. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα[α, σε], εάν σε αυτό το τμήμα η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι σταθερή, δηλ. εάν η συνάρτηση διαφορικής κατανομής f(x) έχει την εξής μορφή:
Αυτή η κατανομή ονομάζεται μερικές φορές νόμος της ομοιόμορφης πυκνότητας. Σχετικά με μια ποσότητα που έχει ομοιόμορφη κατανομή σε ένα συγκεκριμένο τμήμα, θα πούμε ότι κατανέμεται ομοιόμορφα σε αυτό το τμήμα.
Να βρείτε την τιμή της σταθεράς c. Δεδομένου ότι η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και τον άξονα Ω,ισούται με 1, λοιπόν
όπου Με=1/(σι-ένα).
Τώρα η συνάρτηση f(x)μπορεί να αναπαρασταθεί ως
Ας κατασκευάσουμε τη συνάρτηση κατανομής F(x ), για την οποία βρίσκουμε την έκφραση F (x) στο διάστημα [ α , β]:
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και F (x) μοιάζουν με:
Ας βρούμε αριθμητικά χαρακτηριστικά.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας της NSW, έχουμε:
Έτσι, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [α , β] συμπίπτει με το μέσο αυτού του τμήματος.
Βρείτε τη διακύμανση μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής:
από το οποίο προκύπτει αμέσως ότι η τυπική απόκλιση:
Ας βρούμε τώρα την πιθανότητα ότι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής με ομοιόμορφη κατανομή πέφτει στο διάστημα(α, β), ανήκει εξ ολοκλήρου στο τμήμα [ένα,σι
]:
|
|
Γεωμετρικά, αυτή η πιθανότητα είναι η περιοχή του σκιασμένου ορθογωνίου. Αριθμοί ένακαι
σιπου ονομάζεται παραμέτρους κατανομήςκαιορίζουν μοναδικά μια ομοιόμορφη κατανομή.Παράδειγμα 1. Τα λεωφορεία μιας συγκεκριμένης διαδρομής κινούνται αυστηρά σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα. Διάστημα κίνησης 5 λεπτά. Βρείτε την πιθανότητα ο επιβάτης να πλησίασε τη στάση του λεωφορείου. Θα περιμένω για το επόμενο λεωφορείο λιγότερο από 3 λεπτά.
Λύση:
ST - ο χρόνος αναμονής του λεωφορείου έχει ομοιόμορφη κατανομή. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα θα είναι ίση με:
Παράδειγμα 2. Η άκρη του κύβου x μετριέται κατά προσέγγιση. Και
Θεωρώντας την άκρη του κύβου ως μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (
ένα,σι), βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση του όγκου του κύβου.Λύση:
Ο όγκος του κύβου είναι μια τυχαία μεταβλητή που καθορίζεται από την έκφραση Y \u003d X 3. Τότε η μαθηματική προσδοκία είναι:
Διασπορά:
Ηλεκτρονική υπηρεσία:
Με τη βοήθεια του οποίου μοντελοποιούνται πολλές πραγματικές διαδικασίες. Και το πιο συνηθισμένο παράδειγμα είναι το πρόγραμμα των μέσων μαζικής μεταφοράς. Ας υποθέσουμε ένα λεωφορείο (τρόλεϊ / τραμ)περπατά σε διαστήματα 10 λεπτών και σε τυχαία στιγμή σταματάς. Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσει το λεωφορείο μέσα σε 1 λεπτό; Προφανώς 1/10. Και η πιθανότητα να πρέπει να περιμένετε 4-5 λεπτά; Πολύ . Ποια είναι η πιθανότητα το λεωφορείο να περιμένει πάνω από 9 λεπτά; Ενα δέκατο!
Σκεφτείτε μερικά πεπερασμένοςδιάστημα, έστω για βεβαιότητα θα είναι ένα τμήμα . Αν ένα τυχαία τιμήέχει μόνιμος πυκνότητα πιθανότηταςσε ένα δεδομένο τμήμα και μηδενική πυκνότητα έξω από αυτό, τότε λέμε ότι είναι κατανεμημένο εξίσου. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση πυκνότητας θα οριστεί αυστηρά: 
Πράγματι, αν το μήκος του τμήματος (βλέπε σχέδιο)είναι , τότε η τιμή είναι αναπόφευκτα ίση - για να ληφθεί η μονάδα εμβαδού του ορθογωνίου και παρατηρήθηκε γνωστή ιδιοκτησία:
Ας το ελέγξουμε επίσημα:
, h.t.p. Από πιθανολογική άποψη, αυτό σημαίνει ότι η τυχαία μεταβλητή αξιοπίστωςθα πάρει μια από τις τιμές του τμήματος ..., ε, γίνομαι σιγά σιγά ένας βαρετός γέρος =)
Η ουσία της ομοιομορφίας είναι ότι ανεξάρτητα από το εσωτερικό κενό σταθερό μήκοςδεν έχουμε σκεφτεί (θυμηθείτε τα λεπτά του "λεωφορείου")- η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή από αυτό το διάστημα θα είναι η ίδια. Στο σχέδιο, έχω σκιάσει τρεις τέτοιες πιθανότητες - εφιστώ για άλλη μια φορά την προσοχή στο γεγονός ότι καθορίζονται από τις περιοχές, όχι τιμές συναρτήσεων!
Εξετάστε μια τυπική εργασία:
Παράδειγμα 1
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή δίνεται από την πυκνότητα κατανομής της: 
Βρείτε τη σταθερά, υπολογίστε και συνθέστε τη συνάρτηση κατανομής. Δημιουργία γραφημάτων. Εύρημα
Με άλλα λόγια, ό,τι μπορείς να ονειρευτείς :)
Λύση: αφού στο μεσοδιάστημα (τερματικό διάστημα) 
, τότε η τυχαία μεταβλητή έχει ομοιόμορφη κατανομή και η τιμή του "ce" μπορεί να βρεθεί από τον άμεσο τύπο 
. Αλλά είναι καλύτερα γενικά - χρησιμοποιώντας μια ιδιότητα:
…γιατί είναι καλύτερα; Οχι άλλες ερωτήσεις ;)
Άρα η συνάρτηση πυκνότητας είναι: 
Ας κάνουμε το κόλπο. Αξίες αδύνατο
, και επομένως οι έντονες κουκκίδες τοποθετούνται στο κάτω μέρος: 
Ως γρήγορος έλεγχος, ας υπολογίσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου: 
, h.t.p.
Ας βρούμε αναμενόμενη αξία, και, πιθανώς, ήδη μαντεύετε με τι ισούται. Θυμηθείτε το λεωφορείο «10 λεπτών»: αν τυχαίαέλα να σταματήσεις για πολλές, πολλές μέρες, σώσε με, λοιπόν μέση τιμήπρέπει να περιμένετε 5 λεπτά.
Ναι, αυτό είναι σωστό - η προσδοκία θα πρέπει να βρίσκεται ακριβώς στη μέση του διαστήματος "γεγονότος":
, όπως αναμενόταν.
Υπολογίζουμε τη διασπορά κατά τύπος 
. Και εδώ χρειάζεστε ένα μάτι και ένα μάτι κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος:
Με αυτόν τον τρόπο, διασπορά: 
Ας συνθέσουμε συνάρτηση διανομής 
. Τίποτα νέο εδώ:
1) αν , τότε και 
;
2) αν , τότε και:
3) και, τέλος, στο 
, να γιατί:
Σαν άποτέλεσμα: 
Ας εκτελέσουμε το σχέδιο: 
Στο "ζωντανό" διάστημα, η συνάρτηση διανομής μεγαλώνει γραμμικά, και αυτό είναι άλλο ένα σημάδι ότι έχουμε μια ομοιόμορφα κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή. Λοιπόν, ακόμα, τελικά παράγωγο γραμμική συνάρτηση- είναι σταθερά.
Η απαιτούμενη πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής που βρέθηκε:
ή χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα πυκνότητας: 
Σε όποιον αρέσει.
Και εδώ μπορείτε επίσης να γράψετε απάντηση: ,
, κατασκευάζονται γραφήματα κατά μήκος της λύσης.
... «είναι δυνατόν», γιατί συνήθως δεν τιμωρούν για την απουσία του. Συνήθως;)
Υπάρχουν ειδικοί τύποι υπολογισμού και ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής, τους οποίους προτείνω να αντλήσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 2
Συνεχής τυχαία μεταβλητή που ορίζεται από την πυκνότητα 
.
Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση. Απλοποιήστε τα αποτελέσματα (συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμούνα βοηθήσω).
Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τους ληφθέντες τύπους για επαλήθευση, ειδικότερα, ελέγξτε το πρόβλημα που μόλις λύσατε αντικαθιστώντας τις συγκεκριμένες τιμές των "a" και "b" σε αυτές. Σύντομη λύση στο κάτω μέρος της σελίδας.
Και στο τέλος του μαθήματος, θα αναλύσουμε μερικές εργασίες «κειμένου»:
Παράδειγμα 3
Η τιμή διαίρεσης της κλίμακας του οργάνου μέτρησης είναι 0,2. Οι ενδείξεις του οργάνου στρογγυλοποιούνται στο πλησιέστερο ολόκληρο τμήμα. Υποθέτοντας ότι τα σφάλματα στρογγυλοποίησης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα, βρείτε την πιθανότητα κατά την επόμενη μέτρηση να μην υπερβαίνει το 0,04.
Για καλύτερη κατανόηση λύσειςφανταστείτε ότι πρόκειται για κάποιο είδος μηχανικής συσκευής με βέλος, για παράδειγμα, ζυγαριά με τιμή διαίρεσης 0,2 κιλά, και πρέπει να ζυγίσουμε ένα γουρούνι σε ένα σακί. Αλλά όχι για να μάθουμε το πάχος του - τώρα θα είναι σημαντικό ΠΟΥ θα σταματήσει το βέλος ανάμεσα σε δύο γειτονικά τμήματα.
Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή - απόστασηβέλη μακριά πλησιέστεροςαριστερό τμήμα. Ή από την κοντινότερη δεξιά, δεν πειράζει.
Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:
1) Εφόσον η απόσταση δεν μπορεί να είναι αρνητική, τότε στο διάστημα . Λογικά.
2) Από την προϋπόθεση ότι το βέλος της ζυγαριάς με Το ίδιο πιθανόμπορεί να σταματήσει οπουδήποτε ανάμεσα σε τμήματα *
, συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των τμημάτων, και επομένως στο διάστημα : 
* Αυτή είναι μια απαραίτητη προϋπόθεση. Έτσι, για παράδειγμα, όταν ζυγίζετε κομμάτια βαμβακιού ή κιλό αλατιού, η ομοιομορφία θα παρατηρείται σε πολύ στενότερα διαστήματα.
3) Και δεδομένου ότι η απόσταση από την ΚΛΙΣΤΕΡΗ αριστερή διαίρεση δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 0,2, τότε το for είναι επίσης μηδέν.
Με αυτόν τον τρόπο: 
Σημειωτέον ότι κανείς δεν μας ρώτησε για τη συνάρτηση πυκνότητας, και έδωσα την πλήρη κατασκευή της αποκλειστικά σε γνωστικά κυκλώματα. Όταν τελειώσετε την εργασία, αρκεί να σημειώσετε μόνο τη 2η παράγραφο.
Τώρα ας απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος. Πότε το σφάλμα στρογγυλοποίησης στην πλησιέστερη διαίρεση δεν υπερβαίνει το 0,04; Αυτό θα συμβεί όταν το βέλος σταματήσει όχι περισσότερο από 0,04 από την αριστερή διαίρεση στα δεξιά ήόχι περισσότερο από 0,04 από τη δεξιά διαίρεση αριστερά. Στο σχέδιο σκίασα τις αντίστοιχες περιοχές: 
Μένει να βρεθούν αυτές οι περιοχές με τη βοήθεια ολοκληρωμάτων. Κατ 'αρχήν, μπορούν επίσης να υπολογιστούν "με σχολικό τρόπο" (όπως τα εμβαδά των ορθογωνίων), αλλά η απλότητα δεν βρίσκει πάντα κατανόηση·)
Με Θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων:
- η πιθανότητα το σφάλμα στρογγυλοποίησης να μην υπερβαίνει το 0,04 (40 γραμμάρια για το παράδειγμά μας)
Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι το μέγιστο δυνατό σφάλμα στρογγυλοποίησης είναι 0,1 (100 γραμμάρια) και επομένως η πιθανότητα το σφάλμα στρογγυλοποίησης να μην υπερβαίνει το 0,1ισούται με ένα. Και από αυτό, παρεμπιπτόντως, ακολουθεί ένας άλλος, ευκολότερος τρόπος επίλυσης, στον οποίο πρέπει να εξετάσετε μια τυχαία μεταβλητή – σφάλμα στρογγυλοποίησης στην πλησιέστερη διαίρεση. Αλλά πρώτα μου ήρθε στο μυαλό το πρώτο :)
Απάντηση: 0,4
Και ένα ακόμη σημείο για την εργασία. Η συνθήκη μπορεί να περιέχει σφάλματα. δεν στρογγύλεμα, αλλά ο τυχαίοςΣφάλματα οι ίδιες οι μετρήσεις, που είναι συνήθως (αλλά όχι πάντα), κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Με αυτόν τον τρόπο, Μόνο μια λέξη μπορεί να σας αλλάξει γνώμη!Να είστε σε εγρήγορση και να εμβαθύνετε στο νόημα των εργασιών!
Και μόλις όλα κάνουν κύκλο, τότε τα πόδια μας μας φέρνουν στην ίδια στάση:
Παράδειγμα 4
Τα λεωφορεία μιας συγκεκριμένης διαδρομής κινούνται αυστηρά σύμφωνα με το πρόγραμμα και με μεσοδιάστημα 7 λεπτών. Να συνθέσετε μια συνάρτηση της πυκνότητας μιας τυχαίας μεταβλητής - τον χρόνο αναμονής για το επόμενο λεωφορείο από έναν επιβάτη που πλησίασε τυχαία τη στάση του λεωφορείου. Βρείτε την πιθανότητα να περιμένει το λεωφορείο όχι περισσότερο από τρία λεπτά. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής και εξηγήστε τη σημασία της.
Ομοιόμορφη κατανομή είναι μια τέτοια κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, όταν μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή εντός των δεδομένων ορίων με την ίδια πιθανότητα.
Η ομοιόμορφη κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής φαίνεται στο σχήμα. 5.9.
Ρύζι. 5.9.
Η πυκνότητα πιθανότητας ομοιόμορφης κατανομής έχει τη μορφή:
όπου a και b είναι οι παράμετροι του νόμου που καθορίζουν τα όρια μεταβολής της τυχαίας μεταβλητής X.
Ο νόμος της ομοιόμορφης κατανομής υπόκειται, ειδικότερα, σε σφάλματα λόγω τριβής στα στηρίγματα οργάνων, μη εξαιρούμενα υπολείμματα συστηματικών σφαλμάτων, σφάλματα διακριτοποίησης σε ψηφιακά όργανα, σφάλματα διαστάσεων στην ίδια ομάδα ταξινόμησης κατά την επιλεκτική συναρμολόγηση, σφάλματα στις παραμέτρους προϊόντα που επιλέγονται εντός στενότερων ορίων σε σύγκριση με την τεχνολογική ανοχή, το συνολικό σφάλμα επεξεργασίας που προκαλείται από
Αναπόσπαστο
ονομάζεται κανονικοποιημένη συνάρτηση Laplace και οι τιμές της για x - X διαφορετικά / \u003d - παρουσιάζονται σε πίνακα. Η τιμή της κανονικοποιημένης συνάρτησης Laplace Ф(/) με σφάλμα μικρότερο από 10"5 μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο
Αν />0, Ф(/) = 7" και αν /< 0, то Ф(/) = 1-7". Функция Лапласа нечетная, т. е.
Για τις αρνητικές τιμές / τα δεδομένα πίνακα λαμβάνονται με το σύμβολο μείον.
Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή που υπακούει στον νόμο της κανονικής κατανομής, όταν μετρηθεί, θα λάβει μια τιμή εντός (x, x,) μπορεί να γραφτεί ως Φ (/) ως εξής:
Σε μια θεωρητική καμπύλη κανονικής κατανομής, οι κλάδοι της προσεγγίζουν ασυμπτωτικά τον άξονα της τετμημένης, δηλ., η ζώνη διασποράς της τυχαίας μεταβλητής x βρίσκεται εντός ± oo. Στην πράξη, η ζώνη διασποράς της τυχαίας μεταβλητής x περιορίζεται από πεπερασμένα όρια.
Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα είναι εντός
γραμμική αλλαγή του χρόνου του κυρίαρχου παράγοντα (φθορά του κοπτικού εργαλείου, θερμική παραμόρφωση κ.λπ.), σφάλματα που προκύπτουν λόγω στρογγυλοποίησης τιμών που λαμβάνονται κατά τη μέτρηση σε όργανα κ.λπ.
Η συνάρτηση κατανομής F(x) της ομοιόμορφης κατανομής (συνάρτηση αθροιστικής κατανομής) εκφράζεται από την ακόλουθη εξίσωση για (α< х < Ь):
Η μορφή της συνάρτησης κατανομής φαίνεται στο σχ. 5.10.
Η μαθηματική προσδοκία A / (x), η διακύμανση 0 (x) και η τυπική απόκλιση (a) μιας τυχαίας μεταβλητής που υπακούει σε ομοιόμορφη κατανομή, αντίστοιχα, είναι ίσες με:
Στην πράξη, το περιοριστικό αδέσποτο πεδίο co με ομοιόμορφη κατανομή ισούται με b - a ή, λαμβάνοντας υπόψη (5.48), δηλ.
co = b - a = 2m/Ze.
Ρύζι. 5.10.
Ρύζι. 5.11.
Ο νόμος του Simpson
Η όψη της τριγωνικής καμπύλης κατανομής φαίνεται στο σχ. 5.11. Η πυκνότητα πιθανότητας έχει τη μορφή:
Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, για παράδειγμα, κατανέμονται τα σφάλματα του αθροίσματος (διαφορά) δύο ομοιόμορφα κατανεμημένων ποσοτήτων. Εάν, για παράδειγμα, οι αποκλίσεις των διαστάσεων της οπής και του άξονα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες μέσα στα πεδία ανοχής και οι ανοχές του άξονα και της οπής είναι περίπου ίδιες, τότε τα κενά εντός της ανοχής διάκενου θα κατανεμηθούν σύμφωνα με ο νόμος του τριγώνου. Σε αυτήν την περίπτωση, η πυκνότητα πιθανότητας διάκενου θα έχει την ακόλουθη μορφή:
όπου 5m(n, 5^ - αντίστοιχα, οι ελάχιστες και μέγιστες τιμές του κενού στην άρθρωση; .$m = ^"^^"la _ η μέση τιμή του κενού στην άρθρωση, /G5 = 5m1p - ανοχή κάθαρσης, l - τρέχουσα τιμή του διακένου.
Η συνάρτηση κατανομής του νόμου του Simpson έχει τη μορφή:
Μια γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης ολοκληρωμένης κατανομής φαίνεται στο σχ. 5.12.
Η μαθηματική προσδοκία, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής που υπακούει στο νόμο του Simpson είναι αντίστοιχα ίσες με:
Στην πράξη, το περιοριστικό αδέσποτο πεδίο με την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής σύμφωνα με το νόμο του Simpson είναι 2/, δηλ.
Ως παράδειγμα συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή X ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα (a; b). Λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα (α, β), εάν η πυκνότητα κατανομής του δεν είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα:
Από τη συνθήκη κανονικοποίησης, προσδιορίζουμε την τιμή της σταθεράς c . Η περιοχή κάτω από την καμπύλη πυκνότητας κατανομής πρέπει να είναι ίση με ένα, αλλά στην περίπτωσή μας είναι η περιοχή ενός ορθογωνίου με βάση (b - α) και ύψος c (Εικ. 1). 
Ρύζι. 1 Ομοιόμορφη πυκνότητα κατανομής
Από εδώ βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς c: 
Άρα, η πυκνότητα μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με 
Ας βρούμε τώρα τη συνάρτηση κατανομής με τον τύπο:
1) για 
2) για
3) για 0+1+0=1.
Με αυτόν τον τρόπο, 
Η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής και δεν μειώνεται (Εικ. 2). 
Ρύζι. 2 Συνάρτηση κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής
Ας βρούμε μαθηματική προσδοκία μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητήςσύμφωνα με τον τύπο:
Διακύμανση ομοιόμορφης κατανομήςυπολογίζεται με τον τύπο και ισούται με
Παράδειγμα #1. Η τιμή διαίρεσης κλίμακας του οργάνου μέτρησης είναι 0,2. Οι ενδείξεις του οργάνου στρογγυλοποιούνται στο πλησιέστερο ολόκληρο τμήμα. Βρείτε την πιθανότητα να γίνει λάθος κατά την ανάγνωση: α) μικρότερη από 0,04; β) μεγάλο 0,02
Λύση. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα μεταξύ γειτονικών ακέραιων διαιρέσεων. Θεωρήστε το διάστημα (0, 0,2) ως τέτοια διαίρεση (Εικ. α). Η στρογγυλοποίηση μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο προς το αριστερό περίγραμμα - 0 όσο και προς τα δεξιά - 0,2, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να γίνει δύο φορές σφάλμα μικρότερο ή ίσο με 0,04, το οποίο πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Για τη δεύτερη περίπτωση, η τιμή σφάλματος μπορεί επίσης να υπερβαίνει το 0,02 και στα δύο όρια διαίρεσης, δηλαδή μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερη από 0,02 είτε μικρότερη από 0,18. 
Τότε η πιθανότητα ενός λάθους όπως αυτό:
Παράδειγμα #2. Θεωρήθηκε ότι η σταθερότητα της οικονομικής κατάστασης στη χώρα (απουσία πολέμων, φυσικών καταστροφών κ.λπ.) τα τελευταία 50 χρόνια μπορεί να κριθεί από τη φύση της κατανομής του πληθυσμού ανά ηλικία: σε μια ήρεμη κατάσταση, θα έπρεπε να είναι στολή. Ως αποτέλεσμα της μελέτης, ελήφθησαν τα ακόλουθα δεδομένα για μία από τις χώρες.
Υπάρχει κάποιος λόγος να πιστεύουμε ότι υπήρχε μια ασταθής κατάσταση στη χώρα;Εκτελούμε την απόφαση χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή Έλεγχος υποθέσεων. Πίνακας υπολογισμού δεικτών.
| Ομάδες | Διάστημα μέση, x i | Ποσότητα, fi | x i * f i | Σωρευτική συχνότητα, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Συχνότητα, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
σταθμισμένος μέσος όρος
Δείκτες διακύμανσης.
Απόλυτες Διακυμάνσεις.
Το εύρος διακύμανσης είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού της κύριας σειράς.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Διασπορά- χαρακτηρίζει το μέτρο της διασποράς γύρω από τη μέση τιμή του (μέτρο διασποράς, δηλ. απόκλιση από τη μέση τιμή).
Τυπική απόκλιση.
Κάθε τιμή της σειράς διαφέρει από τη μέση τιμή του 43 κατά όχι περισσότερο από 23,92
Έλεγχος υποθέσεων σχετικά με το είδος της κατανομής.
4. Έλεγχος της υπόθεσης για ομοιόμορφη κατανομήτον γενικό πληθυσμό.
Προκειμένου να ελεγχθεί η υπόθεση για την ομοιόμορφη κατανομή του Χ, δηλ. σύμφωνα με το νόμο: f(x) = 1/(b-a) στο διάστημα (a,b)
απαραίτητη:
1. Υπολογίστε τις παραμέτρους a και b - τα άκρα του διαστήματος στο οποίο παρατηρήθηκαν οι πιθανές τιμές του X, σύμφωνα με τους τύπους (το σύμβολο * υποδηλώνει τις εκτιμήσεις των παραμέτρων):
2. Βρείτε την πυκνότητα πιθανότητας της εκτιμώμενης κατανομής f(x) = 1/(b * - a *)
3. Βρείτε τις θεωρητικές συχνότητες:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Συγκρίνετε εμπειρικές και θεωρητικές συχνότητες χρησιμοποιώντας το τεστ Pearson, υποθέτοντας τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας k = s-3, όπου s είναι ο αριθμός των αρχικών διαστημάτων δειγματοληψίας. αν, ωστόσο, έγινε ένας συνδυασμός μικρών συχνοτήτων, άρα και των ίδιων των διαστημάτων, τότε s είναι ο αριθμός των διαστημάτων που απομένουν μετά τον συνδυασμό.
Λύση:
1. Βρείτε τις εκτιμήσεις των παραμέτρων a * και b * της ομοιόμορφης κατανομής χρησιμοποιώντας τους τύπους:
2. Βρείτε την πυκνότητα της υποτιθέμενης ομοιόμορφης κατανομής:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Βρείτε τις θεωρητικές συχνότητες:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Τα υπόλοιπα n θα είναι ίσα:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| Εγώ | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6Ε-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4,0Ε-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3,5Ε-5 | 0.000199 |
| Σύνολο | 1 | 0.0532 |
Επομένως, η κρίσιμη περιοχή για αυτό το στατιστικό στοιχείο είναι πάντα δεξιόχειρας :)
