Pe baza formulelor generale obținute mai sus, se pot indica metode specifice pentru determinarea coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor.
1. Simetrie. Dacă un corp omogen are un plan, axă sau centru de simetrie (Fig. 7), atunci centrul său de greutate se află, respectiv, în planul de simetrie, axa de simetrie sau în centrul de simetrie.
Fig.7
2. Despicare. Corpul este împărțit într-un număr finit de părți (Fig. 8), pentru fiecare dintre acestea fiind cunoscută poziția centrului de greutate și aria.
Fig.8
3.Metoda zonei negative. Un caz special al metodei de partiționare (Fig. 9). Se aplică corpurilor care au decupaje dacă sunt cunoscute centrele de greutate ale corpului fără decupaj și partea decupată. Un corp sub forma unei plăci cu decupaj este reprezentat de o combinație de o placă solidă (fără decupaj) cu o zonă S 1 și o zonă a părții decupate S 2 .
Fig.9
4.Metoda de grupare. Este o completare bună a ultimelor două metode. După împărțirea unei figuri în elementele sale componente, este convenabil să combinați din nou unele dintre ele pentru a simplifica apoi soluția ținând cont de simetria acestui grup.
Centrele de greutate ale unor corpuri omogene.
1) Centrul de greutate al unui arc de cerc. Luați în considerare arcul AB rază R cu un unghi central. Datorită simetriei, centrul de greutate al acestui arc se află pe axă Bou(Fig. 10).
Fig.10
Să găsim coordonatele folosind formula. Pentru a face acest lucru, selectați pe arc AB element MM' lungime, a cărei poziție este determinată de unghi. Coordona X element MM' voi . Înlocuind aceste valori Xși d lși ținând cont că integrala trebuie extinsă pe toată lungimea arcului, obținem:
Unde L- lungimea arcului AB, egal cu .
De aici aflăm în sfârșit că centrul de greutate al unui arc de cerc se află pe axa sa de simetrie la o distanță de centru DESPRE, egal
unde unghiul se măsoară în radiani.
2) Centrul de greutate al ariei triunghiului. Luați în considerare un triunghi situat în plan Oxy, ale căror coordonate ale vârfurilor sunt cunoscute: A i(x i,y eu), (i= 1,2,3). Ruperea triunghiului în benzi înguste paralele cu latura A 1 A 2, ajungem la concluzia că centrul de greutate al triunghiului trebuie să aparțină medianei A 3 M 3 (Fig. 11).
Fig.11
Ruperea unui triunghi în benzi paralele cu latura A 2 A 3, putem verifica că trebuie să se afle pe mediană A 1 M 1 . Prin urmare, centrul de greutate al unui triunghi se află în punctul de intersecție al medianelor sale, care, după cum se știe, separă o a treia parte de fiecare mediană, numărând din partea corespunzătoare.
În special, pentru mediană A 1 M 1 obtinem, tinand cont ca coordonatele punctului M 1 este media aritmetică a coordonatelor vârfurilor A 2 și A 3:
x c = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.
Astfel, coordonatele centrului de greutate al triunghiului sunt media aritmetică a coordonatelor vârfurilor sale:
X c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y eu.
3) Centrul de greutate al zonei unui sector circular. Să considerăm un sector al unui cerc cu rază R cu un unghi central de 2α, situat simetric fata de axa Bou(Fig. 12) .
Este evident că y c = 0, iar distanța de la centrul cercului din care este tăiat acest sector până la centrul său de greutate poate fi determinată prin formula:
Fig.12
Cel mai simplu mod de a calcula această integrală este împărțirea domeniului de integrare în sectoare elementare cu un unghi dφ. Cu precizie la infinitezimale de ordinul întâi, un astfel de sector poate fi înlocuit cu un triunghi cu o bază egală cu R× dφ și înălțimea R. Aria unui astfel de triunghi dF=(1/2)R 2 ∙dφ, iar centrul său de greutate este la o distanță de 2/3 R de la vârf, deci în (5) punem X = (2/3)R∙cosφ. Înlocuirea în (5) F= α R 2, obținem:
Folosind ultima formulă, calculăm, în special, distanța până la centrul de greutate semicerc.
Înlocuind α = π/2 în (2), obținem: X c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .
Exemplul 1. Să determinăm centrul de greutate al corpului omogen prezentat în Fig. 13.
Fig.13
Corpul este omogen, format din două părți cu formă simetrică. Coordonatele centrelor lor de greutate:
Volumele lor:
Prin urmare, coordonatele centrului de greutate al corpului
Exemplul 2. Să găsim centrul de greutate al unei plăci îndoite în unghi drept. Dimensiunile sunt în desen (Fig. 14).
Fig.14
Coordonatele centrelor de greutate:
Zone:
|
Fig.15
În această problemă, este mai convenabil să împărțiți corpul în două părți: un pătrat mare și o gaură pătrată. Doar zona găurii ar trebui considerată negativă. Apoi coordonatele centrului de greutate al foii cu gaura:
coordona 
întrucât corpul are o axă de simetrie (diagonală).
Exemplul 4. Suportul de sârmă (Fig. 16) este format din trei secțiuni de lungime egală l.
Fig.16
Coordonatele centrelor de greutate ale secțiunilor:
Prin urmare, coordonatele centrului de greutate al întregului bracket sunt:
Exemplul 5. Determinați poziția centrului de greutate al fermei, ale cărui toate tijele au aceeași densitate liniară (Fig. 17).
Să reamintim că în fizică densitatea unui corp ρ și greutatea sa specifică g sunt legate prin relația: γ= ρ g, Unde g- accelerarea gravitației. Pentru a găsi masa unui astfel de corp omogen, trebuie să înmulțiți densitatea cu volumul său.
Fig.17
Termenul de densitate „liniară” sau „liniară” înseamnă că pentru a determina masa unei tije, densitatea liniară trebuie înmulțită cu lungimea acestei tije.
Pentru a rezolva problema, puteți utiliza metoda de partiționare. Reprezentând o fermă dată ca o sumă de 6 tije individuale, obținem:
Unde L i lungime i al-lea truss rod și x i, y eu- coordonatele centrului său de greutate.
Soluția la această problemă poate fi simplificată prin gruparea ultimelor 5 bare ale fermei. Este ușor de observat că formează o figură cu un centru de simetrie situat în mijlocul celei de-a patra tije, unde se află centrul de greutate al acestui grup de tije.
Astfel, o fermă dată poate fi reprezentată printr-o combinație de doar două grupuri de tije.
Primul grup este format din prima tijă, pentru aceasta L 1 = 4 m, X 1 = 0 m, y 1 = 2 m Al doilea grup de tije este format din cinci tije L 2 = 20 m, X 2 = 3 m, y 2 = 2 m.
Coordonatele centrului de greutate al fermei se găsesc folosind formula:
X c = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;
y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.
Rețineți că centrul CU se află pe linia dreaptă care leagă CU 1 și CU 2 și împarte segmentul CU 1 CU 2 privind: CU 1 CU/SS 2 = (X c - X 1)/(X 2 - X c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.
Întrebări de autotest
Cum se numeste centrul fortelor paralele?
Cum se determină coordonatele centrului forțelor paralele?
Cum se determină centrul forțelor paralele a căror rezultantă este zero?
Ce proprietăți are centrul forțelor paralele?
Ce formule sunt folosite pentru a calcula coordonatele centrului de forțe paralele?
Care este centrul de greutate al unui corp?
De ce forțele gravitaționale ale Pământului care acționează asupra unui punct al unui corp pot fi luate ca un sistem de forțe paralele?
Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al corpurilor neomogene și omogene, formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al secțiunilor plate?
Scrieți formula pentru determinarea poziției centrului de greutate al formelor geometrice simple: dreptunghi, triunghi, trapez și semicerc?
Care este momentul static al ariei?
Dați un exemplu de corp al cărui centru de greutate este situat în afara corpului.
Cum sunt utilizate proprietățile simetriei în determinarea centrelor de greutate ale corpurilor?
Care este esența metodei ponderilor negative?
Unde este centrul de greutate al unui arc de cerc?
Ce construcție grafică poate fi folosită pentru a găsi centrul de greutate al unui triunghi?
Scrieți formula care determină centrul de greutate al unui sector circular.
Folosind formule care determină centrele de greutate ale unui triunghi și ale unui sector circular, obțineți o formulă similară pentru un segment circular.
Ce formule sunt folosite pentru a calcula coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor omogene, figurilor plate și liniilor?
Ce se numește momentul static al ariei unei figuri plane în raport cu axa, cum se calculează și ce dimensiune are?
Cum se determină poziția centrului de greutate al unei zone dacă poziția centrelor de greutate ale părților sale individuale este cunoscută?
Ce teoreme auxiliare sunt folosite pentru a determina poziția centrului de greutate?
Desenați o diagramă a sistemului și marcați centrul de greutate pe acesta. Dacă centrul de greutate găsit este în afara sistemului de obiecte, ați primit un răspuns incorect. Este posibil să fi măsurat distanțe de la diferite puncte de referință. Repetați măsurătorile.
- De exemplu, dacă copiii stau pe un leagăn, centrul de greutate va fi undeva între copii și nu la dreapta sau la stânga leagănului. De asemenea, centrul de greutate nu va coincide niciodată cu punctul în care stă copilul.
- Aceste argumente sunt valabile în spațiul bidimensional. Desenați un pătrat care va conține toate obiectele sistemului. Centrul de greutate ar trebui să fie în interiorul acestui pătrat.
Verificați-vă matematica dacă obțineți un rezultat mic. Dacă punctul de referință se află la un capăt al sistemului, un rezultat mic plasează centrul de greutate aproape de capătul sistemului. Acesta poate fi răspunsul corect, dar în marea majoritate a cazurilor acest rezultat indică o eroare. Când ați calculat momentele, ați înmulțit greutățile și distanțele corespunzătoare? Dacă în loc să înmulți ai adăuga greutățile și distanțele, ai obține un rezultat mult mai mic.
Corectați eroarea dacă ați găsit mai multe centre de greutate. Fiecare sistem are un singur centru de greutate. Dacă ați găsit mai multe centre de greutate, cel mai probabil nu ați adunat toate momentele. Centrul de greutate este egal cu raportul dintre momentul „total” și greutatea „totală”. Nu este nevoie să împărțiți „fiecare” moment la „fiecare” greutate: astfel veți găsi poziția fiecărui obiect.
Verificați punctul de referință dacă răspunsul diferă cu o valoare întreagă.În exemplul nostru, răspunsul este 3,4 m Să presupunem că ai răspunsul 0,4 m sau 1,4 m sau un alt număr care se termină cu „.4”. Acest lucru se datorează faptului că nu ați ales capătul din stânga al tablei ca punct de plecare, ci un punct care se află o sumă întreagă în dreapta. De fapt, răspunsul tău este corect indiferent de punctul de referință pe care îl alegi! Nu uitați: punctul de referință este întotdeauna în poziția x = 0. Iată un exemplu:
- În exemplul nostru, punctul de referință era la capătul din stânga plăcii și am constatat că centrul de greutate era la 3,4 m de acest punct de referință.
- Dacă alegeți ca punct de referință un punct care se află la 1 m la dreapta de capătul din stânga tablei, veți obține răspunsul la 2,4 m Adică, centrul de greutate este la 2,4 m de noul punct de referință , la rândul său, este situat la 1 m de capătul din stânga plăcii. Astfel, centrul de greutate se află la o distanță de 2,4 + 1 = 3,4 m de capătul din stânga plăcii. S-a dovedit a fi un răspuns vechi!
- Notă: atunci când măsurați distanțe, rețineți că distanțele până la punctul de referință „stânga” sunt negative, iar la punctul de referință „dreapta” sunt pozitive.
Măsurați distanțe în linii drepte. Să presupunem că sunt doi copii pe un leagăn, dar un copil este mult mai înalt decât celălalt, sau un copil este atârnat sub scândură în loc să stea pe ea. Ignorați această diferență și măsurați distanțele de-a lungul liniei drepte a tablei. Măsurarea distanțelor la unghiuri va da rezultate apropiate, dar nu complet precise.
- Pentru problema plăcii balansoarului, amintiți-vă că centrul de greutate se află între capetele drept și stânga ale plăcii. Mai târziu, vei învăța să calculezi centrul de greutate al unor sisteme bidimensionale mai complexe.
Notă. Centrul de greutate al unei figuri simetrice se află pe axa de simetrie.
Centrul de greutate al tijei este la mijlocul înălțimii. Pentru rezolvarea problemelor se folosesc următoarele metode:
1. metoda simetriei: centrul de greutate al figurilor simetrice este pe axa de simetrie;
2. metoda de separare: secțiunile complexe sunt împărțite în mai multe părți simple, a căror poziție a centrelor de greutate este ușor de determinat;
3. metoda zonei negative: cavitățile (găurile) sunt considerate ca parte a unei secțiuni cu zonă negativă.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Determinați poziția centrului de greutate al figurii prezentate în fig. 8.4.
Soluţie
Împărțim figura în trei părți:
Definit în mod similar la C = 4,5 cm.
Exemplul 2. Aflați poziția centrului de greutate al unei ferme de bare simetrice ADBE(Fig. 116), ale căror dimensiuni sunt următoarele: AB = 6m, DE = 3 m și EF = 1m.
Soluţie
Întrucât împrejmuirea este simetrică, centrul său de greutate se află pe axa de simetrie D.F. Cu sistemul de axe de coordonate selectat (Fig. 116), abscisa centrului de greutate al fermei
În consecință, doar ordonata este necunoscută la C centrul de greutate al fermei. Pentru a o determina, împărțim ferme în părți separate (tije). Lungimile lor sunt determinate din triunghiurile corespunzătoare.
Din ΔAEF avem
Din ΔADF avem
Centrul de greutate al fiecărei tije se află în mijlocul ei coordonatele acestor centre sunt ușor de determinat din desen (Fig. 116).
Lungimile și ordonatele găsite ale centrelor de greutate ale părților individuale ale fermei sunt introduse în tabel și conform formulei
determina ordonata y s centrul de greutate al unei ferme plane date.
Prin urmare, centrul de greutate CUîntreaga ferme se află pe axă DF simetria fermei la o distanţă de 1,59 m de punct F.
Exemplul 3. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii compozite. Secțiunea este formată dintr-o foaie și profile laminate (Fig. 8.5).
Notă. Adesea, cadrele sunt sudate din diferite profile pentru a crea structura necesară. Astfel, se reduce consumul de metal și se formează o structură de înaltă rezistență.
Pentru profilele laminate standard, se cunosc propriile caracteristici geometrice. Ele sunt date în standardele relevante.
Soluţie
1. Să desemnăm cifrele prin numere și să scriem datele necesare din tabele:
1 - canalul nr. 10 (GOST 8240-89); înălţime h = 100 mm; lățimea raftului b= 46 mm; arie a secțiunii transversale A 1= 10,9 cm2;
2 - grindă în I nr. 16 (GOST 8239-89); inaltime 160 mm; latime raft 81 mm; aria secțiunii transversale A 2 - 20,2 cm 2;
3 - foaie 5x100; grosime 5 mm; latime 100 mm; aria secțiunii transversale A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.
2. Coordonatele centrelor de greutate ale fiecărei figuri pot fi determinate din desen.
Secțiunea compozită este simetrică, deci centrul de greutate este pe axa de simetrie și coordonatele X C = 0.
3. Determinarea centrului de greutate al unei secțiuni compozite:
Exemplul 4. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii prezentate în fig. 8, A. Secțiunea este formată din două unghiuri 56x4 și canalul nr. 18. Verificați corectitudinea determinării poziției centrului de greutate. Indicați poziția sa pe secțiune.
Soluţie
1. : două colțuri 56 x 4 și canalul nr. 18. Să le notăm 1, 2, 3 (vezi Fig. 8, A).
2. Indicăm centrele de greutate fiecare profil, folosind tabelul 1 și 4 adj. I, și le denotă C 1, C 2, C 3.
3. Selectați un sistem de axe de coordonate. Axă la compatibil cu axa de simetrie și cu axa X trageți prin centrele de greutate ale colțurilor.
4. Determinați coordonatele centrului de greutate al întregii secțiuni. Din moment ce axa la coincide cu axa de simetrie, apoi trece prin centrul de greutate al secțiunii, prin urmare x s= 0. Coordonată y s vom determina prin formula
Folosind tabelele din anexă, determinăm ariile fiecărui profil și coordonatele centrelor de greutate:
Coordonatele la 1Și la 2 sunt egale cu zero, deoarece axa X trece prin centrele de greutate ale colțurilor. Să înlocuim valorile obținute în formula pentru a determina y s:
5. Să indicăm centrul de greutate al secțiunii din fig. 8, a și notați-l cu litera C. Să arătăm distanța y C = 2,43 cm de la axă X la punctul C.
Deoarece colțurile sunt situate simetric și au aceeași zonă și coordonate, atunci A 1 = A 2, y 1 = y 2. Prin urmare, formula de determinare la C poate fi simplificat:
6. Sa verificam.În acest scop axa X Să desenăm de-a lungul marginii inferioare a raftului de colț (Fig. 8, b). Axă la Să lăsăm ca în prima soluție. Formule de determinare x CȘi la C nu schimba:
Zonele profilelor vor rămâne aceleași, dar coordonatele centrelor de greutate ale unghiurilor și canalelor se vor schimba. Să le scriem:
Aflați coordonatele centrului de greutate:
După coordonatele găsite x sȘi y s desenați punctul C pe desen Poziția centrului de greutate găsită în două moduri este în același punct. Hai să verificăm. Diferența între coordonate da s, găsită în prima și a doua soluție este: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.
Aceasta este egală cu distanța dintre axa x în prima și a doua soluție: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.
Răspuns: s= 2,43 cm dacă axa x trece prin centrele de greutate ale colțurilor sau y c = 6,51 cm dacă axa x trece de-a lungul marginii inferioare a flanșei de colț.
Exemplul 5. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii prezentate în fig. 9, A. Secțiunea constă din grinda I nr. 24 și canalul nr. 24a. Arată poziția centrului de greutate pe secțiune.
Soluţie
1.Să împărțim secțiunea în profile laminate: I-beam și canal. Să le notăm cu numerele 1 și 2.
3. Indicăm centrele de greutate ale fiecărui profil C 1 și C 2 folosind tabele de aplicare.
4. Selectați un sistem de axe de coordonate. Axa x este compatibilă cu axa de simetrie, iar axa y este trasă prin centrul de greutate al fasciculului I.
5. Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii. Coordonata y c = 0, deoarece axa X coincide cu axa de simetrie. Determinăm coordonata x cu formula
Conform tabelului 3 și 4 adj. I și diagrama în secțiune transversală pe care o determinăm
Să înlocuim valorile numerice în formulă și să obținem
5. Să trasăm punctul C (centrul de greutate al secțiunii) folosind valorile găsite ale lui x c și y c (vezi Fig. 9, a).
Soluția trebuie verificată independent cu axele poziționate așa cum se arată în Fig. 9, b. Ca rezultat al soluției, obținem x c = 11,86 cm Diferența dintre valorile lui x c pentru prima și a doua soluție este de 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, care este egală cu distanța dintre axele y pentru aceeași. solutii b dv /2 = 5,75 cm.
Răspuns: x c = 6,11 cm, dacă axa y trece prin centrul de greutate al fasciculului I; x c = 11,86 cm dacă axa y trece prin punctele extreme din stânga ale fasciculului I.
Exemplul 6. Macaraua feroviară se sprijină pe șine, distanța dintre care este AB = 1,5 m (Fig. 1.102). Forța gravitațională a căruciorului cu macara este G r = 30 kN, centrul de greutate al căruciorului este în punctul C, situat pe dreapta KL de intersecție a planului de simetrie al căruciorului cu planul desenului. Forța gravitațională a troliului macaralei Q l = 10 kN se aplică în punct D. Forța gravitațională a contragreutății G„=20 kN se aplică în punctul E. Forța gravitațională a brațului G c = 5 kN se aplică în punctul H. Extinderea macaralei față de linia KL este de 2 m coeficientul de stabilitate al macaralei în stare descărcată și ce sarcină F poate fi ridicat cu această macara, cu condiția ca coeficientul de stabilitate să fie de cel puțin doi.
Soluţie
1. Când este descărcată, macaraua riscă să se răstoarne atunci când se întoarce în jurul șinei A. Prin urmare, relativ la punct A moment de stabilitate
2. Moment de răsturnare relativ la un punct A este creat de forța gravitațională a contragreutății, adică
3. De aici coeficientul de stabilitate al macaralei in stare neincarcata
4. La încărcarea brațului macaralei cu încărcătură F există pericolul de răsturnare a macaralei la întoarcerea lângă șina B. Prin urmare, raportat la punct ÎN moment de stabilitate
5. Moment de răsturnare față de șină ÎN
6. În funcție de condițiile problemei, este permisă funcționarea macaralei cu un coeficient de stabilitate k B ≥ 2, adică.
Testați întrebări și sarcini
1. De ce forțele de atracție către Pământ care acționează asupra punctelor corpului pot fi luate ca un sistem de forțe paralele?
2. Notează formule pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al corpurilor neomogene şi omogene, formule pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al secţiunilor plane.
3. Repetați formulele pentru determinarea poziției centrului de greutate al formelor geometrice simple: dreptunghi, triunghi, trapez și semicerc.
4. 
Care este momentul static al ariei?
5. Calculați momentul static al acestei figuri în jurul axei Bou. h= 30 cm; b= 120 cm; Cu= 10 cm (Fig. 8.6).
6. Determinați coordonatele centrului de greutate al figurii umbrite (Fig. 8.7). Dimensiunile sunt date in mm.
7. Determinați coordonatele la figura 1 a secțiunii compozite (Fig. 8.8).
Când decideți, utilizați datele de referință din tabelele GOST „Oțel laminat la cald” (vezi Anexa 1).
Instrucțiuni
Încercați să găsiți centrul gravitatie apartament cifre empiric. Luați un creion nou, neascuțit și plasați-l vertical. Puneți o figură plată deasupra ei. Marcați punctul de pe figură în care este ținut ferm pe creion. Acesta va fi centrul gravitatie a ta cifre. În loc de creion, folosiți pur și simplu degetul arătător întins în sus. Dar acest lucru se datorează faptului că trebuie să vă asigurați că degetul stă drept, nu se legănă sau tremură.
Pentru a demonstra că punctul rezultat este centrul de masă, faceți o gaură în el cu un ac. Treceți un fir prin orificiu și legați un nod la un capăt, astfel încât firul să nu sară afară. Ținând celălalt capăt al firului, atârnă corpul de el. Dacă centrul gravitatie Așa este, figura va fi poziționată exact, paralel cu podeaua. Laturile ei nu se vor legăna.
Găsiți centrul gravitatie cifre geometric. Dacă vi se oferă un triunghi, construiți . Aceste segmente conectează vârfurile triunghiului de mijlocul laturii opuse. Ideea va deveni centru mase triunghiulare. Pentru a găsi punctul de mijloc al unei laturi, puteți chiar să pliați figura în jumătate, dar rețineți că acest lucru va perturba uniformitatea cifre.
Comparați rezultatele obținute geometric și experimental. Raportați progresul experimentului. Micile erori sunt considerate normale. Ele se explică prin imperfecțiune cifre, inexactitatea instrumentelor, factorul uman (defecte minore în muncă, imperfecțiune a ochiului uman etc.).
Surse:
- Calcularea coordonatelor centrului de greutate al unei figuri plate
Într-un câmp gravitațional uniform, centrul de greutate coincide cu centrul de masă. În geometrie, conceptele de „centru de greutate” și „centru de masă” sunt de asemenea echivalente, deoarece existența unui câmp gravitațional nu este luată în considerare. Centrul de masă mai este numit și centru de inerție și baricentru (din grecescul barus - greu, kentron - centru). Caracterizează mișcarea unui corp sau a unui sistem de particule. Astfel, în timpul căderii libere, un corp se rotește în jurul centrului său de inerție.
Instrucțiuni
Fie că sistemul este format din două puncte identice. Apoi, evident, este situat la mijloc între ele. Dacă punctele cu coordonatele x1 și x2 au mase diferite m1 și m2, atunci coordonatele centrului de masă este x(c)=(m1 x1+m2 x2)/(m1+m2). În funcție de „zeroul” ales al sistemului de referință, coordonatele pot fi și negative.
Punctele dintr-un plan au două coordonate: x și y. Când este specificat în spațiu, se adaugă o a treia coordonată z. Pentru a nu descrie fiecare coordonată separat, este convenabil să luăm în considerare vectorul rază a punctului: r=x i+y j+z· k, Unde i,j,k− vectori unitari ai axelor de coordonate.
Să fie acum sistemul format din trei puncte cu mase m1, m2 și m3. Vectorii lor cu raza, respectiv, r1, r2Și r3. Apoi vectorul raza centrului lor de greutate r(c)=(m1· r1+m2· r2+m3· r3)/(m1+m2+m3).
Dacă sistemul constă din puncte arbitrare, atunci vectorul rază, prin definiție, se găsește prin formula:
r(c)=∑m(i) r(i)/∑m(i). Însumarea se realizează folosind indicele i (scris sub semnul sumei ∑). Aici m(i) este un al-lea sistem, r(i)− vectorul său de rază.
Dacă corpul este omogen în masă, suma devine integrală. Rupeți mental corpul în bucăți infinit de mici de masă dm. Deoarece corpul este omogen, masa fiecărei piese poate fi scrisă ca dm=ρ·dV, unde dV este volumul elementar al acestei piese, ρ este densitatea (aceeași în întregul volum al unui corp omogen).
Însumarea integrală a masei tuturor pieselor va da masa întregului corp: ∑m(i)=∫dm=M. Deci se dovedește r(c)=1/M·∫ρ·dV· dr. Densitatea, o valoare constantă, poate fi scoasă de sub semnul integral: r(c)=ρ/M·∫dV· dr. Pentru integrarea directă va trebui să setați o funcție specifică între dV și dr, care depinde de parametrii figurii.
De exemplu, centrul de greutate al unui segment (o tijă lungă omogenă) se află în mijloc. Centrul de masă al sferei și bilei este situat în centru. Baricentrul conului este situat la înălțimea segmentului axial, numărând de la bază.
Centrul poate fi determinat și experimental. Tăiați orice formă dintr-o foaie de hârtie groasă sau carton (de exemplu, același triunghi). Încercați să o plasați pe vârful unui deget întins vertical. Locul pentru care se poate face acest lucru va fi centrul de inerție al corpului.
Surse:
- „Mecanica”, D.V. Sivukhin, 2006.
- Determinarea coordonatelor centrului de greutate al navei
În sensul obișnuit, centrul de greutate este perceput ca punctul în care rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului poate fi aplicată. Cel mai simplu exemplu este un leagăn pentru copii sub forma unei plăci obișnuite. Fără calcule, orice copil va selecta suportul plăcii în așa fel încât să echilibreze (și poate chiar să depășească) un om greu pe leagăn. În cazul corpurilor și secțiunilor complexe, calculele precise și formulele corespunzătoare sunt indispensabile. Chiar dacă obțineți expresii greoaie, principalul lucru este să nu vă fie frică de ele, ci să vă amintiți că inițial vorbim despre o sarcină aproape elementară.
Instrucțiuni
Luați în considerare cea mai simplă pârghie (vezi Figura 1) în poziția de echilibru. Așezați x₁₂ pe axa orizontală cu abscisa și plasați punctele materiale de mase m₁ și m₂ pe margini. Considerați coordonatele lor de-a lungul axei 0x ca fiind cunoscute și egale cu x₁ și x₂. Pârghia este în poziția de echilibru dacă momentele forțelor de greutate Р=m₁g și P₂=m₂g sunt egale. Momentul este egal cu produsul forței exercitate de brațul său, care poate fi găsit ca lungimea perpendicularei coborâtă din punctul de aplicare al forței la verticala x=x₁₂. Prin urmare, în conformitate cu figura 1, m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Apoi m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Rezolvați această ecuație și obțineți x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).
Pentru a afla ordonata y₁₂, aplicați același raționament și calcule ca în pasul 1. Urmați în continuare ilustrația prezentată în Figura 1, unde m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Apoi m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Rezultatul este y₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). În continuare, considerăm că în loc de un sistem de două puncte există un punct M₁₂(x12,у12) din masa totală (m₁+m₂).
La sistemul de două puncte, adăugați o altă masă (m₃) cu coordonatele (x₃, y₃). Când calculați, ar trebui să presupuneți în continuare că aveți de-a face cu două puncte, unde al doilea dintre ele are masă (m₁+m₂) și coordonate (x12,y12). Repetând toate acțiunile pașilor 1 și 2 pentru aceste două puncte, veți ajunge în centrul celor trei puncte x₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), y₁₂₃=(m₁у₁+m₁у₁+m₃₃₃₃+m₃₃) m₁ +m₂ +m₃). Apoi, adăugați punctele al patrulea, al cincilea și așa mai departe. După repetarea aceleiași proceduri de mai multe ori, asigurați-vă că pentru un sistem de n puncte coordonatele centrului de greutate sunt calculate folosind formula (vezi Fig. 2). Rețineți pentru dvs. faptul că în timpul lucrului accelerația gravitației g a scăzut. Prin urmare, coordonatele centrului de masă și ale centrului de greutate coincid.
Imaginează-ți că în secțiunea luată în considerare există o anumită regiune D, a cărei densitate a suprafeței este ρ=1. De sus și de jos, figura este limitată de graficele curbelor y=φ(x) și y=ψ(x), x є [a,b]. Împărțiți zona D cu verticale x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) în benzi subțiri, astfel încât acestea să poată fi considerate aproximativ dreptunghiuri cu baze ∆хi (vezi Fig. .3). În acest caz, considerăm că mijlocul segmentului ∆хi coincide cu abscisa centrului de masă ξi=(1/2). Considerați înălțimea dreptunghiului ca fiind aproximativ egală cu [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Atunci ordonata centrului de masă al ariei elementare este ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].
Datorită distribuției uniforme a densității, luați în considerare că centrul de masă al benzii va coincide cu centrul său geometric. Masa elementară corespunzătoare ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi este concentrată în punctul (ξi,ηi). A venit momentul trecerii inverse de la masa prezentată sub formă discretă la continuă. În conformitate cu formulele de calcul a coordonatelor (vezi Fig. 2) ale centrului de greutate, se formează sume integrale, ilustrate în Fig. 4a. Când treceți la limita la ∆xi→0 (ξi→xi) de la sume la integrale definite, obțineți răspunsul final (Fig. 4b). Nu există masă în răspuns. Egalitatea S=M trebuie înțeleasă doar ca fiind cantitativă. Dimensiunile de aici sunt diferite unele de altele.
Următoarele metode sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi centrul de greutate al unui corp sau al unei figuri:
· metoda simetriei;
· metoda de compartimentare;
· metoda masei negative.
Să ne uităm la tehnicile utilizate în fiecare dintre metodele enumerate.
Metoda simetriei
Să ne imaginăm un corp omogen care are un plan de simetrie. Să alegem un sistem de coordonate astfel încât axele X Și z se află în planul de simetrie (vezi figura 1).
În acest caz, fiecare particulă elementară prin gravitație G i cu abscisă y i = +a corespunde aceleiași particule elementare cu abscisa y i = -a , Apoi:
y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.
De aici concluzia: dacă un corp omogen are un plan de simetrie, atunci centrul de greutate al corpului se află în acest plan.
Următoarele propoziții pot fi demonstrate în mod similar:
· Dacă un corp omogen are o axă de simetrie, atunci centrul de greutate al corpului se află pe această axă;
· Dacă un corp omogen are două axe de simetrie, atunci centrul de greutate al corpului se află în punctul de intersecție a acestora;
· Centrul de greutate al unui corp omogen de rotație se află pe axa de rotație.
Metoda de divizare
Această metodă constă în împărțirea corpului în cel mai mic număr de părți, ale căror forțe de greutate și poziția centrelor de greutate sunt cunoscute, după care se folosesc formulele date anterior pentru a determina centrul de greutate global al corpului.
Să presupunem că am zdrobit corpul cu gravitația G
în trei părți G"
, G""
, G"""
, abscisele centrelor de greutate ale acestor piese x" C, x"" C, x""" C
cunoscut.
Formula pentru determinarea abscisei centrului de greutate al întregului corp:
x C = Σ(G i x i)/ΣG i.
Să-l rescriem în următoarea formă:
x C ΣG i = Σ(G i x i) sau Gx C = Σ(G i x i) .
Scriem ultima egalitate pentru fiecare dintre cele trei părți ale corpului separat:
G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G"" i x"" i), G"""x""" C = Σ(G""" i x""" i).
Adăugând părțile stânga și dreaptă ale acestor trei egalități, obținem:
G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x"" i) + Σ(G""" i x """ i) = Σ(G i x i).
Dar partea dreaptă a ultimei egalități este produsul Gx C , deoarece
Gx C = Σ(G i x i),
Prin urmare, x C = (G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C)/G
, ceea ce trebuia dovedit.
Coordonatele centrului de greutate pe axele de coordonate sunt determinate în mod similar y
Și z
:
y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G
,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G"""z""" C)/G
.
Formulele rezultate sunt similare cu formulele pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate, derivate mai sus. Prin urmare, nu este posibilă înlocuirea forțelor gravitaționale ale particulelor elementare în formulele originale G i , și forțele gravitaționale ale părților finale; sub coordonate x i ,y eu ,z i înțelegeți coordonatele centrelor de greutate ale părților în care este împărțit corpul.
Metoda masei negative
Această metodă se bazează pe faptul că un corp cu cavități libere este considerat solid, iar masa cavităților libere este considerată negativă. Forma formulelor pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate al corpului nu se modifică.
Astfel, atunci când se determină centrul de greutate al unui corp care are cavități libere, trebuie utilizată metoda de compartimentare, dar se consideră că masa cavităților este negativă.
Metode practice de determinare a centrului de greutate al corpurilor
În practică, pentru a determina centrul de greutate al corpurilor plate de formă complexă, acestea sunt adesea folosite metoda de agățare
, care constă în agățarea unui corp plat de un fir dintr-un punct. De-a lungul firului este trasată o linie, iar corpul este suspendat de un alt punct care nu este situat pe linia rezultată.
Apoi trageți din nou o linie de-a lungul firului.
Punctul de intersecție al celor două linii va fi centrul de greutate al corpului plat.
O altă metodă de determinare a centrului de greutate folosită în practică se numește metoda de cantarire
. Această metodă este adesea folosită pentru a determina centrul de greutate al mașinilor și produselor mari - mașini, avioane, tractoare cu roți etc., care au o formă volumetrică complexă și un sprijin punctual pe sol.
Metoda constă în aplicarea condiţiilor de echilibru, bazate pe faptul că suma momentelor tuturor forţelor care acţionează asupra unui corp staţionar este egală cu zero.
În practică, acest lucru se realizează prin cântărirea unuia dintre suporturile mașinii (roțile din spate sau din față sunt montate pe cântar), în timp ce citirile cântarului sunt, de fapt, reacția suportului, care se ține cont la desen. sus ecuația de echilibru față de al doilea punct de sprijin (situat în afara scalelor).
Pe baza masei cunoscute (respectiv, greutatea) corpului, a citirii cântarelor la unul dintre punctele de sprijin și a distanței dintre punctele de sprijin, puteți determina distanța de la unul dintre punctele de sprijin până la planul în care este situat centrul de greutate.
Pentru a găsi în acest fel linia (axa) pe care se află centrul de greutate al mașinii, este necesar să se efectueze două cântăriri conform principiului subliniat mai sus pentru metoda de suspendare. (vezi Fig. 1a).
Întrebarea 12
Momentul de inerție al corpului.
MOMENT DE INERȚIE- o mărime care caracterizează distribuția maselor în corp și este, alături de masă, o măsură a inerției corpului atunci când nu se mișcă. circulaţie. În mecanică, există M. și. axială și centrifugă. Osev M. și. corp relativ la axa z se numește. cantitate definită prin egalitate
Unde m i- mase de puncte ale corpului, Bună- distanțele lor față de axa z, r - densitatea de masă, V- volumul corpului. Magnitudinea Iz este o măsură a inerției unui corp în timpul rotației sale în jurul unei axe (vezi Mișcarea de rotație ) . Axial M. și. poate fi exprimat şi printr-o mărime liniară r z, numită. raza de rotație față de axa z, conform f-le Iz = M r 2 z , unde M- masa corpului. Dimensiunea M. și.- L 2 M; unități de măsură - kg. m 2.
Centrifugă M. și. raportat la sistemul dreptunghiular. topoare x, y, z, efectuat la punct DESPRE, numit cantităţi determinate de egalităţi
sau integralele de volum corespunzătoare. Aceste mărimi sunt caracteristice ale dinamicii. dezechilibru al organismului. De exemplu, când rotiți un corp în jurul axei z din valori eu xzȘi eu yz Forțele de presiune asupra rulmenților în care este fixată axa depind.
M. și. relativ la axele paralele z și z" sunt legate prin relația (teorema lui Huygens)
unde z" este axa care trece prin centrul de masă al corpului, d- distanta dintre axe.
M. și. relativ la orice trecere prin origine DESPRE topoare Ol cu cosinus de direcție a, b, g se găsește după formula
Cunoscând șase cantități I x , I y , I z , I xy , I yz , I zx, puteți calcula succesiv, folosind formulele (4) și (3), întregul set de M. și. corpuri în raport cu orice axă. Aceste șase cantități determină așa-numitele. tensorul de inerție al corpului. Prin fiecare punct al corpului se pot desena 3 astfel de axe reciproc perpendiculare, numite. Ch. axele de inerție, pentru care eu xy = eu yz= Izx= 0. Atunci M. și. corpurile relativ la orice axă pot fi determinate cunoscând Ch. axa de inerție și M. și. raportat la aceste axe.
